2ª Lista de Exercícios - SOL

Pontifícia Universidade Católica de Goiás - PUC-GO
MAF - Departamento de Matemática e Física
Disciplina: Eletricidade e Magnetismo - MAF1570
Prof. Raffael
2a Lista de Exercícios - Lei de Gauss
Perguntas
~ = (2î + 3ĵ)m2 . Qual o fluxo de um campo elétrico
(a) Uma superfície possui o vetor área A
~ = 4î N/C e (b) E
~ = 4k̂ N/C?
através dela de o campo for (a) E
(b) Uma pequena bola carregada está localizada no interior da parte oca de uma casca esférica
metálica de raio R. Neste caso, para três situações, as cargas resultantes sobre a bola e
sobre a casca são, respectivamente: (1) +4q, 0; (2) −6q, +10q; (3) +16q, −12q. Ordene as
situações de acordo com a carga sobre (a) a superfície interna da casca e (b) a superfície
externa, com a mais positiva vindo antes.
Problemas
1. Um aro de 40 cm de diâmetro é rotacionado em um campo elétrico uniforme até que a
posição onde o fluxo elétrico máximo é encontrada. O fluxo elétrico medido nessa posição
é igual a 5, 20 × 105 N.m2 /C. Qual é a magnitude do campo elétrico?
2. As seguintes cargas estão localizadas dentro de um submarino: 5, 0 µC, −9, 0 µC, 27, 0 µC,
e −84, 0 µC. (a) Calcule o fluxo elétrico dessa configuração de cargas através do submarino.
(b) O número de linhas de campo elétrico que saem do submarino é maior, igual, ou menor
que o número de linhas entrando nele?
~ = ay î + bz ĵ + cxk̂, onde a, b, e
3. Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão E
c são constantes. Determine o fluxo elétrico através de uma superfície retangular no plano
xy, que se extende de x = 0 até x = w e de y = 0 até y = h.
4. Um condutor isolado de forma arbitrária possui uma carga resultante de +10 × 10−6 C.
No interior do condutor existe uma cavidade dentro da qual está uma carga pontual q =
+3, 0×10−6 C. Qual a carga (a) sobre a parede da cavidade e (b) sobre a superfície externa
do condutor?
5. Uma esfera de raio R envolve uma carga pontual Q, localizada em seu centro. (a) Mostre
que o fluxo elétrico através de uma secção circular definida pelo meio ângulo θ (Fig. 1) é
ΦE =
Q
(1 − cos θ).
2ε0
Qual é o fluxo para (b) θ = 90◦ e (c) θ = 180◦ ?
6. Uma esfera de raio 2a feita de um material não condutor tem uma densidade volumétrica de
carga uniforme igual ρ. (Assuma que o material não afete o campo elétrico.) Uma cavidade
esférica de raio a é agora removida da esfera, conforme mostrado na Figura 2. Mostre que
o campo elétrico dentro da cavidade é uniforme e é dado por Ex = 0 e Ey = ρa/3ε0 .
(Dica: O campo elétrico dentro da cavidade é uma superposição do campo devido à esfera
original não cortada, mais o campo devido à uma esfera do tamanho da cavidade com um
densidade de carga uniforme negativa −ρ.)
7. Uma distribuição volumétrica de carga com simetria esférica, mas não-uniforme, produz
um campo elétrico de intensidade E = Kr4 , orientado radialmente do centro da esfera para
fora. Nesta equação, r é a distância a partir desse centro e K é uma constante. Qual a
densidade volumétrica ρ da distribuição de carga?
Figura 1: Problema 5
Figura 2: Problema 6
8. Em um artigo de 1911, Ernest Rutherford disse: "A fim de se ter uma noção das forças
necessárias para defletir uma partícula α de um grande ângulo, considere um átomo [como]
contendo uma carga pontual positiva Ze no centro, cercada por uma distribuição de carga
negativa −Ze uniformemente distribuída no interior de uma esfera de raio R. O campo
elétrico E... a uma distância r do centro para um ponto no interior do átomo [é]
Ze
1
r
E=
−
.”
