diferentes representações dos sistemas de equações lineares

DIFERENTES REPRESENTAÇÕES DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: UMA
ANÁLISE DOS REGISTROS DE ALUNOS DO 1º ANO DO CURSO DE MATEMÁTICA DA
UNESPAR/FECILCAM
Wellington Hermann, (TIDE), UNESPAR/FECILCAM, [email protected]
Veridiana Rezende, (TIDE), UNESPAR/FECILCAM, [email protected]
INTRODUÇÃO
Os encaminhamentos adotados por professores para ensinar matemática, geralmente, não
assumem a característica de um roteiro fixo e imutável, que deve ser seguido à risca. Mais como o
traçado suave de uma curva, que se adapta às formas pouco definidas e mutáveis, que como o traço
duro, certo, definido e definitivo de uma linha reta, o planejamento das ações que visam criar um
ambiente propício para a aprendizagem, assumem um caráter provisório, mutável e adaptável. Isso
porque, a sala de aula de matemática é um espaço dinâmico, onde acontecem imprevistos, pois é
essencial e predominantemente composta por pessoas: professores e alunos.
A atividade docente assume, assim, o status de arte: a arte de ensinar matemática. Em que os
planejamentos são esboços das ações que futuramente acontecerão para proporcionar a aprendizagem
aos alunos. Porém, assumir esse status para a atividade docente, não implica que ela deve acontecer no
improviso, mas como uma ação intencionalmente planejada que pode ser adaptada segundo as
necessidades percebidas pelo professor. Além disso, todo plano de ensino é fundamentado, implícita
ou explicitamente, em alguma teoria do que significa ensinar e aprender. Por vezes, a teoria é pessoal,
surge da experiência, da convivência com outros professores e não se apresenta sistematizada
formalmente. Por outras, surge de pesquisas, é abrangente e formalmente sistematizada. Indica o que
significa aprender e sugere alguns fundamentos para que o professor leve a cabo seu plano de ensino.
Nesse texto, apresentamos uma pesquisa que surgiu dos encaminhamentos utilizados por uma
professora, segunda autora desse trabalho, para ensinar o conteúdo de sistemas de equações lineares.
Seu planejamento e sua atuação foram baseados em uma teoria formal e sistematizada, que afirma que
aprender matemática implica em coordenar os diferentes registros de representação semiótica de um
objeto matemático (DUVAL, 2012). A abordagem utilizada para ensinar o conteúdo foi a de
proporcionar aos alunos atividades em que pudessem mobilizar os diversos registros relativos a
sistemas de equações lineares, por vezes utilizando software, para efetivar a aprendizagem.
Após a professora encerrar o trabalho com esse conteúdo, surgiram duas questões: que tipo de
registros relativos ao conteúdo de sistemas de equações lineares ficam mais profundamente
arraigados na mente dos alunos? Quais registros eles mobilizam ao escrever sobre tal conteúdo?
Para dar conta de responder a essas questões, realizou-se a coleta de informações e, baseado
no que foi obtido, realizaram-se análises, conforme se segue.
A COLETA DE INFORMAÇÕES
O trabalho foi desenvolvido com trinta alunos do primeiro ano do curso de Matemática da
UNESPAR/Campus de Campo Mourão, que cursam a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra
Linear. Foram utilizadas duas aulas para o desenvolvimento da atividade que consistiu em escrever um
texto em formato de carta, que seria enviado a um amigo por e-mail, lhe ensinando o conteúdo de
sistemas de equações lineares.
“Um amigo seu está com um problema: precisa aprender o conteúdo de
sistemas de equações lineares para apresentar em um seminário na escola
em que estuda. Ele não sabe nada a respeito do tema e, sabendo que você é
aluno do curso de matemática, pediu sua ajuda por e-mail. Elabore um texto
para enviar para seu amigo por e-mail, ensinando tudo o que você sabe a
respeito do conteúdo para ele”.
Foi dito que se tratava de parte de uma pesquisa que está sendo desenvolvida e foi pedido que
não utilizassem qualquer material de apoio para escrever o texto: livro, caderno ou consulta a colegas.
Eles deveriam basear sua escrita naquilo que sabiam a respeito do conteúdo.
Mantivemos o anonimato dos alunos utilizando a letra “A” seguida de um número entre 1 e
30, fazendo correspondência entre a ordem numérica do código e a ordem alfabética dos respectivos
nomes.
