Matemática

Vestibular 2007 – UNIFEI – Prova 3 – Matemática - 21/01/2007
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ax 2  b
Questão 1. Resolver a inequação
 x , com 0  a  b .
ax  b

S  x   /1  x 

b
 , onde S
a
= Conjunto-solução
0
Questão 2. Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo retângulo mede 60 e a sua hipotenusa mede 2a .
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém a sua hipotenusa.
V1 = Volume do cone 1 =
V2 = Volume do cone 2 =
 a3
8
3 a 3
8
V  V1  V2  V 
 a3
2
Questão 3. Considere as afirmativas abaixo para uma Progressão Geométrica de razão
q  10 e
adotando logaritmos
decimais.
I. A soma do dobro do logaritmo do terceiro termo com o triplo do logaritmo do sétimo termo é 76.
II. O produto do logaritmo da razão pelo logaritmo do primeiro termo é 6.
Se log q é um número natural, qual é o 14o termo dessa Progressão?
a1 = 1o termo  a1  10 2
q = razão  q  10 3
a14  10 41
Questão 4. Um canal de TV a cabo apresenta 16 tipos diferentes de séries, sendo 6 do tipo Policial (P), 3 do tipo Romântica
(R) e 3 do tipo Ficção (F). A empresa responsável pelo canal deseja oferecer pacotes contendo 10 séries, das quais
exatamente três devem ser do tipo Policial, no máximo duas do tipo Romântica e no mínimo duas de Ficção.
a) De quantas maneiras distintas esses pacotes podem ser formados?
b) Escolhendo-se, ao acaso, um desses pacotes, qual a probabilidade de que ele tenha apenas uma série do tipo
Romântica?
a) Tem-se, além das séries citadas, 4 séries diversas (D). As maneiras distintas serão:
- 3P + 2F + 1R + 4D = 180
- 3P + 2F + 2R + 3D = 720
- 3P + 3F + 0R + 4D = 20
- 3P + 3F + 1R + 3D = 240
- 3P + 3F + 2R + 2D = 360
TOTAL = 1520 maneiras distintas
b) P 
21
76
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Questão 5. Sendo a, b e k números reais positivos e diferentes da unidade, onde a e b são as raízes distintas da equação
x 2  mx  k p  0 , mostre que:
log
1o Membro =
k
a a  log bb  log a b  log b a  mp
k
k
k
a  b  log abk
a  b = soma das raízes  a  b  m
ab = produto das raízes  ab  k p
1o Membro = m. log k k p  m. p = 2o Membro
Questão 6. Suponha que a placa da figura abaixo represente a seção transversal de uma barra de metal.
10o
10o
Sejam T1, T2, T3 e T4 as temperaturas nos quatro vértices
interiores do reticulado 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
1
2
5o
20o
3
4
5o
20o
Sabendo que a temperatura em cada vértice é igual à média
aritmética das temperaturas dos quatro vértices vizinhos
mais próximos, encontre essas temperaturas.
(Dê as respostas com aproximação de uma casa decimal).
10o
10o
Observa-se que T1 = T3 e T2 = T4 . O sistema resultante é:
15  T2  T1

T1 
4
 T1  T3  9,4 e T2  T4  13,2

T  T1  T2  30
 2
4
Questão 7. Dado o polinômio
P1 .
P 1  18
;
Px   x 34  2 x 33  3x 32  ...  33x 2  34 x  35 ,
P1  630

Se
P 1
24 cm , formam uma Progressão Aritmética de
3 cm .
 , B̂
cos Aˆ 
e
Ĉ
por
P 1.P1  11.340
Questão 8. As medidas dos lados de um triângulo ABC, cujo perímetro é
razão
calcule o produto de
são os ângulos internos desse triângulo, quanto vale a soma
41
2
10
69
; cos Bˆ   ; cos Cˆ 
 S
55
5
11
55
S  cos Aˆ  cos Bˆ  cos Cˆ ?
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Questão 9. Os vértices de um triângulo ABC são os centros das circunferências:
C1 : x 2  y 2  2 x  4 y  1  0
C2 : 4 x 2  4 y 2  12 x  16 y  3  0
C3 : x  7   y  3  8
2
2
Pede-se:
a) a área do triângulo ABC;
b) o volume do tetraedro cuja base é o triângulo ABC e cuja altura é igual à média aritmética dos quadrados dos raios
das circunferências dadas.
a) Vértices do ABC :
b) Volume  V 
5
 3 
A 1,2 ; B  ,2  ; C 7,3  S ABC 
4
 2 
Bh
5
35
, com B  e h  7  V 
3
4
12
Questão 10. Um poliedro convexo de 48 arestas é formado somente por faces triangulares, quadrangulares e hexagonais.
Sabe-se que os números de faces triangulares, quadrangulares e hexagonais desse poliedro são diretamente
proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Determine o total de vértices desse poliedro.
F3 F4 F6 F



 F  20 faces  V  30 vértices
2
3
5 10