Probabilidade Condicional

Probabilidade I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
1 / 56
Introdução
É provável que você ganhe um aumento.
.............. Se atingir todas as metas, claro!!!
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
2 / 56
Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 1: Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos e
20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam
A = {1o artigo defeituoso} e B = {2o artigo defeituoso}. Calcule P (A) e
P (B ): (a) com reposição e (b) sem reposição.
(a) Se extrairmos com reposição, cada vez que estivermos extraindo
do lote, existirão 20 peças defeituosas em um total de 100.
Assim, P (A) = P (B ) = 20/100 = 1/5.
(b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que
P (A) = 1/5. Mas e sobre P (B )? É evidente que para
calcularmos P (B ) é necessário conhecer a composição do lote
no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber
se A ocorreu ou não.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
3 / 56
Probabilidade Condicional
Em muitas situações, informações preliminares podem alterar as probabilidades
de eventos.
EXEMPLO 2: A probabilidade de chover no final da tarde poderia ser diferente
se tivermos informações adicionais, tal como a situação climática no dia
anterior.
EXEMPLO 3: Seja A = uma mulher está grávida. Seja B = exame de farmácia
negativo. Sabendo da ocorrência de B, a probabilidade de A (ela estar grávida)
será alterada.
EXEMPLO 4: A probabilidade de um indivíduo ter cirrose pode ser afetada pelo
fato dele ser ou não alcoólatra.
Iremos estudar agora como a informação de que um evento B ocorreu afeta a
probabilidade de ocorrência de um evento A.
Usaremos a notação P(A|B) para representar a probabilidade condicional de A
dado que ocorreu o evento B.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
4 / 56
Probabilidade Condicional
Sempre que calcularmos P (A|B ), estaremos essencialmente calculando P (A)
em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de considerar o espaço
amostral original Ω.
EXEMPLO 5: Diagrama de Venn
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
5 / 56
Exemplo 6
Exemplo
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles
gostavam de um novo produto. Os resultados estão a seguir.
Sim
Não
Não sabe
Total
João Pessoa Recife
100
150
125
130
75
170
300
450
Campina Grande Total
150
400
95
350
5
250
250
1.000
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
1. P(sim)
2. P(Recife)
3. P(Campina Grande)
4. P(Não | Campina Grande)
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
6 / 56
Probabilidade Condicional
Soluções
Sim
Não
Não sabe
Total
João Pessoa
100
125
75
300
1. P(sim)
2. P(Recife)
Recife Campina Grande Total
150
150
400
130
95
350
170
5
250
450
250
1.000
= 400/1.000 = 0,4
= 450/1.000 = 0,45
3. P(Campina Grande) = 250/1.000 = 0,25
4. P(Não|Campina Grande) = 95/250 = 0,38
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
7 / 56
Probabilidade Condicional
Avaliando os exemplos anteriores podemos concluir que:
Quando calcularmos P (A) estaremos nos perguntando quão provável será
estarmos em A, sabendo que devemos estar em Ω.
Quando calcularmos P (A|B ) estaremos nos perguntando quão provável
será estarmos em A, sabendo que devemos estar em B.
Dado que B ocorreu, o espaço amostral relevante não é mais Ω, mas
consiste em resultados contidos em B.
A única forma de A ocorrer, dado que B ocorreu, é se um dos resultados
da interseção (A ∩ B ) ocorrer.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
8 / 56
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 7: Dois dados são lançados. Considere os eventos: A =a soma dos
resultados é igual a 10 e B =o primeiro número é maior ou igual ao segundo.
Calcule P (A), P (B ), P (B |A) e P (A|B ).
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
9 / 56
Probabilidade Condicional
Definição 6.1: (Probabilidade Condicional)
Seja (Ω, P ) um espaço mensurável. Se B ∈ Ω e P (B > 0), a probabilidade
condicional de A dado B, é definida por
P (A|B ) =
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
P (A ∩ B )
P (B )
Aula Probabilidade Condicional
08/16
10 / 56
Probabilidade Condicional
Observação 6.1: Se P (B ) = 0, P (A|B ) pode ser arbitrariamente definida.
Alguns livros consideram P (A|B ) = 0, nesse caso. Contudo, é mais plausível
considerar P (A|B ) = P (A).
Importante: Se A e B são desenhados de modo que as áreas de A, B e A ∩ B
sejam proporcionais às suas probabilidades, então P (A|B ), é a proporção do
evento B ocupada pelo evento A.
