Apostila FEE - FireSafetyBrasil

Fundamentos da Engenharia Econômica
Professor Ivan Faccinetto Böttger
2012
Profº Ivan Faccinetto Böttger
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Ouvimos constantemente frases como estas:
“Vou depositar meu dinheiro na poupança” ou “Vou aplicar meu dinheiro em ações para render
juros!”
A Matemática Financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro, fornece instrumentos
para analisar alternativas para aplicações, empréstimos e pagamentos
1. PORCENTAGEM
É a razão centesimal ou percentual onde o consequente (Valor total) é igual a 100%
A expressão “por cento” que costuma ser usada na linguagem comum, é indicada pelo símbolo
%.
POR QUE USAMOS
A PORCENTAGEM ???
Exemplo: Nos 2 estados abaixo, qual tem a maior taxa de analfabetismo?
DADOS
Estado A – População – 900 mil
Analfabetos – 180 mil
Estado B – População – 500 mil
Analfabetos – 150 mil
180
A=
∗100 = 20%
900
B=
150
∗100 = 30%
500
A principio, pensamos que o estado A teria a maior taxa de analfabetos, mas quando
analisamos em porcentagem, estamos comparando com o valor total dos habitantes de cada
estado, sendo que o estado B, é o que tem a maior taxa de analfabetismo.
Acréscimos(Multas ou Impostos) e Descontos:
P=Po(1+ i)
Acréscimo
P=Po(1- i)
Desconto
*** Reparem no sinal***
P: Valor Final Po: Valor Inicial i:Taxa
OBS: Para a resolução usamos sempre o valor da Taxa em decimal (25% = 0,25)
Em Abril de 1998, o salário mínimo estava fixado em R$ 120,00. Em maio desse mesmo
ano, teve um aumento de 8,33%. Qual o novo valor do salário mínimo?
Temos Po = 120,00 ; i = 8,33% = 0,0833. Sendo assim, aplicando a fórmula:
P=Po (1+ i) = 120.(1 + 0,0833) = 120.(1,0833)= 130
Portanto, houve um acréscimo de R$ 10,00 e o salário passou a ser de R$ 130,00.
Quanto devo pagar uma mercadoria que custa R$ 54,00 mas está sendo vendida na loja
com 15% de desconto ?
Profº Ivan Faccinetto Böttger
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Temos Po = 54,00 ; i = 15% = 0,15. Sendo assim, aplicando a fórmula:
P=Po (1- i) = 54.(1 – 0,15) = 54.(0,85)= 45,90
Portanto, temos um desconto de R$ 8,10 e a mercadoria teve um novo valor de R$ 45,90
1-No mês passado recebi R$ 2.600,00. Quanto devo receber neste mês se tive um aumento de
7,2% no meu salário?
2-Recebi R$ 2.787,20 de salário após ter tido um aumento de 7,2%. Quanto recebia antes do
aumento?
3-No mês passado recebi R$ 2.600,00 de salário e neste mês, após um aumento, R$ 2.787,20.
Qual foi a taxa de aumento?
4-Um atacadista, quando vende a varejo, cobra 25% amais sobre os preços marcados em suas
mercadorias:
a) Quanto cobra pra vender no varejo uma mercadoria cujo preço é de R$ 45,20 ?
b) Qual o preço marcado em uma mercadoria que vendida é vendida no varejo por R$ 18,45 ?
5-Um comerciante desconta 5% dos preços marcados nas sua mercadorias quando os
compradores pagam a vista:
a) Qual o preço a vista de uma mercadoria cujo o preço marcado é de R$ 105,00 ?
b) Qual o preço marcado de uma mercadoria vendida avista por
R$ 11,40 ?
6-Um vendedor representante de de um produto, recebe como salário as comissões de 45%
sobre o total de suas vendas. Se esse valor for superior a R$ 2.000,00 , seu salario é acrescido
de 25%.
a)Quanto recebe quando vende R$ 1.500,00 ?
b)E quando vende R$ 3.000,00 ?
2. OPERAÇÔES FINANCEIRAS
As operações financeiras são operações feitas com dinheiro com a finalidade de fazê-lo evoluir
ao longo do tempo.
CAPITAL : Qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser
aplicado numa operação financeira. Pode ser chamar valor atual ou valor presente. Usaremos
a anotação PV (Present Value).
JUROS: São o custo do capital durante determinado período de tempo. Usaremos a
anotação J
TAXA E JUROS: Corresponde a remuneração paga pelo uso do capital durante um
deteminado periodo de tempo (n). Usaremos a anotação i.
MONTANTE :Valor final do capital aplicado, sendo chamado de valor futuro. Usaremos a
anotação FV (Future Value)
Diagrama de fluxo de caixa: è o conjunto de entradas e saídas, dispostas ao longo do tempo.
150.000
Meses
0
1
2
3
4
100.000
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5
6
O grafico acima representa um investimento (capital) no valor de R$ 100.000,00 pelo
