Descrição das atividades na sala de aula 7.6.2

Descrição das atividades na sala de aula
7.6.2. Sessão 02: Introduzindo o conceito de Ponto de Equilíbrio
Fonte: LARSON EDWARDS, Cálculo com aplicações, Problema nº 64, página 52,
Adaptado.
Data: 26/04/2010, Horário: 07h30min. Turma: T14 do curso de Engenharia Elétrica,
Cálculo A – MTM 1019.
7.6.2.1. Atividade 02: Situação Problema – Análise de Equilíbrio
Análise de equilíbrio – Certo modelo de automóvel custa R$43.500,00 com motor a
gasolina e R$46.350,00 com motor a diesel. O consumo de combustível para os dois
tipos de motor é de 9 quilômetros por litro e 13 quilômetros por litro, respectivamente.
Suponha que o preço da gasolina é de R$2,17 por litro, e o preço do óleo diesel é de
R$1,62 por litro.
Com relação à situação problema acima:
(a) Mostre que o custo Cg de viajar x quilômetros no carro a gasolina é dado por
𝐶𝐶𝐶𝐶 = 43.500 +
2,17𝑥𝑥
9
por 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 46.350 +
e que o custo Cd de viajar x quilômetros no carro a diesel é dado
1,62𝑥𝑥
13
.
(b) Determine o ponto de equilíbrio, ou seja, à distância acima da qual é mais
econômico viajar com o carro com motor a diesel do que com o carro com motor a
gasolina.
Objetivo da atividade:
Determinar o ponto de equilíbrio entre os dois modelos de automóvel, para
analisar o modelo mais econômico.
Como aplicação de derivadas, achar o ângulo de interseção entre duas retas. O
ângulo de interseção entre duas curvas é o mesmo que o ângulo de interseção entre duas
retas. Pois, as retas dão a direção da reta tangente à curva no ponto considerado.
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Solução:
Conhecimentos prévios necessários: Equação da reta, inclinação, representação
gráfica, resolução de sistemas para determinar o ponto de interseção, crescimento de
funções e análise dos gráficos.
A aluna Chaveli pergunta:
Professor, como achará esse ponto de equilíbrio?
Resposta: O ponto de equilíbrio representa um ponto de interseção de dois gráficos, isto
é, um par ordenado (x, y), que representa uma solução para as equações que definem os
dois gráficos. Resolvam o sistema formado pelas duas equações:
𝐶𝐶𝐶𝐶: 𝑦𝑦 = 43500 +
Resolvendo o sistema de equações �
>
2,17𝑥𝑥
9
e 𝐶𝐶𝐶𝐶: 𝑦𝑦 = 46350 +
𝑦𝑦 = 43500 +
𝑦𝑦 = 46350 +
2,17𝑥𝑥
9
1,62𝑥𝑥,
temos:
1,62𝑥𝑥
13
13
Passado alguns minutos, o aluno Paulo Henrique diz ter resolvido o sistema, cuja
solução era y = 49398,6427 e x = 24464,41673.
Professor: Logo, esse resultado representa o ponto de equilíbrio. Normalmente
quando se compra um carro novo, exige um investimento inicial que é o preço do
carro, impostos e a quilometragem por litro de combustível, para se poder comparar
com outros modelos. Agora, precisamos tirar algumas conclusões:
Para termos uma visualização gráfica, temos que construir gráficos de Cg e Cd, para
se comparar os dois modelos.
O aluno Eduardo pergunta:
Professor, como constriur esses gráficos?
Após uma breve explicação sobre os comandos do software maple, o professor solicitou
que os alunos utilizassem as informações dadas para construir os gráficos. Após meia
hora, começam a aparecer os resultados, e corretos.
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Figura 03: Análise de Equilíbrio na compra de carro movido a gasolina ou diesel.
Solução esperada:
Conhecimentos prévios necessários: Equação da reta, inclinação da reta, representação
gráfica, resolução de sistemas para determinar o ponto de interseção, crescimento de
funções e análise de gráficos.
Resolvendo o sistema de equações �𝑦𝑦 = 43500 +
>
>
>
2,17𝑥𝑥
9
, 𝑦𝑦 = 46350 +
1,62𝑥𝑥
13
�, temos:
Figura 04: Análise de Equilíbrio na compra de caro movido a gasolina ou diesel.
Situação problema: No caso da compra de carros a Diesel ou a gasolina, determine o
ponto de equilíbrio para verificar qual é o investimento mais vantajoso.
