Um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais

Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciências Exatas e da Terra
Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada
e Estatística
Mestrado em Matemática Aplicada e Estatística
Um estudo de Lógica Linear com
Subexponenciais
Laura Fernandes Dell Orto
Natal-RN
Fevereiro de 2017
Laura Fernandes Dell Orto
Um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais
Trabalho apresentado ao Programa de PósGraduação em Matemática Aplicada e Estatística da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte, em cumprimento com as
exigências legais para obtenção do título de
Mestre.
Área de Concentração: Modelagem Matemática.
Linha de Pesquisa: Matemática Computacional
Orientador(a)
Prof. Dr. Carlos Alberto Olarte Vega
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN
Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística –
PPGMAE
Natal-RN
Fevereiro de 2017
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial
Especializada do Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.
Dell Orto, Laura Fernandes.
Um estudo de lógica linear com subexponenciais / Laura Fernandes Dell Orto. –
Natal, 2017.
109f.
Orientador: Prof. Dr. Carlos Alberto Olarte Vega.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro
de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Matemática
Aplicada e Estatística.
1. Lógica Matemática - Dissertação. 2. Teoria da prova - Dissertação. 3.
Eliminação do corte - Dissertação. 4. Lógica linear - Dissertação. 5. Lógica linear
com subexponenciais - Dissertação. I. Vega, Carlos Alberto Olarte. II. Título.
RN/UF/BSE-CCET
CDU: 510.6
Dissertação de Mestrado sob o título Um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais
apresentada por Laura Fernandes Dell Orto e aceita pelo Programa de Pós-Graduação
em Matemática Aplicada e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte,
sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:
Professor Doutor Carlos Alberto Olarte Vega
Orientador(a)
Escola de Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Professora Doutora Elaine Gouvêa Pimentel
Departamento de Matemática
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Professor Doutor Mário Sérgio Alvim
Departamento de Ciência da Computação
Universidade Federal de Minas Gerais
Natal-RN, 15 de Fevereiro de 2017.
Aos meus pais.
Agradecimentos
Seria impossível agradecer a todos aqui.
Primeiramente, gostaria de agradecer ao meu orientador Carlos Alberto Olarte Vega,
por toda a atenção e paciência ao longo desses dois anos. Ele foi uma das pessoas que
mais me motivou e inspirou para continuar estudando e escrevendo, sempre atencioso e
solícito com tudo que precisei. Gostaria de agradecer também à professora Elaine Gouvea
Pimentel, que também me orientou quando necessário e dispôs muito do seu tempo para
que esse trabalho pudesse ser concluído.
Agradeço muito à minha família: meus pais, Eloiza e Vinicius, e meu irmão, Bruno. A
paciência, compreensão e ajuda deles em vários momentos foi fundamental nessa jornada.
Não menos importante, agradeço também à minha família que não mora conosco: meus
avós, tios e primos, que tantas vezes deixei de visitar e estar com eles em momentos
importantes para poder me dedicar a este trabalho.
Sou imensamente grata também a todos meus amigos. Seria impossível citar todos
aqui. Agradeço principalmente aos meus amigos da Liga N-Blast, a quem devo muito apoio
ao longo desses dois anos. Agradeço também a todos os Sihings e Sijehs da Academia Tat
Wong de Kung Fu. Por muitas vezes, quando estamos desanimados mentalmente, a prática
do Kung Fu nos estimula e nos ensina a ter persistência e excelência em tudo que fazemos
na nossa vida.
Este trabalho teria sido impossível de ser realizado sem a ajuda de todas as minhas
colegas de trabalho do Núcleo de Estudos em Saúde Coletiva (NESC/UFRN), onde sou
técnica administrativa. Seria impossível finalizar esse trabalho sem ajuda e compreensão
delas em todas as minhas ausências para assistir aulas e estudar. Agradeço também às
minhas chefias e aos coordenadores e vice-coordenadores do NESC durante esses dois
anos.
E, por fim, agradeço à UFRN por me dar o direito de poder conciliar trabalho e estudo,
algo bastante difícil. Trabalho como técnica-admistrativa na UFRN desde 2014 e sem a
liberdade para estudar que a UFRN concede aos seus funcionários teria sido impossível
concluir este trabalho.
I’m not a linear logician.
Jean-Yves Girard
Um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais
Autor: Laura Fernandes Dell Orto
Orientador(a): Prof. Dr. Carlos Alberto Olarte Vega
Resumo
Em Lógica Clássica, podemos utilizar as hipóteses um número indeterminado de vezes.
Por exemplo, a prova de um teorema pode fazer uso do mesmo lema várias vezes. Porém,
em sistemas físicos, químicos e computacionais a situação é diferente: um recurso não
pode ser reutilizado após ser consumido em uma ação. Em Lógica Linear, fórmulas são
vistas como recursos a serem utilizados durante a prova. É essa noção de recursos que
faz a Lógica Linear ser interessante para a modelagem de sistemas. Para tanto, a Lógica
Linear controla o uso da contração e do enfraquecimento através dos exponenciais ! e
?. Este trabalho tem como objetivo fazer um estudo sobre a Lógica Linear com Subexponenciais (SELL), que é um refinamento da Lógica Linear. Em SELL, os exponenciais
da Lógica Linear possuem índices, isto é, ! e ? serão substituídos por !i e ?i , onde “i” é
um índice. Um dos pontos fundamentais de Teoria da Prova é a prova da Eliminação do
Corte, que neste trabalho é demonstrada tanto para Lógica Linear como para SELL, onde
apresentamos detalhes que normalmente são omitidos. A partir do teorema de Eliminação do Corte, podemos concluir a consistência do sistema (para as lógicas que estamos
utilizando) e outros resultados como a propriedade de subfórmula. O trabalho inicia-se
com um capítulo de Teoria da Prova, e em seguida se faz uma exposição sobre a Lógica
Linear. Assim, com essas bases, apresenta-se a Lógica Linear com Subexponenciais. SELL
tem sido utilizada, por exemplo, na especificação e verificação de diferentes sistemas tais
como sistemas bioquímicos, sistemas de interação multimídia e, em geral, em sistemas
concorrentes com modalidades temporais, espaciais e epistêmicas. Com essa base teórica
bastante clara, apresenta-se a especificação de um sistema bioquímico utilizando SELL.
Além disso, apresentamos várias instâncias de SELL que tem interpretações interessantes
do ponto de vista computacional.
Palavras-chave: Lógica Matemática, Teoria da Prova, Eliminação do Corte, Lógica Linear,
Lógica Linear com Subexponenciais.
A study of Linear Logic with Subexponentials
Author: Laura Fernandes Dell Orto
Advisor: Prof. Dr. Carlos Alberto Olarte Vega
Abstract
In Classical Logic, we can use a given hypothesis an indefinite number of times. For
example, the proof of a theorem may use the same lemma several times. However, in
physical, chemical and computational systems, the situation is different: a resource cannot be reused after being consumed in one action. In Linear Logic, formulas are seen
as resources to be used during a proof. This feature makes Linear Logic an interesting
formalism for the specification and verification of such systems. Linear Logic controls the
rules of contraction and weakening through the exponentials ! and ?. This work aims to
study Linear Logic with subexponentials (SELL), which is a refinement of Linear Logic.
In SELL, the exponentials of Linear Logic are decorated with indexes, i.e., ! and ? are
replaced with !i and ?i , where “i” is an index. One of the main results in Proof Theory is
the Cut-Elimination theorem. In this work we demonstrate that theorem for both Linear
Logic and SELL, where we present details that are usually omitted in the literature. From
the Cut-Elimination Theorem, we can show, as a corollary, the consistency of the system
(for the logics considered here) and other results as the subformula property. This work
begins with an introduction to Proof Theory and then, it presents Linear Logic. On these
bases, we present Linear Logic with subexponentials. SELL has been used, for example,
in the specification and verification of various systems such as biochemical systems, multimedia interaction systems and, in general, concurrent systems with temporal, spatial
and epistemic modalities. Using the theory of SELL, we show the specification of a biochemical system. Moreover, we present several instances of SELL that have interesting
interpretations from a computational point of view.