qual,o investidor recebeu
R$ 150.000,00(valor futuro) após 6 meses de aplicação.
JUROS SIMPLES
No regime de juros simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial e, dada uma taxa
para um certo periodo de tempo, os juros para esse periodo são calculadoscomo PV . I, onde
PV é o capital aplicado e I a taxa de juros para cada periodo.Para o calculo dos juros totais,
usaremos a formula abaixo:
J = Pv.i.n
OBS: i e n devem sempre referir-se ao mesmo periodo de tempo (meses, anos, trimestres,
etc…)
Quais são os juros de um capital de R$ 185.000,00 aplicado a 6,5% am durante 12 meses ?
J = Pv.i.n = 185.000 . 0,065 . 12 = 144.300
Os juros foram de R$ 144.300,00
Qual o capital que, aplicado a uma taxa de 15% as, durante 4 semestres rendeu R$
2.250,00 de juros?
J = Pv.i.n > 2250 = Pv . 0,15 . 4 > Pv = _2250_ = 3750
0,15 .4
O capital é de R$ 3.750,00
O montante (FV) é toda a aplicação resgatada.Por definição, é a soma do capital (PV) com os
juros (J)
FV = PV + J
FV = PV + PV.i.n
FV = PV ( 1 + i.n)
PV = _FV__
(1+ i.n )
Um investidor aplicou R$ 250.000,00 em letras de câmbio que lhe proporcionarão um
rendimento de 2,4%am, durante 3 meses. De quanto será o resgate no final desse prazo:
FV = PV ( 1+ in ) = 250.000 (1 + 0,024 . 3) =
FV = 250.000 ( 1 + 0,072) = 250.000 (1,072) =
FV = 268.000
ou
J = PV.i.n = 250.000 . 0,024 . 3 = 18.000
FV = PV + J = 250.000 + 18.000 = 268.000
O resgate de R$ 268.000,00
1- Um banco anuncia o seguinte: Aplique hoje R$ 666,66 e receba R$ 1.000,00 daqui a um
ano. Qual a taxa de juros anual?
2- Aplique hoje R$ 1.000.000,00 e receba R$ 3.000.000,00 daqui a 2 anos. Qual a taxa de
juros anual ?
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3- O valor de venda de um título de capitalização é de R$ 400.000,00 e o valor de seu
resgate (valor recebido no final da aplicação) é de R$ 700.000,00 . Sendo de um ano o prazo
do vencimento, a contar da data da venda. Calcule a taxa anual.
4- O valor de uma cota de um fundo de investimento era R$17.867,00. Três meses depois,
esse valor aumentou para R$24.432,00. Qual a taxa de rentabilidade trimestral e mensal desse
fundo?
8- Tarsila aplicou uma certa quantia, a uma taxa de juros simples de 12% am, durante 4
meses, resgatando um montante de R$ 740,00. Obtenha os juros que Tarsila recebeu nessa
aplicação.
9- Uma geladeira é vendida a vista por R$5.000,00 ou então por R$ 1.500,00 de entrada,
mais uma parcelas de R$4.250,00 após 04 meses. Qual a taxa de juros simples que está
sendo cobrada?
10- Um vestido de noiva é vendido a vista por R$4.000,00, ou então por R$1.000,00 de
entrada mais uma parcela de R$3.500,00 após 05 meses. Qual a taxa mensal de juros simples
do financiamento?
11- Um empréstimo deve ser saldado daqui a 02 meses com um unico valor de R$5.500,00. O
devedor propõe pagar R$2.000,00 agora e os R$3.500,00 restantes em uma data a combinar.
O credor aceita a proposta desde que lhe proporcione um ganho de 5% am de juros simples.
Que data será marcada para pagamento dessa 2ª parcela ?
12- O valor de um montante após 8 meses de aplicação a juros simples de 3% am é de R$
50.000,00.
Precisei resgatar a aplicação, 3 meses antes do que havia previsto. Qual será meu novo
montante ?
JUROS COMPOSTOS
Quando um capital é aplicado a uma determinada taxa por período, e por vários periodos, o
montante pode crescer segundo duas formas:
Capitalização simples- os juros produzidos por um capital é sempre o mesmo, qualquer que
seja o período financeiro, pois ele é sempre calculado sobre o capital inicial, não importando o
montante correspondente ao periodo anterior.(Já visto anteriormente)
Capitalização composta- os juros produzidos no fim de cada periodo é somado ao capital
que o produziu, passando os dois, capital e juros no periodo seguinte.
Esta é a formula do montante em juros compostos, também chamada de formula
fundamental do juros compostos, para um numero inteiro de periodos.
n
FV= PV.(1+ i)
O fator .(1+ i)
n
é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.
Comparação juros simples com juros compostos
PV= R$ 10.000,00
i = 10%
Periodo
Juros Simples
Juros Compostos
1
2
3
4
5
