modelagem matemática caixa cinza da dinâminca de elastomassas

MODELAGEM MATEMÁTICA E ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE
GRANDEZAS ELÉTRICAS NO CIRCUITO RLC SÉRIE
Cleber Mateus Duarte Porciuncula1
Andre Luiz Bedendo2
1 Graduando
de licenciatura em Matemática – UNIJUÍ – [email protected]
2 Mestrando
em Modelagem Matemática – UNIJUÍ – [email protected]
Resumo: A crescente evolução do conhecimento da maneira como os materiais reagem à
eletricidade propiciaram ao Homem a elaboração de complexos sistemas de condução das cargas
elétricas. Esse desenvolvimento levou a grandes avanços tecnológicos, nos quais o circuito elétrico
teve participação fundamental. O circuito elétrico ou eletrônico é um determinado agrupamento de
componentes de comportamento elétrico bem definido e destinado à condução de cargas elétricas. O
comportamento idealizado dos circuitos é descrito por meio de modelos matemáticos. Por serem
fenômenos dinâmicos, estes comportamentos estão propícios à modelagem matemática e
computacional. Este trabalho apresenta a modelagem matemática de um circuito RLC série e seus
resultados simulados. Através da modelagem matemática deste circuito, que é baseada na lei das
tensões de Kirchhoff, chega-se a um modelo matemático que descreve o comportamento de algumas
grandezas elétricas em função do tempo. O objetivo proposto é verificar e analisar este
comportamento através de soluções gráficas originadas a partir de simulações computacionais. Para
isso, a simulação numérica do modelo foi implementada com o aplicativo computacional Simulink, ou
seja, software de simulação baseada na representação por esquemas de blocos que é uma extensão
gráfica da ferramenta computacional MATLAB. Utilizando o método de integração Runge-Kutta com
passo de integração de 0.0001 segundos durante as simulações, no primeiro momento é aplicada
uma tensão contínua, e posteriormente, uma tensão alternada senoidal no circuito. A partir de uma
análise das soluções gráficas geradas pelas simulações, conclui-se como se comportam as correntes
e tensões elétricas no circuito RLC série, bem como as defasagens existentes entres estas duas
grandezas, que são originadas a partir de propriedades elétricas presentes nos componentes do
circuito. O conhecimento dos comportamentos destas grandezas num circuito é de vital importância
para o desenvolvimento de novas tecnologias e aplicações nas áreas de engenharia elétrica e
eletrônica.
Palavras-Chave: Modelagem matemática. Circuito elétrico. Carga elétrica. Simulação.
1. Introdução
Em várias áreas da engenharia existe a necessidade da modelagem do
comportamento de algum sistema em termos matemáticos. Esta modelagem
começa com a identificação das variáveis que são responsáveis pelas mudanças de
estado no sistema e com hipóteses relacionadas ao sistema. O modelo matemático
é muitas vezes descrito por uma equação diferencial e espera-se que ele tenha uma
solução que descreva de forma mais próxima possível o comportamento do sistema
(ZILL; CULLEN, 2001).
Este trabalho apresenta a modelagem matemática de um circuito RLC série.
Através desta modelagem chega-se a uma equação diferencial linear de segunda
ordem que pode descrever o comportamento ou o estado das cargas e correntes
elétricas de um circuito elétrico RLC série. A partir da implementação desta equação
diferencial em diagrama de blocos na ferramenta computacional Matlab/Simulink,
são realizadas algumas simulações computacionais. Através dos resultados destas
simulações e sua análise, é possível concluir como se comportam algumas
grandezas elétricas nesta forma de circuito.
O trabalho está organizado da seguinte forma: na Seção 2 é apresentado o
estado da arte de uma solução existente. Na seção 3 é apresentada a modelagem
matemática do circuito RLC série. Na seção 4 são apresentados os resultados das
simulações computacionais, e finalmente na seção 5 é apresentada a conclusão
deste trabalho.
