PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 02
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
(PG)
Como pode cair no enem
Almeida, dono de um depósito de bebidas, vende ao primeiro freguês a metade das garrafas
de cerveja do seu estoque; ao segundo, a metade das garrafas que sobraram, e assim por diante,
até o oitavo freguês. Depois da oitava venda, ele satisfeito, reparou que restava apenas uma
garrafa, que bebeu para comemorar. Diga quantas garrafas estavam inicialmente no depósito.
Fixação
1) (UnB) Para testar a quantidade de vitamina A em cenouras, pedaços desse vegetal foram
dados a ratos deficientes dessa vitamina. Os níveis de dose foram arranjados em uma
sequência geométrica. Se 20 g e 50 g foram as duas primeiras doses, de quanto deverá
ser a terceira dose?
Fixação
2) (UFRJ) O número de bactérias em uma certa cultura dobra a cada hora. A partir da amostra
inicial, são necessárias 24 horas para que o número de bactérias atinja uma certa quantidade Q.
Calcule quantas horas são necessárias para que a quantidade de bactérias nessa cultura
atinja a metade de Q.
Fixação
3) Os frutos de uma árvore apodrecem segundo uma progressão geométrica de primeiro termo
.1 e razão 3, ou seja, no primeiro dia apodrece um fruto, no segundo dia 3, no terceiro 9 e assim sucessivamente.
Quantos frutos apodrecerão ao final de 7 dias?
Fixação
F
4) (UERJ) A meia-vida é o parâmetro que indica o tempo necessário para que a massa de uma5
n
certa quantidade de radioisótopos se reduza à metade de seu valor.
133
Considere uma amostra de 53I , produzido no acidente nuclear, com massa igual a 2 g ee
d
meia-vida de 20 h.
Após 100 horas, a massa dessa amostra, em miligramas, será cerca de:
u
a) 62,5
b) 125
•
c) 250
•
d) 500
q
•
o
Fixação
5) (UnB) A Geometria Fractal é uma linguagem criada pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot,
no começo da década de 50. Mandelbrot criou essa geometria após observar padrões surgidos
em diversas áreas, tais como na estrutura do ruído das comunicações telefônicas, na flutuação
dos preços em operações do mercado financeiro e no estudo empírico da geometria dos litorais.
As figuras abaixo ilustram os três primeiros passos da construção de um fractal a partir de
um quadrado de lado K, sendo que, a figura II representa o padrão desse fractal.
O procedimento pode ser descrito da seguinte maneira:
• Passo 1: Considere o quadrado representado na figura 1;
• Passo 2: Dividindo-se três lados desse quadrado em três partes iguais, constroem-se três outros
quadrados, conforme ilustra a figura II;
• Passo 3: Repetindo-se o processo com os três quadrados obtidos no passo 2, obtêm-se nove
outros quadrados, conforme ilustra a figura III.
O processo pode ser repetido um número qualquer de vezes.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Determine a área obtida em função de K ao se repetir esse procedimento infinitas vezes.
Proposto
1) As medidas das alturas dos três irmãos estão em progressão geométrica. Se os dois maiores
medem 1,60m e 1,80m, a altura do menor é, aproximadamente, igual a:
a) 1,36 m
d) 1,54 m
b) 1,42 m
e) 1,30 m
c) 1,48 m
Proposto
s2) (UFF) Sendo x um número real não nulo, a soma do 3o termo da Progressão Aritmética (x,
2x,...) com o 3o termo da Progressão Geométrica (x, 2x,...) é igual a:
a) 4x b) 5x c) 6x
d) 7x
e) 8x
Proposto
3) (PUC) Ache números a e b tais que os números 3, a e b estejam em Progressão Geométrica
e os números a, b e 9 estejam em Progressão Aritmética.
Proposto
4) ABCD é dado um quadrado de lado a. Com os vértices nos pontos médios de seus lados,
constrói-se um novo quadrado e, procedendo assim, sucessivamente, constroem-se infinitos
quadrados. Calcule a soma das infinitas áreas assim obtidas.
Proposto
5) A radioatividade foi descoberta por volta de 1896, quando Henri Bacquerel declarou que
algumas substâncias emitiam estranhos raios espontaneamente. Essas emissões seriam capazes de impressionar chapas fotográficas, ionizar gases, passar por camadas de chumbo e
exercer efeito energético na destruição de células vivas.
