Conceitos Gerais

Capítulo
3
Processos de Estimação das Frequências Gênicas
Populações Biológicas
Uma espécie de reprodução sexuada pode ser compreendida como
um grupo de indivíduos que se intercuzam naturalmente. Boas Espécies
são aquelas populações isoladas reprodutivamente.
Uma unidade caracterizada como população biológica é um grupo
de indivíduos de uma mesma espécie vivendo em uma mesma área
geográfica.
O estudo genético de populações biológicas pressupõe condições
mais gerais sobre as populações diplóides de reprodução sexuada em
estudo para se estabelecer os processos de estimação dos parâmetros
populacionais.
As situações de espécies haplóides, poliplóides, de reprodução
assexuada são tratadas como casos particulares.
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
As condições gerais são:
1. Cruzamento ao Acaso. Ocorre quando cada
cruzamento ocorre
independente do genótipo de cada indivíduo da população. Cada
indivíduo tem a mesma chance de contribuir na descendência como
qualquer outro na população.
Uma população com cruzamento ao
acaso é denominada População Panmítica.
2. Tamanho Infinito. As populações em estudo devem ser grandes o
bastante para que o erro de amostragem seja desprezível. Um modelo
geral considera a população que preencha essas duas condições,
caracterizada como População Mendeliana..
O Princípio de Hardy-Weinberg
Um gene dominante pode ocorrer em baixa freqüência numa
população? Ou por outro lado a ocorrência de um gene de baixa
freqüência em uma população pode indicar que é recessivo? Não parece
lógico entendermos que um gene com baixa freqüência em uma população
seja necessariamente recessivo. Essa indagação pode ser melhor avaliada
através do seguinte problema: Em uma população de cobras a alta
freqüência de espécimens com listas pretas indica que esta característica
é determinada por um gene dominante?
2
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Parece que esta condição não nos permite concluir sobre o tipo de
herança. A baixa freqüência de um gene em uma população indica que a
maior parte dos cruzamentos ocorre entre indivíduos que não devem
portar esse gene e portanto a maior parte dos descendentes não
apresenta a característica relacionada a esse gene porque simplesmente
não possui o gene!
Hardy, em 1908 em uma correspondência enviada ao Science
(vol.XXVIII:49-50), discute as proporções mendelianas numa população
mista. Hardy, contra-argumenta críticas de Yule feitas no Proceedings of
the Royal Society of Medicine (Vol 1,p 165). Nesse trabalho, Yule
ponderava que se a braquidactilia fosse dominante, no curso do tempo e
na ausência de fatores atuando, seria esperada uma proporção de 3
braquidáctilos para cada pessoa normal. Hardy, em sua correspondência,
prova que tal expectativa é totalmente errada e apresenta o conceito de
frequências genotípicas esperadas no equilíbrio.
Supondo que estejamos estudando uma população diplóide de
reprodução sexuada com cruzamento ao acaso, se nenhum fator estiver
contribuindo para a mudança nas frequências gênicas de geração para
geração, sendo p a frequência do alelo A1 e q a frequência do Alelo A2
para um determinado locus gênico nessa população, na próxima geração
3
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
teremos as seguintes frequências genotípicas esperadas: p2 A1A1 , 2pq
A1A2 e q2 A2A2. Essas frequências genótípicas esperadas, são obtidas a
partir da combinacão aleatórea de gametas de machos e
fêmeas,
conforme mostrado na Tabela abaixo.
G. H. Hardy, matemático inglês e W. Weinberg, físico alemão, de
maneira independente, em 1908, chegaram às mesmas conclusões sobre
o equilíbrio gênico: Quando nenhum fator estiver atuando para causar
alteração nas frequência gênicas de geração para geração, está
estabelecido o equilibrio das frequência gênicas que permanecem então,
constantes de geração a geração.
Nessas condições, q = qi - qi-1 = 0, as frequências genotípicas
esperadas no equilíbrio, na próxima geração serão: p2 A1A1 , 2pq A1A2 e
q2 A2A2. A probabilidade de ocorrência de um dado genótipo tem portanto
nesse caso uma distribuição binomial. O modelo de combinação de alelos
na produção de genótipos pode ser expressa pela igualdade: (p+q)2 = p2 +
2pq + q2 = 1.
O Estado de Equilíbrio Gênico nas Populações
4
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Uma das propriedades do equilíbrio em uma população mendeliana,
para um loco autossômico com dois alelos (A1 e A2), pode ser obtida
algebricamente quando dispomos frequências no intervalo de 0 a 1 para
ambos os alelos e estimamos as frequências esperadas dos heterozigotos:
pA1
qA2
2pq
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1
0
0.18
0.32
0.42
0.48
0.5
0.48
0.42
0.32
0.18
0
2pq
2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
q
Frequência de heterozigotos (2pq), correspondente a cada valor a
frequência alélica de A2 (q).
Verificamos assim que o valor máximo de heterozigotos em uma
população em equilíbrio
é 0.5.
Podemos realizar essa demonstração
analiticamente considerando que a derivada de uma função no ponto
máximo é igual a zero.
d 2pq
e
= 0 no ponto máximo, obtendo essa derivada,
dq
d 2q - 4q2
d 2 (1-q) q
=
dq
= 2 - 4q = 0, assim
dq
5
Genética de populações
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4q = 2
p = q = 0.5, e 2pq no ponto máximo = 0.5
Consideremos o caso mais simples de um loco autosssômico com
dois alelos A1 e A2 em uma população mendeliana. Supondo que a
frequência do alelo A1 seja p e a do Alelo A2 seja q, vejamos qual será a
frequência
esperada
de
cruzamentos
aleatóreos
possíveis
nessa
população, considerando os três genótipos A1A1, A1A2 e A2A2:
Machos
2
p A1A1
p2 A1A1
Fêmeas
2pq A1A2
q 2 A2A2
p4
2p3q
p2q2
2pq A1A2
2p3q
4p2q2
2pq3
q 2 A2A2
p2q2
2pq3
q4
Considerando uma população mendeliana com as frequências totais
para cada tipo de cruzamento já determinadas na tabela anterior, podemos
então prever as frequências esperadas de descendentes na próxima
geração inclusive para cada tipo de cruzamento possível nessa população,
demonstrando-se com cruzamentos aleatóreos, que as frequências
genótipicas de A1A1, A1A2 e A2A2, esperadas na próxima geração serão
exatamente: p2, 2pq e q2. Podemos assim concluir que as frequências
genotípicas da próxima geração no equilíbrio em uma população
6
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
mendeliana dependem exclusivamente das frequências gênicas da
geração anterior.
CRUZAMENTOS
FREQUÊNCIA
DESCENDENTES
p2 A1A1
2pq A1A2
q 2 A2A2
1 A1A1 x A1A1
p4
p4
-
-
2 A1A1 x A1A2
4p3q
2p3q
2p3q
-
2 A1A1x A2A2
2p2q2
-
2p2q2
-
1 A1A2 x A1A2
4p2q2
p2q2
2p2q2
p2q2
2 A1A2 x A2A2
4pq3
-
2pq3
2pq3
1 A2A2 x A2A2
q4
-
-
q4
Total
1.0
p2
2pq
q2
p4 + 2pq3 + p2q2 = p2 ( p2 + 2pq + q2) = p2
2p3q + 4p2q2 + 2pq3 = 2pq (p2 + 2pq + q2) = 2pq
p2q2 + 2pq3 + q4 = q2 ( p2 + 2pq q2) = q2
Podemos também demonstrar numericamente, utilizando as informações
da tabela acima, para uma população mendeliana que não esteja em
equilíbrio, que se nada alterar as suas frequências gênicas, a partir dessa
geração, o equilíbrio gênico será alcançado imediatamente na próxima
geração, ou seja teremos as frequências genotípicas esperadas no estado
de equilíbrio segundo o princípio de Hardy-Weinberg. Seja uma população
mendeliana com p=0.4 e q=0.6, em que as frequências observadas de
A1A1 seja 0.05, a frequência de heterozigotos A1A2 seja igual a 0.70 e de
7
Genética de populações
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A2A2 seja 0.25. A frequência de heterozigotos observada indica que a
população não está em equilíbrio, pois está acima de 0.5.
CRUZAMENTOS
FREQUÊNCIA
DESCENDENTES
A1A1
A1A2
A2A2
= 0.0025
0.0025
-
-
2 A1A1 x A1A2
2 x 0.05 x 0.70 = 0.0700
0.0350
0.035
-
2 A1A1x A2 A2
2 x 0.05 x 0.25 = 0.0250
-
0.0250
-
1 A1A2 x A1 A2
0.70 x 0.70 = 0.4900
0.1225
0.2450
0.1225
2 A1A2 x A2 A2
2 x 0.70 x 0.25 = 0.3500
-
0.1750
0.1750
1 A2A2 x A2 A2
0.25 x 0.25 = 0.0625
-
-
0.0625
0.16
0.48
0.36
1 A1A1 x A1A1
0.05 x 0.05
Total
1.0000
Os resultados da tabela acima mostram que em uma população
mendeliana, mesmo que tenha sido originada em condições fora do
equilóbrio para um determinado loco com dois alelos como no exemplo
dada, essa população sem mudança nas frequências gênicas atingirá
imediatamente o equilíbrio na próxima geração, apresentando as
frequências de genótipos segundo o princípio de Hardy-Weinberg, p2
(0.16); 2pq (0.48) e q2(0.36).
