Probabilidade e Estatística

Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição 1
Uma variável aleatória X é classificada como contínua, se ela assume um número infinito não-enumeráv
de valores.
Renato Ferreira da Cruz
Universidade Federal de Mato Grosso
Variáveis Aleatórias Contínuas
O comportamento probabilístico de uma
variável aleatória contínua será descrito pela sua
função densidade de probabilidade.
Renato Ferreira da Cruz
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição 2
Dizemos que uma variável aleatória X é contínua,
se existir, uma função f , denominada função densidade de probabilidade (fdp) que satisfaça as seguintes
condições:
a) f (x) ≥ 0
Z ∞
b)
f (x)dx = 1
−∞
Renato Ferreira da Cruz
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição 3
Definimos a probabilidade de X estar entre a e b
por:
Z b
f (x)dx
P(a ≤ X ≤ b) =
a
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Observe que P(a ≤ X ≤ b) representa a área sob
a curva no gráfico da fdp entre x = a e x = b.
f (x)
P(a ≤ X ≤ b)
a
Renato Ferreira da Cruz
b
x
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Observações:
Como consequência da definição acima, temos
que
Z x0
f (x)dx = 0
P(X = x0) =
x0
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Observações:
Como consequência da definição acima, temos
que
Z x0
f (x)dx = 0
P(X = x0) =
x0
Se X for uma v.a. contínua, então:
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) =
= P(a < X ≤ b) =
= P(a ≤ X ≤ b)
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Função de Distribuição
Definição 4
Seja X uma variável aleatória, discreta ou contínua.
Definimos a função de distribuição (fd) da variável
aleatoria X como sendo a função F dada por:
F (x) = P(X ≤ x), ∀x ∈ R
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Função de Distribuição
A definição é a mesma vista para o caso discreto. A
diferença é que, para variáveis contínuas, a função
de distribuição acumulada é uma função contínua,
sem saltos. Veja a figura abaixo para um exemplo.
y
F
x
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Função de Distribuição
Teorema 1
Se X for uma variável aleatória contínua com fdp
f , então:
Z x
F (x) =
f (u)du.
−∞
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Função de Distribuição
Observação:
Para as variáveis aleatórias discretas, a função de
distribuição tem a forma de escada, sendo descontínua nos valores assumidos pela variável. Da função
de probabilidade obtemos a função de distribuição e
vice-versa. Da mesma forma, para variáveis aleatórias
contínuas, a partir da fdp obtemos a fd e vice-versa,
como mostra o teorema seguinte.
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Função de Distribuição
Teorema 2
Seja F a fd de uma v.a. contínua X com fdp f .
Então
f (x) = F ′(x)
para todo x no qual F é derivável.
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Função de Distribuição
Exemplo 1
Considere a função f (x) apresentada na figura abaixo.
y
f
k
1
2
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3
4
5 x
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Função de Distribuição
a) Determine o valor de k para que f seja uma
função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X .
b) Determine a equação que define f .
c) Calcule P(2 ≤ X ≤ 3).
d) Determine o valor de k tal que
P(X ≤ k) = 0, 6.
e) Determine a função de distribuição de X . EsRenato Ferreira da Cruz
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Função de Distribuição
Exemplo 2
Considere a função f apresentada na figura abaixo.
y
k
f
0, 1
1
6 x
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Função de Distribuição
a) Determine o valor de k para que f seja uma
função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X .
b) Determine a equação que define f .
c) Calcule P(2 ≤ X ≤ 3).
d) Determine o valor de k tal que
P(X ≤ k) = 0, 6.
e) Determine a função de distribuição de X . EsRenato Ferreira da Cruz
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Função de Distribuição
Exemplo 3
Seja f (x) = 0, 006x(10 − x) para 0 ≤ x ≤ 10 e
f (x) = 0 para outros valores de x.
a) Verifique que f é uma função densidade de probabilidade e esboce seu gráfico.
b) Calcule P(4 ≤ X ≤ 8).
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Função de Distribuição
Exemplo 4
Ae −αx se x ≥ 0
Seja f (x)
=
, onde
0
se x < 0
α > 0 é uma constante.
a) Determine o valor de A para que f seja uma
função densidade de probabilidade.
b) Esboce o gráfico de f .
c) Determine a fd e esboce seu gráfico.
d) Calcule P(1 ≤ X ≤ 4).
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Distribuições Contínuas
Alguns modelos de distribuições contínuas
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Modelo Uniforme
Diremos que X segue o modelo Uniforme, no intervalo [a, b], se todos os subintervalos de [a, b] com
mesmo comprimento tiverem a mesma probabilidade. Sua função densidade é dada por