Descrição da realização da atividade segundo o grupo 07 (Alunos: Caio e Ricardo).
Solução dos alunos:
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blue);
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red);
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Figura 05: Ponto de Equilíbrio – Grupo 07.
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Conclusão dos alunos:
Os gastos são menores em um veículo movido a gasolina enquanto à distância
percorrida for inferior a 24.462 km (Ponto de Equilíbrio). A partir daí, o veículo movido
a diesel torna-se mais econômico.
Observação do professor: A presente conclusão tem validade para os valores (preço do
automóvel, do combustível e consumo) fornecidos pelo problema.
Outros grupos também realizaram a atividade e apresentaram resultados similares à do
grupo aqui retratado.
Conclusões sobre a Resolução de Problemas:
Hoje, a tendência é caracterizar esse trabalho considerando os alunos como
participantes ativos, os problemas como instrumentos precisos e bem definidos e
atividade na resolução de problemas como uma coordenação complexa e simultânea,
(ONUCHIC, 1999, P. 203).
O ponto central é trabalhar o ensino-aprendizagem de cálculo através da
resolução de problemas. Ajudar os alunos a compreenderem os conceitos, os processos
e as técnicas operatórias necessárias em cada unidade didática.
Na perspectiva construtivista, engajar o aluno na construção do próprio
conhecimento.
Para Polya (1965), “resolver problemas” era o tema mais importante de fazer
matemática e “ensinar o aluno a pensar”.
Construir o conhecimento sobre os conhecimentos prévios, trabalhar os
conceitos e os procedimentos matemáticos na resolução de problemas. A resolução de
problemas é uma atividade que deve ser usada para orientação da aprendizagem.
O uso do software maple como facilitador da aprendizagem e o computador
como ferramenta de apoio para o ensino-aprendizagem do cálculo.
A dinâmica da sala de aula com a presença do computador, a aula ganha um
novo cenário, refletindo-se na relação do professor com os alunos e no papel
desempenhado por seus componentes. Esta situação de mudança na sala de aula vem ao
encontro com a afirmação de Nóvoa e Maia (1995) de que:
A organização diferente do espaço físico da sala de aula é uma evidência,
tornada mais transparente pelo aparecimento de novas tecnologias. No contexto de sala
de aula, o desenho deste espaço, afeta o comportamento dos seus alunos, a sua própria
conduta, a forma como se comunicam entre si e no desenrolar de determinada atividade.
(p.25).
Ao trazer o computador para sala de aula, o professor passa a contar com um
novo canal de comunicação com seus alunos.
Ausubel (1989), na sua teoria de assimilação, acredita que os conceitos prévios
devem estar presentes na estrutura cognitiva para viabilizar a aprendizagem
significativa. Tais conceitos, denominados inclusores, são estruturas específicas
altamente organizadas e possuem uma hierarquia conceitual na qual uma nova
informação pode ser integrada. Caso isso não ocorra, se os conceitos são inteiramente
novos para quem está aprendendo, a aprendizagem memorística tem lugar nesse
processo de assimilação. Preocupado com esse tipo de aprendizagem, que ocorre de
maneira mecânica e isolada, o autor procura estabelecer um contínuo entre dois
extremos: memorização e significação. A memorização é a possibilidade da criação de
um vínculo com a nova informação, transformando-se em uma relação significativa.
Esse tipo de informação pode ter um significado para os alunos, se os professores
criarem situações de aprendizagem que possibilitem a operacionalização com o material
novo. Isto é, à medida que as informações são assimiladas, estabelecem-se relações
significativas para estruturar os conhecimentos existentes na estrutura cognitiva, isto é,
porque o processo significativo é um processo continuado de inclusão.
Exemplo:
Quando foi dada a derivada da função 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 , senti que alguns alunos ao aplicar
o limite da taxa média de variação, buscaram na estrutura cognitiva
o
lim𝑥𝑥 →0 (𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 1)⁄𝑥𝑥 = ln 𝑎𝑎, para incluírem no limite da taxa média de variação,
completando a fórmula de derivação de 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 que é 𝑦𝑦′ = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ln 𝑎𝑎.
Logo, o uso de conhecimentos prévios e do software maple facilita a
aprendizagem significativa, pois, são conhecimentos e ferramentas que são usadas no
dia-a-dia na sala de aula. Portanto, aconteceu a aprendizagem significativa por
descoberta.