O primeiro, ou o segundo
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I SEMANA DA MATEMÁTICA 11 a 13 de dezembro 2002 MINICURSO : LÓGICA CLÁSSICA APLICAÇÕES E CONEXÕES AULA 1 Um pouco da História da Lógica Aristóteles (384 – 322 a.C.) é considerado o primeiro a investigar os modos do raciocínio. Além das estruturas de silogismo investigadas por ele, há o primeiro uso claro de variáveis em toda a ciência, no enunciado: “Se A é predicado de todo B e B, de todo C, então, necessariamente, A é predicado de todo C”. Estóicos: Crísipo (280 – 205 a.C.) e Filo ( 220 a.C.) são considerados os responsáveis pelo estudo dos conectivos da linguagem e pela acomodação dos argumentos aristotélicos em 5 tipos básicos, a seguir: Se o primeiro, então o segundo Se o primeiro, então o segundo O primeiro Não o segundo Logo, o segundo Logo, não o primeiro Nem o primeiro, nem o segundo O primeiro Logo, não o segundo O primeiro, ou o segundo O primeiro Logo, não o segundo O primeiro, ou o segundo Não o primeiro Logo, o segundo De acordo com Crísipo, um cão, quando possui três caminhos distintos à sua frente, age da seguinte maneira. Se fareja o primeiro e não lhe serve, então fareja o segundo. Se este não lhe serve também, o cão ruma pelo terceiro caminho sem necessidade de verificação. Os cães, segundo ele, utilizam-se de um argumento do tipo: O primeiro, ou o segundo, ou o terceiro Não o primeiro Não o segundo Logo, o terceiro É digno de nota a diferenciação feita entre os dois tipos de disjunção (inclusiva e exclusiva) e o fato de que o símbolo utilizado atualmente para a disjunção inclusiva () vem do fato de que, em Latim, a palavra a designar tal conectivo é a palavra vel (em contraposição à palavra alt, que é utilizada no caso da disjunção exclusiva) Argumento de Orígenes (185 – 253) Eis um argumento divertido, de autoria do filósofo Orígenes de Alexandria: Se você sabe que está morto, está morto. Se você sabe que está morto, não está morto. Logo, você não sabe que está morto. Leibniz, a Linguagem Natural e a Linguagem simbólica. O filósofo e matemático Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dedicou um grande interesse pela lógica e consagrou dignos esforços em um plano concebido antes que completasse 20 anos de idade. Para Leibniz, a linguagem comum, sujeita a ambigüidades e imprecisões de toda ordem, não seria o veículo ideal para a condução das idéias e da comunicação. Se objetivo passou a ser a construção de uma língua racional, com leis sintáticas lógicas, criada a partir do levantamento das idéias mais simples, chamadas por ele de “alfabeto dos pensamentos humanos”, de forma que as idéias mais complexas pudessem ser desenvolvidas a partir desse “alfabeto”. Leibniz visava a construção de uma linguagem artificial, que chamava de Characteristica Universalis (ou Lingua Philosophica), espécie de álgebra ou matemática generalizada, por meio da qual as estruturas do pensamento e do raciocínio pudessem ser substituídas pelas estruturas do cálculo. E aparece em 1666 no livro De arte combinatória. A presumível execução de seu plano, dava confiança a Leibniz na possibilidade de desenvolver regras mecânicas que determinariam a solução de todos os problemas oriundos de imprecisões e dúvidas relativas à comunicação através da linguagem natural. “Se tivéssemos isso, seríamos capazes de raciocinar na metafísica e na moral, do mesmo modo que o fazemos na geometria e na análise. Se surgissem controvérsias, não haveria mais necessidade de que os filósofos tivessem mais disputas do que as que ocorrem entre dois peritos em contabilidade. Pois bastaria que tomassem de seu lápis, sentassem diante de suas lousas e dissessem um ao outro: calculemos”. Augustus De Morgan (1806 – 1871) e George Boole (1815 – 1864), lançam as bases da lógica matemática com os escritos Formal Logic, do primeiro, em 1847 e An Investigation into the Laws of Thought, do segundo, em 1854. Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 – 1925), com seus estudos do que chamava de “Língua Formal do Pensamento Humano” entre 1879 e 1903, é considerado o recriador da lógica ao elaborar uma teoria dedutiva para o cálculo e predicados, construindo inúmeras notações, tais como quantificadores e variáveis que pudessem fornecer fundamentos para a Lógica Matemática. A Linguagem Natural e a Lógica Vejamos alguns casos em que há uma necessidade de maiores cuidados na transposição entre as linguagens, seja pela ambigüidade da linguagem natural, seja pela confusão na utilização dos termos. Uma proposição deve ter o mesmo valor de sua negação dupla: Hoje é quarta feira não é a negação de Hoje é terça feira Apesar de ambas satisfazerem à propriedade de uma só ser verdadeira se a outra for falsa, as duas podem ser falsas simultaneamente. Alguns alunos não são estudiosos não é a negação de Alguns alunos são estudiosos Apesar de ambas satisfazerem à propriedade de uma só ser falsa se a outra for verdadeira, as duas podem ser verdadeiras simultaneamente (de fato, consideramos que é o que ocorre com nossas turmas de alunos) A Conjunção e a propriedade comutativa: Ela é baiana e maior de idade e Ela é maior de idade e baiana são proposições equivalentes Entretanto, tal propriedade (comuntativa) não se dá com Ela correu e caiu e Ela caiu e correu. A Conjunção e a divisão em duas proposições: A proposição Ela é baiana e maior de idade pode ser dividida nas proposições atômicas Ela é baiana e Ela é maior de idade, sem nenhum prejuízo da lógica das idéias envolvidas. Tal não ocorre com a proposição José e Maria são casados, que, se for substituída por José é casado e Maria é casada, sofre uma alteração na lógica envolvida. Alguns paradoxos de linguagem e alguns paradoxos lógicos: Protágoras de Abdéia ( 480 – 410 a.C), filósofo grego da escola sofista, é considerado o primeiro filósofo a cobrar por seus ensinamentos. É atribuído a ele o seguinte paradoxo: Chamemos de A um advogado e de B seu discípulo. A ministra aulas a B e combinam que B pagará a A por essas lições. O acordo entre os dois é de que o pagamento será feito assim que B ganhar uma causa. Preocupado com a demora que B demonstra em defender qualquer causa, A processa B, para receber pelas aulas. Raciocínio de A: Se eu ganhar, o juiz determina que B me pague; Se eu perder, B ganhou sua causa, e deve me pagar. Raciocínio de B: Se eu ganhar, o juiz determina que nada devo pagar; Se eu perder, ainda não ganhei uma causa, e portanto... Eubúlides de Mileto (384 – 322 a.C.) e Epimênides de Creta (século V a.C.) são responsáveis pelo talvez mais conhecido paradoxo da história da ciência, o paradoxo do mentiroso. Eubúlides, contemporâneo de Platão e Aristóteles, adversário deste último formula o paradoxo da seguinte maneira: 1) “A afirmação que estou fazendo agora é falsa” Epimênides, da ilha de Creta, afirma que 2) “ Todos os cretenses são mentirosos” É curioso, mas tal paradoxo parece ter chegado a São Paulo, que cita a idéia da falsidade, sem contudo considerar o ponto central da lógica envolvida. Lê-se, na Epístola a Tito: “Um deles, seu próprio profeta, disse que os homens de Creta são todos mentirosos, criaturas venenosas, vermes famintos”. Bertrand Russel (1872 – 1970) é responsável por um paradoxo que inclusive tem algumas versões populares. Em sua origem, o paradoxo de Russel se refere a conjuntos. Há conjuntos de dois tipos, os conjuntos que se contém e os conjuntos que não se contém. O conjunto dos livros não é ele próprio um livro, assim como o conjunto dos animais não é um animal. São conjuntos que não se contém. Entretanto, existem conjuntos que se contém, tais como o conjunto dos conjuntos, que é ele próprio um conjunto, ou o conjunto das idéias abstratas que é uma idéia abstrata. O paradoxo de Russel se forma diante da seguinte situação: Chamemos de A o conjunto formado por todos os conjuntos que não se contém (e somente por esses). A estará contido em A? Se A se contém, então A não se contém, e se A não se contém, A se contém. Esse mesmo paradoxo aparece em outra roupagem, do próprio Russel, de 1919. Consideremos uma pequena aldeia que possui um barbeiro singular, que