Caso: Um loco Autossômico com dois Alelos Codominantes
8
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
A maioria dos organismos estudados pertencem a espécies cujos
indivíduos possuem em suas célula somáticas duas cópias de cada
cromossomo
e
possuem
vários
cromossomos
(macro
e
micro-
cromossomos), sendo cada par diferenciado pelo comprimento total,
comprimento de cada um dos dois braços, posição do centrômero, etc.
Essas populações são por isso chamadas diplóides, representadas
por 2n cromossomos. Existem ainda espécies cujas células somáticas de
cada indivíduo possui um único cromossomo de cada tipo, essas espécies
são chamadas de haplóides e são representadas por n cromossomos,
outras espécies ainda possuem em seu cariótipo cada tipo cromossômico
representado mais de duas vezes, são espécies poliplóides (triplóides 3n; tetraplóides - 4n, etc.).
Nos organismos diplóides estudados esses cromossomos são
constituídos de DNA associados a nucleoproteinas básicas as histonas e
às ácidas chamadas de não histonas. Uma grande parte do DNA dessas
espécies tem função desconhecida ainda, entretanto parte da sequência
desse DNA codifica para produtos finais como RNA e proteinas. Essas
sequências que codificam produtos específicos são denominados genes e
a região onde estão localizados correspondem aos loci gênicos. Para
uma mesma região (locus) podem ocorrem variações nas sequências do
9
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
DNA correspondendo a diferentes alelos de um mesmo gene. A origem
dessa variação na sequência do DNA ou de novos alelos é caracterizada
por mutação gênica e explicada por diferentes mecanismos ao nível
molecular, através da substituição de nucleotídeos de mesma tipo de base
(purinas por purinas ou pirimidinas por pirimidinas) constituindo o que é
chamado de transição ou através da substituição de diferentes tipos de
bases (purinas por pirimidina ou vice-versa), constituindo o que é chamado
de transversão.
O processo de estimação das frequências gênicas para o caso de
um loco autossômico com dois alelos codominantes, A1 e A2, é o caso
mais simples de estimação e pode ser utilizado na prática em estudos de
levantamento da variabilidade genética de populações naturais. Alelos
codominantes são aqueles que contribuem igualmente na produção do
fenótipo.
As
proteinas,
chamadas
por
Zuckerkandl
de
moléculas
semantoforéticas, por fornecerem de maneira indireta a informação sobre
a constituição genética, são formadas na sua estrutura tridimensional pelo
enrolamento de cadeias de amino ácidos, únicas ou combinadas e nesse
último caso, iguais ou diferentes nas sua sequênica, ligadas ou não a
grupos prostéticos. A sequência de amino ácidos, ou estrutura primária de
10
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
uma proteina, de cada cadeia que a compõe é produzida através da leitura
de um m-RNA ou RNA mensageiro ligado a ribosomas através de uma
série de reações bioquímicas que constitui a síntese proteica nas células,
seja no citoplasma seja nos mitocondrias. Essas proteinas podem portanto
ser o resultado do enrolamento de um único tipo de cadeia de
aminoácidos, chamadas de monômeros, e podem resultar do enrolamento
de duas cadeias produzindo os dímeros ou podem resultar do enrolamento
de 4 cadeias formando os tetrâmeros.
O estudo da variabilidade do padrão eletroforético de proteinas com
atividade catalítica, chamadas enzimas, permitiu um levantamento do grau
da variabilidade em populações naturais nas décadas de 1960 e 1970
alterando os conceitos até então vigentes de que populações naturais
eram pouco variáveis, isso baseado em características morfológicas.
Verificou-se inclusive a existência de espécies similares morfologicamente
mas com grande diferença nos níveis de variação para locos de alozimas e
em outras características como comportamento, isolamento reprodutivo,
chamadas de espécies cripticas. O levantamento de alozimas permitiu
reconhecer que enzimas de ciclos metabólicos eram mais conservativas
como algumas desidrogenases, alfa glicero fosfato desidrogenase, glicose
6 fosfato desidrogenase que enzimas periféricas como hidrolases
11
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
(esterases), fosfatases ( fosfatase alcalina, fosfatase ácida), catalases,
etc., muito mais variáveis.
Essas técnicas modernas de estudos de características genéticas
como as técnicas moleculares para identificação eletroforética de enzimas
(alozimas) permitem demonstrar que uma enzima dimérica pode ser
resultante do enrolamento de duas cadeias de aminoácidos iguais,
produzindo um único tipo de banda eletroforética (genótipo homozigoto) e
nos indivíduos heterozigotos por possuírem dois alelos diferentes que
codificam dois tipos de cadeias de aminoácidos, há a probabilidade de
ocorrer o enrolamento de duas cadeias iguais codificadas a partir de cada
um dos dois alelos, produzindo duas bandas, ou também há a
probabilidade do aparecimento de uma banda intermediária pelo
enrolamento de duas cadeias de amino ácidos diferentes, produzindo três
bandas eletroforéticas. A figura a seguir mostra o padrão eletroforético de
indivíduos homozigotos e heterozigotos para uma enzima.
1
2
3
4
5 6 7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 9 20 21 22
padrão eletroforético de ADH para 22 indivíduos amostrados de uma população.
12
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Os indivíduos 7,12,14,15,17,19-22, yem a banda mais rápida
somente, determinada pelo alelo F e são portantos homozigotos FF. Os
indivíduos 1,3,5,11 e 13 tem as duas bandas (rápida e lenta) possuem
portanto os alelos F e S e são heterozigotos FS. Os indivíduos 2,4,6,810,16 e 18 apresentam somente a banda lenta F e são assim homozigotos
SS.
Para enzimas teraméricas como as lactato desidrogenases verificouse que havia uma associaçào preferencial de sub-unidades de acordo
com o orgão ou tecido do indivíduo. Outro tetrâmero a Hemoglobina é
codificada pelo enrolamento de dois tipos de cadeias duas a duas. Na
espécie humana, na fase adulta predomina uma hemoglobina formada
pelo enrolamento de duas cadeias alfa e duas cadeias beta cada uma
determinada por alelo de um loco diferente. Quando ocorre uma mutação
no alelo do loco que forma a cadeia beta podemos ter a formação da
hemoglobina S, que na hemácea condiciona uma diferente tensão de
oxigênio dando não mais a forma oval da hemácea mas uma forma de
meia lua, tornando a hemácea frágil e rompendo-se facilmente. Na figura
abaixo mostramos como por eletroforese podemos distinguir essa forma
de hemoglobina.
13
Genética de populações
Tipos de HB
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
SeA
S
A
ORIGEM
GENÓTIPO
FENÓTIPO
siklemia/
normal
siklemia
normal
eletroferograma com amostras de hemoglobina de 3 tipos fenotípicos
Outras técnicas moleculares bem mais recentes, como a RFLP de
DNA, (polimorfismo de comprimentos de fragmentos de restrição de DNA),
permitem a detecção de alelos codominantes. Os fragmentos de restrição
de diferentes comprimentos reconhecidos por um gene probe,
são
dimórficos e codominantes por consequência: a partir de um fragmento
radiativo de dupla hélice de DNA, são produzidas duas cópias de DNA
simples radiativo de ambas a cadeias do fragmento marcado, para serem
14
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
usados como moléculas prova ou probes. O DNA probe que hibridiza ao
final 5'do gene da beta globina humana mostrado no diagrama abaixo,
pode ser um exemplo. Foi utilizado para identificação das peças de RFLP
a partir de membros de uma família humana, na qual a hemoglobina S
(HbS) que produz a anemia falciforeme ou siklemia , estava segregando. O
alelo para a hemoglobina normal (HbA) é cortado em três pontos por uma
enzima de restrição conforme indicado no diagrama abaixo. A mutação
que produz HbS, destrói um sítio interno de restrição assim que o gene da
HbS só é cortado em dois pontos. Assim o probe hibridiza para 1.15 KB de
fragmento de DNA de Hb A e hibridiza com 13.5kb de fragmento de DNA
de HbS.
LOCALIZAÇÃO DOS SÍTIOS DE RESTRIÇÃO
15
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Diagrama do padrão genotípico codominante de indivíduos homozigotos e heterozigotos A/A,A/S e S/S
quanto a produção de Hemoglobina A (Normal) e Hemoglobina S. No diagrma estão indicados a
localização dos sítios de restrição doa alelos A e S da cadeia beta de Hemoglobina e um heredograma
com o padrão de genótipos de RFLP de pais e descendentes.
Estimadores de Verossimilhança para as frequências de dois
codominantes em um loco autossômico:
alelos
São chamados de estimadores estatísticos M.L. (de Verosimilhança
Máxima) ou Maximum Likelihood Estimators.
Esses estimadores são
quase sempre suficientes, quase sempre eficientes e frequentemente os
mais eficientes e são usualmente (mas nem sempre) consistentes e não
viesados, alem disso eles permitem um modo de calcular a variância da
estimativa. Essa variância não é exata mas uma aproximação da variância
16
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
verdadeira. Esse é um aspecto de importância porque a variância permite
calcular um intervalo de confiança para as estimativas obtidas.