Keywords: Mathematical Logic, Proof Theory, Cut-Elimination, Linear Logic, Linear Logic with Subexponenciais.
Lista de símbolos
⇒ “deduz” ou “prova”
⊃ Implicação
∧ Conjunção
∨ Disjunção
` Turnstile
∃ Existe
∀ Para todo
⊗ Times
⊕ Plus
& With
O Par
> Top
⊥ Bottom
! Bang ou Of course
? Why not ou Question mark
( Entails
e Cap
d Cup
Sumário
1 Introdução
p. 11
2 Teoria da Prova
p. 14
2.1
Cálculo de Sequentes para a Lógica Intuicionista . . . . . . . . . . . . .
p. 14
2.2
Admissibilidade do Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 23
2.3
Lógica de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 31
2.3.1
Os quantificadores no Cálculo de Sequentes . . . . . . . . . . . .
p. 33
2.3.2
Admissibilidade do Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 37
3 Lógica Linear
p. 41
3.1
Lógica Linear Intuicionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 48
3.2
Admissibilidade do Corte na Lógica Linear . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 50
4 Lógica Linear com Subexponenciais (SELL)
p. 72
4.1
Sintaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 73
4.2
Estrutura Algébrica dos Subexponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 74
4.3
Sistema SELLSΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 77
4.4
Sistema SELLSe
p. 87
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Especificação de sistemas bioquímicos em SELL
p. 98
6 Considerações finais
p. 106
Referências
p. 108
11
1
Introdução
Lógica e Teoria da Prova tem sido excelentes ferramentas para estudar sistemas formais. Sistemas naturais (físicos e químicos) são, em geral, modelados com base em experimentos e observações. Através de sistemas formais, podemos compreender melhor esses
sistemas reais por meio de um conjunto bem organizado de hipóteses, definições, teoremas, lemas, corolários, etc. Além disso, sistemas formais são bastante úteis no estudo de
modelos abstratos (matemáticos e computacionais) devido ao seu rigor na apresentação
dos conceitos e resultados.
A Lógica de Primeira Ordem é um dos principais ramos da lógica mais estudados hoje
por causa de suas aplicações nos fundamentos da matemática. Podemos afirmar que, por
volta de 1900, a lógica moderna foi concebida como uma teoria de sentenças, conjuntos
e relações e em torno de 1940–1950 o paradigma do sistema lógico se tornou a Lógica de
Predicados (ou Cálculo de Predicados)1 .
A Lógica Intuicionista (também chamada de Lógica Construtivista) surgiu com o proprósito de utilizar provas construtivistas nos sistemas formais: um prova só é válida em
Lógica Intuicionista se houver uma prova direta da sentença. Do ponto de vista computacional, esse é um bom sistema por utilizar somente provas diretas. Na Lógica Clássica,
toda proposição tem atribuído um valor verdadeiro ou falso independente de termos provas diretas em ambos os casos. Na Lógica Intuicionista, uma proposição só é considerada
verdadeira ou falsa caso haja uma prova direta para tal afirmação. Todos os sistemas
apresentados neste trabalho serão intuicionistas, salvo quando apresentamos brevemente
o sistema clássico para uma abordagem introdutória do assunto.
Já as Lógicas Subestruturais são lógicas não-clássicas construídas de forma a não possuir uma ou mais regras estruturais da Lógica Clássica. Uma das Lógicas Subestruturais
mais utilizadas é a Lógica Linear (GIRARD, 1986), que não possui as regras de enfraquecimento e contração. Com isso, as informações não pode ser simplesmente copiadas
1
Lógica de Predicados (ou Cálculo de Predicados) é um termo genérico para a Lógica de Primeira
Ordem.
12
e utilizadas indefinidamente como acontece na Lógica Clássica. Isso faz com que a Lógica Linear seja um bom formalismo para modelar sistemas reias, pois no mundo real
dificilmente se trabalha com recursos infinitos. Neste trabalho, apresentaremos a Lógica
Linear e um refinamento dela: a Lógica Linear com Subexponenciais (SELL) (OLARTE;
PIMENTEL; NIGAM,
2015). SELL se mostrará bastante útil para modelar outros aspectos
de sistemas, como modalidades espaciais e temporais.
A Lógica Matemática é tradicionalmente dividida em quatro partes: Teoria dos Conjuntos, Teoria dos Modelos, Teoria da Recursão, Teoria da Prova e Matemática Construtiva (BARWISE, 1977). Neste trabalho, iremos nos focar em Teoria da Prova. Dedicaremos
o capítulo 2 para expor os principais conceitos de Teoria de Prova necessários para o
objetivo desse trabalho.
Neste trabalho iremos realizar um estudo de Lógica Linear com Subexponenciais com
foco na admissibilidade do corte. A regra de corte é uma regra que introduz um lema para
podermos provar o sequente. Iremos provar a admissibilidade do corte em três sistemas:
G3ip (capítulo 2), Lógica Linear Intuicionista (capítulo 3) e Lógica Linear com Subexponenciais (capítulo 4). Em muitos casos, a consistência do sistema é imediata quando a
admissibilidade do corte é demonstrada, daí vem a importância dessa prova neste trabalho.
E, por fim, no capítulo 5, especificaremos um sistema bioquímico utilizando o formalismo de SELL. Devido aos índices nos exponenciais, SELL permite especificar modalidades espaciais e temporais. Isso se mostrará bastante útil na descrição de evolução do
sistema.
Dessa forma, o trabalho possui a seguinte estrutura:
1. Introdução
2. Teoria da Prova: neste capítulo apresentamos o sistema G3ip (que é um sistema
intuicionista) e provamos a admissibilidade do corte nesse sistema. Provaremos também a admissibilidade das regras estruturais (contração e enfraquecimento).
3. Lógica Linear: capítulo fundamental para o trabalho. Apresenta-se uma breve introdução de Lógica Linear Clássica e em seguida apresenta-se a Lógica Linear Intuicionista. Assim, prova-se a admissibilidade do corte na Lógica Linear Intuicionista,
apresentando com detalhes casos normalmente omitidos.
4. Lógica Linear com Subexponenciais: apresenta-se a Lógica Linear com Subexponenciais e demonstra-se a admissibilidade do corte nos sistemas SELLSΣ (sistema
13
SELLS com uma assinatura exponencial Σ) e SELLSe (sistema SELLS com os quantificados e e d) (OLARTE; PIMENTEL; NIGAM, 2015) com detalhes normalmente omitidos. Trabalharemos com o sistema SELL intuicionista, daí vem o motivo de nos
capítulos anteriores provarmos a admissibilidade do corte somente para sistemas
intuicionistas.
5. Especificação de sistemas bioquímicos em SELL: neste capítulo iremos especificar
um sistema bioquímico utilizando o formalismo de SELL.
6. Conclusões: conclusões sobre o trabalho e perspectivas futuras.
14
2
Teoria da Prova
Teoria da Prova é um dos ramos da Lógica Matemática que estuda a estrutura e as
propriedades das provas matemáticas. Em sua tese de doutorado, Gerhard Gentzen (1909
- 1945) introduziu o Cálculo de Sequentes no início da década de 1930. Em sua tese,
Gentzen propõe duas formulações principais para sistemas de regras lógica: a dedução
natural e o cálculo de sequentes.
Neste trabalho, não entramos em detalhes sobre dedução natural. Iremos utilizar
apenas o cálculo de sequentes, que será abordado na próxima seção. O sistema de dedução
natural pode ser visto com detalhes em (TROELSTRA; SCHWICHTENBERG, 2000).
2.1
Cálculo de Sequentes para a Lógica Intuicionista
O Cálculo de Sequentes que utilizaremos neste trabalho surgiu em 1934, por Gerhard
Gentzen, como uma forma de estudo mais prática da Dedução Natural. Isso se deve ao
fato de que no Cálculo de Sequentes possuímos um maior controle dos antecedentes e
sucedentes, pois, diferentemente da dedução natural, se trabalha com sequentes e não
com fórmulas.
