Universidade de São Paulo Instituto de Física Fep 2196

Universidade de São Paulo
Instituto de Física
Fep 2196 - Física II para Engenharia
Lista 3- Oscilações e Ondas
1. Na figura ao lado, mostramos duas molas idênticas
ligadas a um mesmo bloco de massa m, sendo que as
outras extremidades das molas estão fixas em suportes
rígidos. Mostre que as frequências de oscilação do bloco
sobre sobe a superfície horizontal sem atrito são dadas
1 2k
por: ν =
2π m
k
k
m
2.Um bloco de massa desconhecida está preso a uma mola de constante 6,5 N/m e
executa um movimento harmônico simples com amplitude de 10,0cm. Quando o bloco
está a meio caminho entre a posição de equilíbrio e o ponto extremo final, sua
velocidade é de 30,0cm/s. Calcule (a) a massa do bloco, (b) o período do movimento e
(c) a aceleração máxima do bloco.
R.: (a) 0,542 kg; (b) 1,81 s; (c) 1,20m/s2.
3. Uma bola de demolição com 2500 kg oscila da
extremidade de um guindaste, como é indicado na
figura ao lado. O comprimento do cabo que oscila é
igual a 17 m. Calcule o período da oscilação
supondo que o sistema possa ser tratado como um
pêndulo. R.: 8,28 s
4. O deslocamento de um objeto é x=(8,0cm)cos(2,0t+π/3), onde x é dado em
centímetros e t em segundos. Calcule (a) a velocidade e a aceleração em t=π/2 s, (b) a
velocidade máxima e o menor instante de tempo t (t>0) para o qual a partícula tem essa
velocidade e (c) a aceleração máxima e o menor instante de tempo t (t>0) para o qual a
partícula tem essa aceleração.
R. : (a) 13,9 cm; 16,0 cm/s2; (b) 16,0cm/s; 0,262s; (c) 32,0cm/s2; 1,05 s.
k
k
m
5. Duas molas estão conectadas a um bloco de massa m,
conforme é indicado na figura ao lado. As superfícies em
contato não possuem atrito. Sabendo que as molas são
idênticas (tem a mesma constante k), mostre que a frequência
1
k
.
das oscilações é dada por ν =
2π 2m
6. A figura ao lado mostra um bloco de massa M, em
repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, preso
a uma mola de constante k. Uma bala de massa m e
velocidade v atinge o o bloco, conforme é indicado na
figura. A bala permance dentro do bloco. Determine: (a)
v
M
k
a velocidade do bloco imediatamente após a colisão; (b)
a amplitude do movimento harmônico simples resultante.
R.: mv /(m + M ); mv / k (m + M )
7. Um pêndulo é formado articulando-se uma barra longa e fina de comprimento L e
massa m, em torno de um ponto situado a uma distância d acima do centro da barra.
Ache o período das pequenas oscilações deste pêndulo em termos de d, L, m e g. Dados
IO=M(L2/12)+Md2
R.: 2π ( L2 + 12d 2 ) /(12 gd )
8. Um pêndulo físico é constituído por um disco sólido
uniforme (massa M e raio R), suportado num plano vertical
por meio de um pivô localizado a uma distância d do centro
do disco, conforme é indicado na figura. O disco é
deslocado num pequeno ângulo, e a seguir, é deixado livre.
Determine o período do MHS resultante. Dado
Io=M(R2/2)+Md2
Piv
ô
.
R
R.: T = 2π ( R 2 + 2d 2 ) /( 2 gd )
9.Um automóvel de massa 1000kg é dirigido contra uma parede de tijolos durante um
teste de segurança. O parachoques funciona como uma mola com constante 5,0x106 N e
é comprimido 3,16 cm quando o carro atinge o repouso após a colisão com a parede.
Qual a velocidade do carro antes da colisão, assumindo que nenhuma energia é perdida
durante o impacto?
R.: 2,23 m/s
10. Um oscilador harmônico simples executa 5 oscilações completas em 12,0s .
Determine: (a) o período do movimento, (b) a frequência em Hz, e (c) a frequência
angular em rad/s.
