Algebra de blocos e representacao de sistemas

B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil
Função de Transferência – Relação Entrada-Saı́da
Desejamos obter a expressão
M(s) =
Y (s)
R(s)
Para obter essa expressão, devemos realizar uma analise de algebra de blocos.
Perceba que a relação entre o sinal de realimentação B(s) e o sinal de erro
atuante E (s) é
FT de malha aberta =
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B(s)
= G (s)H(s)
E (s)
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A relação entre o sinal de saı́da Y (s) e o sinal de erro atuante é chamada de
função de transferência do ramo direto,
FT de ramo direto =
Y (s)
= G (s)
E (s)
A expressão que relaciona a saı́da Y (s) e a entrada R(s) é obtida como:
Y (s) = G (s)E (s)
E (s) = R(s) − B(s) = R(s) − Y (s)H(s)
Realizando-se a substituição, tem-se:
Y (s) = G (s) [R(s) − Y (s)H(s)]
Y (s) [1 + G (s)H(s)] = G (s)R(s)
Portanto, a função de transferência de malha fechada é dada por:
G (s)
Y (s)
=
R(s)
1 + G (s)H(s)
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Diagrama de Blocos
Os elementos de um diagrama de blocos são listados a seguir:
• Seta: representação do sentido do fluxo de sinal.
• Bloco: operação matemática sobre o sinal de entrada que produz a saı́da.
Normalmente uma função de transferência.
• Ponto de soma: cı́rculo com o sı́mbolo “+” que indica uma operação de
soma. O sinal do lado externo determina se é realizada soma ou subtração.
• Ponto de junção: ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco
vai para outros blocos ou pontos de soma.
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Propriedades dos Diagramas de Blocos
Associação em Cascata (Série):
Associação em Paralelo:
Realimentação Negativa:
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Gráfico de Fluxo de Sinais
Consiste em uma rede na qual os nós são conectados por ramos direcionados.
Os nós correspondem às variáveis do sistema e um ramo relaciona as variáveis
de entrada e saı́da pela multiplicação por um ganho.
Definições Básicas
• Nó - ponto que representa uma variável.
• Transmitância - Ganho entre dois nós.
• Ramo - Segmento direcionado que conecta dois nós aplicando um ganho à
variável de entrada.
• Nó de entrada - Nó que tem somente ramos de saı́da.
• Nó de saı́da - Nó que tem somente ramos que chegam.
• Nó misto - Nó que possui ambos tipos de ramos.
• Caminho - Percurso através dos ramos.
• Malha - Caminho fechado.
• Malhas que não se tocam - aquelas que não possuem nós em comum.
• Caminho de avanço - Caminho que inicia em um nó de entrada e termina
em um de saı́da sem passar por nenhum nó mais do que uma vez.
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Exemplo
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Propriedades dos Gráficos de Fluxo de Sinais
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Representação de Sistemas Lineares
x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + b1 u1
x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + b2 u2
x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
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Representação de Sistemas Lineares
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Fórmula de Ganho de Mason
P=
1 X
Pk ∆k
∆
k
Pk : ganho do caminho direto de ordem k
P
P
P
∆: determinante do gráfico ∆ = 1 − a La + b,c Lb Lc − d,e,f Ld Le Lf
(1 - soma dos ganhos das malhas + soma dos produtos dos ganhos das
combinações de duas malhas que não se tocam - mesma coisa para
combinações de três malhas + ...)
∆k : cofator do k-ésimo caminho direto do gráfico de onde foram removidas
todas as malhas que tocam esse caminho.
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Exemplo
Obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) usando a fórmula de ganho de Mason.
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Exemplo
Obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) usando a
fórmula de ganho de Mason.
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Homework
Obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) usando a
fórmula de ganho de Mason.
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Modelagem de Sistemas Elétricos
Algumas relações envolvendo componentes elétricos básicos:
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Exemplo (Função de Transferência)
Encontre a função de transferência Eo (s)/Ei (s) do seguinte circuito RLC:
Aplicando a lei da tensões de Kirchhoff e depois a transformada de Laplace
(com condições iniciais nulas), tem-se:
Z
Z
di(t)
1
1
L
+ Ri(t) +
i(t)dt = ei (t) e eo (t) =
i(t)dt
dt
C
C
1
I (s) = Ei (s)
LsI (s) + RI (s) +
Cs
1
Eo (s) =
I (s) ⇒ I (s) = CsEo (s)
Cs
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Exemplo (continuação)
Portanto,
LCs 2 Eo (s) + RCsEo (s) + Eo (s) = Ei (s)
1
Eo (s)
=
⇒
Ei (s)
LCs 2 + RCs + 1
Exemplo (Elementos em Cascata)
Eo (s)
1
=
Ei (s)
(R1 C1 s + 1)(R2 C2 s + 1) + R1 C2 s
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Para componentes conectados em série, a impedância total é a soma das
impedâncias das componentes.