A principal desvantagem de uma abordagem M.L. deve-se ao fato
que as equações geradas por essa técnica são geralmente complicadas e
em muitos casos não podem ser resolvidas analiticamente. Um bom
exemplo é a estimação das frequências para alelos múltiplos de grupos
sanguíneos humanos do Sistema ABO. Para esse
loco ocorrem na
população humana, pelo menos três alelos. Nesse caso as equações de
M.L. não foram ainda resolvidas analiticamente!
O procedimento para estimação de M.L. é melhor ilustrado para o
caso apresentado ao lado de um loco autossômico com dois alelos
codominantes A1 e A2.
Segundo Hardy-Weinberg as probabilidades que qualquer indivíduo
na amostra sejam A!A1, A1A2 ou A2A2 serão p2, 2pq ou q2 respectivamente.
Observe-se que o parâmetro a ser estimado é a frequência gênica na
população. Designemos esse parâmetro p, onde q = 1 - p. Teremos um
só parâmetro a estimar; o outro é obtido diretamente pela subtração de 1.
Esse
parâmetro p será estimado a partir da informação contida na
amostra populacional, essa estimativa é então designada por p̂ .
GENÓTIPOS
17
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
N0 Total
A1 A1
A1 A2
A2A2
300
200
100
500
A
B
C
N
seja p a frequência do alelo A1 e
q
a frequência do alelo A2,
então
p + q = 1.0
2 x 300
p=
1 x 200
+
2 x 500
+
2 500
300
=
2 x 500
= 0.8
500
1 x 200
+
2 x 500
1 200
=
2 x 500
2 x 100
q=
300
1
200
+
500
= 0.2
2
500
A frequência obtida a partir de 300/500 e 100/500 indivíduos , são
as respectivas frequências dos genótipos homozigotos e 300/ 500 é a
frequência dos genótipos heterozigotos.
18
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Assim a frequência de um alelo pode ser expressa como igual a soma da
frequência de genópios homozigotos mais 1/2 da frequência de genótipos
heterozigotos!
A Fórmula Geral para estimação de p e q:
p = (2A + B) / 2N = A/N + 1/2 B/N
q = (2C + B) / 2N = C/N + 1/2 B/N
G1 = A/N
é a frequência genotípica de A1A1;
H = B/N é a frequência genotípica dos heterozigotos A1 A2;
G2 = C/N é a frequência genotípica de A2A2.
p = G1 + 1/2 H
q= G2 + 1/2 H
Se as probabilidades que qualquer indivíduo seja A1A1, A1A2 ou A2A2
são aquelas esperadas segundo o princípio de Hardy - Weinberg, a
probabilidade que nossa amostra contenha exatamente A indivíduos do
19
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
tipo A1A1, B indivíduos do tipo A1A2 e C indivíduos do tipo A2A2, será dada
por:
N!
( p2)A (2pq)B (q2)C
L =
A!
B!
(1)
C!
Esse é um termo da distribuição multinomial (trinomial). Isto porque
pressupõe-se que :
 O genótipo de qualquer
indivíduo na amostra é completamente
independente de qualquer outro.
 Os dados são discretos.
 A maioria dos dados encontrados em genética de populações tem
essas características e isso permite uma abordagem do M.L. com maior
facilidade..
A equação dada em (1) acima é conhecida como a Verossimilhança
("Likelihood") e é abreviada por "L"
ou "L(.)" onde "(.)" representa o
argumento neste caso "L(p)".
Poderia ser questionado se L é realmente uma probabilidade, assim
porque não a chamamos de probabilidade? Em senso isto é verdade, mas
é chamada de Likelihood porque queremos variar os argumentos (p) da
função até que ela seja maximizada. Se isso fosse probabilidade, os
20
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
argumentos seriam parâmetros e
como tais constantes incapazes de
variar. L neste caso é uma função da frequência gênica p e como tal nós
queremos maximizá-la, isto é maximizar nossas chances de tirar uma
amostra onde A indivíduos sejam do tipo A1A1, etc.
Consideremos o seguinte exemplo de amostra: com tamanho = 4
indivíduos:
4!
(p2)1 (2pq)2 (q2)1
L=
1! 2! 1!
Podemos então calcular
L para
L=
(12)
(4) p4diferentes
q4 = 48 valores
p4 q4 de p:
L
p = q = 0.5
p = 0.4
p = 0.7
dL/ dp = 0 no
ponto máximo
0.18750
0.15925
0.09335
(2)
21
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
O máximo de L ocorre com p=0,5. Para obter o ponto máximo de p
podemos
fazer isso
usando um cálculo simples, determinando a
primeira derivada de L em relação a p e igualando esse valor a 0 como
em (2). A equação obtida fica complicada. Uma simplificação importante
pode
ser
feita.
Quando
plotamos
o
gráfico
do
ln
de
L
contra p, ele terá uma forma diferente mas o ponto máximo de lnL
ocorrerá no mesmo lugar como o ponto máximo de L, e assim a estimativa
de p, p̂ será a mesma:
dln L
= 0
dp
Em nosso exemplo, a equação de L é dado em (1) , e
N!
LnL =
2B
ln
+ (2 A + B) ln p + ( 2C + B) lnq
A! B! C!
dln L
2 A+ B
=
dq
2C + B
+
1-q
q
dln L
com
= 0, temos que
dq
q ( 2A + B) = (1-q) ( 2C + B) e assim
^
q =
2C + B
22
2N
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Uma das principais vantagens do método ML é a possibilidade de
estimar a variância do estimador. A sua demonstração analítica é dada
por R.A. Fisher.
A variância da estimativa ML do parâmetro  é dada por:
d2 LnL
^
V (  ) ~ -E
-1
d LnL
2 -1
= -E
d
d
2
Determinação da variância da estimativa da frequência gênica para o
caso de um loco autossômico com dois alelos codominantes:
se
ln L = ln ( constante) + (2A + B) ln p + (2C + B) ln q
d ln L
(2 A + B)
=
-
(2C + B)
+
dq
1-q
q
segue que
d2 ln L
2A + B
=
-
dq
2C + B
+
(1-q)
2
q2
O valor esperado de (2 A + B) = 2Np e o
valor esperado de (2 C
+ B) = 2Nq . assim,
d2 ln L
dlnL
2C + B
23
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
quando
2
dq
= 0 , isto é quando
q=
dq
d2 ln L
- E
2N
2N ( 1-q)
+
2Nq
=
2N
=
2
2
dq
2
(1-q)
q
2N
+
p
q
pq
e portanto
 p=
2
2N
Teste de Equilíbrio segundo Hardy-Weinberg para um loco com dois alelos
codominantes.
Teste da Verosimilhança máxima ( G2 )
Se uma população em Equilíbrio segundo Hardy-Weinberg for
amostrada várias vezes, e o G2 calculado a cada vez, os valores
observados de G2 terão distribuição 2.
Exemplo (in Lynch, M. & Walsh,B., 1997): Fisher & Ford (1947)
estudaram a frequência de indivíduos da mariposa Panaxia dominula para
três padrões de coloração de asa que através de experimentos de
cruzamento, determinaram serem devidos a dois alelos segregando em
um loco gênico.
24
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
FENÓTIPO
GENÓTIPO
Tamanho amostral
Frequência
Padrão de Cor
medionigra
B1B2
078
0.079
dominula
B1B1
905
0.918
bimacula N
B2B2
003
986
0.003
pB1 = 0.918 + 1/2 (0.079) = 0.9575
qB2 = 1-0.9575 = 0.0425
Frequência esperada:
B1B1
B1B2
B2B2
0.95752
= 0.9168
2 (0.9575) (0.0425) = 0.0814
0.04252
= 0.0018
1.0000
Valores Esperados no equilíbrio
B1B1
p2 * N = (0.9168) ( 986) = 903.9
B1B2 2pq * N = (0.0814) (986) = 80.3
B2B2
q2 * N = (0.0018) (986) = 1.8
Teste G:
1. Hipóteses
H0: O = E (A população possui o número observado para
cada genótipo dentro das frequência esperadas no equilíbrio segundo o
Princípo de Hardy-Weinberg.)
Ha: O  E
( A população não está em equilíbrio.)
2.  = 0.05
3. Valor crítico do teste
2tab ( =0.05; GL = número de classes genotípcas - número de alelos = 3-2 =1) = 3.841
3
4. G calculado: G calc. = - 2 [  Obsi ln (Espi/Obsi)] , onde i = 1,3.
1
25
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
G = -2 { 905 ln (903.9/905) + 78 ln (80.3/78) + 3 ln (1.8/3)}
= -2 ( -1.1 + 2.3 - 1.5) = 0.6
5. Decisão:
G calc. = 0.6 < 2 tab (0.05, gl=1) = 3.841 logo aceito H0: O = E,
6. Conclusão:
Se a população tem os números de genótipos observados dentro
daqueles esperados segundo o princípio de Hardy - Weinberg, somos
inclinados a aceitar que essa população está em equilíbrio gênico, para o
loco estudado (P<0.05).
Estimadores de Verosimilhança para um loco autossômico com dois
alelos, um dominante e um recessivo:
Consideremos o modelo:
GENÓTIPOS
AA
Aa
aa
D
R
Valor Observado
1-q2
Frequência esperada
Total
N
q2
N!
(1-q2) D + (q2)R
a função de verosimilhança será: L =
D! R!
N!