FV=10.000(1+0,1x1) = 11.000,00 FV=10.000(1+0,1)^1 = 11.000,00
FV=10.000(1+0,1x2) = 12.000,00 FV=10.000(1+0,1)^2 = 12.100,00
FV=10.000(1+0,1x3) = 13.000,00 FV=10.000(1+0,1)^3 = 13.310,00
FV=10.000(1+0,1x4) = 14.000,00 FV=10.000(1+0,1)^4 = 14.641,00
FV=10.000(1+0,1x5) = 15.000,00 FV=10.000(1+0,1)^5 = 16.105,10
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17000
16000
15000
Periodo
14000
Juros Simples
13000
Juros Compostos
12000
11000
10000
1
2
3
4
5
Exemplo1:
Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00 aplicado em regime de juros compostos a 5%
am durante 02 meses.
n
FV= PV.(1+ i)
2
FV= 2000.(1+ 0,05)
2
FV= 2000.(1,05)
FV= 2000.(1,1025)
Obs: (1,05)
2
= (1,05)*(1,05) = 1,1025
FV= R$ 2.205,00
NOTA:Se fosse usado juros simples, o valor seria menor :
FV= PV.(1+ i.n)
FV= 2000.(1+0,05.2)
FV= 2000.(1+0,10)
FV= 2000.(1,1)
FV= R$ 2.200,00 ( R$ 5,00 a menos em comparação a Juros Compostos)
Exemplo2:
Um capital de R$ 600.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% am durante 03 meses.
Calcule o montante
n
FV= PV.(1+ i)
3
FV= 600000.(1+ 0,10)
3
FV= 600000.(1,10)
FV= 600000.(1,331)
Obs: (1,10)
3
= (1,10). (1,10). (1,10) = 1,331
FV= R$ 798.600,00
NOTA:Se fosse usado juros simples, o valor seria menor :
FV= PV.(1+ i.n)
FV= 600000.(1+0,10.3)
FV= 600000.(1+0,30)
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FV= 600000.(1,30)
FV= R$ 780.000,00 ( R$ 18.600,00 a menos em comparação a Juros Compostos)
TAXA EQUIVALENTES:
Duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas num mesmo capital e
durante um mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Em geral, o intervalo entre
os prazos considerado é o mínimo múltiplo comum entre os prazos a que se referem as taxas.
FV=FV
n
n
PV.(1+ i1) 1=PV.(1+ i2) 2
(1+ i1)n1 = (1+ i2)n2
Exemplo3:
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a taxa de 8% am ?
(1+ i1)n1 = (1+ i2)n2
Valores
Anuais
Valores
Mensais
(1+ i1)1 = (1+ 0,08)12
OBS: 1 anos = 12 meses
12
1+ i1 = (1,08)
1+ i1 = 2,5181
i1 = 2,5181 - 1
i1 = 1,5181
x 100 (para passar para %)
i1 = 151,81% aa
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Quando não temos a mesma taxa de juros distribuída no período dado, temos que aplicar a
seguinte formula, usando taxa por taxa:
FV= PV.(1+ i1).(1+ i2).(1+ i3).(1+ i4)............(1+ in)
Podemos calcular também, a taxa acumulada desse periodo, na formula:
1+ iac = (1+ i1).(1+ i2).(1+ i3).(1+ i4)............(1+ in)
Exemplo4:
Nos primeiros 04 meses do ano, os rendimentos mensais da poupança foram
respectivamentes:
18,90%, 17,20%, 19,89 % e 20,50%. Determine:
a) o montante no final de 4 meses para uma aplicação de R$ 5.000,00
b) a Taxa acumulada no quadrimestre.
a)
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FV= PV.(1+ i1).(1+ i2).(1+ i3).(1+ i4)
FV= 5000.(1+ 0,1890).(1+ 0,1720).(1+ 0,1989).(1+ 0,2050)
FV= 5000.(1,1890).(1,1720).(1,1989).(1,2050)
FV= 5000.(2,0132)
OBS: 2,0132 é o arredondamento de
2,013165473146
FV= R$ 10.066,00 (Sem o arredondamento, o Valor exato seria R$ 10065,827)
b)
1+ iac = (1+ i1).(1+ i2).(1+ i3).(1+ i4)
1+ iac =.(1+ 0,1890).(1+ 0,1720).(1+ 0,1989).(1+ 0,2050)
1+ iac = (1,1890).(1,1720).(1,1989).(1,2050)
1+ iac = 2,0132
iac = 2,0132 – 1
iac = 1,0132
x 100 (para passar para %)
iac = 101,32% a.q. (Juros acumulados no quadrimestre)
EXERCICIOS
1- Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00 por um prazo de 8 meses, a uma
taxa de 1,5%am juros compostos.
2- Qual o Capital que, aplicado a uma taxa de 11% aa de juros compostos produz um
montante de R$ 3.500.000,00 após 12 anos ?
3- Calcule o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00 à taxa de 2%am juros
compostos, durante 6 meses.
4- Calcule o montante para as aplicações abaixo, usando o regime de juros compostos:
CAPITAL
TAXA
PERIODO
a) R$ 80.000,00
96% aa
24 meses
b) R$ 65.000,00
3% am
1 ano
5- Um capital de R$ 700,00 é aplicado a juros compostos, durante 01 ano e meio, à taxa de
2,5% am. Calcule os juros dessa aplicação.
6- Um banco remunera aplicações hoje - R$ 85.000,00, daqui a 3 meses – R$ 100.000,00.
Qual será a remuneração daqui a 6 meses ?
7- Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 09 anos, a taxa de 10% aa,
