análise combinatória - Colégio Santo Agostinho

3ª série Ensino Médio
Professor Magno
Junho/2012
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
 Se um evento é composto por duas etapas
sucessivas e independentes, o número total de
possibilidades para esse evento é igual ao produto
dos números de possibilidades de cada uma das
etapas tomadas separadamente.
EXEMPLO
 Quantos
números de 3 algarismos distintos
podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
6 possibilidades
5 possibilidades
4 possibilidades
Centena
Dezena
unidade
6 x 5 x 4 = 120 números
PERMUTAÇÕES SIMPLES
 Se um conjunto tem n elementos distintos, os
Agrupamentos Ordenados com todos os elementos
desse conjunto chamam-se Permutações Simples.
 O número de Permutações de um conjunto de n
elementos é
Pn = n!
OBS: Os agrupamentos diferem pela ordem.
EXEMPLO
 Quantos
números de 4 algarismos distintos
podemos formar com os algarismos 2, 4, 6 e 8?
4 possibil.
3 possibil.
2 possibil.
1 possibil.
Unid. Milhar
Centena
Dezena
unidade
4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 números
ARRANJOS SIMPLES
 Arranjos Simples são os agrupamentos ordenados
diferentes com um número p de elementos que
podemos formar a partir dos n elementos de um
conjunto dado.
 Indica-se
n!
An, p ou A 
(n  p)!
p
n
EXEMPLO
 Quantos números de dois algarismos diferentes
podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9?
A9, 2
9!
9! 9  8  7 !

 
 9  8  72
(9  2)! 7!
7 !
COMBINAÇÕES SIMPLES
 São os subconjuntos com um número p de
elementos que podemos formar a partir dos n
elementos de um conjunto dado.
 Indica-se
n
n!
C n, p ou C ou   
 p  p!(n  p)!
p
n
EXEMPLO
 De quantas maneiras um técnico pode escalar seu
time de basquete tendo à sua disposição 12 atletas
que jogam em qualquer posição?
C12,5
12!
12!
12  11  10  9  8  7 !



 11  9  8  792
5!(12  5)! 5! 7!
5  4  3  2  1  7 !
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
 A permutação de n elementos, dos quais um deles
aparece  vezes, o outro aparece  vezes e outro
aprece  vezes, com  +  +  = n, é dada por
 ,  ,
Pn
n!

!  ! !
EXEMPLO
Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
3, 2
5
P
5!
5  4  3!


 10
3! 2!
3! 2
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
 Permutação em que os elementos são dispostos em
círculos ou ao redor de uma mesa circular.
PCn  (n  1)!
EXEMPLO
 De quantas maneiras distintas um grupo de 5
pessoas pode se organizar ao redor de uma mesa
circular com cinco cadeiras?
PC5  (5  1)! 4! 4  3  2  1  24