obedece à seguinte regra: ele faz a barba de todos os homens da cidade que não barbeiam a si próprios (e somente desses). Agora, apreciemos a pergunta: quem faz a barba do barbeiro? É intrigante considerar que, numa tal aldeia não pode existir um barbeiro assim, pois, se ele se barbear, estará fazendo a barba de alguém que se barbeia, o que não satisfaz à regra, ao passo que, se ele não se barbear, ele terá que ter a barba feita por si próprio, o que também vai contra o estabelecido. Em 1908, Leonhard Nelson e Kurt Greeling propuseram uma situação que se tornou conhecida como o paradoxo de Greeling. Separemos os adjetivos em duas classes: os adjetivos que se auto-referem serão chamados de autológicos (proparoxítona, português, polissílabo) e os adjetivos que não se auto-referem serão chamados de heterológicos (francês, monossílabo, paroxítona). A palavra “heterológico” é um adjetivo. Em qual dos dois tipos essa palavra se inclui? Se ela for autológica, então ela se auto-refere, portanto é heterológica. Se ela for heterológica, ela estará se auto-referindo, sendo portanto autológica. Um outro paradoxo curioso, proposto em 1906, conhecido como o paradoxo de Berry, será adaptado para a língua portuguesa, sem comprometer a linha de argumentação. Em qualquer língua, cada número inteiro pode ser descrito com um número de sílabas. O inteiro 352, por exemplo, será descrito (na forma: “trezentos e cinqüenta e dois”) com 11 sílabas. Para cada inteiro, existe um número mínimo de sílabas com o qual ele pode ser descrito. Admitamos que exista um menor número inteiro positivo que não possa ser descrito com menos do que vinte e oito sílabas e chamemos de P esse número inteiro. Ora, podemos expressar P como sendo “o menor inteiro positivo que não se pode expressar com vinte e sete sílabas”, que é uma frase com vinte e sete sílabas. O que dizer da frase que expressa “o menor inteiro positivo que não se pode expressar com menos que trinta e duas sílabas” ? Em quase todos os paradoxos vistos, aparece o problema de algo que se refere a si mesmo. A questão que se coloca é de que maneira pode-se fazer uma auto-referência sem entrar em contradições? Neste minicurso, não há a pretensão de discutir esse tema, mas, ao aluno interessado em maiores detalhes a respeito, convém buscar maior aprofundamento, conforme indicações na bibliografia no final desse texto, acerca dos estudos de Kurt Gödel (1906 – 1978) e de Alfred Tarski (1902 – 1983), entre outros. Para escaparmos das ambigüidades da linguagem, teremos que realizar uma restrição em nosso universo. Simplificando um pouco o processo, diremos que nossa limitação será nos circunscrevermos às sentenças em que sejam obedecidos três princípios básicos, que chamaremos de princípios fundamentais: O Princípio da Identidade (Uma proposição verdadeira é verdadeira) O Princípio da Não Contradição (Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa) O Princípio do Terceiro Excluído (uma proposição ou é verdadeira ou é falsa) Assim, qualquer sentença que não obedeça a um desses três princípios terá que ser descartada em uma análise que utilize a lógica matemática. Exemplos de proposições que estariam fora do nosso universo de análise: Esta afirmativa é falsa. A blusa que estou usando é bonita. Está frio aqui. Oba! Hoje é terça feira? AULA 2 Os conectivos lógicos e suas tabelas verdade Negação p V F ~p F V ~ ~p V F Vemos acima a tabela verdade da negação de uma proposição. Assim, se a proposição p é verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. É necessário termos um certo cuidado na determinação de negações na linguagem natural, pois uma propriedade a ser satisfeita é a da dupla negação de uma proposição, que obedece aos mesmos valores verdade da proposição em si. Por exemplo, analisemos as proposições “Hoje é terça-feira” e “Hoje é quinta-feira” , como se uma fosse a negação da outra. É verdade que se uma for verdadeira, a outra será necessariamente falsa, mas o Princípio do Terceiro Excluído não está sendo satisfeito, pois há uma possibilidade de termos