Guia do Professor

Guia do Professor
Audiovisual 06
Conteúdos Digitais
Um Triângulo Fractal Especial
Série Mundo da Matemática
1
Coordenação Geral
Elizabete dos Santos
Autores
Bárbara Nivalda Palharini Alvim Souza
Karina Alessandra Pessôa da Silva
Lourdes Maria Werle de Almeida
Luciana Gastaldi Sardinha Souza
Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino
Rodolfo Eduardo Vertuan
Revisão Textual
Elizabeth Sanfelice
Coordenação de Produção
Eziquiel Menta
Projeto Gráfico
Juliana Gomes de Souza Dias
Diagramação e Capa
Aline Sentone
Juliana Gomes de Souza Dias
Realização
Secretaria de Estado
da Educação do Paraná
DISTRIBUIÇÃO GRATUITA
IMPRESSO NO BRASIL
2
O mundo da matemática
Audiovisual “Um Triângulo Fractal Especial”
1 Introdução
No audiovisual “Um Triângulo Fractal Especial”, episódio 6 do programa “O Mundo
da Matemática”, Julinho precisa aprender como se calcula o perímetro do Triângulo de
Sierpinski, e pede ajuda para Rafa. As cenas apresentadas nesse episódio podem oferecer
oportunidade para retomar a discussão sobre conceito de perímetro, cálculo do perímetro dos triângulos obtidos nas diversas iterações do Triângulo de Sierpinski, desencadeada
no episódio 5, e desenvolver o estudo da Função Exponencial e suas propiedades, bem
como da Função Logarítmica e suas propriedades.
1.1 A geometria fractal
Ao calcularmos o perímetro de um quadrado, de um triângulo ou de um círculo, obtemos quase sempre um mesmo resultado, ou valores muito próximos. Isto pode não
acontecer com um fractal. Veja o exemplo a seguir. Suponhamos que se queira medir o
comprimento da costa do litoral brasileiro de uma cidade A até uma cidade B.
Figura 1 – Representação de
um trecho da consta do litoral
brasileiro
Uma maneira de fazê-lo seria medir o comprimento de um segmento de reta que une A a B.
Figura 2 – Representação de
um segmento de reta AB que
une dois pontos de um trecho
da consta do litoral brasileiro
3
É óbvio que, devido à irregularidade da costa, o seu comprimento vai ser maior que o
comprimento deste segmento de reta. Podemos, então, tomar como unidade de medida
uma barra de comprimento H, por exemplo. Para medir o comprimento da costa, assumimos esta barra como parâmetro para medida da costa e verificamos o número de vezes
que esta barra cabe ao longo da costa desde A até B. Chamaremos este número de C1,
comprimento 1 da costa.
Figura 3 – Representação de
segmentos de reta de medida
H em um trecho da consta do
litoral brasileiro
Novamente podemos notar que C1 não é o comprimento da costa, pois, entre os
pontos A e C, por exemplo, o comprimento da costa não é o da barra.
Para melhorar nossa medição, podemos tomar outra barra de menor tamanho, digamos, da décima parte da anterior, H/10, e repetir o procedimento obtendo para
o comprimento da costa o número C2. Novamente, podemos afirmar que C2 não é
o tamanho da costa.
Podemos continuar indefinidamente desta maneira, tomando unidades cada vez
menores. Intuitivamente, esperamos que a sucessão de valores que se obtém para
os comprimentos da costa, medidas desta maneira, tende a alcançar um valor bem
definido que represente o comprimento da costa. No entanto, isto não ocorre. O
que sucede é que essa sucessão de valores para os comprimentos aumenta cada vez
mais, isto é, o comprimento da costa entre A e B tende a um valor infinito.
Este resultado surpreendente pode ser explicado se observarmos o seguinte: vendo
a costa em um mapa de escala 1/100 000, nos daremos conta de que há algumas
baías e penínsulas. Se, em seguida, voltarmos a examinar a mesma costa, mas agora
em um mapa que tenha escala 1/10 000, ou seja, em uma escala mais ampla, aparecerão características que não se viam no mapa anterior. Agora se veem novas baías e
novas penínsulas. Continuando-se a examinar a costa, mas em uma mapa que esteja
em uma escala maior, digamos de 1/1000, aparecerão novas baías e penínsulas que
não se viam em nenhum dos mapas anteriores. Assim podemos continuar indefinidamente, ao ir mudando de escala, o comprimento vai aumentando porque mais
detalhes vão aparecendo.
A mesma situação ocorre quando se mede a fronteira entre dois países. O inglês L.
F. Richardson mencionou que cada país dá um valor diferente do comprimento de
sua fronteira comum. Por exemplo, a Espanha diz que a sua fronteira com Portugal
mede 987 Km, enquanto Portugal afirma que são 1214 Km; segundo a Holanda,
sua fronteira com a Bélgica mede 380 Km, enquanto que a Bélgica reclama que são
449 Km. O que ocorre é que, ao fazer suas medições, cada país utilizou um valor da
unidade H e por conta disso, obteve outro valor para o comprimento.