Mais que um instrumento para coleta de informações, a escrita de cartas pode ser utilizada
como um encaminhamento pedagógico para proporcionar aprendizagem. Para escrever, os alunos
devem sistematizar saberes referentes ao tema, sintetizar o que sabem e expor suas ideias.
Segundo Freitas (2006):
A escrita de cartas de futuros professores de Matemática para alunos de sala de aula
parece instaurar um processo reflexivo em que o pensamento se processa, em
diferentes momentos, pela releitura da escrita, na interação estabelecida (p.39).
Um desafio para a escrita, especificamente no trabalho proposto, foi imposto pela inserção de
um interlocutor que não sabe nada a respeito do conteúdo que os alunos deveriam ensinar. Lins
(1999), apoiado na concepção de Jaques Derrida de que a comunicação é um acidente, diz que toda
enunciação é dirigida “a um ser cognitivo (o interlocutor a quem me dirijo, e que pode ou não
corresponder a um ‘outro’)” (p. 81, grifo do autor). Os alunos deveriam, então, imaginar esse
interlocutor, que poderia ser alguém real ou fictício, mas que não deixaria de ser uma idealização,
para, com base nele, elaborar seu texto.
O texto produzido, então, assume um caráter pessoal, dirigido ao que Lins (1999) chama de
“um leitor” e torna-se “[...] o resíduo de uma enunciação. Mas quem pode dizer se algo é um texto ou
não é apenas o leitor, e apenas no instante em que esse leitor produz significado para o texto” (p. 82).
A comunicação acontece, então, na convergência dos significados, na medida em que ambos, o um
autor e o um leitor “dizem coisas que o outro diria e com a autoridade que o outro aceita” (LINS,
1999, p. 82).
Apesar de os alunos escreverem para algum amigo, fictício ou não, eles sabem que esse amigo
não receberá o texto. Apesar de seus interlocutores assumirem nomes de amigos que supostamente não
sabem nada a respeito do tema proposto, eles intuitivamente sabiam que seu um leitor, em última
instância, seria a professora da disciplina. Alguém que havia lhes ensinado o conteúdo proposto:
utilizando encaminhamentos específicos; por meio de exemplos específicos; e que havia indicado um
livro para consulta.
LIVRO DIDÁTICO ADOTADO E OS PROCEDIMENTOS DIDÁTICOS DA PROFESSORA
DA DISCIPLINA
É importante tecer comentários a respeito da abordagem feita pelos autores do livro utilizado
como fonte de consulta, devido à possibilidade que esse instrumento apresenta de exercer influência
sobre a forma como os alunos aprendem os conceitos relativos ao conteúdo abordado nessa pesquisa,
assim como também é importante relatar as formas como o conteúdo de sistemas de equações lineares
foi trabalhado pela professora da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear.
A professora, segunda autora desse artigo, adotou o livro Álgebra Linear, dos autores Alfredo
Steinbruch e Paulo Winterle (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987). Nele, o conteúdo referente a
sistemas de equações lineares faz parte de um apêndice juntamente com o conteúdo de Matrizes e
Determinantes.
A estratégia adotada pelos autores do livro foi abordar, primeiramente, os conteúdos de
Matrizes e Determinantes, apresentando as diversas operações que se podem realizar com matrizes,
formas de reduzi-las à forma escada, matrizes equivalentes, como calcular determinantes e, após,
apresentam o conteúdo de sistemas de Equações Lineares. Após apresentar a definição, os autores
passam a tratar de duas formas para a resolução para sistemas: o método de Gauss-Jordan e o método
da matriz inversa, ambos priorizando o tratamento matricial. Aliás, nessa obra, o tratamento dado à
solução dos sistemas de equações lineares é predominantemente matricial. O registro algébrico
aparece, na maioria das vezes, apenas para apresentar os sistemas de equações a ser resolvido. Não
aparecem em nenhum momento do livro o registro gráfico nem situações problemas para os alunos
interpretarem e representarem em forma de sistemas.
No entanto, para Duval (2012), a limitação em apenas um registro de representação semiótica
“[...] não favorece em nada as transferências e as aprendizagens ulteriores: torna os conhecimentos
adquiridos pouco ou não utilizáveis em outras situações aonde deveriam realmente ser utilizados” (p.