produz um montante de R$ 175.000,00 ?
8- Um capital de R$ 65.000,00, aplicado a juros compostos, rendeu, depois de um certo
prazo, o montante de R$ 115.926,00. Sabendo que a taxa foi de 7,5 am, calcule o prazo
da aplicação.
9- Aplique hoje R$ 550.000,00 e receba após 6 meses R$ 2.000.000,00. Qual a taxa de
juros composto mensal auferida nessa aplicação?
10- Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por R$ 800,00. Estando o aparelho em
ótimo estado, e desejando vende-lo com um retorno de 2%am sobre o capital investido.
Calcule o preço de venda do aparelho considerando taxa de juros composta.
11- Qual a taxa trimestral equivalente à taxa mensal de 15%am no regime de juros
compostos.
12- Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente ás seguintes taxas:
a) 18%am (ao mês)
b) 25%ab (ao bimestre)
c) 45% at (ao trimestre)
d) 250 as (ao semestre)
13- Qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas:
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a) 750%aa
b) 500% as
c) 280% at
d) 65% ab
14- Um título de valor nominal igual a R$ 90.000,00 vence daqui 3 meses. Qual seu valor
atual se a taxa de juros for de 30% am
15- Um titulo de valor nominal igual a R$ 10.000,00. Qual seu valor atual 3 meses antes do
vencimento, sabendo-se que a taxa é de 2%am?
16- Pagarei R$ 80.000,00 de uma dívida daqui a 5 meses. Considerando uma taxa de juros
compostos de 10%am, calcule o valor da dívida nas seguintes datas:
a) hoje
b) daqui a 2 meses
c) 2 meses antes do vencimento
17- Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos de 15%am para fazer frente a um
compromisso de R$ 270.000,00 daqui a 2 meses ?
18- Resolva o problema anterior considerando as taxas de juros abaixo:
a) 16%am
b) 20% am
c) 30% am
19- Em 03 meses consecutivos, um fundo de renda fixa rendeu respectivamente 18%, 21%
e 22%. Se o capital aplicado foi de R$ 80.000,00, calcule o montante e a taxa
acumulada no trimestre.
20- Em janeiro e fevereiro, um fundo de investimento rendeu 23% e 21,5% respectivamente.
Se um investidor aplicou R$ 250.000,00, calcule o montante e a taxa acumulada no
bimestre.
21- Em janeiro, fevereiro e março, um fundo de renda fixa rendeu 17,5%, 19% e 15%
respectivamente. Calcule a taxa acumulada no trimestre.
22- Em 04 meses sucessivos, uma aplicação rendeu as seguintes taxas: 21%, 20%, 17% e
22%. Calcule a taxa acumulada no quadrimestre.
3. EQUIVALENCIA DE CAPITAIS
Valor Atual de um conjunto de capitais
São os vários montantes a serem recebidos no decorrer dos períodos planejados, equivalentes
na data zero.Podemos considerar também que é o calculo do valor de um certo produto a vista,
que equivale a uma entrada e parcela que devem ser pagas nos períodos determinados:
PV = E +
FV1
FV2
FV3
FVn
+
+
+
......
+
(1 + i )1 (1 + i ) 2 (1 + i ) 3
(1 + i ) n
Onde:
PV = Valor na data zero ou valor a vista
FV = Montante recebidos nos períodos indicados ou parcelas pagas.
E = Entrada, valor pago na data zero
i = A taxa de juros cobrados
Exemplo
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Uma loja vende uma televisão da seguinte forma: Entrada de R$ 200,00 e mais 3
prestações de R$180,00 , R$ 150,00 e R$ 100,00 respectivamente. Se a taxa de juros é de
10% am, qual é o preço da televisão?
FV3
FVn
FV1
FV2
+
+
+ ...... +
1
2
3
(1 + i ) (1 + i )
(1 + i )
(1 + i ) n
180
150
100
PV = 200 +
+
+
(1 + 0,1)1 (1 + 0,1) 2 (1 + 0,1) 3
PV = E +
PV = 200 +
180
150
100
+
+
1
2
(1,1) (1,1)
(1,1) 3
180
150
100
+
+
1
2
(1,1) (1,1)
(1,1) 3
180 150 100
PV = 200 +
+
+
1,1 1,21 1,331
PV = 200 +
PV = 200 + 163,64 + 123,97 + 75,13
PV = 562,73
A televisão vai custar R$562,73 a vista
Seqüência Uniforme
Consideremos a seqüência de FV1 , FV2 , FV3 ... FVn, respectivamente nas datas 1,2,3...n,
dizemos que esse conjunto constitui uma seqüência uniforme se todos os valores FV forem
iguais, ou seja, todas as parcelas pagas tem o mesmo valor: FV1 = FV2=FV3= FVn = R
FV1
FV2
FV3
FVn
+
+
+ ...... +
1
2
3
(1 + i ) (1 + i )
(1 + i )
(1 + i ) n
R
R
R
R
PV = E +
+
+
+
......
+
(1 + i )1 (1 + i ) 2 (1 + i ) 3
(1 + i ) n
PV = E +
Matematicamente podemos agrupar esses valores em uma formula de resolução mais
simplificada:
 (1 + i ) n − 1
PV = E + R × 