Toda essa discussão leva à conclusão de que o comprimento (perímetro) de certos
tipos de objetos, como os fractais, não tem um valor determinado. O comprimento
depende da unidade H que se escolhe. Se dois observadores escolhem duas unidades distintas, obterão resultados distintos, e ambos terão razão.
(Texto adaptado de Braun, E., 2003. Caos, Fractales y cosas raras. La Ciencia para Todos.
México, 1996).
4
2 Objetivos
• Calcular a quantidade de triângulos obtida nas diversas iterações do Triângulo de Sierpinski.
• Calcular o tamanho do lado dos triângulos obtidos nas diversas iterações do Triângulo
de Sierpinski.
• Definir e analisar Função Exponencial e suas propriedades.
• Definir e analisar Função Logarítmica e suas propriedades.
3 Sugestão de atividade
Após assistir ao vídeo, o professor pode propor atividades que permitam aos alunos
refletir, questionar e aprofundar conchecimentos sobre os conteúdos abordados. A seguir
apresentamos algumas sugestões.
Atividade 1- Construção de um Triângulo de Sierpinski, quantidade
de triângulos e medida de seus lados.
No início do século XX, o matemático polonês Waclav Sierpinski (1882-1969) estudou
uma figura geométrica que ficou conhecida por Triângulo de Sierpinski, que se obtém
como limite de um processo iterativo.
Construa um Triângulo de Sierpinski, pelo processo de remoção de triângulos, a partir
das informações a seguir.
1. Construa um triângulo equilátero1 qualquer.
2. Em seguida, determine os pontos médios de cada um dos lados do triângulo.
3. Lige os pontos médios, obtendo desta forma quatro triângulos equiláteros menores.
4. Retire o triângulo central.
5. Continue o processo por mais duas vezes2 , a partir do segundo passo, para os triângulos restantes.
Considerando que na iteração 0 temos um triângulo equilátero de lado l , determine
a quantidade de triângulos f(x) e o tamanho de seus lados g(x) em função das iterações x
seguintes, e construa preencha a tabela a seguir.
Interação x
0
Número de triângulas f(x)
Comprimento de cada lado g(x)
1
l
1
2
3
5
...
x
Comentários para o professor:
Seguindo as instruções os alunos vão obter algo semelhante ao da Figura 4.
Iteração 0
Iteração 1
Iteração 2
Iteração 3
Figura 4 – Primeiras iterações de construção do Triângulo de Sierpinski pelo Processo de Remoção de triângulos
Apresentamos a seguir a tabela preenchida.
Interação x
Número de triângulas f(x)
Comprimento de cada lado g(x)
0
1
l
1
3
.
2
9=3
1
1
. = .  
4
2
3
27 = 33
1
1
. = .  
8
2
3x
1
.  
2
2
1
2
2
3
...
x
x
Tabela 1 – Quantidade de triângulos e tamanho de seus lados das primeiras iterações do Triângulo de Sierpinski
Atividade 2 – Análise das funções exponenciais geradas pelo Triângulo de Sierpinski
A partir da tabela da atividade 1 determine a função f(x) que representa a quantidade
de triângulos em função de cada iteração x e a função g(x) que representa o tamanho do
lado de cada triângulo encontrado em cada iteração x.
Analise as funções f(x) e g(x).
1 Sugere-se um triângulo equilátero por motivo estético e de simplicidade, mas poderia ser feito com triângulo qualquer.
2 É importante chamar a atenção do aluno para o fato de que no Triângulo de Sierpinski o processo se repete infinitamente.
6
Comentários para o professor:
A primeira coluna diz respeito à iteração. A iteração é processo de repetir uma ou mais
ações. Na iteração 0, o triângulo está em sua forma original, na iteração 1 o processo é
iniciado e é feito uma vez. Na iteração 2, o procedimento é repetido uma vez, na iteração
3, o processo é repetido 2 vezes e assim por diante.
A segunda coluna diz respeito ao número de triângulos restantes. A terceira coluna
apresenta o comprimento de cada lado do novo triângulo obtido em função do comprimento inicial l.
Analisando a coluna do número de triângulos (na Tabela1) é possível observar que a
cada iteração essa quantidade aumenta, resultando em uma função exponencial crescente de base 3:f(x)=3x.
Esta função pode ser explorada, fazendo-se o seu gráfico, de R em R.
Fazendo uma análise da coluna comprimento de cada lado percebemos que essa gera
uma função exponencial decrescente de base 1 . Este vai interceptar o eixo y no valor
2
escolhido como medida do lado inicial. Abaixo pode-se visualizar o gráfico da função de
x
R em R, f ( x) = 5.  1  :
 
2
O professor pode aproveitar a oportunidade para discutir com os alunos a definição e
as propriedades de uma função exponencial.