283). Ele acrescenta que a compreensão de um conceito limitada a apenas um registro “[...] conduz a
um trabalho às cegas, sem possibilidade de controle do ‘sentido’ daquilo que é feito” (p. 283).
Segundo Duval (2012), um objeto matemático não pode ser confundido com sua
representação, e, por consequência, para a compreensão de um conceito é preciso que o sujeito
reconheça e coordene diferentes representações de um mesmo conceito. O pesquisador acrescenta que:
Se a conceitualização implica coordenação de registros de representação, o principal
caminho das aprendizagens de base matemática não pode ser somente a automatização
de certos tratamentos ou a compreensão de noções, mas deve ser a coordenação de
diferentes registros de representação, necessariamente mobilizados por estes
tratamentos ou por esta compreensão. A coordenação de registros aparece como
condição fundamental para todas as aprendizagens de base, ao menos nos domínios em
que os únicos dados que são utilizados são as representações semióticas, como em
matemática e em francês (DUVAL, 2012, p. 284).
Desse modo, com a intenção de favorecer a aprendizagem dos alunos em relação aos sistemas
de equações lineares, e levando em consideração pressupostos de Duval (2012), que defende que para
a aprendizagem de um conceito devem ser consideradas suas diferentes representações e coordenação
entre diferentes registros de representação semiótica, a professora da disciplina buscou atividades que
favorecessem aos alunos conhecer e coordenar os diferentes registros relacionados aos sistemas de
equações lineares. Pois, caso contrário, se a professora optasse por seguir o livro texto, os
conhecimentos dos alunos ficariam limitados às representações Matriciais e Algébricas, privando-os
de conhecer, segundo Duval (2012), o verdadeiro sentido dos sistemas de equações lineares.
Desse modo, com preocupação de colaborar com a formação desses futuros professores de
Matemática, a professora da disciplina buscou realizar uma abordagem diferenciada em relação ao
livro texto, e optou por explorar os registros Língua Natural, Gráfico, Algébrico, além da
representação Matricial proposta pelo livro.
Na primeira aula sobre sistemas de equações lineares, a professora, sem mencionar o conteúdo
a ser trabalhado, pediu para que os alunos se reunissem em grupos com três indivíduos e entregou para
cada grupo uma folha com duas atividades: uma situação problema que correspondia a um sistema de
duas equações e duas incógnitas; e a outra atividade que consistia de três sistemas de equações lineares
com duas equações e duas incógnitas, escolhidos estrategicamente de modo que um sistema tratava-se
de um sistema compatível determinado, o outro sistema compatível indeterminado e o terceiro
sistema era incompatível.
A professora pediu que os alunos resolvessem a situação problema do modo que eles
considerassem pertinente. Alguns alunos resolveram por tentativa e erro, e outros alunos montaram
um sistema e o resolveram pelos métodos da Substituição ou Adição, que haviam aprendido na
Educação Básica. Cabe ressaltar que a maioria dos alunos não se lembrava de como resolver um
sistema de ordem dois que, segundo as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná para a disciplina
de Matemática (PARANÁ, 2008), os alunos devem estudar este conceito desde o 8º ou 9º ano do
Ensino Fundamental.
Com relação à atividade dois, que diz respeito aos três sistemas lineares, a professora solicitou
que os alunos representassem num mesmo plano cartesiano as duas equações lineares, de cada um dos
itens. Nesta resolução, conforme ilustra a Figura 1, os alunos perceberam que no primeiro caso as retas
representadas eram concorrentes, no segundo caso as retas eram coincidentes, e no terceiro caso as
retas eram paralelas. Após os alunos chegarem a este resultado em grupos, a professora formalizou o
significado das posições das retas representadas em cada caso. Foi ressaltado que o fato das retas
terem um ponto em comum significa que existe um único par ordenado (x,y) que satisfaz ambas as
equações. As retas coincidentes foram associadas às infinitas soluções que satisfazem ambas as
equações, e retas paralelas significa que não existe ponto comum que satisfaz ambas as equações.
Figura 1: Representação Gráfica de Sistemas Lineares
Fonte: Autores deste trabalho
Após esta discussão, os alunos resolveram os três sistemas algebricamente e relacionaram as
soluções algébricas com as posições das retas representadas por eles no plano cartesiano. Desse modo,
esta atividade favoreceu aos alunos vivenciarem numa mesma aula, os registros Língua Natural,
Gráfico e Algébrico referente aos sistemas de equações lineares.