Partículas radioativas sofrem decomposição espontânea, desintegrando-se numa razão consideravelmente constante. Chama-se meia-vida o período de tempo no qual uma partícula radioativa
leva para desintegrar-se até que a massa final seja a metade da inicial.
Considerando-se que a meia-vida do nuclídeo de 80
35Br é de 18 minutos, calcule o tempo, em
horas, necessário para que 15360 g de 80
35Br se desintegre até atingir uma massa final de 15 g.
Proposto
6) (UERJ) Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de com-pimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas,
cada uma com volume igual a 0,5 cm³. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda,
duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
- Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando 210 = 1000, o menor número de etapas necessárias pra que o volume total
de esferas seja maior do que o volume do recipiente é:
a) 15
.b) 16
c) 17
d) 18
Proposto
7) Uma bola de basquete é solta de uma altura de 9m. Cada vez que bate no chão, sobe até 1/3
da altura onde caiu da última vez. Determine a distância total que a bola percorrerá até parar.
Proposto
38) (ITA) Suponha que os números 2, x, y e 1458 estejam, nesta ordem, em PG. Desse modo,
quanto é o valor de x + y?
Proposto
9) (UNIRIO) Num videogame, um ponto luminoso se encontra em A sobre um segmento AB
de medida 12. Ao iniciar-se o jogo, o ponto luminoso se desloca para B e retorna, perfazendo
na volta uma distância igual a metade do caminho anterior, até um ponto C. Depois, retorna de
C, no sentido do ponto B, percorrendo a metade do último percurso, até um ponto D e, assim,
sucessivamente. Repetindo tal procedimento infinitas vezes, o ponto luminoso tende para um
ponto cuja distância de A é igual a:
a) 7,4
b) 7,6
c) 7,8
d) 8
e) 9
Proposto
10) (UFF) Certas imagens captadas por satélites espaciais, quando digitalizadas, são reporesentadas por normas geométricas de aspecto irregular ou fragmentado, conhecidas por
fractais. Podem-se obter tais fractais pela alteração da forma original e uma curva por meio de
um processo em que os resultados de uma etapa são utilizados como ponto de partida para
a etapa seguinte.
Considere o processo tal que, em todas as etapas, cada segmento de reta é transformado
em uma poligonal cujo comprimento é quatro vezes a terça parte do segmento original, como
ilustrado na figura a seguir:
s
s
s
s
s
s
3s
s
4s
Por esse processo, a partir de um quadrado com 1 metro de lado, obtém-se a sequência
de figuras:
...
O perímetro, em metro, do quinto polígono dessa sequência é:
4
a) 43 3
4
b) 45 3
c)
45
34
5
d) 35 4
4
e) 34
4
Proposto
11) (UERJ) João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte
ao meio várias vezes, conforme ilustrado a seguir.
10cm
1a dobra
2a dobra
3a dobra
4a dobra
Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1 nas duas extremidades
da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma dos números que estão nas extremidades de cada arco.
As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo.
2
2
3
1
1
1
1
3
1
1
3
2
etapa 1
etapa 2
4
3
2
etapa 3
3
5 2 5
3
4
1
1
4
4
3
5 2 5
3
etapa 4
João continuou o processo de dobradura, escrevendo os números, conforme a descrição
acima, até concluir dez etapas.
Calcule a soma de todos os números que estarão escritos na etapa 10.
Proposto
12) (UERJ) A figura a seguir mostra um molusco Triton tritonis sobre uma estrela-do-mar.
e
(www.wikimedia.org)
s
- Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma sequência
de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.
Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...) formam uma progressão
tal que
A
B
C
D E FG
Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE + ... será equivalente a:
a) 2 + √3
b) 2 + √5
c) 3 + √3
d) 3 + √5
Proposto
13) (UERJ) Considere a seguinte soma infinita:
No gráfico I, a seguir, cada parcela desta soma é representada pela área de um retângulo,
e a soma infinita é determinada pela soma das áreas desses retângulos.
No gráfico II, embora a configuração dos retângulos tenha sido alterada, as áreas se mantêm iguais.
1
1
1
1
1 A3
1
1
1
1
1
1
–
2
1
1
–
4
1
– 1
–
8 16
I
A2
A1
1
II
Dados: Os gráficos estão representados fora de escala
Com base nessas informações, podemos afirmar que a soma infinita tem o seguinte valor:
4
a) 3
b) 2
4
c) 3
d) 4