Função e representação gráfica - ESA-IPVC

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Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC
GUIÃO REVISÕES
Funções
Conceito de função
Quatro amigos decidiram apostar no totoloto, tendo cada um deles
preenchido o seu boletim da seguinte forma:
Boletim do Hugo
Jogos
1
2
3
4
5
Equipa A – Equipa B
Equipa C – Equipa D
Equipa E – Equipa F
Equipa G – Equipa H
Equipa I – Equipa J
Apostas
X1 X 2
X1 X 2
1 XX 2
1 X X
2
1 XX 2
Boletim do João
Jogos
1
2
3
4
5
Equipa A – Equipa B
Equipa C – Equipa D
Equipa E – Equipa F
Equipa G – Equipa H
Equipa I – Equipa J
Boletim da Ana
Jogos
1
2
3
4
5
Equipa A – Equipa B
Equipa C – Equipa D
Equipa E – Equipa F
Equipa G – Equipa H
Equipa I – Equipa J
Apostas
X1 X 2
X1 X 2
1 XX 2
1 XX 2
1 XX 2
Apostas
X1 X 2
X1 X 2
1 X
X X
2
X
1 X 2
2
X1 X X
Boletim da Marta
Jogos
1
2
3
4
5
Equipa A – Equipa B
Equipa C – Equipa D
Equipa E – Equipa F
Equipa G – Equipa H
Equipa I – Equipa J
Apostas
X1 X 2
X1 X 2
1 X
X 2
1 X X2
1 X 2
Os boletins de totobola estabelecem uma relação entre dois conjuntos: o conjunto dos jogos e
o conjunto das apostas.
Quais destas correspondências são funções?
Recorde que
Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos
A
B




Tal que:
 Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência.
 Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no
segundo conjunto.
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Representemos cada Boletim através de um Diagrama de Venn:
Boletim do Hugo
1
2
3
4
5
1
X
2
Jogo
Aposta
Boletim do João
Boletim do Marta
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Boletim do Ana
1
2
3
4
5
1
X
2
Jogo
Aposta
Jogo
1
X
2
2
Jogo
Aposta
Todos os elementos do primeiro
conjunto estão envolvidos na
correspondência.
Todos os
elementos do primeiro
conjunto estão
envolvidos na
correspondência.
Cada elemento do primeiro conjunto
tem um e um só correspondente no
segundo conjunto.
Existem elementos
do primeiro conjunto
com vários
correspondentes no
segundo conjunto
Cada correspondência é uma FUNÇÃO –
boletim válido.
1
X
Aposta
Nem todos os
elementos do primeiro
conjunto estão
envolvidos na
correspondência
porque um dos
elementos do primeiro
conjunto não tem
correspondência no
segundo conjunto.
Cada elemento do
primeiro conjunto tem
um e um só
correspondente no
segundo conjunto.
As correspondências NÃO são FUNÇÕES –
boletim não válido.
Atenção
Todo o processo que faz corresponder a cada elemento
de um
conjunto A um e um só elemento
do conjunto B é uma
correspondência que se chama aplicação ou função de A em B.
Representando a função por , podemos escrever:
f:A
x
B
f x
y
O conjunto A – conjunto de partida – é o domínio da função.
Representa-se por .
O conjunto B designa-se por conjunto de chegada.
Os elementos do domínio designam-se por objectos e os respectivos
elementos do conjunto B designam-se por imagens.
é a variável independente e é a variável dependente.
O contradomínio é o conjunto das imagens. Representa-se por
.
.
Não confunda f
com f (x)!
designa uma
função com o seu
domínio, o seu
conjunto de
chegada e a
indicação do
processo para
encontrar a
imagem de cada
elemento do
domínio.
representa a
imagem do
objecto do
domínio, pela
função .
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Considerando a função do boletim da Ana:
a) Quais são os objectos?
Boletim do Ana
b) Quais são as imagens?
1
2
3
4
5
c) Indique o domínio da função?
d) Indique o conjunto de chegada?
e) Indique o contradomínio da função?