n
 (1 + i ) × i 
(1 + i ) n − 1
é chamado de fator de valor atual, e costuma ser lido como cantoneira (n
(1 + i ) n × i
cantoneira em i)
O fator
Exemplo
Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 parcelas mensais de R$ 550,00, sem entrada,
vencendo a primeira parcela um mês após a compra. Se a taxa de juros for de 20% am,
qual o preço a vista?
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 (1 + i ) n − 1
PV = E + R × 

n
 (1 + i ) × i 
 (1 + 0,2) 4 − 1 
PV = 550 × 

4
 (1 + 0,2) × 0,2 
 (1,2) 4 − 1 
PV = 550 × 

4
 (1,2) × 0,2 
 2,0736 − 1 
PV = 550 × 

 2,0736 × 0,2 
 1,0736 
PV = 550 × 

 0,4147 
PV = 550 × [2,5887 ]
PV = 1423,80
O valor avista do Eletrodoméstico é de R$ 1423,80.
Montante de uma seqüência uniforme
Chamamos de montante de uma seqüência, na data n, a soma dos montantes de capital R
aplicados desde a data zero, até a data n:
R
R
R
R
R
0
1
2
3
n
 (1 + i ) n+1 − 1 
FV = R × 

i


Exemplo:
Um investidor aplica mensalmente R$ 2.000,00 em fundos de investimentos que remunera
as aplicações à taxa de juros compostos de 11% am. Se o investidor fizer 7 aplicações, qual
o montante no restante do ultimo depósito?
R
0
R
R
R
R
R
R
0
1
2
3
4
5
6
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- 11 -
 (1 + i ) n +1 − 1 
FV = R × 

