programação não linear.

Programaca~o N~ao Linear.
Autores: Daniel Mendes Azer^
edo e Geci Jose Pereira da Silva
e-mail: [email protected]
Unidade Acad^
emica: Instituto de Matem
atica e Estatstica.
Palavras-chave: Programa
ca~o sem restric~oes, Programaca~o com restric~oes de
igualdade e desigualdade.
T
tulo:
1
Introduc~
ao
Nosso trabalho consiste em estudar algoritmos para resolver problemas de otimizaca~o
de func~oes. Inicialmente foram estudados a formulac~ao do problemas de programac~ao
n~ao-linear e condic~oes de otimalidade para minimizac~ao sem restric~oes. Em seguida
foram estudados topicos de analise convexa e iniciado o estudo dos algoritmos com
buscas direcionais, parte onde foram estudados: direco~es de descida, modelo de algoritmos e a ordem de converg^encia destes algoritmos. Depois disso estudamos os
modelos classicos para resoluca~o de problemas de otimizac~ao irrestrita, dentre os
quais se destacam-se: o metodo do Gradiente e o metodo de Newton, metodos os
quais apesar de serem de pouca aplicaca~o pratica s~ao considerados modelos para
outros algoritmos desenvolvidos nos dias atuais. Apos o estudos de algoritmos para
resoluca~o de problemas irrestritos, passamos a estudar condico~es de otimalidade para
problemas de otimizac~ao com restrico~es, e depois iniciamos o estudo de algoritmos
para resoluc~ao desses problemas, como o metodo do Gradiente Projetado, metodo
de Penalidades, metodo da Barreira e Lagrangeano Aumentado. Alem disso foram
estudados aspectos da teoria de Dualidade Local.
2
Metodologia
Inicialmente foram estudados a formulac~ao do problema de programac~ao n~ao linear e
condico~es de otimalidade irrestrita alem de topicos de analise convexa, que eram pre1
requisitos para o desenvolvimento do projeto. Em seguida foram estudados modelos
de algoritmos para problemas irrestritos e restritos. O desenvolvimento do projeto
foi avaliado semanalmente pelo orientador atraves de seminarios onde foram tiradas
duvidas e discutidos resultados do projeto.
3
Resultados e Discuss~
ao
Estamos interessados em metodos de resoluca~o de problemas de otimizaca~o da forma:
Minimizar
Sujeito a
onde f : Rn
! R;
h : Rn
f (x)
h(x) = 0
g (x) 0
! Rm e g : Rn ! Rp com f;
(1)
g; h 2 C 2 .
3.1 O Metodo de Penalidades
A ideia do metodo de penalidades e substituir o problema (1) por um problema
irrestrito da forma:
Minimizar f (x) + 1c [jjh(x)jj2 + maxf0; g (x)g]
onde c e uma constante positiva.
3.2 O Metodo de Dualidade Local
A ideia do metodo de dualidade local e substituir o problema (1) por um problema
irrestrito da forma:
Minimizar f (x) + t h(x) + t g (x)
onde 2 Rm e 2 Rp ; 0.
2
3.3 O Metodo do Lagrangeano Aumentado
O metodo do langrangeano aumentado e parecido com uma combinac~ao do metodo de
penalidades com o metodo de dualidade local, esses dois conceitos trabalham juntos
am de eliminar desvantagens associadas com cada um desses metodos sozinhos. A
implementaca~o desse metodo consiste em substituir o problema (1) pelo problema:
Minimizar f (x) + t h(x) + 2c jjh(x)jj2 + 2c1
P
p
j=1
f(maxf0; j + cgj (x)g
2j g
Proposi
c~
ao 3.1. Suponha que as condi
co
~es de segunda ordem para m
nimo local s~
ao
satisfeitas por
(x? ; ? ).
Ent~
ao existe um
?
? ,
tal que para todo
aumentado
LA (x; ; ) = f (x) + t h(x) + 2c jjh(x)jj2 + 2c1
?
tem um ponto x de m
nimo local.
P
p
j=1
o Lagrangeano
f(maxf0; j + cgj (x)g
2j g
Refer^
encias
[1] Bertsekas, D. Nonlinear
programming
, Belmont, Athena Scientic, 1995.
[2] Friedlander, A. Elementos de Programaca~o N~ao-Linear, Campinas, Editora Unicamp, 1994.
[3] Hiriart-Urruty, J.B and Lemarechal, C. Convex
gorithms I, New York, Springer-Verlag, 1993.
[4] Luenberger, D. G. Linear and nonlinear
Wesley Publishing Company, 1986
Fonte de nanciamento:Instituto do Mil^enio
3
Analysis and Minimization Al-
, Nova York, addison-
programming