1
X
2
Jogo
f) Qual é a imagem do objecto 1?
Aposta
g) Quais os objectos cuja imagem é X?
a) Os objectos são
b) As imagens são
e .
e X.
c) O domínio da função é
.
d) O conjunto de chegada é
.
e) O contradomínio da função é
.
f) A imagem do objecto 1 é 1.
g) Os objectos cuja imagem é X são
e .
Teste os seus conhecimentos
1) Considere as seguintes correspondências de A para B:
A
B
A
f
a) Diga, justificando, se são
funções.
g
B
Março
Carro
31
garagem
Maio
Comboio
30
estação
Junho
Barco
Julho
b) Das que são funções indique
o domínio, o contradomínio e o
29
porto
A
B
A
h
conjunto de chegada.
1
1
j
B
1
2
4
2
9
3
3
3
16
5
8
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Classificação de funções
Relembre
Função Sobrejectiva
Uma função f diz-se sobrejectiva se o seu contradomínio coincide com o seu conjunto de chegada.
Função Injectiva
Uma função f diz-se injectiva se quaisquer dois elementos diferentes do seu domínio têm imagens
diferentes.
Função Bijectiva
Uma função f diz-se bijectiva se é injectiva e sobrejectiva.
Boletim do Hugo
Considerando a função do boletim do Hugo:
a) Qual o domínio e o contradomínio da função?
b) A função é injectiva? E sobrejectiva? E bijectiva?
1
2
3
4
5
1
X
2
Jogo
a) O domínio da função é
Aposta
. O contradomínio da função é
b) A função não é injectiva porque, por exemplo, 3 e 5 têm a mesma imagem.
A função é sobrejectiva porque o contradomínio é igual ao conjunto de chegada.
A função não é bijectiva porque não é injectiva.
Modos de definir uma função
Imagine que vai de férias e encontra o seguinte anúncio.
ALUGA-SE BICICLETAS
DEPÓSITO … € 3
€ 9 POR DIA
Como só dispõe de 50€, quantos dias pode alugar a bicicleta?
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A cada número de dias de aluguer
corresponde um único custo
. Assim,
e
são
varáveis.
Como o custo
dependente e a
depende do número de dias de aluguer
chama-se variável independente.
, diz-se que
é a variável
é função de .
Existem algumas formas de representar a função.
 Representando a função por meio de um diagrama de Venn.
1
12
2
21
3
30
4
39
5
48
N.º de dias
Custo
Note que os número de
dias só variam de 1 a 5.
Para 6 dias teria de pagar
57€, o que não seria
possível, visto que só
dispõe de 50€.
 Representando a função por meio de uma tabela, obtém-se:
Número de dias de aluguer
1
2
3
4
5
Custo (em euros)
12
21
30
39
48
 Representando a função por meio de uma expressão analítica.
A expressão
é a expressão analítica da função. Assim, a função representa-se
da seguinte forma:
As expressões analíticas permitem determinar facilmente os valores de C a partir dos
valores de N.
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 Representando a função por meio de um gráfico, obtemos:
C
48
Nota:
42
39
36
O gráfico de f identifica-se com o
conjunto de pares ordenados
,
. Como para representar um
ponto no referencial cartesiano usamos
o sistema de coordenadas
o valor
dos objectos é representado no eixo
dos
e o das respectivas imagens no
eixo dos . Por este motivo é vulgar a
identificação
.
30
24
21
18
12
6
1
2
3
4
5
N
Teste os seus conhecimentos
2) Para cada uma das funções seguintes, indique se é injectiva e/ou sobrejectiva e/ou bijectiva:
g
-4
-7
f
-2
-2
-5
5
4
9
3) A função
-1
-1
2
2
está definida pelo seguinte gráfico
y
3
2
1
x
-1
1
2
3
4
-1
-2
a) Defina f por meio de uma tabela.
b) Calcule
e
.
c) Indique o objecto cuja imagem é 3.