2. Revisão do estado da arte
O tema para este trabalho foi retirado do livro: Equações Diferenciais de
Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, onde um modelo matemático que descreve o
comportamento das cargas e correntes elétricas de um circuito RLC (i.e., Resistor,
Indutor e Capacitor) é citado.
Sistemas físicos em grande parte podem ser descritos por uma equação
diferencial linear de segunda ordem. Se i(t ) representa a corrente elétrica do circuito
elétrico RLC série, então, pela segunda lei de Kirchhoff, a soma da queda de tensão
sobre o resistor, sobre o indutor e sobre o capacitor é igual à voltagem aplicada a
um circuito, conforme pode ser representada pela seguinte expressão
L
di
dt
Ri
1
q
C
E (t ) .
Como a carga q (t ) no capacitor relaciona-se com a corrente i(t ) por i
(1)
dq
,
dt
desta forma a equação (1) torna-se a equação diferencial linear de segunda ordem
L
d 2q
dt 2
R
dq
dt
1
q
C
E (t ) .
(2)
.
Logo, está é a equação diferencial que descreve o comportamento elétrico de
um circuito RLC série (ZILL; CULLEN, 2001).
3. Modelagem matemática
Nesta seção é apresentada a modelagem matemática de um circuito elétrico
RLC série, que tem o objetivo de encontrar soluções gráficas que possam descrever
o comportamento das cargas e correntes elétricas neste circuito.
3.1. Descrição do problema e das hipóteses simplificadoras
Considerando uma tensão elétrica contínua ou alternada senoidal aplicada
num circuito RLC série, qual é o comportamento das cargas, correntes e tensões
elétricas neste circuito em função do tempo?
Hipóteses: as propriedades, ou seja, resistência, indutância e capacitância do
circuito são constantes.
3.2. Formulação matemática
Nesta subseção são destacados alguns conceitos importantes para a análise
do problema.
1º - Se Va e Vb são, respectivamente, os potenciais elétricos nos pontos a e
b de um circuito elétrico, a diferença de potencial entre estes pontos pode ser
denotada por Vab ou V (t ) . Normalmente, esta diferença de potencial V (t ) será
indicada com o sinal negativo, isto é:
Vab
V (t ) .
2º - A Intensidade da corrente elétrica é dada pela taxa de variação da carga
elétrica q em relação ao tempo t que atravessa uma seção transversal de um
condutor.
i
dq
.
dt
3º - A lei de Ohm diz que a diferença de potencial V nos terminais de um
resistor de resistência constante R submetido a uma corrente elétrica i , é dada por
V (t )
R i(t ) .
4º - A indutância L de um indutor é uma constante relacionada com a
diferença de potencial V e com a taxa de corrente elétrica em relação ao tempo.
Logo,
V (t )
L
di
.
dt
5º - A capacitância C de um capacitor submetido a uma carga elétrica q , com
uma diferença de potencial entre suas placas indicada por V , será dada por
V (t )
q
.
C
Conforme a lei das tensões de Kirchhoff, a soma algébrica das diferenças de
potencial numa malha fechada é zero (ZILL; CULLEN, 2001). Logo, o somatório das
quedas de tensão sobre o resistor R , sobre o indutor L e sobre o capacitor C , é
igual a tensão V (t ) , que é a tensão da fonte de alimentação do circuito RLC série.
Na Figura 1 está apresentado o circuito RLC série, com as suas respectivas quedas
de tensão.
Figura 1. Circuito RLC série
A partir da lei Kirchhoff, tem-se a equação
VL VR VC V (t ) ,
onde
VL L
di
;VR Ri;VC
dt
q
.
C
Desta forma,
L
di
dt
1
q V (t ) .
C
Ri
(3)
Considerando
i
dq
,
dt
e substituindo em (2), chega-se a
L
d 2q
dt 2
R
dq
dt
1
q V (t ) ,
C
(4)
onde:
L (indutância) é a propriedade que possui um indutor de gerar uma força
eletromotriz ( Fem), de auto-indução que se opõe às variações de corrente elétrica.