R.: (a) 2,40 s; (b) 0,417Hz; (c) 2,62 rad/s
11. Um pêndulo simples tem um comprimento L. (a) Qual é o período do movimento
harmônico simples para esse pêndulo se ele está localizado em um elevador acelerado
para cima com uma aceleração a? (b) E se o elevador estiver descendo com aceleração
a? (c) Qual será o período desse pêndulo se ele for colocado e um caminhão acelerado
horizontalmente com acelração a?
R.: (a) 2π[L/(g+a)] 1/2; (b) 2π[L/(g-a)] 1/2; (c) 2πL1/2(g2+a2)-1/4.
12. Uma pequena bolinha oscila no fundo
de um copo (figura ao lado). A superfície
do copo é esférica, de raio igual a 3cm e a
bolinha tem massa de 10g. Despreze o
atrito da bolinha com a superfície do
copo. (a) Sabendo que a bolinha foi
largada a partir do alto do copo sem
velocidade inicial, calcule a velocidade e
a velocidade angular máximas atingidas.
(b) Calcule a frequência angular e o período da bolinha para pequenas oscilações
próximo do fundo copo (θ pequeno). (c) Se a bolinha for ligada a uma mola, que
constante elástica deverá esta ter para que a frequência angular das oscilações seja
2
d
idêntica à calculada em (b)? (d) Se a bolinha for largada de da borda de um copo
estreito, com raio de curvatura no fundo do copo igual a r, como se mostra na figura b, a
frequência angular das oscilações será maior ou menor que no caso anterior? Por que?
R.: (a) 76,7 cm/s; ω= v/r=25,6 rad/s; (b) 18rad/s; T=0,35 s. (c) k=3,3 N/m; (d) a
frequência angular aumentaria, porque ω=(g/r)1/2, e r<R.
13. Um pêndulo com fio de comprimento 1,00 m é abandonado do repouso de um
ângulo inicial de 150. Após 1000s, sua amplitude é reduzida para 5,5o . Qual é o valor de
b/2m? R.: 1,00x10-3 s.
14. Quando um passageiro com 80kg entra em um automóvel as molas dos
amortecedores são comprimidas de 1,2cm. Sendo a massa total suportada pelas molas
(incluindo o passageiro) 900kg, qual a frequência característica de oscilação do carro
com o passageiro? R. : 1,36 Hz.
15. As aranhas tem sensores nas pernas que lhes permitem capturar as presas através das
vibrações na teia. Quando apanhado na rede um inseto de massa igual a 1g provoca uma
vibração de 15 Hz. (a) Qual a constante elástica da teia? (b) Qual a frequência de
vibração provocada por um inseto de 4 g ao ser apanhado na teia? R.: (a) 8,88N/m; (b)
7,5 Hz.
16. Um automóvel roda por uma estrada ondulada
como é mostrado na figura ao lado. Sabendo –se que a
massa do automóvel é 103kg e a constante da mola dos
amorte-cedores é 105 N/m, determine a velocidade
para qual o sistema entra em ressonância. Despreze os
efeitos do atrito nos amortecedores. R.: 15,9 m/s ou 57
km/h
10m
17. Suponha que você esteja examinando as características da suspensão de um
automóvel de 2000kg. A suspensão “ cede” 10cm quando o peso total do automóvel
repousa sobre a mesma. Além disto, a amplitude das oscilações diminui 50% durante
cada oscilação completa. Estime os valores de k e b para a mola e o sistema aboservedor
do choque para cada roda. Suponha que cada roda suporte 500kg. R.: k=490 N/cm;
b=1090kg/s.
18.Um carro de 1000 kg transporta quatro passageiros com 81kg cada um, numa estrada
rugosa com ondulações. A distância entre as rugosidades é igual a 4m. O carro oscila
verticalmente com amplitude máxima quando sua velocidade é igual a 16km/h. O carro
pára e todos os seus ocupantes descem. De quanto se eleva o carro sobre a supensão por
causa da diminuição do peso? R.: 4,77 cm.
19. Um sólido se move sob a ação de uma força elástica –kx e uma força viscosa - ρx& .
As condições iniciais para o movimento são: deslocamento da mola x(0)=4,0x10-2 m e
velocidade inicial x& (0)=0. Conhecendo a massa do sólido, m=32,0 kg e a constante da
mola, k=50 N/m, determine a elongação como função do tempo quando a constante
viscosa valer: (a) 16 N.s/m, (b) 80 N.s/m, (c) 96 N.s/m.