Gentzen apresentou os sistemas LK e LJ (também chamados de G-systems) que tratavam, respectivamente, da Lógica de Primeira Ordem Clássica e da Lógica de Primeira
Ordem Intuicionista (TROELSTRA; SCHWICHTENBERG, 2000). Os sistemas propostos originalmente por Gentzen, chamados G1 e G2, não serão abordados aqui. Nesses sistemas,
as regras de enfraquecimento e contração são regras que fazem parte das regras lógicas do
sistema. Já no sistema G3 essas regras são admissíveis. Utilizaremos aqui o sistema G3 e
provaremos a admissibilidade da regra de corte:
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
15
Nesta dissertação iremos abordar somente o Cálculo de Sequentes para a Lógica Intuicionista. Portanto, nesse capítulo, descreveremos o sistema G3ip e iremos nos focar na
admissibilidade da regra de corte. Isso se faz necessário pois no Capítulo 4 iremos provar
o mesmo para a Lógica Linear com Subexponenciais. Abaixo, seguem as regras do sistema
G3ip1 .
Sistema G3ip
Axioma Inicial
A, Γ ⇒ A
axiom
Regras Lógicas
⊥, Γ ⇒ C
⊥L
A ⊃ B, Γ ⇒ A
B, Γ ⇒ C
A ⊃ B, Γ ⇒ C
A, B, Γ ⇒ C
A ∧ B, Γ ⇒ C
A, Γ ⇒ C
B, Γ ⇒ C
A ∨ B, Γ ⇒ C
∨L
∧L
⊃L
Γ⇒A
Γ⇒B
Γ⇒A∧B
Γ⇒A
Γ⇒A∨B
∨R1
A, Γ ⇒ B
Γ⇒A⊃B
⊃R
∧R
Γ⇒B
Γ⇒A∨B
∨R2
Observação 2.1. A fórmula principal é a fórmula da conclusão na qual a regra lógica é
aplicada.
No Cálculo de Sequentes proposto por Gentzen, o contexto das regras é um contexto compartilhado, ou seja, ao aplicar uma regra o contexto Γ permanece o mesmo
nas premissas esquerda e direita (exceto em Cut, porém isso será discutido mais a frente
no final da seção 2.2). Na regra de Cut, é introduzido um lema D, e mostraremos que
essa regra é admissível. A negação e a equivalência são definidas como ¬A = A ⊃ ⊥ e
A ≡ B = (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A).
Notação. Quando derivamos fórmulas e sequentes, devemos especificar em qual formalismo estamos derivando. Para o sequente Γ ⇒ ∆ derivado no formalismo K, escrevemos
`K Γ ⇒ ∆
Na próxima seção mostraremos que a regra de corte é admissível em G3ip. Para
provar a admissibilidade, utilizaremos indução na ordem lexicográfica do par ordenado
(W, H) (essa ordem será melhor explicada na próxima seção).
1
G3 se refere ao terceiro refinamento do sistema de Gentzen e ip significa “intuitionistic propositional”
16
Definição 2.1 (Admissibilidade). Dado um sistema de regras G, dizemos que uma regra
com premissas S1 ,...,Sn e conclusão S é admissível em G se, sempre que uma instância
de S1 ,...,Sn é derivável em G, a instância correspondente de S é derivável em G.
Em outras palavras, uma regra é admissível em um sistema de regras G quando o
conjunto de resultados desse sistema não se altera com a inclusão dessa nova regra. Ou
seja, a regra admissível é uma regra redundante: sempre que houver uma prova com uma
regra admissível, existe uma prova sem utilizar essa regra.
Definição 2.2 (Peso de uma fórmula). O peso w(A) de uma fórmula A é definido indutivamente por
w(⊥) = 0
w(p) = 1, onde um átomo p é uma fórmula que não contém conectivos lógicos.
w(A ◦ B) = w(A) + w(B) + 1, onde ◦ = ∧, ∨, ⊃
Notação. `n Γ ⇒ C significa: o sequente Γ ⇒ C é derivável com uma altura máxima
de derivação n.
Definição 2.3 (Altura de uma derivação). Uma derivação em G3ip é ou um axioma, ou
uma instância de ⊥L , ou a aplicação de uma regra lógica a derivações cujas conclusões são
premissas da regra utilizada. A altura de uma derivação é o maior número de aplicações
sucessivas de regras na derivação , onde um axioma e ⊥L tem altura 0.
Podemos definir a altura de uma derivação indutivamente. O caso n = 0 são as regras
⊥L e axiom:
`0 Γ, P ⇒ P
axiom
`0 Γ, ⊥ ⇒ C
Para regras que possuem uma premissa, temos:
`n Γ0 ⇒ C 0
`n+1 Γ ⇒ C
Para regras que possuem duas premissa, temos:
`n Γ0 ⇒ C 0
`m Γ00 ⇒ C 00
`max(n,m)+1 Γ ⇒ C
⊥L
17
Além das regras apresentadas no sistema G3ip, existem ainda as Regras Estruturais. Estas são admissíveis no sistema. São elas enfraquecimento, contração e corte. A
admissibilidade do corte será detalhada na próxima sessão.
Regras Estruturais
Γ⇒C
D, Γ ⇒ C
W
D, D, Γ ⇒ C
D, Γ ⇒ C
C
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
Intuitivamente, o enfraquecimento nos diz que introduzir uma hipótese não altera a
nossa prova e a contração nos diz que repetir uma hipótese também não altera nossa prova.
Nos teoremas 2.1 e 2.2, provaremos a admissibilidade da contração e do enfraquecimento
(NEGRI; PLATO, 2001). Já a regra de corte introduz um lema D para provarmos o sequente
Γ, ∆ ⇒ C. A admissibilidade do corte será demonstrada na próxima seção.
Lema 2.1 (Lema da Inversão). As seguintes afirmações são verdadeiras:
• Se `n A ∧ B, Γ ⇒ C, então `n A, B, Γ ⇒ C;
• Se `n A ∨ B, Γ ⇒ C, então `n A, Γ ⇒ C e `n B, Γ ⇒ C;
• Se `n A ⊃ B, Γ ⇒ C então `n B, Γ ⇒ C.
Demonstração.
• Se `n A ∧ B, Γ ⇒ C, então `n A, B, Γ ⇒ C
Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ Γ, logo o sequente A ∧ B, Γ ⇒ C
termina com a regra axiom, então A, B, Γ ⇒ C também termina com a regra axiom. (ii)
Se ⊥ ∈ Γ, logo A ∧ B, Γ ⇒ C termina com a regra ⊥L , então A, B, Γ ⇒ C também
termina com a regra ⊥L .
Hipótese indutiva: assuma que o lema da inversão vale para uma altura ≤ n e seja
`n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C. Temos dois casos:
(i) A ∧ B é a fórmula principal, então a premissa A, B, Γ ⇒ C tem uma derivação de
altura n
`n A, B, Γ ⇒ C
`n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C
∧L
18
(ii) A ∧ B não é a fórmula principal. Considere, por exemplo, o caso em que C = C1 ∨ C2
`n A ∧ B, Γ ⇒ C1
`n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C1 ∨ C2
∨R
Pela hipótese indutiva, temos `n A, B, Γ ⇒ C1 . Pela regra ∨R , temos
`n A, B, Γ ⇒ C1
`n+1 A, B, Γ ⇒ C1 ∨ C2
∨R
que é o sequente `n+1 A, B, Γ ⇒ C1 ∨ C2 que queríamos provar.
No caso geral, quando A ∧ B não é principal, se temos
`n A ∧ B, Γ0 ⇒ C 0
`n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C
então, pela hipótese indutiva, temos `n A, B, Γ0 ⇒ C 0 . Qualquer regra que aplicarmos teremos `n+1 A, B, Γ ⇒ C.