+ D ln (1-q2 ) + R ln (q2)
lnL = ln
D! R!
dln L
- 2q D
+
R2q
=
,
2
dq
(1-q )
q
2
dln L
se
= 0 no ponto máximo
26
1
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
dq
-2qD
-2Rq
=
logo
1-q2
-2Dq3 = -2Rq + 2Rq3
q2
-2Dq3 - 2Rq3 = -2Rq e
mas D+R = N
-2q3 (D+R) = -2Rq
e,
R
3
2
q N = Rq, q =
^
obtendo-se
q = q/N
N
Novamente podemos obter a variância desse estimador ML:
obtendo a Segunda Derivada,
d2 ln L
-2 (1-q2 ) D + 4q2 D
=
2R
(1)
-
2
2 2
dq
q2
(1-q )
^
E ( D ) = N( 1-q 2 )
^
E(R)= Nq2
Substituindo em (1) os valores de D e R obtemos
1-q2
2
q
=
=
4N
p2
pq
+
2N
4N
Comparando as estimativas de frequências gênicas, com ausência
de dominância e com dominância para um loco com dois alelos, podemos
27
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
a partir de gráfico comparativo de 2q versus q, verificar que quando q é
> 0.5 não se perde muito em precisão, quando se pressupõe dominância.
Entretanto há uma perda de grande precisão se q é pequeno e muito
menor que 0.5. Em termos práticos para se estabelecer um delineamento
experimental essas informações podem ser úteis. No caso de dominância
podemos detectar os heterozigotos somente após uma série de
cruzamentos-teste, por exemplo. Se temos uma informação a priori que a
frequência de um gene recessivo é alta, então a estimativa de q em
amostras populacionais será bem precisa e não precisaremos distinguir os
heterozigotos.
28
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Estimação da Frequência gênica a partir de dados de Combinação
Geração parental e Geração Filial através de estimadores de
verosimilança.
Existem quatro tipos de combinações possíveis, pai e filhos, pai e
filhas, mãe e filhos, mãe e filhas. Entretanto como refere Li (1968) as mais
referidas na literatura são as combinações mãe e seus filhos/filhas,(MF).
A Tabela abaixo apresenta as frequências de combinações MF em
uma população com cruzamento ao acaso:
Tabela
de cruzamentos ao acaso considerando genes codominantes e sua
respectiva frequência de descendentes.
Mãe
Descendentes
A1A1
A1A2
A2A2
Total
p2
A1A1
(1) p3
(2)p2q
-
A1A2
(3)p2q
(4)pq
(5) pq2
A2A2
-
(6)pq2
(7) q3
Total
p2
2pq
q2
29
2pq
q2
1.0
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
A Tabela anterior mostra as sete combinações MF , possíveis e pode
ser construída quando levamos em conta a frequência de cruzamentos
com o genótipo conhecido da mãe e de seus descendentes, considerando
todos os tipos de genótipos para os pais como segue :
Descendentes
Mãe
Pai
p2 A1A1 x p2
A1A1
A1A1
p4+ p3q= p4+p3(1-p)= p4+p3-p4=p3
2pq A1A2
q2
A1A2
p3q +p2q2 = p2q (p+q)= p2q
A2A2
A2A2
p3 + p2q = p2(p+q) = p2
Total
A1A1
2pq A1A2 x p2 A1A1
p3q + p2q2 = p2q
x 2pq A1A2
A1A2
x q2 A2A2
p3q + 2p2q2+ pq3 = pq(p2+2pq+q2)=pq
A2A2
p2q2+pq3= pq2(p+q)=pq2
p2q + pq + pq2 = pq + pq (p+q) = 2pq
Total
A1A1
2
2
q A2A2 x p
A1A1
-
x 2pq A1A2
x q2
A1A2
p2q2 + pq3 = pq2(p+q)= pq2
A2A2
A2A2
3
pq + q = q3(p+q)= q3
Total
4
2
pq + q3 = q2 ( p+q) = q2
Quando existe dominância completa, as combinações MF , ficam
reduzidas a quatro possibilidades conforme a Tabela abaixo:
Mãe
Descendentes
A_
aa
30
Total
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
A_
pq2
p( 1 + pq)
pq2
aa
p2 + 2pq
Total
p2 + 2pq
q3
q2
q2
1.0
A frequência dos descendentes produzida por tipo de cruzamento
será:
Mãe
A_
Descendentes
A_
Pai
x
p3 + p2q + p2q + pq
A_
= p2 (p+q) + p2q + p (1-p)
aa
= p2 + p2q + p - p2
= p2q + p = p ( 1 + pq)
aa
pq2
p (1+ pq) + pq2 = p + p2q + pq2 = p ( 1+ pq + q2)
Total
= p ( 1 + (1-q) q + q2 ) = p ( 1 + q - q2 + q2 )
= p(1+q) = p ( p+q+q) =
p2 + 2pq
lembrar que:
(p + q) = 1 ou
p2 + 2pq = p ( p + 2q) = p ( 1-q + 2q ) = p(1+q)
A_
aa
x
A_
pq2
aa
aa
q3
Total
pq2 + q3 = q2 (p+q) = q2
31
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Estimativa de verossimilhança das frequências gênicas utilizando as
combinações MF, para alelos codominantes conforme Li (1968).
Mãe
Descendentes
MN
NN
a2
a4
a5
a6
a7
MM
a1
a3
-
MM
MN
NN
Total de
a1 + a3
Descendentes
a2 +a4 +a6
Total de
Mães
a1 + a2
a3 + a4 + a5
a6 + a7
a5 + a7
G
A aplicação do método da verosimilhança máxima para a estimativa
das frequências gênicas aplicada às combinações individuais a1a2,...,a7
com as suas respectivas probabilidades dadas na tabela anterior
de
frequências possibilita obter:
L = a1 log p3 + (a2+ a3) log p2q + a4 log pq + (a5+a6) log pq2 + a7 log q3
Simplificando a expressão, lembrando que log p2q = 2log p + log q,
etc,
L = B log p + C log q
onde B = 3a1 + 2 (a2 + a3) +
e
a4 + (a5 + a6)
C = ( a2+ a3) + a4 + 2 (a5+a6) + 3a7
Observe que B + C = 3G - a4
32
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
derivando no ponto máximo:
dL/dp= 0 e resolvendo para p temos:
p = B / B+C = 3 a1 + 2(a2 + a3) + a4 + ( a5 + a6) / 3G - a4
Vp = pq / B + C = pq / 3G - a4 Onde vP é a variância de p.
Testando se a ocorrência de dominância é correta para um loco com dois
alelos a partir de uma amostra populacional.
Quando só temos dois fenótipos para uma característica, podemos
utilizar as taxas de Snyder para confirmar a hipótese de dominância em
um loco com dois alelos. Isso requer dados de duas gerações. Observe as
frequências de cruzamentos:
FÊMEAS
MACHOS
DOMINANTE (D)
RECESSIVO ®
DOMINANTE (D)
DxD
DxR
RECESSIVO (R)
DxR
RxR
Os cruzamentos D x D encerram:
Cruzamento Frequência
AA x AA
AA x Aa
Aa x Aa
Total
4
p
4p q
4p2q2
p2 (1+q2)
3
Frequência de Descendentes
D
p4
4p3q
3p2q2
p2(1+2q)
R
2 2
pq
p2q2
p4+4p3q+3p2q2 = p2(p2+ 2pq+q2+2p3q+2p2q2) = p2(1+2pq+2q2) = p2( 1+ 2(1-q)q+2q2)
33
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
= p2(1+2q-2q2+2q2) = p2(1+2q)
p4 + 4p3q + 4p2q2 = p2 (p2 + 4pq+ 4q2) = p2 ( p2 + 2pq + 2pq + q2 ) = p2 (1+q2)
(lembrar que p2 + 2pq +q2 = 1)
Os cruzamentos D x R ocorrem duas vezes mais que os outros dois
tipos, veja na tabela anterior.
Cruzamento Frequência
2 AA x aa
2 Aa x aa
Total
2p2q2
4pq3
2pq2(1+q)
Frequência de Descendentes
D
R
2 2
2p q
2pq3
2pq3
2pq2
2pq3
2p2q2 + 4pq3 = 2pq2 (p+2q) =2pq2 ( p+q+q) = 2pq2(1+q)
2p2q2 + 2pq3 = 2pq(pq+q2) = 2pq(q(p+q) = 2pq(q) =2pq2
Os cruzamentos R x R ocorrem:
Cruzamento Frequência
aa x aa
q4
Total
q4
Frequência de Descendentes
D
R
-
q4
q4
34
-
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Na Tabela que se segue, estão as frequências de descendentes dos
cruzamentos acima:
Frequência de cruzamentos e de seus descendentes em uma população
considerando uma característica determinada por um loco autossômico com dois alelos
(A e a)
Cruzamentos Frequência
Descendência
D
R
DxD
p2 (1+q)2
p2(1+2q)
p2q2
DxR
2pq2(1+q)
2pq2
2pq3
RxR
q4
1
Total
p2 + 2p2q+2pq2
= p2 + 2pq(p+q)
= p2 + 2pq
q4
p2q2 + 2pq3+q4
=q2 (p2 + 2pq+ q2)
=q2
Pela Tabela anterior vemos que a frequência de descendentes
recessivos em relação ao total de descendentes para cruzamentos DxD e
DxR são respectivamente:
Cruzamentos D X D
S2 = p2q2 / p2(1+2q)+ p2q2
= p2q2 / p2 + 2p2q + p2q2
35
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
= p2q2 / p2 (1 + 2q + q2)
= q2 ( 1+q)2
Cruzamentos D x R
S1 = 2pq3 / 2pq2 + 2pq3
= 2pq3 / 2pq2 (1+q)
= q / (1+q)
Essas frequências esperadas de descendentes recessivos referentes
aos cruzamentos D x D (S2) e D x R (S1), são chamadas taxas de Snyder,
onde o subscrito indica o número de pais com fenótipo dominante na
famílias.