7
Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), a função exponencial de base a, f :IR ⇒ IR+,
indicada pela notação f(x) = ax, deve ser definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer x, y ∈ IR:
1. f (x + y) = f(x) . f(y)
2. a1 = a
3. Se a > 1, f é crescente.
x < y ⇒ f(x) < f(y)
4. Se 0 < a < 1, f é decrescente.
x < y ⇒ f(x) > f(y)
Atividade 3 – Quantidade de iterações e o perímetro do Triângulo
de Sierpinski
Para o perímetro do Triângulo de Sierpinski atingir o comprimento do cadarço do tênis
da Júlia, que mede 51 cm, quantas iterações devem ser feitas?
Comentários para o professor:
A partir do episódio 5 e das indicações de atividades do guia do professor, os alunos
já terão obtido a função que representa o perímetro do Triângulo de Sierpinski, indicado
no quadro como a n-ésima iteração do triângulo, ou seja, à regra geral para o perímetro
1
do triângulo ( P( x) = 3x +1 ⋅ x ) .
2
Para resolver o problema, os alunos terão que determinar para qual valor de x tem-se
que P(x)=51 :
x
1
3x +1 ⋅   = 51
2
x
1
3x ⋅ 3 ⋅   = 51
2
x
 3  51
  =
3
2
51
3
x ⋅ log   = log
3
2
1, 23
x=
= 6,99
0,176
x
1
x +1 número
Como 6,99 não é 3um
⋅   = 51 inteiro, precisamos aproximar para um número inteiro
2  termos o número de iterações necessárias que, nesse caso, é

superior mais próximo para
x
7. Temos que fazer 7 iterações.
1
x
3 ⋅ 3 ⋅   = 51
2
O professor pode aproveitar
a oportunidade para discutir como pode ser obtido o va-
lor de x na equação
logaritmo.
x
 3  51 , em que as bases são diferentes, e introduzir o conceito de
  =
3
2
51
3
x ⋅ log   = log
3
2
1, 23
= 6,99
x=
0,176
8
Definição de Logaritmo
Iezzi et al. (2004) definem logaritmo como a seguir.
Sendo a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o
expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b.
Em símbolos: se a, b ∈ IR, 0 < a ≠ 1 e b > 0, então:
log a b = x ⇔ a x = b
Em que, a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.
O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal, sua representação é dada da
seguinte forma:
log10 b = log b
Consequência da Definição de Logaritmo
Decorrem da definição de logaritmos as seguintes propriedades para 0 < a ≠ 1 e b > 0.
1.ª O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a 0.
loga1 = 0
2.ª O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1.
logaa = 1
Propriedades dos logaritmos
1.ª Logaritmo do produto
Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo do produto de dois fatores reais positivos
é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
loga(x . y) = logax + logay
2.ª Logaritmo do quociente
Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo do quociente de dois fatores reais positivos
é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.
log a
x
= log a x − log b y
y
3.ª Logaritmo da potência
Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo de uma potência de base real positiva e
expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
log a x y = y log a x
4.ª Mudança de base
Se a, b e x são números reais positivos e a e b são diferentes de 1, então tem-se:
log a x =
log b x
log b a
9
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Definição
Dado a > 0, a função exponencial f: IR → IR+ é definida por f(x) = ax.
Sua inversa g: IR+ → IR é uma função logarítmica indicada pela notação:
g(x) = logax.
A função g(x) é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. Como a0 = 1,
tem-se loga1 = 0. É importante ressaltar que somente números positivos possuem logaritmo
real, pois a função x → ax somente assume valores positivos.
Propriedades
1. log a ( x. y ) = log a x + log a y
2. log a
x
= log a x − log a y
y
3. log a x y = y.log a y
4. log a x =
log b x
log b a
4 Avaliação
A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por
meio de questionamentos e preenchimento dos quadros. O professor pode aproveitar as
respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.
5 Sugestões de sítios
Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/fractais.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/index.htm
http://www.sbem.com.br/ocs/index.php/xenem/xenem/paper/view/637
6 Indicações de leituras
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
BARNSLEY, Michael. Fractals everywhere. San Diego: Academic Press, Inc., 1988.
Braun, Eliezer. Caos, Fractales y cosas raras. 3ed. México: Fondo de Cultura Económica, 2003.
PEITGEN, Heinz-Otto; JÜRGENS, Hartmut; SAUPE, Dietmar. Chaos and Fractals – New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992.
SAMETBAND, Moisés José. Entre El orden y El caos – La complejidad. 2ed. México: Fondo
de Cultura Económica, 1999.
SPINADEL, Vera de; PERERA, Jorge G.; PERERA, Jorge H. Geometria Fractal. 2ed. Buenos
Aires: Nueva Libreria, 1994.
TALANQUER, Vicente. Fractus, Fracta, Fractal – Fractales, de laberintos y espejos. 2ed. México: Fondo de Cultura Económica, 2002.
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