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4) Identifique nas seguintes situações as que representam funções:
y
y
x
x
5) Considere as funções:
a) Defina g por meio de um diagrama.
b) Defina f por meio de uma tabela.
c) Calcule
e
.
d) Indique o conjunto de chegada de f e de g.
e) Indique o domínio de cada função.
f)
Indique o contradomínio de cada função.
Representação gráfica
Através da representação gráfica, muita informação pode ser obtida.
Posição a cada instante
O seguinte gráfico representa o movimento de um automóvel ao longo de um trajecto
de 700m.
700
600
500
400
300
200
100
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Tempo (em segundos)
a) Qual a variável independente? E a variável dependente?
b) Nos primeiros 40 segundos quantos metros percorreu o automóvel?
c) Durante o passeio, o automóvel alguma vez esteve parado? Se sim, quanto tempo?
d) Indique o instante em que o automobilista iniciou o regresso.
e) Em que momento o automóvel se encontra a 500m do ponto de partida? No momento 77s
em que posição estava o automóvel?
f) Qual o domínio e o contradomínio da função?
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a) A variável independente é o tempo e a variável dependente é a posição a cada instante.
b) O automóvel percorreu 600 metros nos primeiros 40s.
c) Sim, esteve parado durante 40s (dos 40 aos 80 s.)
d) Aos 80 segundos iniciou a viagem de regresso.
e) Nos momentos 30 e 85 o automóvel estava a 500m do ponto de partida. No momento 77 o
automóvel estava a 600m do ponto de partida.
f)
Não se esqueça que o domínio é visto no eixo
dos , neste caso, no eixo do tempo, e o
contradomínio no eixo dos .
,
Teste os seus conhecimentos
6) Ao longo de uma viagem de carro, o número de litros de gasolina no depósito é dado pelo
Gasolina no depósito ( litros)
seguinte gráfico.
y
25
15
x
Km
a) O gráfico representa uma função? Justifique.
b) Quantos litros de gasolina havia no depósito do carro no início da viagem?
c) Quantos litros de gasolina se gastaram por cada 100 km de viagem?
d) Quantos litros de gasolina se gastaram nos 400 km de viagem?
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7) Feito um estudo sobre uma determinada população, analisou-se a evolução da altura de
Altura (cm)
acordo com a idade e, construiu-se o seguinte gráfico:
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Idade (anos)
a) O gráfico representa uma função? Justifique.
b) Qual foi a altura máxima atingida pela pessoa e em que altura da sua vida?
c) A partir de que idade a altura começou a decrescer?
d) Indique a altura da pessoa quando nasceu.
Até agora….
Conceito e classificação de função
Modos de definir uma função
Representação gráfica
Função real de variável real
Zeros de uma função
Estudo de funções elementares: afins, quadráticas, racionais e irracionais.
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Chama-se função real de variável real a uma função cujos domínio e contradomínio são
conjuntos de números reais.
Zeros de uma função
Considere a função f, de domínio
, definida pelo gráfico que se segue e a sua expressão
analítica.
y
y = f(x)
-3
-1
2
x
a) Determine graficamente os zeros da função;
b) Determine analiticamente os zeros da função.
Recorde que
Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula.
a) A função
e
intersecta o eixo dos
nos pontos
,
.
Tal significa que
e
,
são zeros da função .
e
, ou seja,
Os zeros de uma função
correspondem
graficamente aos pontos
de intersecção com o
eixo dos .
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b)
Os zeros da função são:
e 2, uma vez que
.
Para calcular os zeros de
uma função
analiticamente basta
resolver a equação
. Só as soluções
pertencentes ao
são
zeros da função.
Funções Afins
O José todas as semanas enche o depósito do seu carro com gasóleo. O preço de um
litro de gasóleo durante seis semanas consecutivas pode ser representado pelo gráfico
Custo(€)
seguinte:
1,21
1
2
3
4
5
6 Semanas
O que pode concluir acerca do preço do gasóleo?
Concluímos assim, que o preço do gasóleo se manteve constante durante as seis semanas.
A situação pode ser descrita pela função
.