Para os sistemas de equações com três incógnitas, a professora se fundamentou na pesquisa de
Jordão (2011), que faz um estudo sobre resolução algébrica e gráfica de sistemas de equações lineares
de ordem 3x3 no Ensino Médio. Essa pesquisa auxiliou tanto na escolha do Winplot para visualizar e
representar as equações no espaço cartesiano, quanto a indicar as oito possibilidades de intersecção
(ou não) dos planos que presentam as soluções dos sistemas.
Para realizar o trabalho, os alunos foram levados ao Laboratório de Informática da faculdade
para plotarem no Winplot os oito tipos de sistemas de equação lineares, presentes na pesquisa de
Jordão (2011), para interpretarem graficamente as soluções dos sistemas, e classificarem os sistemas
em compatível determinado, compatível indeterminado e incompatível. Após a aula de Laboratório,
alguns destes sistemas foram resolvidos algebricamente em sala de aula, favorecendo aos alunos
associarem as interpretações das resoluções algébrica e gráfica.
Para as resoluções dos sistemas de ordem maior ou igual a três, foram trabalhados com os
alunos os métodos de resolução presentes no livro texto envolvendo métodos relacionados a
representações matriciais como Gauss-Jordan e Matriz inversa, além da regra de Crammer que
também não consta no livro texto.
No decorrer das aulas, diversas situações problemas envolvendo sistemas de equações lineares
de ordem três foram propostas aos alunos, sendo várias delas retiradas da pesquisa de Lamin (2000).
Cabe salientar que tanto as listas de exercícios quanto a avaliação da aprendizagem consistiram de
atividades que exploraram os registros Língua Natural, Gráfico, Algébrico e representação Matricial.
Buscou-se explorar os diferentes registros sem atribuir ênfase a um ou outro, embora o livro texto
privilegiasse o registro Matricial.
Após um mês que os alunos haviam realizado a avaliação sobre este conteúdo, a professora da
disciplina, juntamente com o professor de Complementos da Matemática desta mesma turma, ambos
autores deste trabalho, resolveram investigar o que ficou para os alunos sobre o conteúdo de sistemas
de equações lineares após uma abordagem que buscou explorar diferentes registros de representação
semiótica. As análises desta investigação estão descritas na sequência deste texto.
A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E AS ANÁLISES
DESTA PESQUISA
As dificuldades no ensino e aprendizagem da matemática podem ser decorrentes do fato de a
Matemática ser uma ciência abstrata. Neste sentido, Duval (2003) alerta que é preciso considerar as
diferenças existentes entre a atividade cognitiva em Matemática e de outras Ciências, tais como
Biologia, Física ou Química, nas quais os conceitos podem ser observados ou manipulados por meios
de experiências visuais. Pois, para Duval (2003), o funcionamento do pensamento em Matemática
apresenta especificidades em relação a outros domínios do conhecimento.
Assim, considerando que os conceitos matemáticos são abstratos, e que só podemos ter acesso
a estes conceitos por meio de suas representações, Duval (2012) defende que recorrer a diversos
registros de representação semiótica parece “[...] uma condição necessária para que os objetos
matemáticos não sejam confundidos com sua representação e que eles possam ser reconhecidos em
cada uma de sua representação” (p. 270).
Duval comenta, ainda, sobre a complementariedade existente entre os registros de
representação. Para o pesquisador, a linguagem, uma figura ou um diagrama não oferecem as mesmas
possibilidades de representação. Duval (2012) afirma que “[...] toda representação é cognitivamente
parcial em relação ao que ela representa, e que de um registro a outro não estão os mesmos
aspectos do conteúdo de uma situação que estão representados” (p. 280, grifos do autor).
Desse modo, Duval (2003) conjectura que a compreensão de um conceito matemático supõe a
coordenação de ao menos dois registros de representação semiótica, ou seja, passar de um registro
para outro registro é essencial para a compreensão de um conceito matemático.
No caso deste trabalho, que trata dos sistemas de equações lineares, os registros de
representação considerados são: Registro Língua Natural - apresentados na forma de situação
problema, na descrição do sistema de equação linear ou método de resolução em nossa língua materna
– o português; Registro Gráfico – interpretação gráfica da solução de um sistema linear; Registro
Algébrico – consiste na representação algébrica ou resolução algébrica de um sistema linear; Registro
Numérico – consiste na resolução por tentativa e erro ou na forma Matricial.