PERGUNTA: P (A|B ), A ∈ A , é realmente uma probabilidade em A?
RESPOSTA: Precisamos verificar os axiomas.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
11 / 56
Probabilidade Condicional
DEMONSTRAÇÃO:
(1) Para todo A ∈ Ω segue que P (A|B ) ≥ 0.
É verdade pois como P (A ∩ B ) ≥ 0 e P (B ) > 0, temos que
P (A|B ) =
P (A∩B )
P (B )
≥ 0.
(2) P (Ω|B ) = 1
É verdade pois P (Ω|B ) =
P (Ω∩B )
P (B )
P (B )
= P (B ) .
(3) Seja (A1 , A2 , . . . ∈ Ω) tal que Ai ∩ Aj = ∅ para i 6= j então,
S∞
P∞
P ( i =1 Ai |B ) = i =1 P (Ai |B )
S∞
É verdade pois P (
A |B ) =
i =1 i
P∞
P (Ai ∩B )
P (B )
i =1 P (Ai ∩B )
P (B )
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
=
P∞
i =1
=
P ((
S∞
i =1 Ai )∩B )
P (B )
P∞
i =1
Aula Probabilidade Condicional
=
P(
S∞
i =1 (Ai ∩B ))
P (B )
=
P (Ai |B ).
08/16
12 / 56
Probabilidade Condicional
IMPORTANTE: Como valem os axiomas, as propriedades de probabilidade são
mantidas (Ex: P (Ac |B ) = 1 − P (A|B )).
IMPORTANTE: Temos então duas maneiras de calcular a probabilidade
condicional P (A|B ):
(I) Empregando a definição anterior, em que P (A ∩ B ) e P (B ) são
calculadas em relação ao espaço amostral original Ω.
(II) Diretamente, pela consideração da probabilidade de A em
relação ao espaço amostral reduzido B.
Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser
defeituosa (P (B ))?
P (B |A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extração
restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modo
similar, temos que P (B |Ac ) = 20/99.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
13 / 56
Exemplo 8
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
14 / 56
Exemplo 8
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
15 / 56
Exemplo 9
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
16 / 56
Exemplo 10
Exemplo: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas
são apresentadas na tabela a seguir, contendo o número de acidentes incluindo
vítimas fatais e as condições do principal motorista envolvido, sóbrio ou
alcoolizado. Você diria que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interfere
na ocorrência de vítimas fatais?
Motorista/vítimas Fatais
Sóbrio
Alcoolizado
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Não
1228
2393
Aula Probabilidade Condicional
Sim
275
762
08/16
17 / 56
Probabilidade Condicional
Exemplo 11: Uma turma de estatística teve a seguinte distribuição das notas
finais: 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexo
masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa
turma, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o
aluno foi aprovado. Calcule
(a) P (A ∪ M c )
(b) P (Ac ∩ M c )
(c) P (A|M )
(d) P (M c |A)
(e) P (M |A)
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
18 / 56
Probabilidade Condicional
Exemplo 11:
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
19 / 56
Probabilidade Condicional
Exemplo 12: Verifique se são válidas as afirmações:
(a) Se P (A) = 1/3 e P (B |A) = 3/5 então A e B não podem ser
disjuntos.
(b) Se P (A) = 1/2, P (B |A) = 1 e P (A|B ) = 1/2 então A não pode
estar contido em B.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
20 / 56
Risco Reltivo
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
21 / 56
Exemplo 13
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
22 / 56
Exemplo 13
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
23 / 56
Exemplo 13
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
24 / 56
Exemplo 13
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
25 / 56
Probabilidade Condicional
A mais importante consequência da definição de probabilidade condicional, é
obtida ao se escrever:
P (A ∩ B ) = P (A|B )P (B )
P (A ∩ B ) = P (B |A)P (A)
Teorema 6.1: (Regra do Produto)
Seja A1 , A2 , . . . , An ∈ Ω, com P (∩ni=1 Ai ) > 0, então
P (A1 ∩ A2 ∩. . .∩ An ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) . . . P (An |A1 ∩ A2 ∩. . .∩ An−1 )
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
26 / 56
Probabilidade Condicional
Demonstração: Faremos por indução. Para n = 2, pela definição de
probabilidade condicional, temos que P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 )P (A2 |A1 ).
