Sistemas de Numeração - FACOM

Representação de Dados e Sistemas de Numeração
•
Sistema de numeração decimal e números decimais (base 10)
•
Sistema de numeração binário e números binários (base 2)
•
•
Conversão entre binário e decimal
Sistema de numeração hexadecimal e números hexadecimais (base 16)
•
Conversão entre hexadecimal e outras bases
•
Números octais (base 8)
•
Representação de números reais em binário
•
Operações aritméticas com números binários:
•
Soma, subtração, multiplicação e divisão
•
Complemento a 1 e complemento a 2 de números binários
•
Números binários com sinal
•
•
Operações aritméticas com números binários com sinal
Representação de dados alfanuméricos: códigos ASCII e Unicode
1
Operações Aritméticas com Números Binários
•
•
Operações aritméticas com números inteiros na base 2:
•
Adição
•
Subtração
•
Multiplicação
•
Divisão
Números binários:
•
Sem sinal: representa números naturais
•
Com sinal: representa números inteiros
2
Adição de Números Binários
•
Adição de bits:
0+0
0+1
1+0
1+1
•
Carry: vai-um
•
Exemplos:
=
=
=
= 1
0
1
1
0
Soma 0 com carry 0
Soma 1 com carry 0
Soma 1 com carry 0
Soma 0 com carry 1
1
+ 0
0
1
0
0
1
+ 0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
+ 0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1002 + 102 = 1102
1012 + 12 = 1102
112 + 12 = 1002
410 + 210 = 610
510 + 110 = 610
310 + 110 = 410
3
Adição de Números Binários
•
Adição de bits, considerando que houve carry:
1+0+0
1+0+1
1+1+0
1+1+1
•
=
=
=
=
0
1
1
1
1
0
0
1
Soma 1 com carry 0
Soma 0 com carry 1
Soma 0 com carry 1
Soma 1 com carry 1
Exemplo:
1
0
+ 0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1112 + 1012 = 11002
710 + 510 = 1210
4
Exemplos: Adição de Números Binários
1102 + 1002
1112 + 112
5
Subtração de Números Binários
•
Subtração de bits:
0–0
1–1
1–0
1 0–1
=
=
=
=
0
0
1
1
•
Borrow: pedir emprestado
•
Exemplos:
Subtração 0 – 1, pegando emprestado
1
– 1
1
0
0
0
1
– 1
1
0
0
1
1
– 0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1102 – 1002 = 102
1102 – 1012 = 12
1012 – 112 = 102
610 – 410 = 210
610 – 510 = 110
510 – 310 = 210
6
Exemplos: Subtração de Números Binários
1
– 0
0
0
0
1
1
– 0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1002 – 12 = 112
1002 – 112 = 12
410 – 110 = 310
410 – 310 = 110
1
– 0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1000 10002 – 111 00012 =
7
Multiplicação de Números Binários
•
Multiplicação de bits:
0×0
0×1
1×0
1×1
•
=
=
=
=
0
0
0
1
Método:
•
Similar à multiplicação de números decimais
•
Produto = multiplicando × multiplicador
•
Calcula produtos parciais:
•
Multiplica multiplicando por cada bit do multiplicador
•
Desloca cada produto parcial uma posição para a esquerda
•
Soma produtos parciais
8
Exemplos: Multiplicação de Números Binários
1 1
× 1 1
1 1 1
× 1 0 1
1 1
+ 1 1
1 1 1
+
0 0 0
1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0 1 1
112 × 112 = 10012
310 × 310 = 910
1112 × 1012 = 1000112
710 × 510 = 3510
9
Exemplo: Multiplicação de Números Binários
11012 × 10102
10
Divisão de Números Binários
•
Método similar à divisão de números decimais
•
Exemplo:
1 1’ 0’
– 1 1
1 1
1 0
0 0 0
1102 ÷ 112 = 102
1 1’ 0’
– 1 0
1 0
1 1
0 1 0
– 1 0
0 0
610 ÷ 310 = 210
1102 ÷ 102 = 112
610 ÷ 210 = 310
11
Exemplo: Divisão de Números Binários
11002 ÷ 1002
12
Complemento a 1 e Complemento a 2 de Números Binários
•
Permitem representação de números binários com sinal
•
Complemento a 1 de um número binário:
•
Obtido invertendo-se todos os bits do número
(troca bits em 0 por 1 e bits em 1 por 0)
•
Exemplos:
Número A →
1 0 1 1 0 0 1 0
Complemento a 1 de A →
0 1 0 0 1 1 0 1
Número B →
1 0 1 1 1 0 0 0
Complemento a 1 de B →
13
Complemento a 1 e Complemento a 2 de Números Binários
•
Complemento a 2 de um número A de n bits:
•
•
Obtido somando-se 1 ao complemento a 1 do número A:
•
•
complemento2 ( A ) = complemento1 ( A ) + 1
Propriedade:
•
•
complemento2 ( A ) = 2n − A
complemento2 ( complemento2 (A) ) = A
Exemplo:
Número A →
1 0 1 1 0 0 1 0
Complemento a 1 de A →
0 1 0 0 1 1 0 1
Soma 1 ao complemento a 1 →
Complemento a 2 de A →
+
1
0 1 0 0 1 1 1 0
14
Exemplo: Complemento a 2 de Número Binário
1 0 1 1 1 0 0 0
Número B →
Complemento a 1 de B →
Soma 1 ao complemento a 1 →
+
1
Complemento a 2 de B →
15