Sua unidade de medida é o Henry ( H ); R (resistência) é a propriedade que possui
um resistor de se opor a passagem de corrente elétrica. Sua unidade de medida é o
Ohm (
); C (capacitância) é a propriedade que possui um capacitor de armazenar
cargas elétricas. Sua unidade de medida é o Farad ( F ) e V (t ) é a diferença de
potencial aplicada no circuito elétrico.
A equação diferencial linear de segunda ordem (4), é a equação que será
implementada na forma de diagrama de blocos na ferramenta computacional
Matlab/Simulink para que sejam realizadas as simulações computacionais.
4. Simulações computacionais
Nesta seção são apresentadas as soluções gráficas obtidas a partir de
simulações do modelo matemático definido pela equação (4), que descreve o
comportamento das cargas elétricas num circuito RLC série. Estas simulações foram
realizadas na ferramenta computacional Matlab/Simulink.
O software Matlab é uma ferramenta desenvolvida pela
MathWorks
que
proporciona um ambiente de trabalho interativo com linguagem de programação
de alto nível, possibilitando ao usuário elaborar e solucionar tarefas complexas
de forma mais rápida, do que outras linguagens de programação como C, C++
e Fortran. Primeiramente, o principal objetivo do desenvolvimento da ferramenta
Matlab era de realizar cálculos matemáticos com matrizes. Atualmente a ferramenta
é utilizada nas áreas de educação, em especial no ensino da álgebra linear e análise
numérica (MATHWORKS, 2010).
O programa também dispõe de algumas extensões, conhecidas como
toolboxes ou blocksets, como o Simulink, o mais conhecido gerador de diagramas
do Matlab. A ferramenta Simulink é um ambiente de execução de simulações a partir
da construção de modelos de projeto, baseado em sistemas dinâmicos ou
embarcados. O ambiente de trabalho é gráfico e interativo, possibilitando ao usuário
criar suas próprias bibliotecas de blocos para efetuar simulações, implementações e
testes que demonstram o comportamento do sistema em relação à variação do
tempo (MATHWORKS, 2011).
4.1. Diagrama de blocos
O modelo matemático, na forma de diagrama de blocos, utilizado para realizar
as simulações computacionais é apresentado na Figura 2. As simulações foram
realizadas a partir da aplicação de dois tipos de tensões elétricas diferentes no
circuito. No primeiro momento foi aplicada uma tensão contínua, e posteriormente,
uma tensão alternada senoidal.
Os parâmetros utilizados nas simulações foram: V (t )
contínua e V (t )
de 0.5Hz , L
220 V para a tensão
220 V para a tensão alternada na forma senoidal com frequência
2 H , R 10
, C
0.04 F , q (0)
0 C e q ' ( 0)
2 A.
Figura 2. Diagrama de blocos utilizado para as simulações computacionais
4.2 Resultados de simulação
Os resultados simulados, a partir de uma tensão continua de 220 V aplicada
no circuito RLC série, são apresentados nas Figuras 3, 4 e 5.
Figura 3. Simulação do comportamento da carga e corrente elétrica em função do tempo
Figura 4. Simulação do comportamento das tensões elétricas sobre o indutor, resistor e capacitor
Figura 5. União das simulações das Figuras 3 e 4
Nas Figuras 6,7 e 8 são apresentados os resultados simulados, a partir de
uma tensão alternada senoidal de 220 V de amplitude e uma frequência de
0.5 Hz aplicada no circuito RLC série.
Figura 6. Simulação do comportamento da carga e corrente elétrica em função do tempo
Figura 7. Simulação do comportamento das tensões elétricas sobre o indutor, resistor e capacitor
Figura 8. União das simulações das Figuras 6 e 7
A partir da análise das soluções gráficas, pode-se observar comportamentos
diferentes das grandezas elétricas envolvidas, considerando tensões elétricas de
tipos diferentes aplicadas no circuito RLC série. Na próxima seção, todas as
conclusões obtidas a partir da análise das soluções gráficas geradas pelas
simulações computacionais são apresentadas.