• Se `n A ∨ B, Γ ⇒ C, então `n A, Γ ⇒ C e `n B, Γ ⇒ C
Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ Γ, logo o sequente A ∨ B, Γ ⇒ C
termina com a regra axiom, então A, Γ ⇒ C e B, Γ ⇒ C também terminam com a regra
axiom. (ii) Se ⊥ ∈ Γ, logo A ∨ B, Γ ⇒ C termina com a regra ⊥L , então A, Γ ⇒ C e
B, Γ ⇒ C também terminam com a regra ⊥L .
Hipótese indutiva: assuma que o lema da inversão vale para uma altura ≤ n e seja
`n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C. Temos dois casos:
(i) A ∨ B é a fórmula principal, então as premissas A, Γ ⇒ C e B, Γ ⇒ C tem uma
derivação de altura n
`n A, Γ ⇒ C
`n B, Γ ⇒ C
`n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C
∨L
(ii) A ∨ B não é a fórmula principal. Considere, por exemplo, o caso em que C = C1 ∨ C2
`n A ∨ B, Γ ⇒ C1
`n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C1 ∨ C2
∨R
Pela hipótese indutiva, temos `n A, Γ ⇒ C1 e `n B, Γ ⇒ C1 . Pela regra ∨R , temos
19
`n A, Γ ⇒ C1
`n+1 A, Γ ⇒ C1 ∨ C2
∨R
`n B, Γ ⇒ C1
`n+1 B, Γ ⇒ C1 ∨ C2
∨R
que são os sequente `n+1 A, Γ ⇒ C1 ∨ C2 e `n+1 B, Γ ⇒ C1 ∨ C2 que queríamos
provar.
No caso geral, quando A ∨ B não é principal, se temos
`n A ∨ B, Γ0 ⇒ C 0
`n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C
então, pela hipótese indutiva, temos `n A, Γ0 ⇒ C 0 e `n B, Γ0 ⇒ C 0 . Qualquer regra
que aplicarmos teremos `n+1 A, Γ ⇒ C e `n+1 B, Γ ⇒ C.
• Se `n A ⊃ B, Γ ⇒ C então `n B, Γ ⇒ C
Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ Γ, logo o sequente A ⊃ B, Γ ⇒ C
termina com a regra axiom, então B, Γ ⇒ C também termina com a regra axiom. (ii) Se
⊥ ∈ Γ, logo A ⊃ B, Γ ⇒ C termina com a regra ⊥L , então B, Γ ⇒ C também termina
com a regra ⊥L .
Hipótese indutiva: assuma que o lema da inversão vale para uma altura ≤ n e seja
`n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C. Temos dois casos:
(i) A ⊃ B é a fórmula principal, então a premissa B, Γ ⇒ C tem uma derivação de
altura n
`n A ⊃ B, Γ ⇒ A
`n B, Γ ⇒ C
`n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C
⊃L
(ii) A ⊃ B não é a fórmula principal. Considere, por exemplo, o caso em que C = C1 ∨C2
`n A ⊃ B, Γ ⇒ C1
`n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C1 ∨ C2
∨R
Pela hipótese indutiva, temos `n B, Γ ⇒ C1 . Pela regra ∨R , temos
`n B, Γ ⇒ C1
`n+1 B, Γ ⇒ C1 ∨ C2
∨R
que é o sequente `n+1 B, Γ ⇒ C1 ∨ C2 que queríamos provar.
No caso geral, quando A ⊃ B não é principal, se temos
20
`n A ⊃ B, Γ0 ⇒ C 0
`n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C
então, pela hipótese indutiva, temos `n B, Γ0 ⇒ C 0 . Qualquer regra que aplicarmos
teremos `n+1 B, Γ ⇒ C.
QED.
Teorema 2.1 (Preservação da altura da Contração). Se `n D, D, Γ ⇒ C, então `n
D, Γ ⇒ C.
Demonstração. A prova é por indução na altura da derivação n.
Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ {D, D, Γ} e o sequente D, D, Γ ⇒ C
termina com a regra axiom, logo C ∈ {D, Γ} e D, Γ ⇒ C também termina com a regra
axiom. (ii) Se D, D, Γ ⇒ C termina com ⊥L , então ⊥L ∈ {D, D, Γ}, logo ⊥L ∈ {D, Γ} e
D, Γ ⇒ C também termina com ⊥L .
Hipótese indutiva: assuma que a preservação da altura da contração é admissível para
derivações com altura ≤ n. Temos dois casos:
(i) D não é a fórmula principal. Considere, por exemplo, o caso em que C = C1 ∨ C2
`n D, D, Γ ⇒ C1
`n+1 D, D, Γ ⇒ C1 ∨ C2
Pela hipótese indutiva temos `n D, Γ ⇒ C1 . Pela regra ∨R , temos
`n D, Γ ⇒ C1
`n+1 D, Γ ⇒ C1 ∨ C2
∨R
que é o sequente `n+1 D, Γ ⇒ C1 ∨ C2 que queríamos provar.
Em geral, quando D não é principal, se temos
`n D, D, Γ0 ⇒ C 0
`n+1 D, D, Γ ⇒ C
então, pela hipótese indutiva, temos `n D, Γ0 ⇒ C 0 . Qualquer regra que aplicarmos
teremos `n+1 D, Γ ⇒ C. O mesmo vale para regras que possuem duas premissas.
Suponha, por exemplo, Γ = Γ0 , A ⊃ B
21
`n A ⊃ B, D, D, Γ0 ⇒ A
`m D, D, Γ0 , B ⇒ C
`max(n,m)+1 D, D, Γ0 , A ⊃ B ⇒ C
⊃L
Pela hipótese indutiva, temos `n A ⊃ B, D, Γ0 ⇒ A e `m D, Γ0 , B ⇒ C. Pela regra
⊃L , temos
`n A ⊃ B, D, Γ0 ⇒ A
`m D, Γ0 , B ⇒ C
`max(n,m)+1 D, Γ0 , A ⊃ B ⇒ C
⊃L
(ii) D é principal na última regra que conclui as premissas de contração. Então temos
três subcasos:
• D =A∧B
Temos o último passo da derivação:
`n A, B, A ∧ B, Γ ⇒ C
`n+1 A ∧ B, A ∧ B, Γ ⇒ C
∧L
Pelo lema da inversão, sabemos que `n A, B, A, B, Γ ⇒ C. Por hipótese indutiva (aplicada duas vezes), temos `n A, B, Γ ⇒ C. Aplicando a regra ∧L ,
temos
`n A, B, Γ ⇒ C
`n+1 A ∧ B, Γ ⇒ C
∧L
• D =A∨B
Temos o último passo da derivação:
`n A, A ∨ B, Γ ⇒ C
`n B, A ∨ B, Γ ⇒ C
`n+1 A ∨ B, A ∨ B, Γ ⇒ C
∨L
Pelo lema da inversão, sabemos que `n A, A, Γ ⇒ C e `n B, B, Γ ⇒ C. Por
hipótese indutiva, temos `n A, Γ ⇒ C e `n B, Γ ⇒ C. Aplicando a regra ∨L ,
temos
`n A, Γ ⇒ C
`n B, Γ ⇒ C
`n+1 A ∨ B, Γ ⇒ C
∨L
• D=A⊃B
Temos o último passo da derivação:
`n A ⊃ B, A ⊃ B, Γ ⇒ A
`n B, A ⊃ B, Γ ⇒ C
`n+1 A ⊃ B, A ⊃ B, Γ ⇒ C
⊃L
Pela hipótese indutiva na primeira premissa, temos `n A ⊃ B, Γ ⇒ A. Pelo
lema da inversão na segunda premissa, temos `n B, B, Γ ⇒ C. Por hipótese
indutiva, temos `n B, Γ ⇒ C. Aplicando a regra ⊃L , temos
22
`n A ⊃ B, Γ ⇒ A
`n B, Γ ⇒ C
`n+1 A ⊃ B, Γ ⇒ C
⊃L
QED.
Teorema 2.2 (Preservação da altura do Enfraquecimento). Se `n Γ ⇒ C, então `n
D, Γ ⇒ C para um D arbitrário.
Demonstração. A prova é por indução na altura da derivação n.