 1
, se a ≤ x ≤ b
b−a
f (x) =
 0
, c.c
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Modelo Uniforme
A função de distribuição é dada por:


0
, se x < a

 x −a
, se a ≤ x < b
F (x) =
b
−
a


 1
, se x ≥ b
Devido à natureza contínua da variável, não faz
diferença na definição do modelo se o intervalo de
valores for aberto ou semi-aberto.
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Modelo Uniforme
Exemplo 5
Um programa de TV dura 1 hora e um
telespectador impaciente vai trocar de canal a qualquer momento durante o programa. Qual a probabilidade dele assistir à maior parte do programa?
Se ele assistiu à maior parte do programa, qual seria a probabilidade dele desligar a TV ou mudar de
canal nos últimos 10 minutos?
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Modelo Exponencial
A variável aleatória X segue o modelo Exponencial
de parâmetro λ, λ > 0, se tiver densidade dada
por:
−λx
λe
, se x ≥ 0
f (x) =
0
, se x < 0
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Modelo Exponencial
Exemplo 6
Suponha que a vida útil de certo tipo de lâmpada
tenha distribuição exponecial de parâmetro λ.
a) Seja X a vida de uma lâmpada desse tipo. Mostre
que
P(X > t + s|X > t) = P(X > s), ∀s, t > 0
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Modelo Exponencial
b) Suponha que λ = 3 quando a vida é expressa
em dias. Uma lâmpada solitária é ligada em
uma sala no instante t = 0. Um dia depois,
você entra na sala e fica ali durante 8 horas,
saindo no final desse período.
i) Qual a probabilidade de que você entre na sala quando
já está escura?
ii) Qual a probabilidade de você entrar na sala com a lâmpada ainda acesa e sair da sala depois da lâmpada queimar?
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Modelo Normal
Inicialmente, lembremos que:
Z ∞
√
2
e −x dx = π
−∞
2
−x
Como
f
(x)
=
e
√ é uma função par, temos que
Z +∞
π
2
e −x dx =
.
2
0
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Modelo Normal
Exemplo 7
2
− x2
Seja f (x) = ke , com x real. Determine o valor
de k de modo que f seja uma função densidade de
probabilidade.
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Modelo Normal
Exemplo 8
Sendo µ e δ, δ > 0, duas constantes dadas, mostre
que
Z +∞ (x−µ)2
1
−
√
e 2σ2 dx = 1
σ 2π −∞
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Modelo Normal
Definição 5
Dizemos que a variável aleatória contínua X tem
distribuição normal,
com média µ e
variância σ 2, σ > 0, se sua função densidade de
probabilidade for dada por
(x−µ)2
1
−
f (x) = √ e 2σ2 , x ∈ R
σ 2π
Notação: X ∼ N(µ, σ 2).
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Modelo Normal
Exemplo 9
Seja X ∼ N(µ, σ 2). Mostre que
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) independe de µ e de σ e
que seu valor é:
Z 1
2
2
− z2
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = √
e dz
2π 0
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Modelo Normal
Exemplo 10
Seja
Z uma variável aleatória dada por
X −µ
Z =
, onde X ∼ N(µ, σ 2). Mostre que
σ
Z ∼ N(0, 1). Dizemos que Z tem distribuição normal padrão.
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Modelo Normal
A função de distribuição acumulada de qualquer
variável aleatória é definida por
F (x) = P(X ≤ x)
No caso da densidade normal padrão, essa função
é dada pela integral:
Z x
z2
1
√ e − 2 dz
Φ(x) =
2π
−∞
para a qual não existe uma primitiva em forma de
função elementar.
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Modelo Normal
Assim, a função de distribuição acumulada da normal padrão é calculada por integração numérica.
Para completar o estudo da distribuição normal
padrão, é necessário calcular probabilidades de quaisquer eventos, tais como:
P(a ≤ Z ≤ b).