uma proposição e sua negação, ambas falsas (aliás, uma chance de 5 em 7, aproximadamente 71%). Um outro caso a ser detidamente considerado é o da negação de proposições que utilizam o que os lógicos chamam de quantificadores. Ponderemos o caso de afirmarmos a partir da intuição, que as proposições “Alguns alunos são pontuais” e “Alguns alunos não são pontuais” sejam uma a negação da outra. Observe que ambas as proposições podem ser simultaneamente verdadeiras (e de fato é o que acontece com nossos alunos!), não satisfazendo assim o Princípio da Não Contradição. Assim a negação da primeira proposição deverá ser “Todos os alunos não são pontuais”. Conjunção p V V F F q V F V F pq V F F F Também aí é necessário que tomemos cuidados ao traduzirmos de uma linguagem natural para a linguagem simbólica. A tabela verdade da conjunção nos fornece a propriedade comutativa para uma tal operação. Assim, a proposição p q será equivalente a q p. Consideremos o caso de uma proposição como “Pedro correu e caiu”, que, de fato, pode ser expressa como a conjunção das duas proposições atômicas “Pedro correu” e “Pedro caiu”. Até aí, nenhum problema, mas a proposição encerra um componente implícito de causalidade, pois uma possível interpretação da sentença é a de que Pedro caiu porque correu. Veja que se escrevermos “Pedro caiu e correu” a proposição perde esse sentido. Observe como existe a necessidade de estarmos atentos aos exemplos mais corriqueiros, tais como “João e Márcia são casados”. O que se dá quando escrevemos a proposição como uma conjunção das duas proposições “João é casado” e “Márcia é casada”? Veja como o sentido pode ter mudado, pois no segundo caso não estamos afirmando que os dois são casados um com o outro, e na primeira frase, esse sentido é naturalmente extraído. Disjunção p V V F F q V F V F pq V V V F Façamos aqui a necessária distinção entre os dois tipos de disjunção existentes. Uma delas é o que chamamos de disjunção inclusiva, que também é nomeada pela expressão e/ou, e que aparece na proposição “Ela não veio à prova por estar doente ou cansada”, pois é possível que as duas coisas tenham ocorrido. O outro caso é o da disjunção exclusiva, também chamada de ou/ou, como em “Ele veio à prova ou não veio à prova”, em que não é possível que as duas coisas tenham acontecido. Na tabela verdade acima, tratamos, como se pode verificar, da disjunção inclusiva. Implicação p V V F F q V F V F pq V F V V Se considerarmos a questão da tradução entre as linguagem natural e simbólica, talvez seja a tabela verdade da implicação a que mais causa confusões. Em suas duas primeiras linhas, não parece haver problema algum. Basta tomarmos um exemplo simples, como a proposição “Se fizer sol, irei à praia”. Analisando a primeira linha da tabela, se de fato fez sol, e fui à praia, a implicação se torna verdadeira. Mas a frase é admiravelmente falsa se tiver feito sol e eu não tiver ido à praia, o que obedece ao resultado da segunda linha. Entretanto, o que dizer da frase “Se fizer sol, irei à praia”, se tivermos um dia de chuva? Pode-se garantir que não irei à praia? A resposta é que não, pois a frase afirma algo que certamente acontecerá se fizer sol, mas nada afirma caso não faça sol. Mas, ainda assim, quais seriam as razões para que, nesse caso, os resultados da tabela verdade sejam verdadeiros? Tomemos uma implicação que tenha uma premissa verdadeira. É evidente que só é possível tirarmos conclusões verdadeiras daí, o que explica as duas primeiras linhas da tabela. Por outro lado, e se tivermos uma implicação com uma premissa falsa? De fato, poderemos ter tanto conclusões verdadeiras como conclusões falsas. Tomemos um exemplo dado por Bertrand Russel para justificar a quarta linha da tabela, ou seja, partirmos de uma premissa falsa para chegarmos a uma conclusão falsa (mantendo a validade do argumento): “Se 2 = 1, então eu sou o papa” Demonstração: Eu e o papa somos 2. 