Caso base: se n = 0, então (i) C é um átomo e C ∈ Γ e o sequente Γ ⇒ C termina
com a regra axiom, logo C ∈ {D, Γ} e D, Γ ⇒ C também termina com a regra axiom.
(ii) Se Γ ⇒ C termina com ⊥L , então ⊥L ∈ Γ, logo ⊥L ∈ {D, Γ} e D, Γ ⇒ C também
termina com ⊥L .
Hipótese indutiva: assuma que a preservação da altura do enfraquecimento é admissível para derivações com altura ≤ n.
Se a última regra aplicada foi ∧L , onde Γ = A ∧ B, Γ0 , temos o último passo:
`n A, B, Γ0 ⇒ C
`n+1 A ∧ B, Γ0 ⇒ C
∧L
Pela hipótese indutiva, `n D, A, B, Γ0 ⇒ C. Então, aplicando de ∧L ,
`n D, A, B, Γ0 ⇒ C
`n+1 D, A ∧ B, Γ0 ⇒ C
∧L
que é o sequente `n+1 D, A ∧ B, Γ0 ⇒ C que queríamos provar. Qualquer regra que
aplicamos teremos `n+1 D, A ∧ B, Γ0 ⇒ C. O mesmo vale para regras que possuem duas
premissas. Suponha, por exemplo, Γ = Γ0 , A ⊃ B
`n A ⊃ B, Γ0 ⇒ A
`m Γ0 , B ⇒ C
`max(n,m)+1 Γ0 , A ⊃ B ⇒ C
⊃L
Pela hipótese indutiva, temos `n D, A ⊃ B, Γ0 ⇒ A e `m D, Γ0 , B ⇒ C. Pela regra
⊃L , temos
`n D, A ⊃ B, Γ0 ⇒ A
`m D, Γ0 , B ⇒ C
`max(n,m)+1 D, Γ0 , A ⊃ B ⇒ C
QED.
⊃L
23
2.2
Admissibilidade do Corte
Agora, iremos apresentar o principal resultado desse capítulo: a admissibilidade do
corte em G3ip. A regra de corte nos diz que é possível provar o sequente Γ, ∆ ⇒ C se
podemos “adivinhar” um lema D.
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
A prova utiliza indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H), onde W é o
peso do corte (definição 2.5) e H é a altura do corte (definição 2.4).
Como dito no início do capítulo, uma regra admissível é uma regra redundante: os
resultados não se alteram com a inclusão dessa nova regra. Dessa forma, a regra de corte
facilita algumas provas. Mas se existe uma prova utilizando a regra do corte, então existe
também uma prova sem utilizar a regra do corte.
Definição 2.4 (Altura do Corte). A altura de uma regra de corte (altura do corte) em
uma derivação é a soma das alturas de derivação das duas premissas do corte.
Notação. A notação
π1
π2
..
..
.
.
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
significa que o sequente Γ ⇒ D possui uma derivação π1 de altura n e o sequente
D, ∆ ⇒ C possui uma derivação π2 de altura m. Logo, esse corte possui uma altura
n + m. Da mesma forma, uma derivação π3 possui uma altura k.
Definição 2.5 (Peso do corte). O peso do corte é o peso w(D) da fórmula de corte D.
Teorema 2.3 (Eliminação do Corte). A regra de corte
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
é admissível em G3ip.
Cut
24
Demonstração.
A prova procede por indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H), onde
W é o peso (ou complexidade) da fórmula de corte e H é a altura do corte. Como W
e H são bem-fundados, podemos mostrar que a ordem lexicográfica definida como “se
(w1 , h1 ) > (w2 , h2 ), então ou w1 > w2 , ou w1 = w2 e h1 > h2 ” também é uma ordem bem
fundada.
Mostraremos que o corte é admissível para o caso base (0, 0), ou seja, quando W = 0
e H = 0. Esse é o nosso caso base para indução. Depois utilizamos indução na ordem
lexicográfica do par ordenado (W, H).
Caso base: (W, H) = (0, 0)
Para W = 0, temos que D = ⊥. Temos a derivação com altura de corte zero, onde
⊥ ∈ Γ para que H = 0
⊥L
⊥, Γ0 ⇒ ⊥
⊥, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
⊥L
Cut
Transformamos então em uma derivação sem corte
⊥, Γ0 , ∆ ⇒ C
⊥L
Casos indutivos: a demonstração será dividida nos seguintes casos:
O corte possui pelo menos um axioma ou conclusão de ⊥L como premissa
1. A premissa esquerda Γ ⇒ D do corte é um axioma ou conclusão de ⊥L .
2. A premissa direita D, ∆ ⇒ C é um axioma ou conclusão de ⊥L .
O corte não possui nem axioma nem conclusão de ⊥L como premissas
3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda.
4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita.
5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas.
25
Para provar o caso (w, h) com w 6= 0 e/ou h 6= 0, vamos assumir, por indução, que
todo corte com peso w0 e altura h0 pode ser eliminado, onde (w0 , h0 ) < (w, h). Ou seja,
usaremos indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H).
Segue a demonstração para cada caso com seus respectivos subcasos:
1. A premissa esquerda Γ ⇒ D do corte é um axioma ou conclusão de ⊥L .
1.1. A fórmula D no corte está em Γ
Γ = Γ0 , D
Axiom
Γ0 , D ⇒ D
D, ∆ ⇒ C
0
Γ , D, ∆ ⇒ C
Cut
Neste caso, Γ, ∆ ⇒ C deriva de D, ∆ ⇒ C por enfraquecimento.
1.2. ⊥ é uma fórmula em Γ
Temos uma derivação com altura de corte n, onde Γ = Γ0 , ⊥
π1
..
.
⊥L
∆, D ⇒ C
Γ0 , ⊥ ⇒ D
Γ0 , ⊥, ∆ ⇒ C
Cut
Transformamos em uma derivação sem corte
Γ0 , ⊥, ∆ ⇒ C
⊥L
2. A premissa direita D, ∆ ⇒ C é um axioma ou conclusão de ⊥L .
2.1. C está em ∆
Temos uma derivação com altura de corte n, onde ∆ = ∆0 , C
π1
..
.
Γ⇒D
∆0 , C, D ⇒ C
Γ, ∆0 , C ⇒ C
Transformamos em uma derivação sem corte
Γ, ∆0 , C ⇒ C
2.2. C = D
axiom
axiom
Cut
26
Γ⇒C
C, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Axiom
Cut
Neste caso, Γ, ∆ ⇒ C deriva de Γ ⇒ C por enfraquecimento
2.3. ⊥ é uma fórmula em ∆
Temos uma derivação com altura de corte n, onde ∆ = ∆0 , ⊥
π1
..
.
Γ⇒D
∆0 , ⊥, D ⇒ C
Γ, ∆0 , ⊥ ⇒ C
⊥L
Cut
Transformamos em uma derivação sem corte
Γ, ∆0 , ⊥ ⇒ C
⊥L
3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda.
3.1. ∧L , com Γ = A ∧ B, Γ0
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
π2
.
..
A, B, Γ0 ⇒ D
.
∧L
0
D, ∆ ⇒ C
A ∧ B, Γ ⇒ D
0
A ∧ B, Γ , ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
A, B, Γ0 ⇒ D
D, ∆ ⇒ C
A, B, Γ0 , ∆ ⇒ C
∧L
A ∧ B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
3.2. ∨L , com Γ = A ∨ B, Γ0
A derivação com uma altura de corte max(n, m) + 1 + k é
π1
π2
..
..
π3
.
.
..
0
0
A, Γ ⇒ D
B, Γ ⇒ D
.
∨L
D, ∆ ⇒ C
A ∨ B, Γ0 ⇒ D
A ∨ B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
27
Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + k e m + k
π2
π1
π3
π3
..
..
..
..
.
.
.
.
