03 IGEPP - PROBABILIDADE E AMOSTRAGEM

RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
RACIOCÍNIO LÓGICO / ESTATÍSTICA – LISTA 3
EXERCÍCIOS PARA DISCUSSÃO E
TREINAMENTO
1. Calcule as integrais:
a)
∫x
b)
∫ (4x
c)
3x 7
∫ 14 ⋅ dx =
2
⋅ dx =
5
− 7 x ) ⋅ dx =
 5 x 6 12 
d) ∫ 
+  ⋅ dx =
5
 9
2. Calcule as integrais:
2
a)
∫x
4
⋅ dx =
1
5
b)
∫ (3x
2
+ 6 x ) ⋅ dx =
O valor da constante k é?
a) 1
b) 5
c) 8
d) 3
e) 10
5. (CIAAR/ESTATISTICO) Supõe-se que x seja uma
variável aleatória contínua, cuja função de densidade de
probabilidade é dada por
c ( x − 3x 2 ) ; 0 < x < 4
f ( x) = 
0; caso contrário
o valor da constante "c" é
a) -8
b) - 56
c) -1/8
d) -1/56
6. Seja X uma variável aleatória contínua. Determinar o
valor de ‘c’ para que f ( x ) seja uma função densidade
de probabilidade.
0
1
c)
∫ (8x
5
− x 3 + 10 x ) ⋅ dx =
c.x 2 ; − 1 ≤ x ≤ +1
f ( x) = 
0; para outros valores de x
0
3. Seja a seguinte variável aleatória contínua, definida
pela função densidade de probabilidade:
0, para x < 0

f ( x ) =  kx, para 0 ≤ x ≤ 2
0, para x > 2

Assim, obtenha o valor de k.
a) 2/3
b) 1/2
c) 4/5
d) 2/7
e) 1/8
4. (PUC-PR/DPE-PR) Uma variável aleatória X tem
função densidade de probabilidade dada por:
f(x) = k x2 se 0 < x < 1 e 0 nos demais casos.
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ESTATÍSTICA – LISTA 3
a) 3/2
b) 2/3
c) 6/7
d) 7/6
e) 8/9
7. Seja X uma variável aleatória contínua. Determine a
probabilidade de X assumir valores no intervalo de
[ −0,5 ; + 0,5] .
 3.x 2
; − 1 ≤ x ≤ +1