R: (a) x(t)=0,0408e-0,25tcos(1,25t-0,197);(b)x(t)=e-1,25t(0,04+0,05);
(c) x(t)=e-1,5t(0,056e0,83t -0,162 e-0,83t)
3
20. Considere o oscilador harmônico cuja equação de movimento é
d 2x
dx
m 2 + mγ
+ kx = 0
dt
dt
no regime de amortecimento supercrítico, isto é, γ>4k/m. (a) Mostre que a solução geral
é da forma x(t)= ae-λ1t+ be-λ2t. Determine as constantes λ1 e λ2 em termos de m1, γ e k.
(b) Determine as condições iniciais (posição e velocidade) para a massa m em t=0 para
que ela se aproxime da origem o mais rapidamente possível.
R.:(a) λ1 = γ / 2 − γ 2 / 4 − k / m , λ2 = γ / 2 + γ 2 / 4 − k / m ;(b)
x λ −v
v + x0 λ1
a = 0 2 0 ;b = 0
; para que se aproxime mais rapidamente da origem
λ1 + λ2
λ1 + λ2
devemos ter b=0 e x0=-v0/λ1.
21. Um corpo de massa m=50,0 kg está suspenso por uma mola de constante elástica
k=1,25x104 N/m. Uma força harmônica de amplitude fmax=45,0 N atua sobre o corpo ao
longo da direção vertical. Considerando-se a existência de atrito viscoso com
coeficiente ρ=100 N.s/m, determine para o regime estacionário; (a) a frequência de
ressonância, (b) a amplitude máxima na ressonância, (c) a defasagem entre o máximo da
força harmônica e o máximo da amplitude.
R.: ωR=15,75 rad/s; A(ωR)=3,01x10-2 m; (c) φ (ωR)=-89,7o.
22. Um corpo de massa 50g está preso a uma mola e oscila livremente com uma
frequência angular de 20 rad/s. Este oscilador é posteriormente colocado num meio cujo
coeficiente de atrito viscoso é ρ=0,25 kg/s. Nestas condições o oscilador é mantido em
regime estacionário, devido a uma força externa F=F0cosωt, onde F0=0,25N e ω=20
rad/d. Determine para esta última situação:
(a) a equação diferencial que descreve o movimento, escreva a equação de movimento
explicitando os valores numéricos dos coeficientes indicando também, suas
respectivas unidades;
(b) a amplitude do movimento;
(c) em que instantes a elongação é máxima em módulo.
Se subitamente a força externa é desligada, num instante em que a elongação é máxima,
determine para a nova situação:
(d) a equação diferencial que descreve o movimeno, explicitando os valores numéricos
dos coeficientes bem como suas respectivas unidades;
(e) a frequência angular da oscilação.
R.: (a) &x& + 5 x& + 400 x = 5 cos(20t ) ; (b) A=0,05m; (c) t=(2n+1)π/40 s, n=0,1,2…;
(d) &x& + 5 x& + 400 x = 0 ; (e) ω = 19,84 rad/s
23. Um corpo de massa m=1000 kg cai de uma altura
H=1m sobre uma plataforma de massa desprezível.
Deseja-se projetar um sistema constituído por uma mola
e um amortecedor sobre o qual se montará a plataforma
de modo que ela fique em equilíbrio a uma distância
d=2m abaixo de sua posição inicial, após o impacto. O
equilíbrio deve ser atingido tão rápido quanto possível,
sem oscilações.
(a) Obtenha a constante k da mola e a constante de
amortecimento ρ do amortecedor.
4
m
H
Sistema
mola -amortecedor
(b) Obtenha a equação que descreve o movimento do
bloco após entrar em contato com a plataforma.
Calcule o tempo necessário para que a plataforma
esteja a 1 m da sua posição final.
R. (a) 5x103 N/m, 2 5 x103 N.s/m; (b) 5 / 5 ln 2
m
k
24.Um sismógrafo é um aparelho projetodo para registrar
vibrações da crosta terrestre. Ele é constituído basicamente
de um oscilador dentro de uma gaiola. As vibrações da
gaiola colocam o oscilador em movimento e suas
vibrações são registradas através de uma agulha em um
rolo de papel (veja a figura ao lado). Determine a razão
entre a amplitude A de oscilação da agulha do sismógrafo
e a amplitude δ de vibração da base. Suponha que o
deslocamento da base é dado por yb= δ cosωt e que o
amortecimento viscoso é muito pequeno (seu único efeito
é eliminar a solução transiente).
