Lista 3 - SOL - Professor | PUC Goiás

Pontifícia Universidade Católica de Goiás - PUC-GO
MAF - Departamento de Matemática e Física
Disciplina: Mecânica - MAF1260
Prof. Raffael
Lista de Exercícios - Osciladores
1. Um oscilador harmônico simples é descrito pela equação
1
π
x(t) = (10 m) sen
t+
10
2
com x dado em metros, t medido em segundos e os ângulos medidos em radianos.
a) Qual é a amplitude, período, frequência, frequência angular e fase inicial?
b) Escreva uma expressão para a velocidade e aceleração num instante qualquer.
c) Qual é a posição, velocidade e aceleração no instante 5 s?
d) Expresse a equação do movimento em termos do cosseno.
2. As constantes elásticas das molas na Figura 1 são k1 e k2 . Calcule a constante k da mola
equivalente para cada caso.
Figura 1: Problema 2
Figura 2: Problema 3
3. No dispositivo mostrado na Figura 2, em que k1 = 1 N/m, k2 = 1 N/m, k3 = 6 N/m e m = 4 kg,
as molas não estão esticadas nem comprimidas. Deslocando-se o corpo para a esquerda de 25 cm
e soltando-o (considerando aí o instante t = 0), pede-se:
a) Faça um diagrama mostrando as forças que atuam sobre o corpo numa posição x qualquer
(despreze os atritos).
b) Use a segunda lei de Newton e obtenha as equações de movimento.
4. Ao discutir o oscilador harmônico, através da massa m presa à mola, consideramos o sistema
na posição horizontal. Poderíamos tê-lo feito na vertical e sem aparecer o peso, explicitamente,
quando da utilização da segunda lei de Newton. A sequência mostrada na Figura 2 esclarece
o procedimento. A distância l0 é o comprimento inicial da mola (isto é, quando não esticada
nem comprimida) e x0 é uma elongação tal que kx0 equilibra o peso. Portanto, na posição B,
a força resultante que atua sobre o corpo é nula. Se tomarmos a origem neste ponto, qualquer
deslocamento fará com que haja uma resultante sobre o corpo dada por −kxî. Assim, o uso da
segunda lei de Newton com estas condições levará à mesma equação
m
d~v
= −kxî
dt
e consequantemente, às mesmas conclusões obtidas naquela oportunidade.
Naturalmente, poderíamos partir com a origem no ponto A. Neste caso, o peso deve figurar na
força resultante. Faça isto chamando de x0 o deslocamento a partir do ponto A (a nova origem).
No final, verifique que uma mudança de variável x0 = x + x0 , em que x0 = mg/k, leva ao mesmo
resultado anterior.
Figura 3: Problema 4
5. A massa m = 0, 75 kg da Figura 4 está ligada ao sistema de molas em que k1 = 3 N/m, k2 =
2 N/m e k3 = 1, 8 N/m
a) Qual a constante k da mola equivalente?
b) Qual a frequência de vibração do sistema?
c) Se m é afastada 0, 25 m da posição de equilíbrio e abandonada nesta posição, qual a equação
do movimento harmônico correspondente?
Figura 4: Problema 5
Figura 5: Problema 6
6. Um corpo de massa m, sujeito à ação de quatro moslas iguais, está em repouso sobre uma
superfície horizontal sem atrito. As molas têm constante elástica k, comprimento l0 e estão
dispostas como mostra a Figura 5. Nesta situação, elas não estão sujeitas a nenhum esforço, e
nos pontos A e B são fixas por pinos. O corpo é, então, deslocado de uma distâcia d < l0 , a
direção de A, sendo abandonado no seu movimento natural.
a) Determine o período e a amplitude do movimento.
b) Numa das passagens pela posição de equilíbrio, retiram-se os pinos (sem perturbar o sistema)
e o corpo passa a oscilar sob a ação das quatro molas. Obtenha o período e a amplitude do
movimento.
7. Um bloco com densidade ρ, dimensões a, b e c, flutua num líquido de densidade µ (µ > ρ), com
o lado a disposto vertialmente. Num determinado instant, ele é empurrado para baixo e solto.
Mostre que o movimento será harmônico. Calcule o período de oscilação.
8. Um oscilados amortecido possui uma amplitude inicial de 6, 00 cm. Após vinte ciclos, ela se reduz
a 3, 10 cm. Se a frequência é 4 hz qual o coeficiente de amortecimento?
9. Uma massa de 10 g é presa a uma mola de constante elástica k = 250 dyn/cm. O coeficiente de
atrito viscoso vale b = 120 g/s. Se x0 = 10 cm e v0 = 0, obtenha a equação de movimento.
10. Mostre que a relação
√ 2 2
√ 2 2
x(t) = e−γt (c1 e γ −ω0 t + c2 e− γ −ω0 t )
pode ser escrita como
−γt
x(t) = Ae
q
senh( γ 2 − ω02 t + α)
em que c1 − c2 = A cosh α e c1 + c2 = Asenhα. As funções senhα e cosh α são os seno e cosseno
hiperbólicos, respectivamente, definidos por
1
senhα = (eα − e−α )
2
1
cosh α = (eα + e−α )
2
Lembrando também, que
senh(α + β) = senhα cosh β + cosh αsenhβ.
11. Para um determinado oscilador amortecido a massa do sistema é 1, 5 kg e a constante de mola
é igual a 8 N/m. A força de amortecimento é dada por −b(dx/dt), onde b = 230 g/s. Suponha
que o bloco seja inicialmente puxado para uma distância de 12 cm a partir da sua posição de
equilíbrio e depois solto. (a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações
resultantes caia para um terço do seu valor inicial. (b) Quantas oscilações são feitas pelo bloco
nesse tempo?
12. A amplitude de um oscilador harmônico forçado é dada por,
xm (ωd ) =
[m2 (ωd2
Fm
,
− ω 2 )2 + b2 ωd2 ]1/2
onde Fm é a amplitude da força externa oscilante exercida. Na ressonância, (a) qual a amplitude
do deslocamento e (b) qual a amplitude da velocidade do objeto oscilante?
Gabarito
(01)...
(02)k1 + k2 e k11 + k12
√
(03)(b)x(t) = (25 cm) cos( 2 t)
(04)...
(05)(a) 3 N/m, (b) 0, 32 hz
(06)... q
ρa
(07)2π µg
(08)0, 13 s−1
(09)x(t) = 14e−2,7t − 4e−9,3t
(10)...
(11)(a) 14, 3 s, (b) 5,27 oscilações
(12)(a) Fm /bω, (b) Fm /b