Matemática

Vestibular 2007 – UNIFEI – Prova 3 – Matemática - 21/01/2007
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ax 2 − b
Questão 1. Resolver a inequação
< x , com 0 < a < b .
ax − b

S = x ∈ ℜ / 1 < x <

b
 , onde S
a
= Conjunto-solução
0
Questão 2. Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo retângulo mede 60 e a sua hipotenusa mede 2 a .
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém a sua hipotenusa.
V1 = Volume do cone 1 =
V2 = Volume do cone 2 =
π a3
8
3π a 3
8
V = V1 + V2 ⇒ V =
π a3
2
Questão 3. Considere as afirmativas abaixo para uma Progressão Geométrica de razão q > 10 e adotando logaritmos
decimais.
I. A soma do dobro do logaritmo do terceiro termo com o triplo do logaritmo do sétimo termo é 76.
II. O produto do logaritmo da razão pelo logaritmo do primeiro termo é 6.
o
Se log q é um número natural, qual é o 14 termo dessa Progressão?
a1
q
⇒ a1 = 10 2
⇒ q = 10 3
= 1o termo
= razão
a14 = 10 41
Questão 4. Um canal de TV a cabo apresenta 16 tipos diferentes de séries, sendo 6 do tipo Policial (P), 3 do tipo Romântica
(R) e 3 do tipo Ficção (F). A empresa responsável pelo canal deseja oferecer pacotes contendo 10 séries, das quais
exatamente três devem ser do tipo Policial, no máximo duas do tipo Romântica e no mínimo duas de Ficção.
a) De quantas maneiras distintas esses pacotes podem ser formados?
b) Escolhendo-se, ao acaso, um desses pacotes, qual a probabilidade de que ele tenha apenas uma série do tipo
Romântica?
a) Tem-se, além das séries citadas, 4 séries diversas (D). As maneiras distintas serão:
- 3P + 2F + 1R + 4D = 180
- 3P + 2F + 2R + 3D = 720
- 3P + 3F + 0R + 4D = 20
- 3P + 3F + 1R + 3D = 240
- 3P + 3F + 2R + 2D = 360
TOTAL = 1520 maneiras distintas
b) P =
21
76
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Questão 5. Sendo a, b e k números reais positivos e diferentes da unidade, onde a e b são as raízes distintas da equação
x 2 − mx + k p = 0 , mostre que:
log
1o Membro =
k
a a + log b b + log a b + log b a = mp
k
k
k
(a + b ) log abk
a + b = soma das raízes ⇒ a + b = m
ab = produto das raízes ⇒ ab = k p
1o Membro = m. log k k p = m. p = 2o Membro
Questão 6. Suponha que a placa da figura abaixo represente a seção transversal de uma barra de metal.
10o
10o
5o
5o
1
2
3
4
Sejam T1, T2, T3 e T4 as temperaturas nos quatro vértices
interiores do reticulado 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
20o
20o
Sabendo que a temperatura em cada vértice é igual à média
aritmética das temperaturas dos quatro vértices vizinhos
mais próximos, encontre essas temperaturas.
(Dê as respostas com aproximação de uma casa decimal).
10o
10o
Observa-se que T1 = T3 e T2 = T4 . O sistema resultante é:
15 + T2 + T1

T1 =
4
⇒ T1 = T3 ≅ 9,4 e T2 = T4 ≅ 13,2

T = T1 + T2 + 30
 2
4
Questão 7. Dado o polinômio
P (1) .
P (− 1) = 18
;
P( x ) = x 34 + 2 x 33 + 3 x 32 + ... + 33x 2 + 34 x + 35 ,
P(1) = 630
⇒
Se
P (− 1)
24 cm , formam uma Progressão Aritmética de
3 cm .
 , B̂
cos Aˆ =
e
Ĉ
por
P (− 1).P(1) = 11.340
Questão 8. As medidas dos lados de um triângulo ABC, cujo perímetro é
razão
calcule o produto de
são os ângulos internos desse triângulo, quanto vale a soma
41
2
10
69
; cos Bˆ = − ; cos Cˆ =
⇒ S=
55
5
11
55
S = cos Aˆ + cos Bˆ + cos Cˆ ?
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Questão 9. Os vértices de um triângulo ABC são os centros das circunferências:
C1 : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 1 = 0
C 2 : 4 x 2 + 4 y 2 + 12 x − 16 y − 3 = 0
C 3 : ( x − 7 ) + ( y + 3) = 8
2
2
Pede-se:
a) a área do triângulo ABC;
b) o volume do tetraedro cuja base é o triângulo ABC e cuja altura é igual à média aritmética dos quadrados dos raios
das circunferências dadas.
a) Vértices do ∆ABC :
b) Volume ⇒ V =
5
 3 
A(− 1,2 ) ; B − ,2  ; C (7,−3) ⇒ S ∆ABC =
4
 2 
Bh
5
35
, com B = e h = 7 ⇒ V =
3
4
12
Questão 10. Um poliedro convexo de 48 arestas é formado somente por faces triangulares, quadrangulares e hexagonais.
Sabe-se que os números de faces triangulares, quadrangulares e hexagonais desse poliedro são diretamente
proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Determine o total de vértices desse poliedro.
F3 F4 F6 F
=
=
=
⇒ F = 20 faces ⇒ V = 30 vértices
2
3
5 10