Zequiv = Z1 + Z2 + . . . + Zn
Para componentes conectados em paralelo, a inversa da impedância total é
a soma das inversas das impedâncias das componentes.
1
1
1
1
=
+
+ ...+
Zequiv
Z1
Z2
Zn
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Impedância RC
• A impedância equivalente resultante de um R em série com C é
Zequiv = R +
1
sCR + 1
=
sC
sC
• A impedância equivalente resultante de um R em paralelo com C é
1
Zequiv
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=
1
1 + sCR
+ sC =
R
R
⇒
Zequiv =
R
1 + sCR
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+
Z1
+
Vo
Vi
−
−
Z2
A relação entrada-saı́da do circuito é dada por
Vo
Z2
=
Vi
Z1 + Z2
Homework
Elabore um circuito usando apenas resistores e capacitores de modo que
s +a
Vo (s)
=
Vi (s)
s +b
no qual a e b são constantes que dependem dos resistores e capacitores.
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Circuito lead [avanço de fase]
R1
Vi
C1
R2
Note que R1 e C1 em paralelo resulta em
Z1 =
No circuito temos Z2 = R2 .
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R1
1 + R1 C1 s
Vo
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R1
Vi
R2
C1
Vo
Fazendo as contas vemos que
s + R11C1
s +a
R2 (1 + R1 C1 s)
Z1
V0 (s)
=
=
=
=
Vi (s)
Z1 + Z2
R1 + R2 + R1 C1 s
s +b
s + R11C1 + R21C1
Portanto
a=
1
R1 C1
b=
Perceba que a < b. Calcule a fase de
sistema realiza avanço.
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1
1
+
R1 C1
R2 C1
V0 (s)
Vi (s)
e conclua que a < b implica que o
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Circuito lag [atraso de fase]
Homework
Faça a análise do circuito de
modo a determinar a e b tal que
a>be
s +a
V0 (s)
=
Vi (s)
s +b
(s)
Calcule a fase de VV0i (s)
e conclua
que a > b implica que o sistema
realiza atraso.
1
e b = R21C2 .
Dica: a = (R1 +R
2 )C2
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Vi
R1
R2
C2
Vo
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Circuito lead-lag
Homework
Faça a análise do circuito de modo
a determinar a1 < b1 e a2 > b2
(s + a1 )(s + a2 )
V0 (s)
=
Vi (s)
(s + b1 )(s + b2 )
Vi
R1
C1
Dica:
(s +
V0 (s)
=
1
Vi (s)
s 2 + R2 C2 +
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1
R1 C1 )(s
+
1
R2 C1
1
R1 C1
+
1
R2 C2 )
+
1
R1 C1 R2 C2
R2
C2
Vo
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Elementos sem Carga em Cascata
• A função de transferência de dois sistemas sem carga em cascata é a
multiplicação das funções de transferência individuais.
• Essa abordagem considera que a impedância de entrada do segundo
sistema é infinita, senão for ocorre o chamado efeito de carga.
• Para evitar esse efeito, utilizam-se amplificadores de acoplamento
(amp-ops).
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Amplificadores Operacionais
• Impedância de entrada infinita
• Impedância de saı́da zero
• Alto ganho diferencial (K):
e0 = K (e2 − e1 )
Exemplo (Amplificador Inversor)
Encontre a função de transferência do circuito com amp-op configuração inversor.
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Exemplo (continuação)
Como a impedância de entrada é elevada, a corrente de entrada no amplificador
é extremamente pequena. Assim, a equação de correntes no nó n é:
Eo − En
Ei − En
+
=0
Z1
Z2
Como o ganho diferencial do amp-op é muito alto, En ≈ 0, portanto:
Eo
Ei
+
=0
Z1
Z2
Z2
Eo
=−
Ei
Z1
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Exemplo
Encontre a função de transferência do circuito com amp-op abaixo.
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Homework
Encontre a função de transferência de cada circuito.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
A tabela seguinte apresenta algumas relações envolvendo componentes mecânicos:
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Exemplo
Obtenha a função de transferência, X (s)/F (s), para o sistema abaixo.