Num dos dias em que o José ia para o trabalho, devido a uma avaria, o seu
automóvel movia-se à velocidade constante de 10 km/h. Logo, ao fim de uma hora teria
andado 10 km, ao fim de duas horas, 20km, e assim sucessivamente.
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Distância Percorrida(km)
Podemos representar a viagem efectuada, pelo seguinte gráfico:
Traduzindo o gráfico por uma
expressão
analítica,
tem-se
onde, no contexto do
problema,
faz
sentido
uma vez que não
considerar
valores
negativos para o tempo.
Assim, a função
terá
por gráfico a semi-recta que
Tempo (h)
representa o percurso.
Quando o José foi levar o automóvel ao mecânico, teve de ir para casa de táxi. O
Custo (€)
custo de uma viagem de táxi é representado pelo seguinte gráfico:
km
a) Quanto custa, no mínimo uma viagem de táxi?
b) Se o José morar a 3km de casa, quanto vai pagar pela viagem?
a) Por observação do gráfico, verifica-se que uma viagem de táxi custa, no mínimo, um euro.
b) Se o João morar a 3km de casa paga 7€ pela viagem.
A situação por ser descrita pela expressão
consideramos
. No contexto do problema
uma vez que não faz sentido considerar valores negativos para os
quilómetros.
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Toda função do tipo
, que é polinómio de grau 1, tem por gráfico uma
recta. A estas funções chamam-se funções afins.
é o declive da recta e é a
ordenada na origem.
Observação:
Se
então
Se
então
, logo trata-se de uma função linear.
, logo trata-se de uma função constante.
Dado o gráfico de uma função afim, como podemos determinar a sua expressão analítica?
Considere o seguinte gráfico e determine a sua expressão analítica.
y
x
Conhecemos dois pontos que constituem o gráfico, por exemplo,
Sabemos que a equação da recta é do tipo
e
.
.
Primeiro vamos determinar o declive da recta, ou seja,
.
Recorde que
Dados dois pontos
e
, o declive da recta que
passa em A e em B é dado por
Logo, temos
.
Para saber , basta substituir
exemplo,
e
pelas coordenadas de um dos pontos, considerando, por
obtemos:
Concluímos que a expressão analítica de f é
.
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Teste os seus conhecimentos
8) Uma marca de automóveis pretende, com o gráfico seguinte, mostrar qual o consumo de
gasolina de um novo modelo lançado no mercado.
)l
Terminal de bomba
de gasolina
Gasolina consumida (
4,5
100 Espaço percorrido (km)
50
Observe e responda:
a)
b)
c)
d)
Esta correspondência é uma função linear?
Com 18 litros de gasolina, quantos quilómetros se podem percorrer?
Quantos litros de gasolina são necessários para percorrer 300 km?
Sendo
o número de quilómetros percorridos e
a quantidade de gasolina
consumida, complete:
Distância percorrida (km)
9) Observe o gráfico:
25
20
15
10
5
0
5
10
15
20
Horas
a) A que horas partiu cada um dos veículos?
b) Depois de quantas horas o carro alcançou a bicicleta?
c) Se o objectivo dos condutores é chegar à mesma cidade, que distava 25 km do ponto
de partida, qual é o primeiro a chegar à cidade?
d) Escreva a expressão analítica da função cujo gráfico é:
d1) a recta associada ao percurso da mota;
d2) a recta associada ao percurso do ciclista.
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Funções quadráticas
Num grande prémio de Fórmula 1, um espectador encontra-se num local em que
consegue visualizar um determinado troço do percurso. A certa altura vê um carro. A distância,
em metros, deste ao espectador é dada por
, com em segundos.
a) Construa o gráfico da função, no contexto do problema.
b) Qual o domínio da função no contexto do problema?
c) A que distância se encontra o carro do espectador quando este o vê pela primeira vez?
d) Ao fim de quanto tempo se atinge a menor distância entre o carro e o espectador? Qual é
essa distância?
Relembre que
A toda a função, real de variável real, do tipo
, com
, que é
polinómio de grau 2, chama-se função quadrática.