A
ω2
=
; com ω0 = k / m
R.:
δ ω 02 − ω 2
25. Um pulso de onda transversal é gerado numa extremidade de uma longa corda
esticada e se propaga para a direita. A velocidade do pulso é de 2,0 m/s. O
deslocamento y(x,t)= F(x-vt) no instante t=2,0 s é descrito por:
 
x−4 
2 (1 −
 se x − 4 ≤ 4
4 
y( x ,2) = F( x − 4) =  

se x − 4 > 4
0
Faça o gráfico que representa a forma real da corda nos seguintes instantes
a) t=0s,
b) t=1,0s, c) t=3,0s,
d) t=4,0s.
26. Uma onda senoidal contínua propaga-se em uma corda com velocidade de 80cm/s.
O deslocamento das partículas na corda no ponto x=10cm varia de acordo com a
equação y=5,0cos(1,0-4,0t) em cm. A densidade linear da corda é de 4,0g/cm.
Determine:
a) a frequência angular ω da onda;
b) o número de onda k:
c) a equação geral que dá o deslocamento transversal das partículas da corda como
função da posição e do tempo, ou seja y(x,t).
R.: 4,0 rad/s; 0,05cm-1, y(x,t)=5,0cos(0,05x –4,0t+0,5).
27. A equação de uma onda transversal progressiva em uma corda muito longa é dada
por : y(x,t)= 2,0x10-2 cos[2π(0,5x +10t)] em unidades do sistema internacional.
Sabendo-se que a tensão aplicada na corda é de 100N, determine:
a) a amplitude de vibração;
5
b)
c)
d)
e)
f)
o comprimento de onda e a frequência;
o sentido de propagação da onda;
a velocidade de propagação da onda;
a velocidade transversal máxima de um ponto genérico da corda;
a distância entre dois pontos cuja diferença de fase seja de 300.
R.: 2,0x10-2 m; 2,0m e 10 Hz, no sentido negativo do eixo x; 20 m/s;
0,40π m/s; 0,17m.
28. A equação da onda tranversal que se propaga em uma corda sob tensão de 100N é
y(x,t)=1,0 x10-2cos(3,0x+6,0t) onde x e y são expressos em metros. Determine:
a) a força transversal que age sobre a corda em uma posição x, em um instante t
qualquer;
b) a velocidade transversal de uma partícula da corda localizada em x;
c) a potência transmitidada através de x;
d) a potência média transmitida através de x.
R.: 3,0sen(3,0x+6,0t)
(kx+ωt) W; -0,9x10-1W.
N;
-6,0x10-2 sen(3,0x+6,0t)
m/s;
1,8x10-1
sen2
29. Duas ondas descritas pelas equações y1(x,t)=1,0cos(2,0x –3,0t) e y2=1,0 cos(2,0x3,0t-π/3) com x e y em centímetros, propagam-se em uma corda vibrante. Determine:
a) a amplitude da onda resultante
b) a expressão da onda resultante.
R.:
3 cm; y(x,t)=
3 cos(2,0x-3,0t-π/6)
30. Uma corda de 2 m de comprimento e 4 g de massa é mantida horizontalmente, com
uma das extremidades fixas e a outra sustentando uma massa de 2 kg. Determine a
velocidade das ondas transversais na corda.
R.: 100 m/s.
31. A corda mi de um violino tem uma densidade linear de 0,5g/m e está sujeita a uma
tensão de 80 N, afinada para uma frequência ν=660Hz. (a) Qual o comprimento da
corda? (b) Para tocar a nota lá da escala seguinte, de frequência 880 Hz, prende-se a
corda com um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração f de seu comprimento. Qual
o valor de f?
R.: 0,3m; ¾
32. Duas ondas senoidais propagam-se em direções opostas ao longo de uma corda.
Cada uma tem amplitude de 0,30 cm e comprimento de onda de 6,0 cm. A velocidade
transversal na corda é de 1,5 m/s. Determine:
a) a equação da onda resultante
b) a distância entre dois pontos da corda que possuem velocidade nula;
R.:
y(x,t)=0,30cos[π[x/3-50t)]
cos(50πt); 3,0cm
+0,30cos[π[x/3+50t)]=0,60cos(πx/3)
6