Suponha que o resultado é válido para n = k , ou seja
P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) . . . P (An |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak −1 ). Assim,
para n = k + 1 temos que
P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak ∩ Ak +1 ) = P [(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak ) ∩ Ak +1 ] = P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩
Ak )P (Ak +1 |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) . . . P (Ak +1 | ∩ki=1 Ai )
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
27 / 56
Probabilidade Condicional
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
28 / 56
Probabilidade Condicional
Observação 6.2: Podemos aplicar esse teorema para calcular a probabilidade
da ocorrência conjunta dos eventos.
Voltando ao exemplo inicial das peças defeituosas. Qual a probabilidade de que
ambas as peças sejam defeituosas?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
29 / 56
Probabilidade Condicional
Exemplo 14: Das pacientes de uma clínica de ginecologia com idade acima de
40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a
probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%,
enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%.
(a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter um
distúrbio hormonal e ser solteira?
(b) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual
é a probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
30 / 56
Probabilidade Condicional
Exemplo 15: Sabe-se que 80% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são
cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser
convertido é de 40% se o cobrador for do Flamengo e de 70% em caso
contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado. Qual a
probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser
convertido?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
31 / 56
Probabilidade Condicional
Definição 6.2: Dizemos que os eventos B1 , B2 , . . . , Bk formam uma partição do
espaço amostral Ω quando: (i)Bi ∩ Bj = ∅, para todo i 6= j; (ii)∪ki=1 Bi = Ω e
(iii)P (Bi ) > 0 para todo i.
Explicando: Quando o experimento é realizado, um e somente um, dos
eventos Bi ocorre.
Seja A um evento qualquer referente a Ω e B1 , B2 , . . . , Bk uma partição de Ω,
podemos escrever então: A = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ Bk )
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
32 / 56
Probabilidade Condicional
Teorema 6.2: (Teorema da Probabilidade Total)
Seja B1 , B2 , . . . , Bn uma partição de Ω com P (Bi ) > 0, para todo i = 1, . . . , n.
Então, para todo A ∈ A , tem-se que
P (A) =
n
X
P (Bi )P (A|Bi )
i =1
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
33 / 56
Probabilidade Condicional
Demonstração: Pela regra do produto, temos que P (Bi )P (A|Bi ) = P (A ∩ Bi ).
Como para i = 1, . . . , n os eventos A ∩ Bi são disjuntos, temos que
Pn
i =1
P (Bi )P (A|Bi ) =
Pn
i =1
P (A ∩ Bi ) = P [
Sn
i =1
(A ∩ Bi )] = P [A ∩ (
Sn
i =1
Bi )] =
P (A).
Importante: Esse resultado representa uma relação extremamente útil, porque
frequentemente, P (A) pode ser difícil de ser calculada diretamente. No entanto,
com a informação adicional de que Bi tenha ocorrido, seremos capazes de
calcular P (A|Bi ) e, em seguida empregar o teorema acima.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
34 / 56
Ilustração
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
35 / 56
Ilustração
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
36 / 56
Probabilidade Condicional
Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser
defeituosa (P (B )) se as retiradas são sem reposição?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
37 / 56
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 16: No exemplo da Clínica, qal a probabilidade de uma paciente
escolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
38 / 56
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 17: Um determinado produto é produzido por três fábricas 1, 2 e 3.
Sabe-se que 1 produz o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produzem o mesmo
número de peças. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por 1 e por 2
são defeituosas, enquanto que 4% daquelas produzidas por 3 são defeituosas.
Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito, e depois uma peça
é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de que uma peça seja defeituosa?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
39 / 56
Probabilidade Condicional
Teorema 1.3: (Teorema de Bayes)
Seja B1 , B2 , . . . , Bn uma partição de Ω com P (Bi ) > 0, para todo i = 1, . . . , n.
Então, para todo A ∈ A , com P (A) > 0 e para todo j = 1, 2, . . . , n, tem-se que
P (A|Bj )P (Bj )
.
P (Bj |A) = Pn
P (A|Bi )P (Bi )
i =1
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
40 / 56
Probabilidade Condicional
Demonstração:
Na expressão do lado direito, o numerador é P (A ∩ Bj ) pela regra do produto. O
denominador é P (A) pelo teorema da probabilidade total. Portanto, pela
definição de probabilidade condicional o teorema está demonstrado.
Importante: Este resultado é útil quando conhecemos as probabilidades dos Bi
e as probabilidades condicionais de A dado Bi , mas não conhecemos
diretamente a probabilidade de A.