4πε0 r2 R3
Verifique esta equação.
9. (a) Usando a similaridade matemática entre a Lei de Coulomb e a Lei da Gravitação
Universal de Newton, mostre que a lei de Gauss para a gravitação pode ser escrita como
I
~ = 4πGmint
~g · dA
onde mint é
gravitacional
gravitacional
densidade de
a massa dentro da superfície gaussiana e ~g = F~g /m representa o campo
em qualquer ponto sobre a superfície gaussiana. (b) Determine o campo
à uma distância r do centro da Terra one r < RT erra , assumindo que a
massa da Terra é uniforme.
10. A Figura 3 mostra um contador Geiger, um aparelho usado para detectar radiação ionizante
(radiação que causa a ionização de átomos). O contador é formado por um fio fino central
carregado positivamente envolto por um cilindro condutor circular concêntrico com o fio
e com uma mesma carga negativa. Assim, um forte campo elétrico radial é criado dentro
do cilindro. O cilindro contém um gás inerte à baixa pressão. Quando uma partícula de
radiação entra no aparelho através da parede do cilindro, ela ioniza alguns átomos do gás,
os elétrons livres resultantes (identificados pela letra e) são atraídos para o fio positivo.
Entretanto, o campo elétrico é tão intenso que, entre colisões com outros átomos de gás,
os elétrons livres ganham energia suficiente para ionizarem estes átomos também. Mais
elétrons livres são criados desse modo, e o processo se repete até que os elétrons alcancem o
fio. A "avalanche"resultante de elétrons é coletada pelo fio, gerando um sinal que é usado
para registrar a passagem da partícula original de radiação. Suponha que o raio do fio
central seja de 25 µm, o raio do cilindro 1, 4 cm e o comprimento do tubo de 16 cm. Se
o campo elétrico na parede interna do cilindro for 2, 9 × 104 N/C, qual será a carga total
positiva sobre o fio central?
11. Na Figura 4, uma pequena bola não-condutora de massa m = 1, 0 mg e carga q = 2×10−8 C
(distribuída uniformemente pelo seu volume) está suspensa por um fio isolante que faz um
ângulo θ = 30◦ com uma placa não-condutora vertical uniformemente carregada (mostrada
em corte transversal). Considerando a força gravitacional sobre a bola e supondo que a
placa se estende por uma grande distância na vertical, e para dentro e para fora da página,
calcule a densidade superficial de carga σ da placa.
12. Uma grande superfície não-condutora plana possui uma densidade de carga uniforme σ.
Um pequeno orifício circular de raio R foi feito no meio da superfície, como mostrado na
Figura 5. Ignore a distorção das linhas de campo ao redor de todas as bordas, e calcule o
campo elétrico no ponto P , a uma distância z do centro do orifício ao longo do seu eixo.
13. Uma placa espessa plana de espessura d possui uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ. Determine a intensidade do campo elétrico em todos os pontos do espaço (a)
tanto dentro (b) quanto fora da placa, em termos de x, com a distância medida a partir
do plano central da placa espessa.
Figura 3: Problema 10
Figura 4: Problema 11
Figura 5: Problema 12
GABARITO
1. 4, 14 × 10−6 N/C
2. (a)−6, 89 × 106 N.m2 /C, (b) menor
3. cw2 h/2
4. (a) −3, 0 × 10−6 C; (b) +1, 3 × 10−5 C
5. (b)
Q
2ε0 ;
(c)
Q
ε0
6.
7. 6Kε0 r3
8.
11. 5, 0 nC/m2
9.
12.
10. 3, 6 nC
σ √ z
2ε0 ( z 2 +R2 )
13. (a)
ρx
ε0 ;
(b)
ρd
2ε0