f ( x) =  2
0; para outros valores de x

a) 6 %
b) 8,32 %
c) 9,15 %
d) 11,9 %
e) 12,5 %
1
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
8. A proporção de álcool em certo composto pode ser
considerada uma variável alatória com a seguinte função
de densidade:
3
 20 x (1 − x ) ; 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) = 
0; para outros valores de x
Calcule a probabilidade da proporção de álcool neste
composto estar entre 0,20 e 0,25.
a) 0,0089
b) 0,0060
c) 0,0055
d) 0,0048
e) 0,0030
9. (CIAAR/ESTATISTICO) Seja X uma variável
aleatória com função de densidade discreta dada por:
A relação correta entre a moda, a média e a mediana de
Xé
a) Mediana < Moda < Média
b) Média < Moda < Mediana
c) Moda < Mediana < Média
d) Moda < Média < Mediana
AMOSTRAGEM
A amostragem corresponde ao processo de retirada de
amostras de uma população.
A amostragem é o estudo das relações existentes entre a
amostra, a população de onde ela foi extraída e a forma
como ocorre esta extração. Portanto, a amostragem tem
por objetivo principal determinar meios e métodos para
estudar as populações através de amostras.
Importante lembrar que amostra é um subconjunto da
população, necessariamente finito, pois todos os seus
elementos serão examinados para efeito da realização do
estudo estatístico desejado.
Podemos ter dois tipos de amostragem, as probabilísticas
e as não probabilísticas.
Amostragem probabilística: quando todos os elementos
da população tiverem uma probabilidade conhecida e
diferente de zero de pertencer à amostra. A realização
deste tipo de amostragem só é possível se a população
for finita e totalmente acessível.
Amostragem probabilística:
aleatória simples
sistemática
estratificada
conglomerados
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ESTATÍSTICA – LISTA 3
Amostragem aleatória simples: somente deverá ser
utilizada quando a população for homogênea em relação
à variável que se deseja estudar. Geralmente, é atribuído
uma numeração a cada indivíduo da população, e através
de um sorteio aleatório os elementos que vão compor a
amostra são selecionados. Todos os elementos têm a
mesma probabilidade de pertencer a amostra.
Amostragem sistemática: quando é conveniente retirar da
população os elementos que vão compor a amostra de
forma cíclica (em períodos), por exemplo, quando os
elementos da população se encontram ordenados.
Amostragem estratificada: quando a variável de interesse
apresenta uma heterogeneidade na população e esta
heterogeneidade permite a identificação de grupos
homogêneos, pode-se dividir a população em grupos
(estratos) e fazer uma amostragem dentro de cada estrato,
garantindo, assim, a representatividade de cada estrato na
amostra.
Amostragem por conglomerados: apesar da amostragem
estratificada apresentar resultados satisfatórios, a sua
implementação é dificultada pela falta de informações
sobre a população para fazer a estratificação. Para
contornar este problema, pode-se trabalhar com o
esquema de amostragem chamado amostragem por
conglomerados.
Os conglomerados são definidos em função da
experiência do gestor ou pesquisador. Geralmente, podese definir os conglomerados por fatores geográficos,
como por exemplo, bairros e quarteirões. Portanto, um
conglomerado é um subgrupo da população, que
individualmente reproduz a população, ou seja,
individualmente os elementos que o compõem são muito
heterogêneos entre si. Este tipo de amostragem é muito
útil quando a população é grande, por exemplo, no caso
de uma pesquisa em nível nacional. Sorteados os
conglomerados por meio de um processo aleatório
avaliamos todos os indivíduos presentes no
conglomerado.
10. (PUC-PR/DPE-PR)
CORRETA:
Assinale
a
afirmativa
a) Na amostragem sistemática, o período amostral pode
ser aproximadamente regular.
b) A realização do conglomerado, todos os membros de
um conglomerado sorteado aleatoriamente devem
compor a amostra.
c) Na amostragem aleatória simples é selecionada uma
amostra com n pessoas, todas tendo a mesma
probabilidade de ser escolhida, porém cada amostra de
mesmo tamanho apresenta uma probabilidade distinta de
ser formada.
d) Em qualquer amostragem aleatória, a probabilidade de
escolha de cada membro da amostra tem que ser
conhecida, porém não precisa ser constante.
e) No caso de amostragem estratificada os estratos não
precisam ser distintos.
2
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
Amostragem não probabilística: quando não se
conhece a probabilidade de um elemento da população
pertencer a amostra. Por exemplo, quando somos
obrigados a colher a amostra na parte da população a que
temos acesso.
Quando trabalhamos com a amostragem não
probabilística, não conhecemos a priori a probabilidade
que um elemento da população tem de pertencer à
amostra. Neste caso, não é possível calcular o erro
decorrente da generalização dos resultados das análises
estatísticas da amostra para a população de onde a
amostra foi retirada.
Geralmente a amostragem não probabilística é utilizada
por simplicidade ou por impossibilidade de se obter uma
amostra probabilística, como seria desejável.
Amostragem não probabilística:
esmo
intencional
cotas
Amostragem a esmo: Imagine uma caixa com 10.000
parafusos. A enumeração desses parafusos ficaria muito
difícil, e a amostragem aleatória simples se torna
inviável. Então, em situações deste tipo, supondo que a
população de parafusos seja homogênea, escolhemos a
esmo a quantidade relativa ao tamanho da amostra.
Quanto mais homogênea for a população, mais podemos
supor a equivalência com a amostragem a esmo. Dessa
forma, os parafusos são escolhidos para compor a
amostra de um determinado tamanho sem nenhuma
norma ou a esmo.
Amostragem intencional: corresponde àquela em que o
amostrador deliberadamente escolhe certos elementos
para pertencer à amostra, por julgar tais elementos
representativos da população.
GABARITO
1.
1 3
x
3
2
7
b) x 6 − x 2
3
2
3 8
c)
x
112
5 7 12
d)
x + x
63
5
a)
2.
31
5
b) 200
a)
c)
73
12
1
2
4. k = 3
3. k =
5. c = −
6. c =
1
56
3
2
7. E
8. A
9. C
10. B
Amostragem por cotas: Neste tipo de amostragem, a
população é dividida em grupos, e seleciona-se uma cota
proporcional ao tamanho de cada grupo. Entretanto,
dentro de cada grupo não é feito sorteio, e sim os
elementos são procurados até que a cota de cada grupo
seja cumprida.
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ESTATÍSTICA – LISTA 3
3