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Modelo Normal
Por definição da função de densidade, essa probabilidade, no caso da normal padrão, é dada por:
Z b
1 − x2
√ e 2 dx
P(a ≤ Z ≤ b) =
2π
a
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Modelo Normal
Por definição da função de densidade, essa probabilidade, no caso da normal padrão, é dada por:
Z b
1 − x2
√ e 2 dx
P(a ≤ Z ≤ b) =
2π
a
Como já dito, tal integral, que dá a área sob a curva
compreendida entre os pontos a e b não pode ser
calculada pelos procedimentos usuais. Veja a figura
abaixo.
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Modelo Normal
y
P(a ≤ Z ≤ b)
a
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b
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x
Modelo Normal
A dificuldade está no fato de que aqui não podemos
aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, já que
não existe uma função elementar cuja derivada seja
2
− x2
e . Assim, para calcular probabilidades do tipo
acima, é necessária a aplicação de métodos numéricos e esses métodos permitem tabular P(Z ≤ z)
para qualquer valor de z.
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Modelo Normal
Na Tabela 1 é dada a distribuição acumulada para
cada valor de z < 0 e na Tabela 2 para z > 0, ou
seja, é dado o valor:
Φ(z) = P(Z ≤ z).
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Modelo Normal
A partir de qualquer uma delas é possível calcular a probabilidade de qualquer evento associado à
distribuição normal padrão. Em ambas, a abscissa
z é apresentada com 2 casas decimais, sendo que
a casa inteira e a primeira casa decimal estão nas
linhas da coluna à esquerda e a segunda casa decimal está na linha superior da tabela.
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Modelo Normal
Exemplo 11
Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule P(0 ≤ Z ≤ 1).
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Modelo Normal
Exemplo 12
Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule P(1 ≤ Z < 2, 5).
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Modelo Normal
Exemplo 13
Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule P(−1 ≤ Z ≤ 0).
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Modelo Normal
Exemplo 14
Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule P(Z < −1).
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Modelo Normal
Exemplo 15
Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule P(−1 < Z < 2).
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Modelo Normal
Exemplo 16
Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule P(Z > 1, 5).
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Cálculo de probabilidades de uma variável normal
O resultado a seguir garante que probabilidades de
qualquer variável normal podem ser calculadas a
partir das probabilidades da normal padrão.
Vimos que se X ∼ N(µ, σ 2), então
X = µ + σZ , onde Z ∼ N(0, 1).
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Cálculo de probabilidades de uma variável normal
Vamos ver como utilizar esse resultado para calcular
probabilidades da normal. Temos que:
X −µ x −µ
≤
=
P(X ≤ x) = P
σ
σ
x −µ
=
= P Z≤
σ
x −µ
= Φ
σ
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Cálculo de probabilidades de uma variável normal
Exemplo 17
Seja Z ∼ N(2, 4). Calcule P(−1 ≤ X ≤ 5).
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Cálculo de probabilidades de uma variável normal
Exemplo 18
Seja X ∼ N(µ, σ 2). Calcule
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ).
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Cálculo de probabilidades de uma variável normal
Exemplo 19
Se X ∼ N(2, 9), encontre o valor de k tal que
P(X < k) = 0, 95.
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