S2 = q2 / (1+q)2
S1 = q/ 1+ q
Exemplo:
Dados de famílias (in Li,1968), para sensibilidade a feniltiocarbamida (PTC)
36
Genética de populações
Cruzamento
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
n0 de
famílias
Sensível x Sensível
425
Sensível x Insensível
289
Insensível x Insensível
86
Total
Descendência
Sensível Insensível Total
929
130
1059
483
800
1412
278
761
218
218
626
2038
Considerando o total geral das duas gerações temos 2 x 800 casais
= 1600 indivíduos na geração 0 somados aos 2038 descendentes da
geração 1, totalizando 3638 indivíduos.
Se temos um total de 289 + (2 x 86) indivíduos com genótipo
recessivo (ff) da geração 0 acrescidos a 626 da geração 1, temos um total
de 1087 indivíduos recessivos em uma amostra conjunta de 3638
indivíduos.
Considerando p e q as frequências gênicas dos alelos F e f,
respectivamente para sensibilidade e insensibilidade a feniltiocarbamida,
podemos estimar q, a partir da frequência genotípica de pp:
q2 = 1087/3638 = 0.2988
q = 0.5466 e p = 0.4534
Obtendo as taxas de Snyder temos:
S1 = q/ 1+ q
S2 = q2 / (1+q)2
37
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
S1 = 0.5466/ 1.5466 = 0.3534
S2 = 0.2988/(1.2988)2 = 0.1249
S1 e S2 são respectivamente as frequências genotípicas esperadas
de descendentes recessivos, dos cruzamentos
DxR
DxD
Comparando S1 = 0.3534 com a frequência observada de
descendentes recessivos de
D x R = 278/761 = 0.3653 e
S2 =
0.1249, com a frequência observada de descendentes recessivos de D x D
= 130/1059 = 0.1228 podemos chegar a conclusão que os valores
observados estão dentro daqueles esperados e portanto suportando a
hipótese
de
dominância
para
feniltiocarbamida (PTC).
38
a
herança
da
sensibilidade
a
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Frequências Gênicas para alguns locos em populações humanas.
1. Sistema MN de Grupos Sangüineos.
Apresenta uma herança de dois alelos codominantes em um único
locus. Utilizando anticorpos anti-M e anti-N, podemos tipar os indivíduos
conforme segue:
Tipo
Reação com
sanguíneo
anti-M
Genótipo
anti-N
M
+
-
MM
N
-
+
NN
MN
+
+
MN
Na Tabela a seguir estão as frequências de fenótipos, genótipos e
gênicas para o Sistema MN de Grupos Sangüíneos em diferentes
populações humanas.
39
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
GENÓTIPOS
Pop.
Australiano
Aborígene
Norte Americano
(E.U.) Nativo
Norte Americano
(E.U.) Preto
Norte Americano
(E.U.) Branco
Esquimó
Alemão
Brasil
(ManausAmazonas)
MM
MN
NN
0.0301
0.2959
0.6740
(0.0317)
(0.2936)
(0.6757)
0.6000
0.3512
0.0488
(0.6002)
(0.3476)
(0.0502)
0.2842
0.4964
0.2194
(0.2830)
(0.4980)
(0.2180)
0.2916
0.4938
0.2146
(0.2900)
(0.4970)
(0.2130)
0.4763
0.4314
0.1013
(0.4665)
(0.4330)
(0.1005)
0.3062
0.4913
0.2025
(0.3047)
(0.4946)
(0.2007)
0.4040
0.3689
0.2271
(0.3481)
(0.4838)
(0.1681)
pM
qN
0.1780
0.8220
0.7760
0.2240
0.5320
0.4680
0.6830
0.3170
0.6830
0.3170
0.5520
0.4480
0.5900
0.4100
3. Sistema Ss de Grupos Sangüíneos.
Apresenta um padrão de herança de dois alelos S e s com anticorpos
anti-S e anti-s.
O loco do Sistema Ss está ligado ao Locus do Sistema MN de
Grupos sanguíneos, com localização no cromossomo 4. Os alelos desses
dois sistemas
produzem antígenos
( glicoporfirinas A e B)
que são
polipeptídeos. Esses dois locos estão muito próximos e apresentam um
padrão de herança denominado de ligação gênica:
40
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Na Tabela Abaixo apresentamos as frequências Gaméticas para os
locos ligados do Sistema MN e SS de grupos Sangüíneos em várias
populações.
Pop.
Gametas
MS
Ms
NS
Ns
Ainu
0.024
0.381
0.247
0.348
Inglaterra
0.247
0.283
0.080
0.290
Indios
Navajos
0.185
0.702
0.062
0.051
Paquistão
0.177
0.405
0.127
0.291
Brasil*
(Amazonas)
0.205
0.400
0.104
0.291
Uganda
0.134
0.356
0.071
0.438
* dados estimados a partir das informações gentilmente cedidas pelo HEMOAM-AM (1999), considerando
(l=1.0).
Para outros Sistemas de Grupos Sanguíneos na população do Amazonas
foram encontrados as seguintes frequências Gênicas: (dados gentilmente
cedidos pelo HEMOAM-AM-1999).
Sistema Kidd::
Genótipos
N0 Observado
Jka jka
626
Jka jkb
986
Jkb jkb
475
Total
2087
Sistema Lewis:
41
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
N0 Observado
Genótipos
Le-a Le-a
165
Le-a Le-b
20
Le-b Le-b
1455
Total
1640
4. Erros inatos do Metabolismo.
Algumas alterações em caminhos metabólicos devido a uma forma de
alelo alternativa, explicam certas doenças humanas.
Observe-se o ciclo metabólico da Tirosina:
Nesse ciclo alterações em pontos diferentes do ciclo podem promover
anomalias hereditárias como:
1. fenilcetonúria
2. albinismo
3. alcaptonúria.
Podemos ainda observar outros exemplos de erros inatos ao
metabolismo como a Intolerância a Lactose.
A fenilcetonúria (PKU), é devida a um alelo autossômico recessivo
que causa uma deficiência de enzima fenil-alanina hidroxalase, que
converte fenil-alanina em tirosina. Homozigotos para o alelo recessivo
terão retardo mental se não forem diagnosticados ao nascer e passarem a
receber uma dieta pobre em fenil-alanina. A análise molecular revela que
existe mais que um tipo de alelo recessivo que levam a perda da função
por diferentes rotas.
Pop.
Suiça
Indivíduos
com
PKU
1/30.000
(0.000033)
Indivíduos heterozigotos Freq. do alelo
com alelo p/PKU
p/ PKU
42
0.012
0.0058
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
DiLella et al., 1986 refere que cerca de 38% dos alelos para PKU na
população holandesa tem idênticos mapas de restrição de alta resolução.
Esses alelos apresentam uma junção de corte anormal intron-exon. Ainda
refere que outros 20% dos alelos PKU são caracterizados por causarem a
substituição de um único aminoácido na cadeia polipeptídica. Na Tabela
anterior são mostradas as frequências de genótipos de indivíduos
homozigotos para PKU e inivíduos heterozigotos carregadores do gene
para PKU.
O Albinismo que caracteriza a ausência de formação de melanina,
também é determinado por um gene recessivo, devido a deficiência de
uma enzima, a tirosinase que catalise a transformação de tirosina em 3,4
43
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
dihidroxifenilalanina (DOPA) ou do DOPA em melanina, em uma
sequência de reações cuja deficiência de enzimas nesses passos também
impede a produção de melanina.
A alcaptanúria, foi primeiro descrita por um cientista inglês estudadndo
as causas de doenças hereditárias humanas, Sir Archibald Garrod,
predizendo que os indivíduos afetados com alcaptanúria seriam deficientes
em uma das enzimas do ciclo degradativo da fenilalanina-Tirosina.
Ele sugeriu que a deficiência de uma enzima específica envolvida na
degradação do ácido homogentísico (ácido homogentísico oxidase) era
responsável pelo acúmulo nas células e consequente excreção pela urina
desse ácido que deveria ser degradado normalmente até fumarato e
acetato.
No esquema abaixo verifica-se que a nítida deficiência na enzima acido
homogentísico oxidase em pacientes com alcaptanúria quando comparada
a indivíduos normais.
ATIVIDADE ENZIMÁTICA
INDÍVÍDUOS:
NORMAIS
ALCAPTANÚRICOS
Fenil-Alanina
Fenil-Alanina Hidroxilase
Tirosina
Tirosina Transaminase
Ácido Hidróxido Fenil Pirúvico
3.6
3.2
6.7
4.6
Ác. HFP Oxidase
Ácido Homogentísico
26.8
Ác. Homogentísico Oxidase
44
< 0.0048
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Ácido Maleilacetoacético
960
Ác. Maleilacetoacetico Isomerase
780
Ácido Fumarilacetoacético
29
Ác. Fumarilacetoacético Hidrolase
22
Fumarato + Acetoacetato
Na figura abaixo podemos observar pedigrees para casos de
alcaptonúria.