5. Conclusões
Através dos resultados das simulações e sua análise, foi possível observar no
momento em que é aplicada uma tensão contínua num circuito RLC série, a
existência de circulação da corrente elétrica apenas durante o tempo necessário
para que o capacitor fique carregado. Logo, a circulação de corrente elétrica cessa
no momento em que o valor de tensão elétrica VC sobre o capacitor torna-se igual
ao valor da tensão elétrica V (t ) . Pode-se concluir então que o capacitor comporta-se
como um recipiente que vai armazenando carga elétrica em função do tempo, ou
seja, no instante inicial ele se comporta como um “curto-circuito” porque a corrente
elétrica é máxima no circuito, e logo em seguida, ele comporta-se como um
“isolante” no circuito, pois a corrente elétrica no circuito passa a ser zero. Antes do
capacitor se comportar como uma “isolante”, foi possível observar que a tensão
elétrica VR existe, pois há circulação de corrente elétrica no circuito. A tensão
elétrica VL quase atinge o valor de tensão elétrica V (t ) , no instante em que a fonte
começa a alimentar o circuito, pois é justamente neste instante inicial que há uma
brusca variação de corrente elétrica no circuito e por isto, a propriedade do indutor
de se opor as variações de corrente elétrica está mais presente.
Quando é aplicada uma tensão alternada no mesmo circuito, percebe-se que
há uma corrente elétrica alternada no circuito variando em função do tempo, logo é
possível
constatar
que
o
capacitor
está
permanentemente
carregando
e
descarregando-se. Ao analisar na solução gráfica os valores da tensão VC , verificase que o capacitor atinge o valor de tensão V (t ) na metade dos semi-ciclos
positivos. Já na metade dos semi-ciclos negativos, o capacitor também atinge o
valor de tensão elétrica V (t ) , mas negativo. As quedas de tensão VL e VR existem
já que há uma circulação de corrente variante no tempo no circuito.
Importante mencionar também outras características importantes observadas
quando é aplicada uma tensão alternada senoidal no circuito: a tensão e corrente
elétrica sobre o resistor não têm defasagem entre si com relação ao tempo; no
capacitor é possível notar que a corrente elétrica i tem um adiantamento de 90º em
relação à tensão VC ; no indutor nota-se o oposto, ou seja, a tensão VL está
adiantada 90º em relação à corrente elétrica i . Estes fenômenos indicam que tanto
o capacitor quanto o indutor, gera uma defasagem entre a tensão e a corrente
elétrica no circuito, quando este é alimentado por uma tensão alternada senoidal. E
esta defasagem ocorre devido às propriedades (capacitância e indutância) que estes
componentes possuem. Como trabalho futuro, pretende-se aplicar outros tipos de
tensões elétricas ao circuito RLC, objetivando a partir de novas simulações, analisar
o comportamento de suas grandezas elétricas.
Referências
AMALDI, Ugo. Imagens da Física. São Paulo: Scipione, 1997.
BASSANEZI, Rodney C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2. ed.
São Paulo: Contexto, 2004.
CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. As faces da Física. 3. ed. São Paulo:
Moderna, 2006.
MATHWORKS. MATLAB - The Language of Technical Computing. Disponível em:
<http://www.mathworks.com/products/matlab>. Acesso em: 29 nov. 2010.
MATHWORKS. Simulink - Simulation and Model-Based Design. Disponível em:
<http://www.mathworks.com/products/simulink>. Acesso em: 15 mar. 2011.
ZILL, Dennis G; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. 3.ed. São Paulo:
Pearson Makron Books, 2001. v. 1.