0
0
B, Γ ⇒ D
D, ∆ ⇒ C
A, Γ ⇒ D
D, ∆ ⇒ C
Cut
0
0
A, Γ , ∆ ⇒ C
B, Γ , ∆ ⇒ C
∨L
A ∨ B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
3.3. ⊃L , com Γ = A ⊃ B, Γ0
A derivação com uma altura de corte max(n, m) + 1 + k é
π1
π2
..
..
π3
.
.
..
0
0
A ⊃ B, Γ ⇒ A
B, Γ ⇒ D
.
⊃L
A ⊃ B, Γ0 ⇒ D
D, ∆ ⇒ C
A ⊃ B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte m + k
π2
π1
π3
..
..
..
.
.
.
D, ∆ ⇒ C
B, Γ0 ⇒ D
A ⊃ B, Γ0 ⇒ A
W
A ⊃ B, Γ0 , ∆ ⇒ A
B, Γ0 , ∆ ⇒ C
⊃L
A ⊃ B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita.
4.1. ∧L , com ∆ = A ∧ B, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
D,
A,
B,
∆0 ⇒ C
.
D, A ∧ B, ∆0 ⇒ C
Γ⇒D
Γ, A ∧ B, ∆0 ⇒ C
∧L
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, A, B, ∆0 ⇒ C
Γ, A, B, ∆0 ⇒ C
∧L
Γ, A ∧ B, ∆0 ⇒ C
Cut
4.2. ∨L , com ∆ = A ∨ B, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é
28
π1
..
.
Γ⇒D
π2
π3
..
..
.
.
D, A, ∆0 ⇒ C
D, B, ∆0 ⇒ C
D, A ∨ B, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, A ∨ B, ∆0 ⇒ C
∨L
Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + m e n + k
π2
π3
π1
π1
..
..
..
..
.
.
.
.
Γ⇒D
D, A, ∆0 ⇒ C
Γ⇒D
D, B, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, A, ∆0 ⇒ C
Γ, B, ∆0 ⇒ C
∨L
Γ, A ∨ B, ∆0 ⇒ C
Cut
4.3. ⊃L , com ∆ = A ⊃ B, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é
π1
..
.
Γ⇒D
π2
π3
..
..
.
.
D, A ⊃ B, ∆0 ⇒ A
D, B, ∆0 ⇒ C
D, A ⊃ B, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, A ⊃ B, ∆0 ⇒ C
⊃L
Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + m e n + k
π2
π3
π1
π1
..
..
..
..
.
.
.
.
0
Γ⇒D
D, A ⊃ B, ∆ ⇒ A
Γ⇒D
D, B, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, A ⊃ B, ∆0 ⇒ A
Γ, B, ∆0 ⇒ C
⊃L
Γ, A ⊃ B, ∆0 ⇒ C
Cut
4.4. ∧R , com C = A ∧ B
A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é
π1
..
.
Γ⇒D
π2
π3
..
..
.
.
D, ∆ ⇒ A
D, ∆ ⇒ B
D, ∆ ⇒ A ∧ B
Cut
Γ, ∆ ⇒ A ∧ B
∧R
Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + m e n + k
π1
π2
π1
π3
..
..
..
..
.
.
.
.
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ A
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ B
Cut
Γ, ∆ ⇒ A
Γ, ∆ ⇒ B
∧R
Γ, ∆ ⇒ A ∧ B
Cut
29
4.5. ∨R , com C = A ∨ B
As derivações com alturas de corte n + m + 1 e n + k + 1 são
π2
..
π1
.
..
D,
∆
⇒A
.
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ A ∨ B
Γ, ∆ ⇒ A ∨ B
∨R1
Cut
π3
..
π1
.
..
D,
∆
⇒B
.
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ A ∨ B
Γ, ∆ ⇒ A ∨ B
∨R2
Cut
Permutando os cortes, temos as derivações com alturas de corte n + m e n + k
π1
π2
..
..
.
.
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ A
Γ, ∆ ⇒ A
∨R1
Γ, ∆ ⇒ A ∨ B
Cut
π1
π3
..
..
.
.
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ B
Γ, ∆ ⇒ B
∨R2
Γ, ∆ ⇒ A ∨ B
Cut
4.6. ⊃R , com C = A ⊃ B
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
D,
A,
∆
⇒B
.
D, ∆ ⇒ A ⊃ B
Γ⇒D
Γ, ∆ ⇒ A ⊃ B
⊃R
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
Γ⇒D
D, A, ∆ ⇒ B
Γ, A, ∆ ⇒ B
⊃R
Γ, ∆ ⇒ A ⊃ B
Cut
5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas.
5.1. D = A ∧ B
A derivação com peso de corte w(A ∧ B) é
π3
π1
π2
..
..
..
.
.
.
A, B, ∆ ⇒ C
Γ⇒A
Γ ⇒ B ∧R
Γ⇒A∧B
A ∧ B, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
∧L
Cut
Obtemos então dois cortes com complexidades (pesos) w(B) e w(A)
30
π1
π3
..
..
π2
.
.
..
Γ
⇒
A
A,
B,
∆
⇒C
.
Γ, B, ∆ ⇒ C
Γ⇒B
Cut
Γ, Γ, ∆ ⇒ C
C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
5.2. D = A ∨ B
A derivação com peso de corte w(A ∨ B) é
π1
..
.
Γ⇒A
Γ⇒A∨B
π2
π3
..
..
.
.
A, ∆ ⇒ C
B, ∆ ⇒ C
∨R1
A ∨ B, ∆ ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
∨L
Obtemos então um corte com complexidade (peso) menor w(A)
π1
π2
..
..
.
.
Γ⇒A
A, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
O caso onde onde escolhemos B em ∨R2 é similar.
5.3. D = A ⊃ B
A derivação com uma altura de corte n + 1 + max(m, k) + 1 e peso w(A ⊃ B)
é
π1
..
.
A, Γ ⇒ B
Γ⇒A⊃B
π3
π2
..
..
.
.
A ⊃ B, ∆ ⇒ A
B, ∆ ⇒ C
⊃R
A ⊃ B, ∆ ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
⊃L
Obtemos então uma derivação com três cortes. No primeiro e no segundo corte,
os pesos foram reduzidos para w(A) e w(B). No terceiro corte, o peso permaneceu o mesmo e a altura foi reduzida para n + 1 + m
π1
..
.
A, Γ ⇒ B
Γ⇒A⊃B
5.4. D = ⊥
Temos
π2
π1
π3
..
..
..
.
.
.
⊃R
A ⊃ B, ∆ ⇒ A
A, Γ ⇒ B
B, ∆ ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ A
A, Γ, ∆ ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
31
Γ⇒⊥
⊥, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
⊥L
Cut
Existem duas possibilidades para este caso:
(i) Γ ⇒ ⊥ termina em zero passos e Γ, ∆ ⇒ C segue como no caso 1
(ii) Γ ⇒ ⊥ é derivado por uma regra da esquerda (casos 3.1-3.3)
QED.
2.3
Lógica de Primeira Ordem
Nesta seção, estenderemos a Lógica Proposicional apresentada anteriormente. Na seção anterior, as fórmulas representavam proposições sem argumentos. Agora, vamos estender nossa abordagem para a Lógica de Primeira Ordem, também chamada de Lógica
de Predicados. Em Lógica de Primeira Ordem os átomos tem o formato P (t1 , ..., tn ), ou
seja, os predicados possuem argumentos. Isso nos trás um dos principais pontos desta
seção: os quantificadores ∃ e ∀ . Nas próximas seções trataremos esses quantificadores
com mais detalhes.
Definição 2.6 (Alfabeto da Lógica de Primeira Ordem).
• a, b, ... ou a1 , a2 , ... ou a, a0 , ... são constantes;
• x, y, ... ou x1 , x2 , ... ou x, x0 , ... são variáveis;
• f (x1 , ..., xn ), g(x1 , ..., xn ), ... são funções com aridade n, para n ≥ 0;
• P (x1 , ..., xn ), Q(x1 , ..., xn ), ... são predicados com aridade n, para n ≥ 0;
• ⊥ é o conectivo com aridade zero;
• Os conectivos com aridade n=1 são os quantificadores ∃ e ∀;
• Os conectivos com aridade n=2 são ∧, ∨ e ⊃.