Observação 6.3: A fórmula de Bayes é, às vezes, chamada de fórmula de
probabilidades posteriores. As probabilidades P (Bi ) podem ser chamadas
probabilidades a priori e as P (Bi |A), probabilidades a posteriori.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
41 / 56
EXEMPLO 18
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
42 / 56
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 19: Considere que no exemplo 1 um produto é escolhido e é
verificado ser defeituoso. Qual a probabilidade dele ter vindo da fábrica 3?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
43 / 56
EXEMPLO 20
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
44 / 56
EXEMPLO 20
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
45 / 56
EXEMPLO 20
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
46 / 56
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 21: Marina entrega a João Mariano uma carta, destinada ao seu
namorado, para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode esquecer com
probabilidade 0.1. Se não se esquecer, a probabilidade de que o correio
extravie a carta é de 0.1. Finalmente, se foi enviada pelo correio a probabilidade
de que o namorado não a receba é de 0.1.
(a) Se o namorado de Marina não recebeu a carta, qual a
probabilidade de João Mariano ter esquecido de colocá-la no
correio?
(b) Avalie as possibilidades desse namoro continuar, se a
comunicação depender das cartas enviadas.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
47 / 56
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 22: Em um exame há três respostas para cada pergunta e apenas
uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade
1/3 de escolher a resposta certa se ela estar advinhando e 1 se sabe a
resposta. Um estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele deu a
resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a
adivinhou?
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
48 / 56
Probabilidade Condicional
Já consideramos eventos A e B que não podem ocorrer conjuntamente
(A ∩ B = ∅). Tais eventos são denominados mutuamente excludentes.
Se A e B forem mutuamente excludentes, então P (A|B ) = 0, porque a
ocorrência de B impede a ocorrência de A.
Em muitas situações saber que B já ocorreu nos dá alguma informação
bastante definida referente à probabilidade de ocorrência de A.
Existem, porém, muitas situações nas quais saber que algum evento B
ocorreu não tem qualquer interesse quanto á ocorrência ou não ocorrência
de A.
EXEMPLO 23: Um dado equilibrado é jogado duas vezes. Seja A =o primeiro
dado mostra um número par e B =o segundo dado mostra 5 ou 6.
Os eventos A e B são inteiramente não relacionados. Saber que B ocorreu não
fornece qualquer informação sobre a ocorrência de A.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
49 / 56
Probabilidade Condicional
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
50 / 56
Probabilidade Condicional
Definição 6.3: (Independência de dois eventos)
Sejam A e B eventos em (Ω, A , P ). A e B são eventos independentes se
P (A|B ) = P (A) ou P (B |A) = P (B ).
A condição de independência pode também ser expressa na seguinte forma
alternativa e equivalente:
P (A ∩ B ) = P (A)P (B )
Importante: Diremos que os eventos A e C são condicionalmente
independentes dado B se P (A ∩ C |B ) = P (A|B )P (C |B ).
Definição 6.4: (Independência de vários eventos)
Os eventos A1 , A2 , . . . , An em (Ω, A , P ) são independentes se, para toda
coleção de índices 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n e 2 ≤ k ≤ n, tivermos
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Aik )
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
51 / 56
Probabilidade Condicional
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
52 / 56
Probabilidade Condicional
Proposição 6.1: Se A e B são independentes, então A e B c também são
independentes (e também Ac e B, e ainda Ac e B c ).
Demonstração:
P (A ∩ B c ) = P (A) − P (A ∩ B ). Como A e B são independentes, então
P (A ∩ B ) = P (A)P (B ). Substituindo, temos que
P (A ∩ B c ) = P (A) − P (A)P (B ) = P (A)(1 − P (B )) = P (A)P (B c ).
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
53 / 56
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 24: Se P (A ∪ B ) = 0.8; P (A) = 0.5 e P (B ) = x, determine o valor
de x no caso de:
(a) A e B serem mutuamente exclusivos.
(b) A e B serem independentes.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
54 / 56
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 25: Em uma certa população, a probabilidade de gostar de teatro é
de 1/3, enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. Determine a probabilidade
de gostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos.
Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes.
Todos que gostam de teatro gostam de cinema.
A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é de 1/8.
Dentre os que não gostam de cinema, a probabilidade de não
gostar de teatro é 3/4.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
55 / 56
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 26: Uma caixa contém 5 bolas brancas e três bolas pretas. Duas
bolas são retiradas simultaneamente ao acaso e substituídas por três bolas
azuis. Em seguida duas novas bolas são retiradas da caixa. Calcule a
probabilidade de que essas duas últimas bolas sejam da mesma cor.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Probabilidade Condicional
08/16
56 / 56