2 = 1. Logo, eu e o papa somos 1. E portanto eu sou o papa. A terceira linha da tabela verdade da implicação afirma ser possível se partir de uma premissa falsa e a partir dela, se chegar a uma conclusão verdadeira. Tomemos a implicação “Se 2 = 1, então existe apenas um sol no nosso sistema solar” . É necessário que se avise que poderíamos provar que existem quantos sóis quisermos. Mas, como queremos uma conclusão verdadeira, iremos demonstrar que existe apenas um. Demonstração: Ou não existem sóis ou existem sóis. Caso 1: Não existem sóis. 2=11=0 Assim, existe um único sol. Caso 2: Existem sóis. Se for um sol, não há o que provar. Se forem mais de um, basta utilizarmos que 2 = 1 3 = 2 4 = 3 5 =4 ...... Argumentos Um argumento se define como tendo um certo número de Premissas (P1, P2, P3, ...., Pn) e uma conclusão C. Vamos tentar determinar o que se apresenta como sendo um argumento válido e o que se apresenta como sendo um argumento consistente. Um argumento é considerado válido se a proposição (P1 P2 ... Pn) C for uma Tautologia, isto é, tiver todas as linhas de sua tabela verdade com o resultado V. Um argumento é considerado consistente se a proposição (P1 P2 ... Pn) tiver pelo menos uma linha de sua tabela verdade com o resultado V. Em outras palavras, se não for uma Contradição. Exercícios : Verifique a Validade dos Argumentos abaixo: 1) P1: Penso, logo existo. P2: Repolhos não pensam. C : Repolhos não existem. 2) P1: Se a canoa não virar, eu chego lá. P2: A canoa virou. C : Não cheguei lá. 3) P1: Se a canoa não virar, eu chego lá. P2: Não cheguei lá. C : A canoa virou. 4) P1: Se eu fosse você, eu faria a prova. P2: Não sou você. C : Não vou fazer a prova. 5) P1 : Se Londres não fica na Dinamarca, Paris fica na França. P2 : Paris não fica na França. C: Londres fica na Dinamarca. 6) P1 : Se 6 é par, então 2 não divide 7. P2 : Ou 5 não é primo, ou 2 divide 7. P3 : 5 é primo. C: 6 é ímpar. 7) P1: Eu amo pelo menos uma das 3 garotas, Ana, Luana ou Maria. P2: Se eu amo Ana, mas não Maria, então eu também amo Luana. P3: Ou eu amo Luana e Maria, ou eu não amo nenhuma das duas. P4: Se eu amo Maria, então eu também amo Ana. C : Eu amo Luana. AULA 3 Aplicações Argumentos falaciosos em política: P1: Se ele fosse bom governante, a inflação estaria baixa. P2: A inflação está baixa. C: Ele é um bom governante. P1: Se vocês querem pagar impostos mais altos, então votem no meu oponente. P2: Vocês não querem pagar impostos mais altos. C: Não votem no meu oponente. P1: Se eu for inocente dessas acusações sórdidas de meus adversários, a Justiça dirá. P2: Não fui condenando a nada. C: Sou inocente, honesto e mereço seu voto. P1: O Congresso Brasileiro está cheio de ladrões P2: João é congressista brasileiro C: João é ladrão P1: Se o governador for inocente, ele irá depor à Justiça. P2: O governador irá ao Tribunal. C: O governador é inocente. Casos complexos em psicologia devido à confusão cotidiana entre as posturas abaixo (que podem ser, e quase sempre são, ambas falsas) X é totalmente bom X é totalmente mau Há que se ter uma distinção necessária entre Contrário e Contraditório Hoje é terça feira. Hoje é sábado (contrariedade, pois ambas podem ser simultaneamente falsas) Hoje é terça feira. Hoje não é terça feira. (contradição, pois uma é a negação da outra) “Algumas pessoas sugeriram que a Lógica é perigosa porque leva a pensar de modo radical. Isso resulta do princípio segundo o qual todo enunciado ou é verdadeiro ou é falso. Seria melhor, assim prosseguem as alegações, considerar os enunciados como verdadeiros até certo ponto e falsos em certa medida, a fim de evitar qualquer espécie de pensamento radical. O curioso é que essa crítica à lógica se baseia no mesmo erro dos que estão comprometidos com o pensamento radical: a confusão dos contrários e contraditórios; “p é verdadeiro” e “p é falso” não são contrários e não devem ser tratados como tal. Nada existe na Lógica que proponha a confusão entre contrariedade e contradição; inversamente, o estudo da lógica deve por fim à confusão”. Argumentos falaciosos em Propaganda: ESTATÍSTICA INSUFICIENTE P1: Y pessoas preferem a marca cccddd. P2: A marca cccddd é melhor que as outras marcas. C: A marca cccddd é a melhor. C’: Compre!!! AUTORIDADE P1: X é uma autoridade no assunto. P2: X usa a marca aaabbb. C: A marca aaabbb é a melhor. C’: Compre!!! TRANSFERÊNCIA DE AUTORIDADE P1: X é uma autoridade em algo. P2: X usa a marca aaabbb. C: A marca aaabbb é a melhor. C’: Compre!!! Esportistas, Astros (9 entre 10 estrelas de cinema etc, etc...), Cientistas, Políticos, Padres, Pessoas Respeitáveis, etc. AMBIGÜIDADE DOS TERMOS P1: Só o homem é racional P2: Nenhuma mulher é homem C: Nenhuma mulher é racional O Direito e o comprometimento da logicidade do sistema: 1) Antinomia : Conflito entre normas de mesmo ordenamento (Princípio da Não Contradição) Superação de Antinomias Hierarquia (Federal>Estadual>Municipal) Especialidade (Tribunal específico da causa>Outro Tribunal) Cronologia (Mais recente>Mais antigo) 2) Lacuna : Falta de ordenamento jurídico (Princípio do Terceiro Excluído) Espaços Jurídicos definidos como Pleno: condutas referidas no sistema jurídico Vazio: condutas irrelevantes para o direito (tomar água, chorar) Superação das lacunas no caso brasileiro: Constituição Federal, artigo 5º, II Ninguém é obrigado a fazer ou a deixar de fazer algo senão em virtude da lei. Além da Lei de Introdução ao Código Civil, artigo 4º Analogia, Socorro aos Costumes A - proposições do tipo “Todo X é Y” E - proposições do tipo “Nenhum X é Y” I - proposições do tipo “Algum X é Y” O - proposições do tipo “Algum X não é Y” A sub con con al tra ter nos I E c o n t r á r i o s di sub tra al di ter tórios tórios nos O s u b c o n t r á r i o s Comportamentos no Direito: Obrigatório O(p) Permitido P(p) Proibido V(p) O(p) = V(¬p) = ¬ P(¬p) V(p) = O(¬p) = ¬ P(p) P(p) = ¬ O(¬p) = ¬ V(p) P(¬p) = ¬ O(p) = ¬V(¬p) O(p) sub c o n t r á r i o s con al tra ter nos con di tórios V(p) sub tra al di ter tórios nos P(p) s u b c o n t r á r i o s P(¬p) Aplicações de Lógicas Não Clássicas: O Controle de processos industriais foi área pioneira, sendo as primeiras experiências datadas de 1975 quando foi demonstrado no Queen College, em Londres, que um controlador nebuloso muito simples conseguiu controlar eficientemente uma máquina a vapor. Na mesma época, a primeira aplicação industrial significativa foi desenvolvida pela indústria de cimento F.L.Smidth Corp. da Dinamarca. Hoje em dia, uma grande variedade de aplicações comerciais e industriais estão disponíveis, destacando-se neste cenário o Japão e mais recentemente, os EUA e a Alemanha. Dentre os exemplos típicos incluem produtos de consumo tais como geladeiras (Sharp), ar condicionado (Mitsubishi), câmeras de vídeo (Canon, Panosonic), máquinas de lavar roupa (Sanyo), aspiradores de pó, etc. Na indústria automotiva destacam-se transmissões automáticas (Nissan, Lexus), injeção eletrônica, suspensão ativa, freios antibloqueantes. Sistemas industriais incluem controle de grupo de elevadores (Hitachi, Toshiba), veículos autoguiados e robôs móveis (Nasa, IBM), controle de motores (Hitachi), ventilação de túneis urbanos (Toshiba), controle de tráfego urbano, controle de parada e partida de trens de metrô (Sendai, Tokio). Estas citações são ilustrativas pois atualmente mais de 1000 patentes envolvendo Lógica Difusa já foram anunciadas. Lógicas Trivalentes (V, F ou pode ser) Lógicas Multivalentes (A Lógica Fuzzy) Lógica Paraconsistente (Newton da Costa) Referências sobre a Lógica Clássica: Kneale, W & M. Kneale – O Desenvolvimento da Lógica. Fundação Calouste Gulbekian, 3ª edição, 1968. Suppes, P – Introduction to Logic. Van Nostrand, 1957. Mendelson, E. – Introduction to Mathematical Logic. Wadsworth & Brooks. Attie, Joao Paulo – Introdução à Lógica e Aplicações. Ed. Plêiade, 1999. Referências sobre as Lógicas não Clássicas: http://www.cwb.matrix.com.br/dbkroeff/ http://www.geocities.com/logicas2000/ http://www.din.uem.br/~ia/controle/fuz_prin.htm http://www.ai.sri.com/~ruspini/ http://jazz.graco.unb.br/~adolfo/index.html http://corvo.cpgei.cefetpr.br/~arruda http://www.flll.uni-linz.ac.at/index.html http://www.austinlinks.com/Fuzzy/ http://www.abo.fi/~rfuller/ifsa.html