Duval (2012) aponta que existem dois tipos de transformação entre registros, que ele
denomina por tratamento e conversão. Como tratamento, o pesquisador considera uma transformação
interna a um registro. Por exemplo, no caso dos sistemas de equações lineares, partir de um registro
algébrico e resolvê-lo algebricamente, é considerado, na perspectiva de Duval, um tratamento. Como
conversão Duval (2012) denomina a transformação externa do registro inicial, ou seja, é uma
transformação de um registro a outro registro de representação. Um exemplo de conversão seria partir
de uma situação problema, interpretá-la na forma de um sistema de equações e resolvê-la na forma
algébrica. Outro exemplo de conversão é partir de um sistema na representação algébrica, interpretá-lo
e representá-lo graficamente.
Sendo assim, fundamentados na teoria dos registros de representação semiótica de Raymond
Duval, agrupamos as produções escritas dos alunos, solicitadas conforme descritas acima, em cinco
grupamentos de respostas, especificadas a seguir.
Grupamento I: Conversão: Registro da Língua Natural para o Registro Algébrico
As respostas de quatro alunos, A2; A6; A17; A30, foram classificadas neste grupamento. Dois
alunos, A2 e A6, descreveram uma situação problema, relacionada a um sistema de equações de
ordem dois, interpretaram e resolveram algebricamente o sistema, e apresentaram a solução em língua
natural. Ou seja, entendemos que estes dois alunos realizaram as seguintes conversões: Língua Natural
– Algébrica – Língua Natural.
Os outros dois alunos, A17 e A30, apresentaram uma situação problema relacionada a um
sistema de equações. Eles interpretaram algebricamente esta situação, na forma de um sistema de
equações lineares. Observamos que a situação apresentada pelo aluno A17 diz respeito a um sistema
de ordem três, e a situação apresentada por A30 refere-se a um sistema de ordem dois.
Grupamento II: Tratamento no Registro Algébrico
Nesse grupamento, identificamos as repostas de dois alunos, A7; A8. Ambos os alunos
apresentam um exemplo de sistemas de equações lineares com duas equações e duas incógnitas, e os
resolvem algebricamente. A aluna A8 faz alusão a interpretar um problema para descobrir o que deve
ser resolvido: Você primeiro tem que interpretar o problema para descobrir o que deve ser revolvido
(aluna A8). Assim, embora a aluna A8 tenha apresentado apenas o registro algébrico em sua produção
escrita, consideramos que o fato dela se referir a problemas para se interpretar e resolver um fato
importante, de acordo com a perspectiva de Duval. Pois, pois ela associa de algum modo, o Registro
Língua Natural com o Registro Algébrico.
Grupamento III: Processo para solução no Registro Língua Natural
Nesse grupamento de respostas, foram classificadas as respostas de oito alunos, A10; A11;
A14; A15; A20; A21; A25; A27. Estes alunos utilizam-se do Registro Língua Natural para
descreverem passo a passo métodos algébricos, gráficos ou numéricos para resolução e interpretação
das soluções de um sistema de equações lineares.
Os alunos A11, A14, A20, A21 e A25 descrevem o método da adição ou o método da
substituição, que estamos considerando métodos algébricos de resolução. Os alunos A10, A27 e A25
descrevem os métodos de Gauss-Jordan ou de Crammer, que consideramos como métodos
relacionados ao Registro Numérico na forma Matricial. A interpretação gráfica de um sistema de
equações de ordem 3 apareceu na resposta do aluno A15.
O fato de os alunos descreverem os métodos de resolução em Língua Natural, indica que suas
aprendizagens não ficaram restritas apenas ao processo mecânico de manusear símbolos e regras.
Assim, entendemos que se os alunos são capazes de explicitar cada um dos passos dos métodos para a
resolução dos sistemas de equações lineares, podemos inferir que houve aprendizado em relação a
estes métodos.
