Variáveis Aleatórias

Escola Superior de Tecnologia de Viseu
Fundamentos de Estatística – 2010/2011
Ficha nº 3
1. Considere os casais que têm 3 filhos e a experiência estatística em que se regista o sexo de cada
um dos 3 filhos por ordem crescente de idades. Estamos interessados no número de rapazes.
a) Defina uma variável aleatória (v.a.) apropriada e calcule a sua função de probabilidade.
b) Calcule P(X≥1), P(X<0), P(X≤0) e P(X≥0).
c) Calcule P(X<2X>1).
d) Calcule a função de distribuição.
e) Calcule E(X) e V(X).
2. Considere as situações seguintes. Defina, em cada caso, as variáveis aleatórias de interesse,
indique a sua gama de valores possíveis e classifique-a.
a) Contam-se as partículas emitidas por uma fonte radioactiva durante um determinado intervalo
de tempo;
b) Observa-se o tempo entre avarias de uma máquina em funcionamento numa fábrica;
c) Analisam-se os livros de 250 páginas para se determinar o número de páginas com erros;
d) Estima-se o consumo de gasolina de um determinado automóvel. Para isso, mete-se um litro de
combustível no tanque e regista-se a distância percorrida até a gasolina se esgotar. (Admitir que
não é razoável que essa distância exceda 50 km)
3. Seja X uma variável aleatória cuja função de probabilidade é dada na seguinte tabela:
x
f(x)
a) Calcule o valor de k.
0
k
1
2k
2
3k
b) Calcule P(X≥2), P(X<0), P(X≤0) e P(X≥0).
c) Calcule P(X<3X>1).
d) Calcule a função de distribuição F de X.
e) Represente graficamente f e F.
f) Calcule E(X) e V(X).
Página 1 de 7
3
k
c. c.
0
4. A loja de desporto do João vende máquinas de exercícios, bem como outros artigos de desporto.
Seja X o número de máquinas de exercício vendidas por dia. A função de probabilidade de X é
dada por:
Número de máquinas de
exercícios vendidas por dia
4
5
6
7
8
9
10
Probabilidade
0.08
k
0.14
0.19
0.23
0.16
0.09
a) Mostre que k = 0.11.
b) Calcule a função de distribuição cumulativa (distribuição) de X
c) Determine a probabilidade que o número de máquinas de exercícios vendidas num determinado
dia seja
i) maior que 8
ii) no máximo 6.
5. A variável aleatória X tem função de probabilidade dada por
f(x) =
k
, para x = 1, 3, 5, 15.
x
a) Calcule o valor de k.
b) Calcule a função de distribuição F de X.
c) Represente graficamente f e F.
d) Calcule P(X=5), P(3<X≤5) e P(X≤5).
e) Calcule E(X) e V(X).
6. Uma caixa contém 20 chips dos quais 6 são defeituosos. São extraídos, sem reposição, 2 chips, ao
acaso, da caixa. Seja X a v.a. que representa o número de chips defeituosos obtidos.
a) Construa as funções de probabilidade e de distribuição de X e represente-as graficamente.
b) Calcule a média e a variância de X.
7. Uma caixa contém 5 parafusos defeituosos e 5 não defeituosos.
Extraem-se 2 parafusos. Determine a função de probabilidade e a função de distribuição da v.a.
X: “Nº de parafusos não defeituosos obtidos”
a) Supondo haver reposição
b)Supondo não haver reposição
Página 2 de 7
8. Seja T a variável aleatória discreta com a seguinte função de distribuição
 0
1 / 2