i


 (1 + 0,11) 6+1 − 1
FV = 2000 × 

0,11


 (1,11) 7 − 1 
FV = 2000 × 

 0,11 
 2,0762 − 1
FV = 2000 × 

 0,11 
1,0762 
FV = 2000 × 

 0,11 
FV = 2000 × [9,7833]
FV = 19566,60
Seu montante final é de R$ 19.566,60
Exercícios
1-Uma empresa prevê o pagamento de R$ 200.000,00 daqui a 01 mês e R$ 500.000,00
daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje a juros compostos à taxa de 15% am para
fazer frente a essas despesas?
2-A uma taxa de juros compostos de 2%am, um montante de R$ 1.500.000,00 daqui a 3
meses equivalem a quanto hoje ?
3-Uma pessoa tem uma dívida de R$ 60.000,00 daqui a 2 meses e outra de R$ 80.000,00
daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros de 10% am para fazer frente a
essas dívidas?
4-Resolva o problema anterior considerando as taxas de 2%am e 20% am.
5-Uma loja vende um certo produto por R$ 5.000,00 de entrada, mais 3 prestações mensais
de R$ 8.000,00 cada uma. Se a loja aplica um juros de 20% am, qual é o preço avista do
produto?
6-Uma empresa prevê pagamentos de R$ 250.000,00 daqui a um, dois e três meses.
Quanto deverá aplicar hoje à taxa de 16% am para fazer frente a esses pagamentos ?
7-Uma casa é vendida avista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendida a prazo em 12
prestações iguais, vencendo a primeira 1 mês após a compra. Sabendo que a taxa é
2%am, qual é o valor de cada prestação.
8-Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma,
sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa de juros é de 14%am, qual o preço avista ?
9-Uma pessoa faz 7 aplicações de R$ 3.500,00 num fundo que remunera seus depósitos a
juros de 8%am. Qual é o montante no instante do último depósito?
10-Quanto uma pessoa deve depositar para que, em 15 aplicações num fundo que rende
14% am de juros possa resgatar um montante de R$ 60.000,00?
11-Quanto deverei depositar num fundo de investimento que paga 3% am de juros para que
no final do 18º depósito, tenha conseguido um montante de R$ 2.000.000,00
Profº Ivan Faccinetto Böttger
- 12 -
4. SISTEMA DE AMORTIZAÇÂO
Tabela PRICE
Tal sistema se desenvolveu na França no século passado, porém foi concebido pelo
matemático inglês Richatd Price.
Nesse sistema, as prestações são iguais e consecutivas, a partir do instante em que
começam a ser pagas as amortizações (valor realmente pago da dívida, sem os juros
cobrados).
Assim, considerando o nosso PV a ser amortizado nos instantes 1, 2, 3,...,n, a uma taxa i
de juros, as prestações, sendo constantes e de valor R constituem uma sequência
uniforme.
Quando temos um valor pago como na data zero (entrada) temos que diminuí-lo do valor do
PV pois a entrada não entra no calculo de R.
R=
PV − E
 (1 + i ) n − 1 
 (1 + i ) n × i 


Exemplo.
Um emprétimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo método PRICE em 5 prestações
a taxa de 4% am. Calcule o valor das prestações e a tabela PRICE.
R=
PV − E
 (1 + i ) n − 1 
 (1 + i ) n × i 


800.000 − 0
 (1 + 0,04) 5 − 1 
 (1 + 0,04) 5 × 0,04 


800.000
R=
 (1,04) 5 − 1 
 (1,04) 5 × 0,04 


800.000
R=
 1,2167 − 1 
1,2167 × 0,04 


800.000
R=
 0,2167 
 0,0487 


R=
Profº Ivan Faccinetto Böttger
- 13 -
R=
800.000
4,4518
R = 179702,59
As prestações são de R$179.702,59 OBS: Usando todos os valores das casas depois da
virgula, temos o valor mais aproximado de R$ 179.701,69
Usando o valor calculado de 179.702,59 temos a seguinte tabela PRICE:
Período
Entrada
1
2
3
4
5
TOTAL
Saldo Dev
800.000,00
800.000,00
652.297,41
498.686,72
338.931,60
172.786,27
Juros
0,00
32.000,00
26.091,90
19.947,47
13.557,26
6.911,45
R$ 98.508,08
Amor (P - J)
0,00
147.702,59
153.610,69
159.755,12
166.145,33
172.791,14
R$ 800.004,87
Prestação
0,00
179.702,59
179.702,59
179.702,59
179.702,59
179.702,59
R$ 898.512,95
Deve (SD - Am)
800.000,00
652.297,41
498.686,72
338.931,60
172.786,27
-4,87
Usando o valor calculado, usando todas as casa depois da virgula de R$ 179.701,69 temos a
seguinte tabela PRICE:
Período
Entrada
1
2
3
4
5
TOTAL
Saldo Dev
800.000,00
800.000,00
652.298,31
498.688,55
338.934,40
172.790,09
Juros
0,00
32.000,00
26.091,93
19.947,54
13.557,38
6.911,60
R$ 98.508,45
Amor (P - J)
0,00
147.701,69
153.609,76
159.754,15
166.144,31
172.790,09
R$ 800.000,00
Prestação
0,00
179.701,69
179.701,69
179.701,69
179.701,69
179.701,69
R$ 898.508,45
Deve (SD - Am)
800.000,00
652.298,31
498.688,55
338.934,40
172.790,09
0,00
A diferença se dá devido a aproximação das casas decimais, mas mesmo não usando todas as
casas , o valor calculado fica bem próximo e a diferença da tabela nesse exemplo não é
significativa.
Se usarmos nos cálculos uma calculadora financeira, teremos o valor das prestações o mais
próximo do real.
Exemplo 2
Na compra de um carro que custa R$ 25.000,00 a vista, foi dado de entrada R$ 5.000,00 e o
restante do valor parcelado em 6 prestações mensais com juros de 2%am. Calcule o valor das
prestações e a tabela PRICE.
R=
PV − E
 (1 + i ) n − 1
 (1 + i ) n × i 