A Intolerância a Lactose é uma doença causada por um alelo
recessivo e conforme as estimativas do NIDDK ( National Institute of
Diabetes and Digestive and Kidney Diseases e o NIH entre 30 a 50
milhões de americanos são intolerantes a lactose. Isso inclui a intolerância
a Lactose que afeta 75% de americanos-africanos e 90% de americanos
nativos-asiáticos.
Frequência e Distribuição de Intolerância a Lactose
População
Indivíduos Examinados
Suécia
Austrália
(Europeus)
160
Suíça
% de Intolerantes Freq. do Alelo
2%
0.140
4%
0.200
10%
0.316
Americanos
(Caucasianos)
245
12%
0.346
Finlândia
134
18%
0.424
20%
0.447
África
(Tussi)
45
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
África
(Fulani)
23%
0.480
Estudos Unidos
(Pretos)
20
75%
0.870
Austrália
(Aborígenes)
44
85%
0.922
África
(Bantu)
59
89%
0.943
China
71
93%
0.964
Tailândia
134
98%
0.990
24
100%
1.000
Estados Unidos
(Indios)
Dados obtidos de http://wsrv.clas.virginia.edu, referidos com obtenção em parte do artigo de
Norman Kretchemer,1972. "Lactose and lactase", Scientific American.
Estimação das Frequências Gênicas, para Genes Ligados ao
Cromossomo X.
Quando estivermos estudando alelos localizados no cromossomo X
devemos perceber que a apresentação dos genótipos para esse tipo de
herança é diferente nos homens e nas mulheres. Na população de homens
esse alelo ocorre em hemizigose (XA1Y, XA2Y) enquanto que na população
de mulheres ocorrem em homozigose (XA1XA1, XA2XA2) ou em heterozigose
(XA1XA2).
Nesse
caso
precisamos
estimar
as
frequências
gênicas
separadamente na população de homens e na população de mulheres.
Vejamos o seguinte exemplo:
Homens
Freq. Genotípica Observada
XA1Y
200
XA2Y
800
0.2
0.8
46
Mulheres
XAXA1 XA1XA2 XA2XA2
600
200
200
0.6
0.2
0.2
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Observe que na populacão de homens a frequência genotípica
observada de XA1Y é igual a 0.2 e de XA2Y 'igual a 0.8. Como cada homem
só possui em seu genótipo um alelo XA1 ou XA2, as frequências desses
alelos nessa população de homens, p(XA1) e q(XA2) serão iguais às
respectivas frequências genotípicas, 0.2 e 0.8.
Para estimar as frequencias gênicas de p(XA1) e q(XA2) na população
de mulheres que tem genótipos homozigotos e heterozigotos procede-se
de maneira similar a estimação da frequência gênica para alelos
autossômicos, onde p (XA1) = frequência de genótipos homozigotos
(XA1XA1) + 1/2 da frequência dos genótipos heterozigotos (XA1XA2) = 0.6 +
1/2( 0.2) = 0.7 e q(XA2) = frequência de genótipos homozigotos (XA2XA2) +
1/2 da frequência de genótipos heterozigotos(XA1XA2) = 0.2 + 1/2 (0.2) =
0.3
Estimadas as frequências dos genes nos homens e mulheres devemos
procurar saber se essa população está em equilíbrio. A condição de
equilíbrio ou seja de que não haja mudança nas frequências gênicas de
geração para geração é que a frequência do alelo XA1 nos homens seja
igual a frequência desse mesmo alelo nas mulheres o mesmo
acontecendo com o outro alelo XA2.
No exemplo dado portanto como pmachos (0.2)  pfêmeas (0.7) e
qmachos (0.8)  qfêmeas (0.3)
concluímos que essa população não está em equilíbrio.
47
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Qual seria então a frequência em equilíbrio para o alelo XA1? Podemos
definir a frequência em equilíbrio para XA1 como a frequência média da
população total. Essa frequência estimada, deve ser ponderada pelo
número de genes que cada sexo contribui na formação do seu genótipo.
Assim p
médio
= 2/3 pfêmeas + 1/3 pmachos e q
médio
= 2/3 qfêmeas + 1/3
qmachos.
No exemplo dado:
pmédio = 2/3 (0.7) + 1/3 (0.2) = 0.0.46667 +0.0667  0.5333
qmédio = 2/3(0.3) + 1/3 (0.8) = 0.2 + 0.2667 0.4667
Quantas gerações seriam necessárias para que uma população que
não tem as frequências em equilíbrio, atinja o equilíbrio se nenhum gene
estiver sendo eliminado ou aumentado na população?
Para isso precisamos calcular as frequências de homens e de mulheres
nas próximas gerações.
Sabemos por demonstração algébrica e numérica que para genes
autossômicos, isso ocorre imediatamente na geração seguinte. Com genes
ligados ao sexo devido a segregação diferente na formação dos gametas
masculinos e femininos isso não é verdadeiro.
Observemos que a frequência dos genes dos homens da próxima
geração dependerá exclusivamente da frequência dos genes das mulheres
da geração anterior pois somente elas fornecem gametas portando
cromossomo X para os descendentes masculinos e os homens da geração
anterior só fornecem o cromossomo Y para formar o genótipo de
descendentes em relação a esse tipo de loco.
48
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Assim no exemplo dado consideremos as frequências do gene XA1 da
população atual como da geração 0:
geração
pmachos
pfêmeas
0.7
d
0
0.2
0.50
1
0.7
1/2(0.2+0.7)= 0.45
0.25
2
0.45
1/2(0.7+0.45)= 0.575
0.125
3
0.575
1/2(0.45+0.575)= 0.5125
0.0625
4
0.5125
1/2(0.575+0.5125)=0.54375
0.03125
5
0.54375 1/2(0.5125+0.54375)=0.528125
6
0.528125 1/2(0.54375+0.528125)=0.5359375 0.0078125
0.015625
Podemos verificar pelo exemplo acima que o equilíbrio teoricamente
somente seria alcançado no infinito pois na série real a metade de um
número real sempre será um número real. O equilíbrio somente seria
alcançado quando a diferença entre as frequências gênicas de machos e
fêmeas (d) for igual a zero, isso somente seria possível no infinito.
Entretanto na prática em 5-6 gerações as diferenças são tão pequenas
que podemos dizer que d0!
49
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Estimação das Frequências Gênicas, Considerando Dois Locos
Gênicos.
Supondo dois Locos com dois alelos cada um:
loco A: alelos A e a.
loco B: alelos B e b.
Sejam as frequências dos alelos A e a do loco A, p e q
respectivamente.
Sejam as frequências dos alelos B e b do loco B, r e s
respectivamente.
Para estimar as frequências genicas,
observados
de
uma
amostra
populacional,
a partir dos valores
para
os
genótipos
considerando dois locos gênicos, podemos construir uma matriz zigótica.
50
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
As frequências de cada genótipo nessa matriz devem ser ponderadas
pela probabilidade relativa de ocorrência na descendência, supondo uma
população mendeliana (com cruzamentos aleatóreos).
Observe as possibilidades dos cruzamentos:
GAMETAS
machos
Fêmeas
AB
Ab
aB
ab
AB
AABB
AABb
AaBB
AaBb
Ab
AABb
AAbb
AaBb
Aabb
aB
AaBB
AaBb
aaBB
aaBb
ab
AaBb
Aabb
aaBb
aabb
Observe que todos os genótipos homozigotos para os dois locos
ocorrem um vez em relação aos outros, os genótipos de heterozigotos
para ambos os locos ao mesmo tempo ocorrem 4 vezes e os demais
genótipos, homzigotos para um loco e heterozigoto para outro ocorrem
duas vezes.
51
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Para construir a matriz zigótica de frequências genotípicas devemos
considerar a linha para a variação de genótipos do loco A e a coluna para
a variação de genótipos do loco B.
Z=
z11 AABB
z12 AABb
z13 AAbb
z21 AaBB
z 22 AaBB
z23 Aabb
z31 aaBB
z32 aaBb
z33 aabb
onde a matriz gamética
g11AB g12Ab
G =
é uma matriz quadrada 2x2
g21aB
g22ab
Existem duas situações a considerar.
Supondo associação independente entre os dois locos (os locos estão
localizados em diferentes cromossomos.
Nesse caso a estimativa das frequências gaméticas serão:
g11 =
z11 + 1/2 (z12 + z21) + 1/4 z22
g12 =
z13 + 1/2 (z12 + z23) + 1/4 z22
52
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
g21 =
z31 + 1/2 ( z21+ z32) + 1/4 z22
g22 =
z33 + 1/2 ( z23 + z32) + 1/4 z22
Para verificarmos se esta população se encontra no equilíbrio,
podemos observar se não existe desequilíbrio gamético, obtendo o
determinante de G, (D).
Quando D=0, então a população apresenta equilíbrio para estes dois
locos.
Quando D0 então a população não está em equilíbrio!