F( t ) = 
3 / 4
 1
se
t < -2
se - 2 ≤ t < 0 .
se 0 ≤ t < 2
se
t≥2
a) Calcule a função de probabilidade f de T.
b) Calcule: P(T=1), P(T≤1), P(T>1), P(T≥2), P(T<2), P(0<T<2), P(0<T≤2) e P(1≤T≤2).
c) Determine a esperança e a variância de T.
9. A variável aleatória X é caracterizada pela seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.),
se
0,
1
f (x) = 
, se
6

se
0,
x < 0
0 ≤ x < 6
x ≥ 6
a) Mostre que f é, efectivamente, uma f.d.p..
b) Calcule a função de distribuição de X.
c) Determine P(X=2), P(1<X<2), P(1<X≤3), P(X>3), P(X≥1) e P(X≤4).
d) Determine a esperança e a variância de X.
e) Determine Var(3Y+5) onde Y=X/2.
10. O director de compras da empresa “Baratinho”, pretende definir uma política de aquisição de
matéria prima para o próximo ano. As necessidades de matéria prima por dia (em toneladas) são
uma variável contínua com função densidade de probabilidade:
0<x<k
1 − x 2
f ( x) = 
outros valores
 0
a) Mostre que k=2.
b) Esboce o gráfico de f(x).
c) Calcule a função de distribuição de X.
d) Calcule a P(1<X<2).
e) Determine a esperança e a variância de X.
f) Se se quiser que a probabilidade de ruptura da matéria-prima seja igual a 0.02, qual o nível de
abastecimento que deve ser assegurado diariamente?
Página 3 de 7
11. A variável aleatória X é caracterizada pela seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.),
0

 1/ 6

f (x) =  1
 6 ( x − 1)

0

se
x < 0
se
0 ≤ x < 2
se
2 ≤ x < 4
se
x ≥ 4
.
a) Mostre que f é, efectivamente, uma f.d.p..
b) Determine P(1<X<2), P(1<X≤3), P(X>3), P(X≥1) e P(X≤4).
12. O proprietário de um carro deseja vende-lo por 3750 euros e está a estudar a hipótese de fazer
publicidade, que lhe custará 250 euros. Se a probabilidade de ele o vender ao preço de 3750
euros sem publicidade for de 0.5 e com publicidade for de 0.9, deve ou não anunciar a venda,
sabendo que se não o vender pelo preço que estipulou à partida, vendê-lo-á a um amigo por 3250
euros.
13. Seja X uma v.a. que toma os valores {0, 1, 2, 3, x}, com x um valor desconhecido. Sabendo que
os valores de X são igualmente prováveis e que E(X) = 6, calcule x.
14. Considere uma v.a. X cuja função de probabilidade é dada na tabela seguinte
x
f(x)
0
f(0)
2
2/4
4
f(4)
6
1/8
c. c.
0
Sabendo que E(X) = 9/4, calcule f(0) e f(4).
15. Dois projectos de publicidade distintos, A e B, para um mesmo produto, estão a ser comparados
com base na receita prevista com a venda do produto publicitado. Os estudos de marketing
concluíram que a receita, optando pelo projecto A, é de $3 milhões (de dólares). No entanto, a
receita optando pelo projecto B é mais difícil de determinar. Sabe-se apenas que há uma
probabilidade de 0.3 de a receita ser igual a $7 milhões, e de 0.7 de a receita ser apenas de $2
milhões. Qual dos dois projectos será preferido, tendo em conta:
a) As receitas médias obtidas para os dois projectos;
b) A variabilidade apresentada pelas receitas nos dois projectos.
Página 4 de 7
16. O diâmetro, em mm, de uma peça produzida por determinada máquina é uma variável aleatória
real X, cuja função de distribuição é definida por,
 3a
 x2
 4
1
1
 x−
F (x) =  2
4
5
 1 2 3
− 4 x + 2 x − 4
b