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- 14 -
R=
25000 − 5000
 (1 + 0,02) 6 − 1 
 (1 + 0,02) 6 × 0,02 


20000
[5,6014]
R = 3.570,52
R=
Período
Entrada
1
2
3
4
5
6
TOTAL
Saldo Dev
25.000,00
20.000,00
16.829,48
13.595,56
10.296,95
6.932,37
3.500,51
Juros
0,00
400,00
336,59
271,91
205,94
138,65
70,01
R$ 1.423,10
Amor (P - J)
5.000,00
3.170,52
3.233,93
3.298,61
3.364,58
3.431,87
3.500,51
R$ 25.000,00
Prestação
5.000,00
3.570,52
3.570,52
3.570,52
3.570,52
3.570,52
3.570,52
R$ 26.423,10
Deve (SD - Am)
20.000,00
16.829,48
13.595,56
10.296,95
6.932,37
3.500,51
0,00
Se a entrada tiver o mesmo valor das parcelas que serão pagas no financiamento, teremos
outra formula para o calculo:
R=
PV
 (1 + i ) n − 1 
 (1 + i ) n × i  + 1


Exemplo3
Na compra de um carro que custa R$ 25.000,00 a vista, foi dado de entrada e 6 parcelas
mensais com o mesmo valor,a juros de 2%am. Calcule o valor das prestações e a tabela
PRICE.
PV
 (1 + i ) n − 1 
 (1 + i ) n × i  + 1