Exemplo 1. Considere dois locos com associação independente
Supondo que dois locos enzimáticos produzam respectivamente
enzimas do tipo A e do tipo B conforme o eletroferograma da figura abaixo, vamos considerar os fenótipos para as enzimas controladas pelos locos A
e B em 100 indivíduos amostrados de uma população mendeliana.
loco A
loco B
o
+
5
10
5
15
20
15
53
15
10
5
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Observe que para o loco A os primeiros 5 indivíduos são
homozigotos AA e para o loco B também são homozigotos BB, produzindo
para cada loco um único tipo de enzima do tipo A ou do tipo B. Os
seguintes 10 indivíduos apresentam para o loco A homozigose mas para o
loco B heterozigose, Bb (pois apresentam dois tipos de enzima B). Note
também que 20 indivíduos amostrados são heterozigotos para ambos os
locos, AaBb, pois produzem dois tipos de enzimas A e dois tipos de
enzimas B. A caracterização de locos eletroforéticos para enzimas tem
sido amplamente utilizada para estudos de variabilidade populacional
embora atualmente marcadores genéticos enzimáticos tenham sido
preteridos por marcadores de DNA que fornecem informações
mais
diretas sobre a variabilidade genética de populações.
Do exemplo acima, as frequências relativas de zigotos podem ser
expressas na matriz abaixo:
Z=
0.05
0.10
0.05
0.15
0.20
0.15
0.15
0.10
0.05
e por conseguinte as frequências de gametas podem ser estimadas como
segue:
g11 (AB) = 0.05 + 1/2 (0.10 + 0.15) + 1/4 (0.20) = 0.2250
54
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
g12(Ab) = 0.05 + 1/2 (0.10 + 0.15) + 1/4 (0.20) = 0.2250
g21(aB) = 0.15 + 1/2 (0.15 + 0.10) + 1/4 (0.20) = 0.3250
g22(ab) = 0.05 + 1/2 (0.15 + 0.10) + 1/4 (0.20) = 0.2250
obtendo-se então a matriz gamética:
0.2250 0.2250
G =
0.3250 0.2250
estimando o Determinante de G temos:
D = (0.2250) ( 0.2250) - (0.2250) (0.3250) = 0.0225
Como D0, podemos supor que a população apresenta desequilíbrio
gamético logo não está em equilíbrio para os dois locos considerados.
As frequências dos genes A e a , B e b são estimadas por:
loco A:
p = g11 + g12
q = g21 + g22
loco B:
r = g11 + g21
s = g12 + g22
Desse modo podemos estimar no exemplo dado:
LOCO A
p = 0.225 + 0.225 = 0.45
LOCO B
r = 0.225 + 0.325 = 0.55
55
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
q = 0.325 + 0.225 = 0.55
s = 0.225 + 0.225 = 0.45
Para determinar a frequência de zigotos na próxima geração
considerando cruzamento aleatório, podemos indicar na matriz Z1, a partir
das combinações das frequências dos gametas produzidos na geração
atual (Z0):
g112
Z1 =
g122
2(g11) (g12)
2(g11)(g21)
2[ (g11) (g22) + (g12) (g21)]
g212
2 (g12) (g22)
g222
2( g21) (g22)
Com a matriz G do exemplo dado acima, podemos determinar Z1:
0.2252
Z1 =
2 (0.225) (0.225)
2 (0.225) (0.325)
2[ (0.225) (0.225) + (0.225) (0.325)]
0.3252
Z1 =
2 (0.325) (0.225)
0.050625
0.101250
0.050625
0.146250
0.247500
0.101250
0.105625
0.146250
0.050625
56
0.2252
2 (0.225) (0.225)
0.2252
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Essas frequências esperadas na próxima geração são aquelas
esperadas no equilíbrio? O equilíbrio é atingido em 1 geração?
Para que possamos responder essa questão precisamos obter a
matriz zigótica com as frequências esperadas no equilíbrio.
Se as frequências gênicas estimadas são p e q para o loco A e r e s
para o loco B, podemos dizer que a matriz gamética no equilíbrio será:
pr
ps
qr
qs
Ge =
0.2475
0.2025
0.3025
0.2475
e se no exemplo Ge =
Observe que o determinante da matriz gamética no equilíbrio, D=0!
Com os valores das frequências gaméticas no equilíbrio podemos agora
obter Ze!
Ze =
0.06125625
0.1002375
0.04100625
0.14973750
0.245025
0.10023750
0.09150625
0.14973750
0.06125625
57
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Podemos observar comparando Z1 com Ze que o equilíbrio não foi
alcançado na geração seguinte! Comparações estatísticas podem ser
realizadas através do teste de bondade de ajuste do modelo de 2 ou G.
Exemplo 2. Locos ligados.
Considere o número observado de indivíduos para o Sistema MNSs de
Grupos Sanguíneos na população de Manaus (AM) e de Outros Estados
(OE), tipados pelo HEMOAM-AM:
Número
Frequência genotípica
Fenótipo Observado
AM
Observada
OE
AM
OE
MMSS
105 031
0.0505 0.0405
MMSs
339 107
0.1630
0.1397
MMss
318 111
0.1529
0.1449
MNSS
093 038
0.0447
0.0496
MNSs
416 146
0.2000
0.1906
MNss
481 208
0.2312
0.2715
NNSS
016
010
0.0077
0.0131
NNSs
101
040
0.0486 0.0522
NNss
211 075
0.1014 0.0979
Total
2080 766
Total geral: 2846
58
1.0000
1.0000
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
Podemos então construir Z a partir da amostra populacional de AM:
teremos:
z11 é a frequência genotípica de MMSS
z12 é a frequência genotípica de MMSs
z13 é a frequência genotípica de MMss
z21 é a frequência genotípica de MNSS
z22 é a frequência genotípica de MNSs
z23 é a frequência genotípica de MNss
z31 é a frequência genotípica de NNSS
z32 é a frequência genotípica de NNSs
z33 é a frequência genotípica de NNss
A partir dessa matriz zigótica podemos extrair a matriz de frequências
gaméticas:
g11 será a frequência de gametas MS
g12 será a frequência de gametas Ms
g21 será a frequência de gametas NS
g22 será a frequência de gametas Ns
logo Z, a matriz zigótica é uma matriz 3x3
59
Genética de populações
z11 z12
Z =
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
z13
z21 z22 z23
z31 z32 z33
Podemos escrever Z para a população de Manaus (AM) assim:
Z=
0.0505
0.1630
0.1529
0.0447
0.2000
0.2312
0.0077
0.0486
0.1014
Supondo que a intensidade de ligação entre esses dois locos é igual
a 0.94 então a frequência de recombinação entre esses dois locos será
c=0.06.
Para se obter as frequências gaméticas de dois locos ligados é
necessário considerar l, a intensidade de ligação para as frequências de
gametas parentais e c, a frequência de recombinação, para
recombinantes.
Assim:
g11(AB) = z11 + 1/2 ( z12 + z21 ) + 1/2 l ( z22)
g12(Ab) = z13 + 1/2 ( z12 + z23 ) + 1/2 c (z22)
g21(aB) = z31 + 1/2 ( z21 + z32 ) + 1/2 c (z22)
g22(ab) = z33 + 1/2 ( z23 + z32 ) + 1/2 l (z22)
no exemplo dado:
g11 = 0.05050 + 0.10385 + (0.47) (0.2) = 0.24835
g12 = 0.15290 + 0.19710 + (0.03) (0.2) = 0.35600
g21 = 0.00770 + 0.04665 + (0.03) (0.2) = 0.06035
60
gametas
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
g22 = 0.1014 0 + 0.13990 + (0.47) (0.2) = 0.33530
Estimando as frequências gênicas:
pM = 0.24835 + 0.35600 = 0.60435  0.6
qN = 0.06035 + 0.33530 = 0.39565  0.4
rS = 0.24835 + 0.06035 = 0.3087  0.3
ss = 0.35600 + 0.33530 = 0.6913  0.7
O determinante de G  0.06, logo a população apresenta um
desequilíbrio gamético!
A matriz zigótica na próxima geração Z1 será:
Z1 =
0.062
0.177
0.127
0.030
0.209
0.239
0.004
0.040
0.112
A matriz gamética no equilíbrio será:
0.18
0.42
0.12
0.28
Ge =
E a matriz zigótica no equilíbrio será:
61
Genética de populações
Ze =
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
0.03
0.15
0.18
0.04
0.20
0.24
0.01
0.07
0.08
Estimação das Frequências Gênicas para casos de Polialelia.
Observe a figura abaixo onde no eletroferograma podemos distinguir
três alelos na população amostrada:
+
ao-11 ao-11
ao-11 ao-10.5
ao-11 ao-10.8
ao-10.8 ao-10.8
ao-10.8 ao-10.5
ao-10.5 ao-10.5
240
(0.48)
20
(0.04)
10
(0.02)
90
(0.18)
80
(0.16)
60
(0.12)
Na figura acima estão representados fenótipos eletroforéticos
correspondendo a bandas de enzimas do tipo aldeidooxidas, e assinalados
acima de cada banda o genótipo correspondente a um loco (AO-1) com
três alelos (ao-11, o alelo mais comum, ao-10.8 e o alelo ao-10.5) presentes
62
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
nesta população. abaixo de cada fenótipo estão assinalados o número de
indivíduos encontrados com cada fenótipo eletroforético dessa enzima em
amostra de 500 indivíduos.