Termos são representados por t1 , t2 , ... ou t, t0 , ... Definimos os termos indutivamente:
• Constantes são termos;
• Variáveis são termos;
32
• Aplicação de uma função f aos termos t1 , ..., tn nos fornece o termo f (t1 , ...tn ).
Fórmulas são representadas indutivamente por:
• ⊥ é uma fórmula;
• A aplicação de um predicado P aos termos t1 , ..., tn nos dá a fórmula P (t1 , ..., tn );
• Se A e B são fórmulas, então A ∧ B, A ∨ B e A ⊃ B são fórmulas;
• Se A é uma fórmula, então ∀xA e ∃xA são fórmulas.
O conjunto de variáveis livres F V (t) em um termo t é definido indutivamente por:
2
• Para t = a, F V (a) = ∅;
• Para t = x, F V (t) = {x};
• Para t = f (t1 , ..., tn ), F V (f (t1 , ..., tn )) = F V (t1 ) ∪ ... ∪ F V (tn ).
O conjunto de variáveis livres F V (A) em uma fórmula A é definido indutivamente
por:
• F V (⊥) = ∅;
• F V (P (t1 , ..., tn )) = F V (t1 ) ∪ ... ∪ F V (tn );
• F V (A ∧ B) = F V (A ∨ B) = F V (A ⊃ B) = F V (A) ∪ F V (B);
• F V (∀xA) = F V (∃xA) = F V (A) − {x}.
Dizemos que um termo t é livre para x ∈ A se, quando substituímos x por t em A,
nenhum termo t torna-se ligado em A.
Em Lógica de Primeira Ordem vale também o princípio da α-equivalência (ou αconversão): as variáveis ligadas podem ser renomeadas, isto é, modificamos o símbolo
que as representa, desde que esse novo símbolo já não esteja presente na expressão. Por
exemplo, se y não ocorre em A(x), então ∀xA(x) ≡ ∀yA(y) e ∃xA(x) ≡ ∃yA(y) são
exemplos de α-equivalências.
2
F.V. é a abreviação de “Free Variables”
33
Considere uma fórmula A e um termo t. A variável livre x em A pode ser substituída
por um termo t. Utilizamos a notação [t/x] para indicar que a variável x foi substituída
pelo termo t. A seguir, definimos a substituição indutivamente em fórmulas e termos.
Substituição [t/x] em um termo:
• a(t/x) = a;
• y(t/x) = y se y 6= x e y(t/x) = t se y = x;
• f (t1 , ..., tn )(t/x) = f (t1 (t/x), ..., tn (t/x)).
Substituição [t/x] em uma fórmula:
• ⊥(t/x) = ⊥;
• (P (t1 , ..., tn ))(t/x) = P (t1 (t/x), ..., tn (t/x));
• (A ◦ B)(t/x) = A(t/x) ◦ B(t/x), para ◦ = ∧, ∨, ⊃;
• (∀yA)(t/x) = ∀yA(t/x) se y 6= x e (∀yA)(t/x) = ∀yA se y = x;
• (∃yA)(t/x) = ∃yA(t/x) se y 6= x e (∃yA)(t/x) = ∃yA se y = x;
2.3.1
Os quantificadores no Cálculo de Sequentes
Quando escrevemos A(y/x), significa que estamos substituindo x por um y arbitrário.
Já quando escrevemos A(t/x), significa que estamos substituindo x por um t particular. O cálculo de sequentes para a Lógica de Primeira Ordem é obtido adicionando os
quantificados nas regras G3ip:
Sistema G3i
A(t/x), ∀xA, Γ ⇒ C
∀xA, Γ ⇒ C
A(y/x), Γ ⇒ C
∃xA, Γ ⇒ C
∃L
∀L
Γ ⇒ A(y/x)
Γ ⇒ ∀xA
Γ ⇒ A(t/x)
Γ ⇒ ∃xA
∃R
∀R
34
onde y é uma variável fresca.
Será mostrado que os teoremas, definições e lemas da Lógica Proposicional continuam
válidos para os quantificadores.
Observe que na regra ∀R está implícito que y não pode ocorrer livre em A. Podemos
então dar o seguinte significado a essas regras:
• Uma prova direta de ∀xA consiste de uma prova de A(y/x) para um y arbitrário;
• Uma prova direta de ∃xA consiste de uma prova de A(t/x) para um t particular.
Estendemos a Definição 2.2 e o peso das fórmulas com quantificadores é dado por
w(∀xA) = w(A) + 1
w(∃xA) = w(A) + 1
A altura da derivação é definida da mesma forma mostrada para G3ip.
Lema 2.2 (Preservação da altura da α-conversão). Dado uma derivação D de Γ ⇒ C em
G3i, essa derivação pode ser transformada em uma derivação D0 de Γ0 ⇒ C 0 onde Γ0 , C 0
e D0 diferem de Γ, C e D apenas pela substituição dos símbolos das variáveis ligadas por
símbolos de variáveis frescas.
Demonstração. A prova procede por indução na altura da derivação.
Caso base: se n = 0, então Γ ⇒ C é um axioma ou conclusão de ⊥L . Assim, o mesmo
ocorre com Γ0 ⇒ C 0 , onde os símbolos das variáveis ligadas ligadas foram trocados por
símbolos das variáveis frescas.
Caso indutivo: suponha que Γ ⇒ C possui uma derivação de altura ≤ n. Se aplicarmos
regras proposicionais (∧, ∨, ⊃), a renomeação das variáveis da conclusão é obtida através
das premissas. Considere, por exemplo, o caso ∨R onde C = A ∨ B
`n Γ ⇒ A
`n+1 Γ ⇒ A ∨ B
∨R
`n Γ0 ⇒ A0
`n+1 Γ0 ⇒ (A ∨ B)0
∨R
Para os quantificadores, os casos são mais interessantes. Considere, por exemplo, a
regra ∀L
`n A(t/x), ∀xA, Γ0 ⇒ C 0
`n+1 ∀xA, Γ0 ⇒ C 0
∀L
35
Trocando x pela variável fresca y, pela hipótese indutiva, temos a premissa com mesma
altura
`n A(y/x)(t/y), (∀yA)(y/x), Γ0 ⇒ C 0
Aplicando ∀L , temos a derivação
`n A(y/x)(t/y), (∀yA)(y/x), Γ0 ⇒ C 0
`n+1 (∀yA)(y/x), Γ0 ⇒ C 0
∀L
onde `n+1 (∀yA)(y/x), Γ0 ⇒ C 0 é o sequente que queríamos provar. Os casos ∃L e ∃R
são obtidos de forma similar. QED.
Lema 2.3 (Lema da Substituição). Se Γ ⇒ C é derivável em G3i e t é livre para
x ∈ {Γ, C} então Γ(t/x) ⇒ C(t/x) é derivável em G3i com a mesma altura de derivação.
Demonstração. A demonstração é por indução na altura da derivação.
Caso base: se Γ ⇒ C é um axioma ou conclusão de ⊥L então Γ(t/x) ⇒ C(t/x)
também é um axioma ou conclusão de ⊥L , pois (i) se C ∈ Γ então C(t/x) ∈ Γ(t/x) (ii)
se ⊥ ∈ Γ então ⊥ ∈ Γ(t/x).
Caso indutivo: suponha que o lema vale para altura ≤ n.
Considere, por exemplo, que a última regra aplicada foi ∨R , onde C = A ∨ B
`n Γ ⇒ A
`n+1 Γ ⇒ (A ∨ B)
∨R
Por hipótese indutiva, temos
`n Γ(t/x) ⇒ A(t/x)
Aplicando ∨R
`n Γ(t/x) ⇒ A(t/x)
`n+1 Γ(t/x) ⇒ (A ∨ B)(t/x)
∨R
Se t é livre para x ∈ {A ∨ B} então t é livre para x ∈ A (pois a regra ∨R não altera o
conjunto de variáveis livres e ligadas). Então Γ ⇒ C possui a mesma altura de derivação
que Γ(t/x) ⇒ C(t/x). O mesmo vale para as demais regras dos operadores ∧, ∨, ⊃. Os
casos mais interessantes são quando aplicamos as regras ∀ e ∃.