25000
R=
 (1 + 0,02) 6 − 1 
 (1 + 0,02) 6 × 0,02  + 1


25000
R=
[5,6014 + 1]
25000
R=
[6,6014]
R=
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- 15 -
R = 3.787,06
Período
Entrada
1
2
3
4
5
6
TOTAL
Saldo Dev
25.000,00
21.212,94
17.850,14
14.420,09
10.921,43
7.352,80
3.712,80
Juros
0,00
424,26
357,00
288,40
218,43
147,06
74,26
R$ 1.509,40
Amor (P - J)
3.787,06
3.362,80
3.430,05
3.498,66
3.568,63
3.640,00
3.712,80
R$ 25.000,00
Prestação
3.787,06
3.787,06
3.787,06
3.787,06
3.787,06
3.787,06
3.787,06
R$ 26.509,40
Deve (SD - Am)
21.212,94
17.850,14
14.420,09
10.921,43
7.352,80
3.712,80
0,00
TABELA SAC
O sistema de amortizações constantes é bastante utilizado também. Tal sistema consiste em
fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais. Assim considerando o valor total
PV menos a entrada, ser amortizado em n parcelas, a juros i ,temos a seguinte formula:
A=
PV − E
n
O valor das prestações são calculados mês a mês pois elas vão diminuindo ao longo do
período.
Exemplo4
Um emprétimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo método PRICE em 5 prestações a
taxa de 4% am. Calcule o valor das prestações e a tabela SAC.
PV − E
n
800.000 − 0
A=
6
A = 160.000,00
A=
Período
0
1
2
3
4
5
TOTAL
Saldo Dev
800.000,00
800.000,00
640.000,00
480.000,00
320.000,00
160.000,00
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Juros
0,00
32.000,00
25.600,00
19.200,00
12.800,00
6.400,00
R$ 96.000,00
- 16 -
Amor SAC
0,00
160.000,00
160.000,00
160.000,00
160.000,00
160.000,00
R$ 800.000,00
Prestação ( Amor+J)
0,00
192.000,00
185.600,00
179.200,00
172.800,00
166.400,00
R$ 896.000,00
Deve (SD - Am)
800.000,00
640.000,00
480.000,00
320.000,00
160.000,00
0,00
Exemplo 5
Na compra de um carro que custa R$ 25.000,00 a vista, foi dado de entrada R$ 5.000,00 e o
restante do valor parcelado em 6 prestações mensais com juros de 2%am. Calcule o valor das
prestações e a tabela SAC.
PV − E
n
25000 − 5000
A=
6
A = 3.333,33
A=
Período
0
1
2
3
4
5
6
TOTAL
Saldo Dev
25.000,00
20.000,00
16.666,67
13.333,33
10.000,00
6.666,67
3.333,33
Juros
0,00
400,00
333,33
266,67
200,00
133,33
66,67
R$ 1.400,00
Amor SAC
0,00
3.333,33
3.333,33
3.333,33
3.333,33
3.333,33
3.333,33
R$ 20.000,00
Prestação ( Amor+J)
5.000,00
3.733,33
3.666,67
3.600,00
3.533,33
3.466,67
3.400,00
R$ 21.400,00
Deve (SD - Am)
20.000,00
16.666,67
13.333,33
10.000,00
6.666,67
3.333,33
0,00
Exercicios
1-Uma moto custa R$ 6.500,00 avista.Calcule as tabelas PRICE e SAC com 4 parcelas, sem
entrada e com juros de 3,5% am.
2-Calcular as tabelas PRICE e SAC para a compra de uma casa que, avista custa R$75.000,00
que será financiada em 8 meses com juros de 5% ao mês nas seguintes condições:
a) Sem entrada
b) Entrada de 10% do valor a vista
c) Entrada de 20% do valor a vista
3-Para a compra de uma televisão que custa avista R$ 1.500,00, calcule as tabelas PRICE nas
seguintes condições:
a) Sem Entrada, em 12 parcelas com juros de 1,5%am;
b) Com entrada de R$ 500,00 e o restante em 12 parcelas com juros de 1,5%am;
c) Com entrada igual as 12 parcelas, com juros de 1,5% am
4-Para a compra de um apartamento que custa avista R$ 120.000,00, calcule as tabelas
PRICE nas seguintes condições:
a) Sem Entrada, em 24 parcelas com juros de 1,0%am;
b) Com entrada de R$ 20.000,00 e o restante em 24 parcelas com juros de 1,0%am;
Obs:Calcular somente até o quinto mês.
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- 17 -
Tabela PRICE com atualização Monetária.
Para os financiamentos feitos em PRICE a longo prazo, o saldo devedor deve ser atualizado
periodicamente. Nesse caso, a tabela deve mostrar os pagamentos atualizados e ter uma
coluna a mais para conter o saldo devedor atualizado.
Exemplo 6
Um emprétimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo método PRICE em 5 prestações a
taxa de 4% am, com um reajuste na 3ª prestação de 2%. Calcule o valor das prestações e a
tabela PRICE.
Como no exemplo 1, calculamos normalmente o valor da prestação pela formula já explicada
(R = R$179.701,69), mas na 3ª prestação, acrescentamos o reajuste de 2% no saldo devedor,
aumentando assim a dívida, e o restante das parcelas a serem pagas.
Período
0
1
2
3
4
5
TOTAL
Reajuste
2,00%
Saldo Dev
800.000,00
800.000,00
652.298,31
508.662,32
345.713,09
176.245,89
Juros
0,00
32.000,00
26.091,93
20.346,49
13.828,52
7.049,84
R$ 99.316,78
Amor (P - J)
0,00
147.701,69
153.609,76
162.949,23
169.467,20
176.245,89
R$ 809.973,77
Prestação
0,00
179.701,69
179.701,69
183.295,72
183.295,72
183.295,72
R$ 909.290,56
Deve (SD - Am)
800.000,00
652.298,31
498.688,55
345.713,09
176.245,89
0,00
O valor de R$508.662,32 veio da multiplicação do saldo devedor R$498.688,55 pelo reajuste
de 2% ou seja :
Reajuste= R$498.688,55 x (1+0,02) = R$508.662,32
Para a nova parcela, também multiplicamos o valor de R$179.701,69 pelo reajuste de 2%:
Nova Parcela = R$179.701,69 x (1+0,02) = R$ 183.295,72
EXERCICIOS
1-Uma moto que custa R$ 9.000,00 a vista é vendida em 5 parcelas iguais, sem entrada e com
juros de 7% am. Calcule a tabela PRICE sabendo que na 4ª parcela houve uma correção de
2,5%.
2-Calcular a tabela PRICE da compra de um carro de R$12.000,00 avista que foi vendido nas
seguintes condições:
Entrada de R$ 2.000,00 e restante em 4 parcelas de 5%am, com reajuste de 1,5% na 2ª e na
4ª parcela.
3- Calcular as tabelas PRICE e SAC para a compra de uma casa que, avista custa
R$75.000,00 que será financiada em 3 meses com juros de 5% ao mês nas seguintes
condições:
a) Sem reajuste
b) Reajuste de 1% em todas as parcelas.
c) Reajuste de 3% na 3ª parcela.
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Bibliografia
VERAS, Lilia Ladeira. Matematica Financeira 4° edição, ATLAS – São Paulo ;
LAUGENI, Fernando. Administração na Produção, 1999 SARAIVA – São Paulo ;
Tabelas em EXCEL.
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