Supondo que nessa espécie a aldeido oxidase é controlada por um
loco autossômico com 3 alelos codominantes, podemos estimar as
frequências desses 3 alelos assim:
pao-11 = frequência de homozigotos ao-11 ao-11 + 1/2 ( frequência dos
heterozigotos que portam o alelo ao-11).
qao-10.8 = frequência de homozigotos ao-10.8 ao-10.8 + 1/2 ( frequência dos
heterozigotos que portam o alelo ao-10.8).
ra0-10.5 = frequência de homozigotos ao-10.5 a0-10.5 + 1/2 ( frequência dos
heterozigotsos que portam o alelo ao-10.5).
p = 0.48 + 1/2 ( 0.18 + 0.16 ) = 0.65
q = 0.04 + 1/2 ( 0.18 + 0.12 ) = 0.19
r = 0.02 + 1/2 ( 0.16 + 0.12 ) = 0.16
total ...................................... = 1.00
As frequências esperadas no equilíbrio são obtidas a partir da expansão
do trinômio: (p+q+r)2 = p2 + q2 + r2 + 2pq+2pr+2qr = 1
ao-11 ao-11
ao-10.8 ao-10.8
p2
q2
= 0.4225
= 0.0361
63
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
ao-10.5 ao-10.5
r2 =
ao-11 ao-10.8
2pq =
1
0.5
ao-1 ao-1
2pr =
0.8
0.5
ao-1 ao-1
2qr =
total ............................. =
0.0256
0.2470
0.2080
0.0608
1.0000
O teste de equilíbrio pode ser feito, obtendose os valores absolutos
esperados para cada genótipo e comparando com os valores observados.
Os testes do Qui-quadrado ou G de verosimilhança podem ser utilizados
para se aceitar ou regeitar a hipótese de estado de equilíbrio.
Observado
ao-11
ao-10.8
ao-10.5
ao-11
ao-11
ao-10.8
Total
ao-11
ao-10.8
ao-10.5
ao-10.8
ao-10.5
ao-10.5
Esperado
p2N
q2N
r2N
2pqN
2prN
2qrN
240
20
10
90
80
60
500
211.25
18.05
12.80
123.50
104.00
30.40
500.00
Partindo de uma hipótese inicial h0 : O=E ( a população está em
equilíbrio e portanto não devem existir diferenças relevantes entre o
número observado de genótipos e o número esperado no equilíbrio).
1. hipóteses a serem testadas:
h0: O=E
ha: OE
64
Genética de populações
Luiz Alberto dos Santos Monjeló
2. nível de  = 0.05
graus de liberdade = n0 de genótipos - n0 de alelos = 6-3 = 3
4. Estatística do teste:
Utilizar o teste G de verossimilhança que transforma o conjunto de dados
para uma distribuição Qui-quadrado.
O limite do teste será portanto dado pelo 2tabela ( =0.05 ; gl=3) = 7.52
Se Gcalculado  2tabela ( =0.05 ; gl=3) = 7.52, aceitamos H0;
caso contrário regeitamos H0 e aceitamos Ha.
Gcalc. = -2 [ 240 ln ( 211.25/240) + 20 ln ( 18.05/20) + 10 ln (12.8/10)
+ 90 ln ( 123.5/90) + 80 ln (104/80) + 60 ln (30.4/60)]
= -2[-30.62 -2.05+2.47+28.47+20.99-40.79] = 43.06
5. Decisão
G=calculado = 43.06 2tabela ( =0.05 ; gl=3) = 7.52, logo regeito h0 e aceito Ha.
5. Conclusão sobre o teste
Considerando que através do teste de bondade de ajuste realizado com o
teste G de verossimilhança, encontramos diferenças relevantes entre o
observado e o esperado somos inclinados a concluir que a população não
está em equilíbrio para o loco analisado com 3 alelos (P<0.05).
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Genética de populações
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Um caso especial de polialelia corresponde a estimação das
frequências gênicas para o Sistema ABO de grupos sanguíneos na
população humana onde de maneira gera; temos dois alelos codominantes
IA e IB e um alelo recessivo aos demais representado por I0 ou i.
Assim os fenótipos A, correspondem ao conjunto de indivíduos que
apresentam genótipos IAIA homozigotos ou heterozigotos IAIO.
A
B
AB
O
- IAIA ou IAI0
- IBIB ou IBI0
- IAIB
- I0I0
Se consideramos p a frequência gênica de IA, q a frequência gênica
de IB e r a frequência gênica de I0, no equilíbrio esperamos ter as
frequências genótípicas iguais a:
IAIA IAI0 I0I0 IBIB IBI0 IAIB
(p+q+r)2 = p2 + 2pr + r2 + q2 + 2qr + 2pq = 1
onde p+q+r = 1
Para estimar as frequências gênicas podemos utilizar o seguinte
artifício de cálculo:
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Genética de populações
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Frequência Observada
A = 0.15
B = 0.32
AB = 0.04
O = 0.49
Se consideramos as frequências de fenótipos B + O temos na
B
O
realidade q + 2qr + r2 = (q + r)2
2
assim extraindo a raiz quadrada de B + O temos q + r.
se p+q+r = 1 então p = 1- (q+r) ou
p =1 -  (B+O)
da mesma forma
q = 1-  (A+O)
r = O
No exemplo temos então:
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Genética de populações
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p = 1-  0.32 + 0.49 =
1 -  0.81 = 0.1
q = 1-  0.15 + 0.49 =
1 -  0.64 = 0.2
r =  0.49 = 0.7
Existem casos em que o somatório de p + q + r  1, nesses casos é
preciso efetuar a correção das frequências gênicas através do fator de
correção de Bernstein.
O conjunto de dados abaixo corresponde a uma amostra da
população do Amazonas, tipada para o Sistema ABO de grupos
sanguineos. Nessa amostra estão incluídos indivíduos nascidos no
Amazonas e em outros estados em muito menor proporção mas que
compõem a estrutura populacional do Estado do Amazonas.(dados
gentilmente cedidos pelo HEMOAM-AM) em 1999.
A
B
AB
O
total
Freq. abs. Freq. relativa
476
0.3049
143
0.0916
29
0.0186
913
0.5849
1561
1.0000
p(IA) = 1- (0.0916+0.5849) = 1- 0.6765 = 0.1775
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Genética de populações
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q (IB) = 1 - (0.3049+0.5849) =1 -  0.8898= 0.0567
r (I0) =  0.5849 = 0.7648
como p+q+r = 0.999, temos que realizar uma correção através das
fórmulas de correção de Bernstein.
primeiro acha-se d = 1-  (p+q+r)
aplica-se então esse valor nas fórmulas de correção:
p' = p (1 + 1/2 d)
q'= q ( 1+ 1/2 d)
r'= (r+1/2 d) (1+ 1/2 d)
Nesse exemplo d= 0.001
p'= 0.1775 (1.0005) = 0.1776
q'= 0.0567 (1.0005) = 0.0567
r'= (0.7648+0.0005) ( 1.0005) = (0.7653) (1.0005) = 0.7657
onde agora p'+ q'+ r'= 1.0
As frequências corrigidas são as estimativas das frequências gênicas
para a amostra da população do Amazonas.
Precisamos agora calcular as frquências genotípicas esperadas no
eqilíbrio:
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Genética de populações
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IAIA p'2 = (0.1776)2 = 0.0315
IAI0 2p'r'= 2 (0.1776) (0.7657) = 0. 2720
IBIB
q'2 = (0.0567)2 = 0.0032
IBI0 2q'r' = 2 (0.0567) (0.7657) = 0.0868
IAIB 2p'q' = 2 (0.1776) (0.0567) = 0.0202
I0I0
r'2 = (0.7657)2 = 0.5863
Onde o somatório das frequências genotípicas ;e também igual a
unidade.
Com as frequências genotípicas esperadas no equilíbrio obtida pela
expansão do trinômia (p+q+r)2 , podemos obter o número esperado para
cada classe fenotípica e comparar estes valores com os valores
observados através de um teste de bondade de ajuste que pode ser o
teste G de verosimilhança.
Nesse caso como temos dominância incompleta, só trabalhamos com as
classes fenotípicas:
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Genética de populações
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Observado
Esperado
A
476
(p2 + 2pr) N = (0.0315 + 0.2720) 1561 = 473,8
B
143
(q2 + 2qr) N = (0.0032 + 0.0868)1561 = 140.5
AB
29
O
913
(2pq) N = (0.0202) 1561 = 31.5
(r2) N = (0.5863) 1561 = 915.2
1) H0 : O = E
Ha : O  E
2)  = 0.05 e gl = 4 classes - 3 alelos = 1
O limite do teste é o 2 tabela (  = 0.05 e gl = 4 classes - 3 alelos = 1) = 3.841
3) Estatística do Teste:
Gcalc = -2 [ 476 ln ( 473.8/476) + 143 ln (140.5 / 143) + 29 ln (31.5/29)
+ 913 ln ( 915.2/913)]
= -2 (-2.21 -2.52 + 2.40 + 2.20) = 0.26
4) Decisão
Gcalc. = 0.26 < 3.84 logo somos inclinados a aceitar a H0 : O = E.
4) Conclusão
De acordo com o teste G de verossimilhança realizado, somos
inclinados a aceitar a hipótese que a população está em equilíbrio em
relação ao locos do Sistema ABO de grupos sanguíneos, segundo o
Princípio de Hardy & Weinberg.
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