A sua representação gráfica é uma parábola em que:
— se
a concavidade é voltada para cima;
— se
a concavidade é voltada para baixo.
Distância (m)
a) Recorrendo ao “winplot” pode construir o gráfico da função, no contexto do problema.
Tempo (s)
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b) O domínio da função no contexto do problema é
pois não faz sentido
considerar o tempo negativo.
c) O espectador vê o carro pela primeira vez em
. Para saber a distância temos que
determinar a imagem de 0.
Assim, quando o espectador vê o carro pela primeira vez, este está a uma distância de 155
metros.
d) Para saber qual é menor distância entre o carro e o
espectador basta calcular as coordenadas do vértice da
parábola.
Comecemos por igualar a função a um valor qualquer do
A parábola tem um eixo de
simetria que passa pelo
vértice da parábola.
contradomínio, por exemplo 155 para ser mais fácil de
resolver.
Existem dois objectos cuja imagem é 155: 0 e 6.
Logo, o eixo de simetria passa pelos pontos cuja abcissa é a média destes valores, ou seja,
.
Para saber a ordenada do vértice determina-se a imagem de 3
As coordenadas do vértice são:
.
Ao fim de 3 segundos atinge-se a menor distância entre o carro e o espectador. Essa
distância é de 20 metros.
Recorrendo ao “winplot” faça a representação gráfica das seguintes funções quadráticas
e, para cada uma delas, indique o domínio, o contradomínio, os zeros, a concavidade, os
intervalos onde é positiva e negativa e a monotonia:
a)
b)
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y
a)
Recorde
f(x)
Graficamente uma função é
positiva se está acima do eixo
dos
e é negativa quando
está abaixo do mesmo eixo.
Zeros: 0
Concavidade voltada para cima.
É positiva em
x
.
É decrescente em
.
É crescente em
Analiticamente, uma função f
é positiva em
se
qualquer que seja
,
E é negativa em
qualquer que seja
.
se
,
b)
y
Zeros: 1, -2
x
Para saber o contradomínio da função precisamos de saber as coordenadas do vértice da
parábola.
Como o eixo de simetria da parábola passa pelo vértice e, existem dois objectos (1 e -2) que
têm imagem 0, o eixo de simetria é
que é a média dos dos objectos que têm a
mesma imagem. Assim a abcissa do vértice é
imagem de
. Para saber a ordenada basta calcular a
.
As coordenadas do vértice são
Concavidade voltada para baixo.
É positiva em
.
É negativa em
.
É decrescente em
É crescente em
.
.
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Teste os seus conhecimentos
10) Recorrendo ao “winplot” faça a representação gráfica das seguintes funções quadráticas e,
para cada uma delas, indique o domínio, o contradomínio, os zeros, a concavidade, os
intervalos onde é positiva e negativa e a monotonia:
a)
b)
c)
d)
11) No dia 20 de Abril, foi detectada num doente uma infecção cutânea, que evoluiu de acordo
com o seguinte modelo matemático:
, sendo
a área de pele
infectada (em mm2) e t o tempo (em dias) contado a partir do momento em que foi
detectada.
Sabe-se que a área infectada começou a diminuir quando foi administrado um antibiótico.
a) Qual a área de pele atingida durante a infecção?
b) Em que dia se iniciou o tratamento com o antibiótico?
c) A infecção afectou uma área de 16 mm2? Se sim, passado quantos dias? Comente os
resultados obtidos?
e) Ao fim de quanto tempo a infecção se extinguiu?
Funções racionais
Uma espécie rara de insectos gigantes foi descoberta numa floresta da Amazónia. Para
proteger esta espécie, os cientistas fizeram transportar alguns dos insectos para uma área
protegida. A população de insectos, t meses depois de ser deslocada, era dada por:
a) Qual é o domínio da função no contexto do problema?
b) Quantos insectos foram transportados?
c) Qual é a população, passados 5 anos?
d) Passados quantos anos a população atinge 1000 insectos?
