Lista de exercícios: Números Complexos – Prof ºFernandinho 01

Lista de exercícios: Números Complexos – Prof ºFernandinho
01. Qual é o valor de 𝑥, com 𝑥 𝜖 ℛ, para que o complexo 𝑍 = (𝑥 − 2𝑖 ). (2 + 𝑥𝑖) seja real?
𝑎−𝑖
02. Para 𝑖 = √−1, calcule os valores reais de 𝑎 e 𝑏 tais que | 3
𝑖
𝑖
| = 3 + 𝑏𝑖
𝑖 26
𝑖
03. Se 𝑖 é a unidade imaginária, então quanto vale o determinante |𝑖 4
𝑖7
𝑖2
𝑖5
𝑖8
𝑖3
𝑖 6| ?
𝑖9
04. Se 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 𝑥 + 1, calcule o valor de 𝑓 (1 − 𝑖 ).
1+𝑖
05. Se 𝑦 = 2𝑥, sendo 𝑥 = 1−𝑖 e 𝑖 = √−1, qual é o valor de (𝑥 + 𝑦)2 ?
06. Determine o valor da expressão 𝐸 = (1 + 𝑖)20 + (1 − 𝑖)20
07. Sendo 𝑖 = √−1 a unidade imaginaria do conjunto dos números complexos, calcule o valor da expressão
(1 + 𝑖)6 − (1 − 𝑖)6
1−𝑖 25
08. Qual é o valor do número complexo definido por (1+𝑖) ?
1
1−𝑖
09. Se 𝑎 = 1+𝑖 , 𝑏 = 1+𝑖 𝑒 𝑐 = (𝑏 − 𝑖)2 , onde 𝑖 é a unidade imaginária, calcule 𝑎𝑐 .
𝑈 52
10. Sejam os números complexos 𝑈 = 1 + 𝑖 e 𝑉 = 1 − 𝑖. Calcule o valor de 𝑉 51 .
11. Calcule a soma 𝑆 = 𝑖 + 𝑖 2 + 𝑖 3 + 𝑖 4 + ⋯ + 𝑖 50
12. Calcule o produto 𝑃 = 𝑖. 𝑖 2 . 𝑖 3 . 𝑖 4 … 𝑖 30
𝑖+ 𝑖 2 +𝑖 3 + 𝑖 4 +⋯+𝑖 502
13. Sendo 𝑖 a unidade imaginária, determine o valor de 𝑦 = 𝑖+ 𝑖 2 + 𝑖 3 + 𝑖 4 +⋯+𝑖 103
14. Dados os números complexos 𝑍 = 3 + 2𝑖 e 𝑊 = −3 − 𝑖, calcule o valor de (𝑍 + 𝑊)18 .
15. Calcule o valor da expressão 𝑦 =
(1+𝑖)10
(1−𝑖)5
16. Qual é o conjugado do número complexo 𝑍 =
2−𝑖
𝑖
2−𝑥𝑖
17. Determinar 𝑥 real positivo de modo que o número complexo 𝑍 = 1+2𝑥𝑖 seja imaginário puro.
2+𝑖
18. Sabendo que 𝑥 é um número real e que a parte imaginária do número complexo 𝑍 =
é zero, calcule o
𝑥+2𝑖
valor de 𝑥.
1+2𝑖
19. Determine "𝑎" real de modo que o número complexo 𝑍 = 2+𝑎𝑖 seja real.
𝑍
20. Determinar o número complexo 𝑍 tal que: 1−𝑖 +
𝑍−1
1+𝑖
5
5
= 2 + 2𝑖
21. Determinar 𝑍 ∈ 𝐶, tal que: 𝑍̅ = −2. 𝑍. 𝑖
22. Determinar os números complexos 𝑍 tais que: 𝑍. 𝑍̅ + 𝑍 − 𝑍̅ = 13 + 6𝑖
23. Determinar 𝑍 ∈ 𝐶, tal que: 𝑍 2 = 𝑖.
24. Determine 𝑍 ∈ 𝐶, tal que: |𝑍| + 𝑖. 𝑍 = 1 − 3𝑖
25. Determine 𝑍 ∈ 𝐶, tal que: 𝑍 + |𝑍| = 2 + 𝑖
26. Se 𝐴 e 𝐵 representam no plano de Argand – Gauss as imagens das raízes complexas da equação de terceiro
grau 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 = 0 e 𝐶 representa no mesmo plano a imagem da raiz real desta equação, então qual será o
perímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶?
27. Quanto vale o módulo do número complexo 𝑍 = 𝑖 2014 − 𝑖 1987?
28. Sejam 𝑥 e 𝑦 números reais tais que 𝑥 + 𝑦𝑖 = √3 + 4𝑖, onde 𝑖 é a unidade imaginária. Qual é o valor de
𝑥. 𝑦?
3
29. Seja 𝑍 o produto dos números complexos √3 + 𝑖 e 2 +
do complexo 𝑍.
3√3
2
𝑖. Determine o módulo e o argumento (em graus)
1+𝑖
1−𝑖
30. Obtenha o módulo e o argumento do número complexo 𝑍 = 1−𝑖 − 1+𝑖.
1+𝑖 5
31. Qual é o argumento do número complexo (1−𝑖) ?
2
4
32. Seja 𝑍 um número complexo tal que 𝑍 = (1−𝑖) , onde 𝑖 é a unidade imaginária. Determine o valor do
módulo e do argumento principal de 𝑍.