Considerando que a massa está sendo deslocada para a direita, somente a
força aplicada aponta para a direita; todas as outras forças impdedem o
movimento e agem contra ele. O diagrama do corpo livre deste sistema é
dado por:
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Exemplo (continuação)
Logo,
dx(t)
d 2 x(t)
+b
+ Kx(t) = f (t)
dt 2
dt
Aplicando a transformada de Laplace, com condições iniciais nulas, tem-se:
M
Ms 2 X (s) + bsX (s) + KX (s) = F (s)
Portanto,
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X (s)
1
=
2
F (s)
Ms + bs + K
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Sistemas Massa-Mola-Amortecedor
• u(t): entrada - deslocamento do carro (u̇(t) constante)
• y (t): saı́da - deslocamento da massa m
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Continuação
ma =
m
d 2y
= −b
dt 2
X
F
du
dy
−
dt
dt
− k(y − u)
Ou, equivalentemente:
m
dy
du
d 2y
+b
+ ky = b
+ ku
dt 2
dt
dt
Aplicando-se Laplace:
ms 2 + bs + k Y (s) = (bs + k) U(s)
Y (s)
bs + k
=
U(s)
ms 2 + bs + k
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Sistemas Massa-Mola-Amortecedor Acoplados
m1 ẍ1 = −k1 x1 − k2 (x1 − x2 ) − b(ẋ1 − x˙2 ) + u
m2 ẍ2 = −k3 x2 − k2 (x2 − x1 ) − b(ẋ2 − x˙1 )
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Continuação
m1 ẍ1 + bẋ1 + (k1 + k2 )x1 = k2 x2 + bx˙2 + u
m2 ẍ2 + bẋ2 + (k2 + k3 )x2 = k2 x1 + bx˙1
Aplicando-se Laplace:
m1 s 2 + bs + (k1 + k2 ) X1 (s) = (k2 + bs) X2 (s) + U(s)
Resolvendo-se:
m2 s 2 + bs + (k2 + k3 ) X2 (s) = (k2 + bs) X1 (s)
X1 (s)
m2 s 2 + bs + k2 + k3
=
U(s)
(m1 s 2 + bs + k1 + k2 )(m2 s 2 + bs + k2 + k3 ) − (bs + k2 )2
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Modelagem de Sistemas Mecânicos Rotativos
Função de Transferência de Circuitos Mecânicos Rotativos
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Exemplo (Modelagem de Servomotor de Corrente Contı́nua)
Os servomotores DC têm diversas caracterı́sticas interessantes como controlabilidade, portabilidade, baixos custos de aquisicão e manutenção e adaptabilidade
a vários tipos de sistemas de controle. Considera-se a modelagem do servomotor controlado por armadura (campo constante).
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Exemplo (Continuação)
Assumindo corrente de campo (if ) constante, o torque do motor é proporcional
à corrente de armadura:
Tm (s) = Km Ia (s)
O torque do motor é igual à soma do torque da carga (Js 2 θ(s) + bsθ(s)) e o
torque de distúrbio, Td (s). Considerando Td (s) = 0, tem-se:
Tm (s) = Km Ia (s) = Js 2 θ(s) + bsθ(s)
A corrente de armadura se relaciona com a tensão de armadura como:
Va (s) = (Ra + La s) Ia (s) + Vb (s),
onde Vb (s) é a TL da força controeletromotriz gerada, que é proporcional à
velocidade do motor, ou seja,
Vb (s) = Kb ω(s)
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Exemplo (Continuação)
Assim, a corrente da armadura pode então ser escrita como:
Ia (s) =
Va (s) − Kb ω(s)
R a + La s
Então, tem-se:
Km Va (s) − Km Kb ω(s)
= s (Js + b) θ(s),
R a + La s
que pode ser escrita como (note que ω(s) = s θ(s))
Km Va (s) = s [(Js + b) (Ra + La s) + Km Kb ] θ(s).
Assim, a função de transferência θ(s)/Va (s) é dada por:
Km
θ(s)
=
Va (s)
s [(Js + b) (Ra + La s) + Km Kb ]
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Exemplo (Continuação)
Como ω(s) = s θ(s), a função de transferência ω(s)/Va (s) é dada por:
Km
ω(s)
=
Va (s)
(Js + b) (Ra + La s) + Km Kb
O diagrama de blocos do modelo motor controlado por armadura é dado por:
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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil
Dica de atividades
Dica
1. Fazer os Exercı́cios apresentados no Cap. 9 do livro “Sistemas de Controle
Modernos” - Richard C. Dorf, Robert H. Bishop.
2. Fazer os Exercı́cios apresentados no livro K. OGATA, “Engenharia de
Controle Moderno”.
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