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Na presença de uma fracção
temos de garantir que o
denominador é diferente de zero.
a) O domínio da função é
No contexto do problema não faz sentido que os meses sejam negativos, por isso o domínio
da função, no contexto do problema é
.
b) Para sabermos os insectos que foram transportados temos de calcular a população no inicio
da contagem do tempo, ou seja, para
.
R: Foram transportados 25 insectos.
c) Passados 5 anos são
meses
R: Passados 5 anos, a população é de 596 aproximadamente.
d) Para saber passados quantos meses a população atinge os 1000 insectos tem-se de resolver
a equação
.
Recorde que:
A x
0
A x
0
B x
0
B x
uma vez que
.
130 meses correspondem a 10 anos e 10 meses.
R: Passados 10 anos e 10 meses a população atinge 1000 insectos.
A função
é exemplo de uma função racional.
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Uma função f, real de variável real, chama-se função racional se pode ser representada pelo
quociente entre dois polinómios, sendo o divisor um polinómio não nulo.
O domínio de uma função racional
é dado por:
.
Teste os seus conhecimentos
12) Determine o domínio e os zeros das funções definidas por:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
13) Admita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que obedece ao
seguinte modelo matemático:
sendo
o peso médio (em Kg) de um animal em função do tempo t (em meses) de vida
desde o seu nascimento.
a) Qual é o peso médio de um animal recém-nascido?
b) Com que idade um cão desta raça atinge os 9 Kg?
c) Até que idade o peso médio do animal não excede 5kg?
14) A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dada
por
.
a) Com que altura a árvore foi plantada?
b) Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada?
c) Com a ajuda do programa “Winplot” faça um esboço do gráfico da função .
d) Passado quanto tempo a árvore atinge uma altura de 4 metros?
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15) Considere o gráfico de uma função racional f:
y
x
a) Indique o domínio e o contradomínio da função f.
b) Qual é a abcissa que tem imagem 0?
c) A função é injectiva?
Funções Irracionais
Uma função f, real de variável real, chama-se função irracional se a variável independente
figura no radicando.
No cálculo do domínio de uma função irracional do tipo
, onde
, é
necessário ter em atenção que:
-
Se n é par,
-
Se n é ímpar, não existe qualquer restrição, é .
Considere as seguintes funções:
e
a) Determine o seu domínio.
b) Recorrendo ao programa “winplot”, faça a representação gráfica das funções
e g, indique
o domínio, o contradomínio e os zeros de cada uma. Verifique se são injectivas.
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a)
Note que, por exemplo,
pois
.
Lembre-se que:
No cálculo do domínio de uma
função irracional, se o índice for
par, o radicando não pode tomar
valores negativos.
índice
radicando
y
b)
Zeros: 0
x
A função é injectiva.
y
Zeros: 0
x
A função é injectiva.
As funções
e
são exemplos de funções irracionais.
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Guião Revisões: Funções –ESA-IPVC
Teste os seus conhecimentos
16) Determine o domínio das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
17) A procura de um determinado modelo de relógio é dada, em centenas de unidades, em
função do preço p, em dezenas de euros, por
a) No contexto do problema determina o domínio da função.
b) Determine o preço p para o qual a procura é de 12 centenas de unidades.
Referências
[1] Neves, M.A.;Guerreiro, L.; Neves, A; Matemática 8º ano, 1ª Parte ,1ª edição, Porto Editora,
2003;
[2] Guerreiro, L.; Neves, M.A.; Matemática A 10.º - Funções I, Porto Editora 2004;
[3] Costa, B.; Resende, L.; Rodrigues, E.; Espaço 10 , 2ª edição, Edições Asa, 2005
[4] Soveral, A.; Silva, C.; Matemática 10º ano, vol. 2, 1ª edição, Texto Editora, 2003
[5] Guerreiro, L.; Neves, M.A.; Moura, A.; Matemática A 11.º - Funções II, Porto Editora 2005;
[6] Costa, B.; Resende, L.; Rodrigues, E.; Espaço 11 , 2ª edição, Edições Asa, 2005
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