33. Obtenha a forma trigonométrica do complexo 𝑍, tal que, 𝑖. 𝑍̅ + 2. 𝑍 − 1 + 𝑖 = 0.
34. Obtenha a forma trigonométrica do complexo 𝑍 =
1+𝑖.√3
√3+𝑖
.
35. Sendo 𝑍 = 2. (cos 30° + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 30°) e 𝑈 = 4. (cos 60° + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 60°), obtenha a forma algébrica de
𝜋
𝜋
36. Sendo 𝑍 = 2. (cos 3 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 3 ), calcule a forma algébrica do complexo 𝑍12.
𝜋
𝜋
37. Considere o número complexo 𝑍 = cos 6 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 6 . Qual é o valor de 𝑍 3 + 𝑍 6 + 𝑍12?
38. Sendo 𝑍 = −1 + 𝑖. √3, calcule 𝑍 7 .
39. Calcule o valor de 𝑍 = (− √2 + √6. 𝑖)8 .
40. Determine o valor de 𝑍 = (3√2 + 𝑖. √6)12 .
1
41. Calcule o valor da expressão 𝐸 = (2 + 𝑖.
100
√3
)
2
𝑍3
𝑈
.
42. Qual é o valor da potência (cos 60° + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 60°)601?
8
43. Qual é o módulo e o argumento do complexo (√3 + 𝑖) ?
𝜋
44. Dê a forma algébrica do número complexo 𝑍12, sendo 𝑍 = cos 16 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛
𝜋
.
16
45. a) Determinar o número 𝑍 tal que: 𝑖. 𝑍 + 2. 𝑍̅ + 1 − 𝑖 = 0.
b) Qual é o módulo e o argumento de 𝑍?
c) Determinar a potência de expoente 1004 de 𝑍.
𝑛
46. Determine o menor inteiro positivo 𝑛, tal que (1 + 𝑖. √3) seja um número real.
47.Determine o menor valor natural de 𝑛, para o qual (√3 + 𝑖)𝑛 é:
a) real e positivo.
b) real e negativo.
c) imaginário puro.
48. Obtenha as raízes quadradas de 𝑍 = 5 − 12𝑖
49. Obtenha as raízes cúbicas de 𝑍 = −27𝑖
50. Resolva em 𝐶 a equação: 𝑍 4 − 16 = 0
Gabarito:
01.
𝑥 = 2 𝑜𝑢
𝑥 = −2
02.
𝑎 = −4 𝑒
𝑏=1
03. 𝑍𝑒𝑟𝑜
04. 𝑓 (1 − 𝑖 ) = −𝑖
05. – 9
06. 𝐸 = −2048
07. − 16𝑖
08. – 𝑖
09. 𝑎𝑐 = −4
10. 1 − 𝑖
11. 𝑆 = 𝑖 − 1
12. 𝑃 = 𝑖
13. 𝑦 = 1 − 𝑖
14. – 1
15. 𝑦 = 4 − 4𝑖
16. 𝑍̅ = −1 + 2𝑖
17. 𝑥 = 1
18. 𝑥 = 4
19. 𝑎 = 4
20. 𝑍 = 3 + 2𝑖
21. 𝑍 = 0
𝑍 = 2 + 3𝑖
22. 1
𝑍2 = −2 + 3𝑖
23.
24. 𝑍 = −3 + 4𝑖
25. 𝑍 = 4 + 𝑖
26. 4+2√5
27. √2
28. 2
| |
32. 𝑍 = 4
𝜃= 𝜋
33. 𝑍 = √2. (cos
36. 𝑍12 = 4096
37. 𝑖
38. 𝑍 7 = −64 + 64√3𝑖
40. Z = 212 . 66
41. 𝐸 = − 2 − 𝑖.
31. 𝜃 =
𝜋
2
35. √3 + 𝑖
39. Z = − 2048 − 𝑖. 2048√3
1
42. +
2
√3
𝑖.
2
46. 𝑛 = 3
|𝑍| = 256
43.
𝜃=
4𝜋
3
𝑎)𝑛= 0
47. 𝑏 ) 𝑛 = 6
𝑐)𝑛 =3
𝑍1 =
𝑍2 =
√2
2
√2
𝑖
2
√2
√2
−2 − 2 𝑖
+
29.
7𝜋
4
+ 𝑖. 𝑠𝑒𝑛
3
|𝑍 | = 6
𝜃 = 90°
7𝜋
4
30.
|𝑍 | = 2
𝜋
𝜃= 2
𝜋
)
1
√3
2
𝑎) 𝑍 = −1 − 𝑖
44. 𝑍
12
=
√2
−
2
+
√2
𝑖.
2
45. 𝑏) |𝑍| = √2 𝑒 𝜃 =
𝑐) 𝑍1004 = −2502
𝑍1 = 3𝑖
𝑍 = 3 − 2𝑖
48. 1
𝑍2 = −3 + 2𝑖
49. 𝑍2 = −
𝑍3 =
𝜋
34. 𝑍 = 𝑐𝑜𝑠 6 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛 6
3 √3
3 √3
2
2
3
−2𝑖
3
−2𝑖
5𝜋
4
𝑍1 = 2
𝑍 = −2
50. 2
𝑍3 = 2𝑖
𝑍4 = −2𝑖