Grupamento IV: Descreve o que acredita ser um sistema de equações lineares
Dentre os sujeitos desta pesquisa, seis alunos, A16; A18; A22; A26; A27; A29, descreveram o
que acreditam ser um sistema de equações lineares. Para ilustrar, apresentamos a descrição do aluno
A27:
Sistema é organizado através de 2 ou mais equações, com 2 ou mais incógnitas, e um valor
independente, onde com a resolução do problema temos que respeitar a igualdade com o termo
independente. Sua forma genérica é:
Figura 2: Representação Algébrica e genérica de um sistema de equações do aluno A27
Fonte: Autores desta pesquisa
Grupamento V: Registro de Representação Gráfica para a solução de um sistema
Dois alunos representaram graficamente a solução de um sistema linear. No entanto, um dos
alunos havia participado como monitor de uma oficina sobre sistemas de equações lineares e suas
diferentes representação, cuja professora da disciplina era a ministrante. Por isto, consideramos que
este aluno é um caso especial e que suas representações recebem influência da abordagem utilizada na
oficina. Contudo, o aluno A19, classificou as soluções dos sistemas como: Compatível Determinado;
Compatível Indeterminado e Incompatível, associando com as representações gráficas de um sistema
de ordem dois, conforme ilustra a representação a seguir representada por A19:
Figura 3: Representação Gráfica pelo aluno A19
Fonte: Autores deste trabalho
As respostas de nove alunos foram classificadas em um grupamento que denominamos por
outros. Na maioria dos casos os alunos realizaram tentativas incipientes de definir o que é um sistema
de equações lineares, mas que não foram consideradas corretas pelos autores deste trabalho.
CONSIDERAÇÕES
Neste trabalho, procuramos destacar os diferentes registros de representação semiótica, na
perspectiva de Duval, utilizados por alunos da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra linear para
a compreensão/representação do conceito de sistemas de equações lineares. Para isto, apresentamos o
relato de procedimentos didáticos da professora dessa disciplina, segunda autora deste texto, que
buscou apresentar aos seus alunos atividades relacionadas a registros que vão além dos registros
apresentados no livro texto da disciplina que, assim como muitos livros de Álgebra Linear, prioriza a
representação Matricial ou Algébrica. Analisamos, após decorrido um mês da avaliação de
aprendizagem, por meio da escrita de uma carta, os registros mobilizados pelos alunos sobre os
sistemas de equações lineares.
Desse modo, conforme mostram os resultados das análises desta investigação, podemos
afirmar que a abordagem diferenciada, valorizando diferentes registros para os sistemas de equações
lineares: Registro Língua Natural; Registro Gráfico; Registro Algébrico; Registro Numérico –
sobretudo na forma Matricial, faz-se presente nas respostas dos alunos.
As análises das respostas dos alunos permitem afirmar que as práticas pedagógicas dos
professores interferem no modo como os alunos concebem os conceitos matemáticos. Pois, embora
não sejam abordados no livro texto, as respostas dos alunos se referem a situações problemas,
representação gráfica, conversões, tratamentos e descrição de métodos para resolução de sistemas na
língua natural.
REFERÊNCIAS
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pensamento. Revemat: Revista eletrônica de Educação Matemática. Florianópolis, v. 7, n. 2, p. 266 –
297, 2012.
DUVAL, Raymond. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da
compreensão em Matemática. In: Aprendizagem em Matemática. Machado, S. D. A. (org.). p. 1133. Campinas, SP: Papirus, 2003.
FREITAS, Maria Tereza Menezes. A escrita no processo de formação contínua do professor de
matemática. Tese de doutorado. Campinas - SP: UNICAMP, 2006.
JORDÃO, Ana Lúcia Infantozzi. Um estudo sobre equações algébricas e gráficas de Sistemas
Lineares 3x3 no 2º ano do Ensino Médio. Dissertação de Mestrado (Mestrado Profissional em
Educação Matemática). PUC, São Paulo, SP, 2011.
LAMIN, Maria Regina Nunes. Resolução de Problemas modelados com Sistemas de Equações
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LINS, Romulo Campos. Por que discutir teoria do conhecimento é relevante para a Educação
Matemática. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani Bicudo (org.). Pesquisa em Educação
Matemática: Concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da UNESP, 1999.
PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para as séries finais do Ensino Fundamental e
para o Ensino Médio: Matemática – Curitiba: Secretaria de Estado da Educação, 2008, 50p.
STEINBRUCH, Alfredo: WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2.ed. São Paulo. McGraw-Hill 1987.