matrizes

EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES
1. Sejam as matrizes:
A=[
2 1
−1 2
4 −1
] B =[
]eC=[
]
3 −1
1 0
2 1
Calcule a matriz X para que (X-A)/2 = (B+X)/3 + C
1 0
0
2. Dadas as matrizes A = [
]eB=[
0 2
2
3 2 0
−1 2
3. Sejam A = 1 2 1 e B = 4 5
−4 3 2
0 0
2
], resolva o sistema
1
3
1 , resolva o sistema
1
2X + Y = 3A - B
X -2Y = 5A + 2B
2X - 3Y = A
-X + 2Y =B
4. Dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i+ 4j e bij = -41 – 3j. Se C = A + B, calcule
C².
0 1
5. Sendo as matrizes A= 1 1
1 1
1
0
e
B
=
2
0
1
0
−2 1
−1 0 , determine a matriz X tal que X = 2AB + B²
1 0
2 1
1 0
]e M = [
], determine a matriz inversa de M e o traço da matriz X = M-1 ∙ A ∙ M (o traço de
1 1
2 1
uma matriz é a soma dos termos de sua diagonal principal).
6. Sendo A = [
2
7. Determine x de modo que x
x
1
8. Dadas as matrizes A = [
0
1 x
1 0 >0
0 1
3
−1 3
]eB=[
], prove que det (A∙ B) = det(A) ∙ det(B)
2
2 0
√2
9. Calcule o determinante da matriz P², sendo P = √2
0
−1 1
1 −1
√2 √2
2 1 1
10. Se A = 3 1 2 e f(x) = -x² - x – 1, calcule f(-1/det A).
1 −1 0
RESOLUÇÃO
1. Desenvolvendo a equação matricial, encontra-se:
3 (X-A) = 2 (B+X) + 6C.
Daí, X = 3A + 2B + 6C
2 1
−1 2
4
X=3[
]+2[
]+6[
3 −1
1 0
2
Logo, X = [
−1
]
1
6 3
−2 4
24 −6
𝟐𝟖 𝟏
]+ [
]+[
]=[
]
9 −3
2 0
12 6
𝟐𝟑 𝟑
2. A partir do método da resolução de sistema por adição, encontramos que 5X = 11A. Logo, X = 11A/5
𝟏𝟏/𝟓
𝟎
1 0
Logo, X = 11/5 ∙ [
]. Então X = [
]
𝟎
𝟐𝟐/𝟓
0 2
Substituindo em 2X + Y = 3A – B, temos Y = 3A – B – 2X
11/5
0
−7/5
−2
1 0 0 2
Y= 3[
]-[
]-2[
]=[
]
0
22/5
−2
−19/5
0 2 2 1
3. Pelo método da adição, encontramos: Y = A + 2B. Assim:
3 2
Y= 1 2
−4 3
0
−1 2
1+2 4 5
2
0 0
3
1
6 6
1 = 9 12 3
1
−4 3 4
4.
aij = 3i + 4j
a11 = 7
a12 = 11
𝟕 𝟏𝟏
A=[
]
𝟏𝟎 𝟏𝟒
a21= 10
a22 = 14
bij = -4i – 3j
b11 = -7
b12 = -10
B=[
−𝟕 −𝟏𝟎
]
−𝟏𝟏 −𝟏𝟒
b21 = -11
b22 = -14
C = A + B. Então C = [
0 1
0 1
0 1
−𝟏 𝟎
] e C² = C x C = [
]∙[
]=[
]
−1 0
−1 0 −1 0
𝟎 −𝟏
5. X = 2AB + B²
0 1
X=2 1 1
1 1
1
0
1
0
2
0
−2 1
0
−1 0 + 2
1 0
0
−2 1
−1 0
1 0
0 −2 1
2 −1 0
0
1 0
𝟎 𝟑 𝟎
X= 𝟐 −𝟗 𝟒
𝟔 −𝟓 𝟐
6. M ∙ M-1 = I
[
1 0 𝑥
][
2 1 𝑧
𝑥
[2𝑥 + 𝑧
𝑦
1 0
]=[
]
𝑤
0 1
𝑦
1 0
2𝑦 + 𝑤 ] = [0 1]
x = 1; y = 0; z = -2; w = 1. Logo, a matriz inversa será [
1 0
4
1
]. A matriz X dada por M-1 ∙ A ∙ M = [
]eo
−2 1
−5 −1
traço dessa matriz é 3.
7. Basta aplicar a Regra de Sarrus, que consiste em repetir, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. A partir
daí, somamos o produto encontrado nas diagonais que caem à direita e subtraímos da soma produto dos
termos das diagonais que caem à esquerda. Simples assim!
Como visto em sala de aula, x deverá assumir os valores -2 e 1.
8. Como visto em sala de aula, o primeiro passo foi calcular o produto das duas matrizes e achar o seu
determinante.
No segundo passo, encontramos o determinante de cada matriz isoladamente, e os multiplicamos.
Encontramos, portanto, que o det(AB) = det A x det B.
9. Do exercício acima, sabemos que não é necessário multiplicar a matriz por ela mesma para calcular seu
determinante. Basta que se calcule o determinante e se eleve ao quadrado.
det (PP) = det P x det P
Como o determinante da matriz P é igual a 8, o determinante de P² será 64.
10. Calculando o determinante pela regra de Sarrus, encontra-se det A = 2. Logo a f (-1/det A) será a f (-1/2). Assim,
basta substituir na função dada:
f (1/2) = - (-1/2)² -1/2 -1 = -1/4 - (-1/2) -1 = -3/4