gabarito

OBMEP na Escola 2017 – Polo CPII Campus Niterói – Professor Fábio Vinícius
Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 1 Nível 3 – Encontros de Aritmética
Conteúdo: Paridades, sistema decimal, divisão Euclidiana, múltiplos e divisores e critérios de divisibilidade
Aluno(s): ......................................................................................... No(s): ...................
[X] Para “o lar”
[X] Individual
[X] Consulta caderno [X] Consulta livro
[X] Grafite
[X] Azul/Preta
Turma: ...........................
[X] Dupla
[X] Trio
[X] Quatro ou mais
[X] Consulta internet [X] Consulta Celular [X] Calculadora de bolso
[X] Corretivo
[X] Rasura
[X] Rascunho
Apresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta.
Exercício 1. Na divisão euclidiana de 802 por 𝑑 > 0 o quociente é 14 e o resto é r. Quais são os possíveis valores
para 𝑑 e 𝑟?
Resposta: Os possíveis valores para 𝑑 e 𝑟 são (𝑑, 𝑟) = (54, 46), (55, 32), (56, 18) ou (57, 4).
Exercício 2. O produto de um número de três algarismos por 7 termina (à direita) em 638. Qual é esse número?
Resposta: O número procurado é 234.
Exercício 3. Determine todos os algarismos 𝑥 e 𝑦 tais que o número 2𝑥7𝑦 seja divisível por 4 e por 11.
Resposta: Os possíveis valores para 𝑥 e 𝑦 tais que o número 2𝑥7𝑦 seja divisível por 4 e por 11 são (𝑥, 𝑦) =
(7, 2) e (𝑥, 𝑦) = (3, 6).
Exercício 4. Os inteiros de 1 a 10 estão escritos no quadro. Dois números quaisquer 𝑎 e 𝑏 são apagados e
substituídos pelo número 𝑎 − 𝑏. Depois desse processo ser repetido diversas vezes, pode acontecer do único
número restante no quadro ser zero? (Dorichenko, problema 20.7)
Resposta: Não. Inicialmente, a soma dos números no quadro é igual a 1 + 2 + ⋯ + 10 = 55, que é um
número ímpar. Em cada etapa, ao apagarmos dois números 𝑎 e 𝑏, e substitui-los pelo número 𝑎 − 𝑏, a
soma dos números do quadrado diminui de 𝑎 + 𝑏 − (𝑎 − 𝑏) = 2𝑏. Como 2𝑏 é par e a subtração por um
número par não altera a paridade, então a soma dos números no quadro sempre tem a mesma paridade.
Como inicialmente, essa soma é ímpar, então permanecerá sempre ímpar e, logo, não pode ocorrer do
único número restante no quadro ser zero, que é par.
Exercício 5. (Fomin, capítulo 1, problema 17) Pedro comprou um caderno com 96 folhas e numerou-as de 1 a 192.
Vitor arrancou 25 folhas do caderno de Pedro e somou os 50 números que encontrou escritos nas folhas. Esta soma
poderia ser igual a 1990? (Exercício 6, página 6, Apostila do PIC “Encontros de Aritmética”)
(Dica: Um problema muito parecido com este está resolvido no vídeo 20).
Resposta: Em cada página, de um lado está escrito um número par e do outro lado está escrito um número
ímpar. Assim Vitor somou 24 números pares (obtendo um número par) e somou 25 números ímpares
(obtendo um número ímpar). Como a soma de um par e um ímpar é um número ímpar, esta soma não
pode ser igual a 1990.
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2 de abril de 2017
Exercício 6. (Banco de Questões 2006, nível 1, lista 1, problema 3) Considere dois números naturais, cada um
deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares.
Se a diferença entre eles é a maior possível, qual é esta diferença? (Exercício 20, página 13, Apostila do PIC
“Encontros de Aritmética”)
Resposta: Para que diferença seja a maior possível devemos escolher o maior número de três algarismos pares
diferentes e o menor número de três algarismos ímpares diferentes. O maior número de três algarismos pares
diferente é 864 e o menor número de 3 algarismos ímpares diferentes é 135. A diferença entre eles é
864 − 135 = 729.
Exercício 7. Na divisão de dois números inteiros, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma do
dividendo e do divisor é 125, determine o resto. (Exercício 5, página 31, Apostila do PIC “Encontros de
Aritmética”)
Resposta: Vamos representar por 𝑎 o dividendo e por 𝑏 o divisor. Como o resto é o maior possível, então ele deve
ser igual a 𝑏 − 1, que é o maior número permitido para o resto de uma divisão por 𝑏. Daí obtemos
𝑎 = 16𝑏 + (𝑏 − 1), ou seja, 𝑎 = 17𝑏 − 1. Como a soma 𝑎 + 𝑏 = 125 obtemos (17𝑏 − 1) + 𝑏 = 125 →
18𝑏 = 126 → 𝑏 =
126
18
= 7. Portando o divisor é 𝑏 = 7, o dividendo é 𝑎 = 17𝑏 − 1 = 118, o quociente é 16 e o
resto é 6.
Exercício 8. (Fomin, capítulo 3, problema 10) Um inteiro é dito um quadrado perfeito quando é igual ao quadrado
de um inteiro.
a) Mostre que se um quadrodo perfeito é divisível por 3, então é divisível por 9.
b) Um número escrito com cem algarismos iguais a 0, cem iguais a 1 e cem iguais a 2, pode ser um quadrado
perfeito? (Dica para o item b: aplique os critérios de divisibilidade por 3 e por 9)
Resposta: a) Seja 𝑥 2 um quadrado perfeito divisível por 3, sendo 𝑥 um inteiro. Pela Divisão Euclidiana, 𝑥
é da forma 3𝑞 ou é da foram 3𝑞 + 1 ou é da forma 3𝑞 + 2, sendo 𝑞 um inteiro. Se 𝑥 é da forma 3𝑞 + 1,
então 𝑥 2 = (3𝑞 + 1)2 = 3(3𝑞2 + 2𝑞) + 1 não é divisível por 3, o que não é verdade. Se 𝑥 é da forma
3𝑞 + 2, então 𝑥 2 = (3𝑞 + 2)2 = 3(3𝑞2 + 4𝑞 + 1) + 1 não é divisível por 3, o que não é verdade. Assim,
só resta concluir que 𝑥 é da forma 3𝑞 e, portanto, 𝑥 2 = (3𝑞)2 = 9𝑞2 é múltiplo de 9.
b) Não. A soma dos algarismos do número é igual a 100 · (0 + 1 + 2) = 300, que é divisível por 3 e não
é divisível por 9. Assim, o número é divisível por 3 e não é divisível por 9 e, logo, pelo item a), não pode
ser um quadrado perfeito.
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