3
se x < 0
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x < 2 .
se 2 ≤ x < 3
se x ≥ 3
a) Determine os valores das constantes a e b.
b) De entre as peças cujo diâmetro é superior a 0.5 mm, calcule a percentagem de peças com
diâmetro inferior a 1.5 mm.
17. Seja X uma variável aleatória real cuja função densidade de probabilidade é definida por,
1
 ( x + 2)
f (x ) =  8
 0
−2≤ x ≤ 2
.
caso contrário
a) Mostre que f é, efectivamente, uma densidade.
b) Calcule a função de distribuição de X.
c) Determine o valor de a, com a∈IR+, que verifica P(-a <X< a) = 1 .
2
d) Considere a variável aleatória Y =
X
. Calcule V(3Y+5).
2
Página 5 de 7
SOLUÇÕES DE ALGUNS DOS EXERCÍCIOS
1. a)
x
0
1
2
3
fX(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
b) 7/8, 0, 1/8, 1
c)0
 0
1 / 8

d) F ( x ) = 
4 / 8
7 / 8

 1
2.
se x < 0
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x < 2
se 2 ≤ x < 3
x≥3
a) X – nº de partículas radioactivas contadas; x={0, 1, 2, . . .}=IN0, v.a. discreta
b) X – tempo entre avarias; x=[0, +∞[, v.a. contínua
c) X – nº de páginas com erros; x=0, …, 250; v.a. discreta
d) X – distância percorrida com um litro de gasolina; x=[0, 50]; v.a. contínua
3.
a) k=1/7; b) 4/7; 0; 1/7; 1; c) 0.75
 0
1 / 7

d) F ( x ) = 
3 / 7
6 / 7

 1
se x < 0
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x < 2
se 2 ≤ x < 3
x≥3
f)11/7; 40/49
se x < 4
0
0.08 se 4 ≤ x < 5

0.19 se 5 ≤ x < 6

0.33 se 6 ≤ x < 7
4. b) FX ( x ) = 
0.52 se 7 ≤ x < 8
0.75 se 8 ≤ x < 9

0.91 se 9 ≤ x < 10
1
se x ≥ 10

5. a) k=5/8;
 0
15 / 24

b) F ( x ) = 
 20 / 24
 23 / 24

 1
c) i) 0.25
se x < 1
se 1 ≤ x < 3
se 3 ≤ x < 5 ;
ii) 0.33.
d)3/24,3/24,23/24; e)2.5,8.75
se 5 ≤ x < 15
x ≥ 13
Página 6 de 7
6 a)
x
0
1
2
fX(x)
91/190
42/95
3/38
E(X)=3/5;
Var(X)=0.4
1
se x < 0
0
 4 se x = 0 ∨ x = 2
1

 se 0 ≤ x < 1
7. a)
,
1
4
f X (x) =  se x = 1
F
(x
)
=

X
2
 3 se 1 ≤ x < 2
0 outros valores
4

1
se x ≥ 2


2
0
 9 se x = 0 ∨ x = 2
2


5
b) f (x) =  se x = 1
,
9

X
FX (x) = 
9
7
0 outros valores
9

1


se x < 0
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x < 2
se x ≥ 2
8. a)
t
-2
0
2
FT(t)
1/2
1/4
1/4
b) 0, 3/4, 1/4, 1/4, 3/4, 0, 1/4, ¼; c)-1/2, 2.75
9. b)
0
1
F (x) =  x
6
1
se x < 0
se 0 ≤ x < 6
c) 0; 1/6; 1/3; ½; 5/6; 4/6
d)E(X)=3; Var(X)=3
se x ≥ 2
0
2
10. c) F ( x ) = 
x − x / 4
1

se x < 0
se 0 ≤ x < 2
d) ¼
e) E(X)=2/3; Var(X)=2/9
se x ≥ 2
11. b)1/6, 5/12, 5/12, 5/6, 1
12. Não deve fazer publicidade.
13. x=24
14. f(0)=1/4, f(4)=1/8
15. a) É preferível o projecto B; b) É preferível o projecto A
16. a) a=0, b=3;
e) 27/4
b)7/15
se x < − 2
0

2
17. b) F ( x ) = 1 / 8 (x / 2 + 2 x + 2 ) se − 2 ≤ x < 2 ; c) a=1; d) 2
1
se x ≥ 2

Página 7 de 7
f) 1.72 toneladas