(i) Se Γ ⇒ C é derivado por ∀L , temos
36
`n A(t/x), ∀xA, Γ ⇒ C
`n+1 ∀xA, Γ ⇒ C
∀L
Se y 6= x, então, pelo lema da α-conversão, temos
`n A(t0 /y), ∀yA, Γ0 ⇒ C
`n+1 ∀yA, Γ0 ⇒ C
∀L
Se t é livre para x ∈ A(t0 /x), então, por hipótese indutiva, temos
`n (A(t0 /y))(t/x), (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x)
As duas substituições (A(t0 /y))(t/x) podem ser dadas por uma substituição única:
(A(t0 /y))(t/x) = A(t0 (t/x)/y, t/x)
Se t é livre para x ∈ {∀yA}, então o termo t não contém a variável y:
(A(t0 /y))(t/x) = A(t0 (t/x)/y, t/x) = (A(t/x))(t0 (t/x)/y)
Então, substituindo no sequente da hipótese indutiva, temos
`n (A(t/x))(t00 /y), (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x)
onde t00 = t0 (t/x)
Aplicando ∀L
`n (A(t/x))(t00 /y), (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x)
`n+1 (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x)
∀L
onde `n+1 (∀yA)(t/x), Γ0 (t/x) ⇒ C(t/x) é o sequente que queríamos demonstrar.
(ii) Se Γ ⇒ C é derivado por ∀R , temos
`n Γ ⇒ A(z/y)
`n+1 Γ ⇒ ∀yA
onde y 6= x. Por hipótese indutiva, temos
∀R
37
`n Γ(t/x) ⇒ A(z/y)(t/x)
`n+1 Γ(t/x) ⇒ (∀yA)(t/x)
∀R
Como t é livre para x ∈ {∀yA}, podemos trocar a ordem das substituições e obter
uma derivação de altura ≤ n como queríamos provar
`n Γ(t/x) ⇒ A(t/x)(z/y)
`n+1 Γ(t/x) ⇒ (∀yA)(t/x)
∀R
Os casos ∃L e ∃R são similares a ∀R e ∀L .
QED.
2.3.2
Admissibilidade do Corte
Teorema 2.4 (Eliminação do Corte para G3i). A regra de corte é admissível em G3i.
Demonstração. Continuando a prova de admissibilidade de G3ip com a mesma numeração, iremos adicionar os casos em que aparecem os quantificadores.
3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda.
3.4. ∀L , com Γ = ∀xA, Γ0
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
.
π2
..
A(t/x), ∀xA, Γ0 ⇒ D
.
∀L
D, ∆ ⇒ C
∀xA, Γ0 ⇒ D
∀xA, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
..
.
π2
..
.
A(t/x), ∀xA, Γ0 ⇒ D
D, ∆ ⇒ C
A(t/x), ∀xA, Γ0 , ∆ ⇒ C
∀L
∀xA, Γ0 , ∆ ⇒ C
3.5. ∃L , com Γ = ∃xA, Γ0
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
Cut
38
π1
..
.
π2
..
A(y/x), Γ ⇒ D
.
∃L
∃xA, Γ0 ⇒ D
D, ∆ ⇒ C
∃xA, Γ0 , ∆ ⇒ C
0
Cut
Neste caso, não podemos simplesmente permutar o corte e obter uma altura
de corte menor, pois a variável fresca de ∃L será outra
π10
π2
..
..
.
.
A(z/x), Γ0 ⇒ D
D, ∆ ⇒ C
A(z/x), Γ0 , ∆ ⇒ C
∃L
∃xA, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
Porém, o lema da substituição nos garante que Γ ⇒ C e Γ(t/x) ⇒ C(t/x)
possuem a mesma altura de derivação, onde t é livre para x em Γ e C. Então
A(y/x), Γ0 ⇒ D e A(z/x), Γ0 ⇒ D possuem a mesma altura de derivação n.
Logo, a permutação do corte nos fornece uma prova de altura n + m.
4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita.
4.7. ∀L , com ∆ = ∀xA, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π2
..
π1
.
..
D, A(t/x), ∀xA, ∆0 ⇒ C
.
Γ⇒D
D, ∀xA, ∆0 ⇒ C
Cut
∀xA, Γ, ∆0 ⇒ C
∀L
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, A(t/x), ∀xA, ∆0 ⇒ C
A(t/x), ∀xA, Γ, ∆0 ⇒ C
∀L
∀xA, Γ, ∆0 ⇒ C
4.8. ∃L , com ∆ = ∃xA, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
D,
A(y/x),
∆0 ⇒ C
.
∃L
Γ⇒D
D, ∃xA, ∆0 ⇒ C
Cut
∃xA, Γ, ∆0 ⇒ C
Cut
39
Permutando o corte e pelo lema da substituição (da mesma forma que no caso
3.5), temos uma derivação com altura de corte n + m
π2 0
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, A(z/x), ∆0 ⇒ C
A(z/x), Γ, ∆0 ⇒ C
∃L
∃xA, Γ, ∆0 ⇒ C
Cut
4.9. ∀R , com C = ∀xA
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
D, ∆ ⇒ A(y/x)
.
∀R
D, ∆ ⇒ ∀xA
Γ⇒D
Cut
Γ, ∆ ⇒ ∀xA
Permutando o corte e pelo lema da substituição (da mesma forma que no caso
3.5 e 4.8), temos uma derivação com altura de corte n + m
π2 0
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ A(z/x)
Γ, ∆ ⇒ A(z/x)
∀R
Γ, ∆ ⇒ ∀xA
Cut
4.10. ∃R , com C = ∃xA
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
D,
∆
⇒
A(t/x)
.
∃R
D, ∆ ⇒ ∃xA
Γ⇒D
Cut
Γ, ∆ ⇒ ∃xA
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, ∆ ⇒ A(t/x)
Γ, ∆ ⇒ A(t/x)
∃L
Γ, ∆ ⇒ ∃xA
5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas.
Cut
40
5.4. D = ∀xA
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 e peso w(∀xA) é
π1
..
.
π2
..
.
Γ ⇒ A(y/x)
Γ ⇒ ∀xA
A(t/x), ∀xA, ∆ ⇒ C
∀xA, ∆ ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
∀R
∀L
Obtemos então dois cortes
π1 0
..
π2
.
..
Γ ⇒ A(z/x)
.
∀R
Γ ⇒ ∀xA
A(t/x), ∀xA, ∆ ⇒ C
A(t/x), Γ, ∆ ⇒ C
Cut
Γ, Γ, ∆ ⇒ C
C
Γ, ∆ ⇒ C
π1 [t/y]
..
.
Γ ⇒ A(t/x)
Cut
No primeiro corte reduzimos o peso para w(A(t/x)). No segundo corte, pelo
lema da substituição, π10 tem a mesma altura que π1 . E então reduzimos a
altura para n + 1 + m.
5.5. D = ∃xA
A derivação com peso de corte w(∃xA) é
π1
..
.
Γ ⇒ A(t/x)
Γ ⇒ ∃xA
π2
..
.
A(y/x), ∆ ⇒ C
∃L
∃xA, ∆ ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
∃R
Obtemos uma derivação com peso de corte w(A(t/x)), onde, pelo lema da
substituição, π20 tem a mesma altura que π2
π1
..
.
π2 0
..
.
Γ ⇒ A(t/x)
A(t/x), ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
QED.
Cut
41
3
Lógica Linear
A Lógica Linear é uma Lógica Subestrutural que foi proposta por Jean-Yves Girard
(GIRARD, 1986). A motivação para a criação da Lógica Linear veio da necessidade de
haver mais controle nos recursos utilizados durante a prova. Em lógica clássica temos a
implicação
A⊃B
significando, intuitivamente, que podemos utilizar um A para produzir um número indeterminado de Bs. Em problemas reais, não possuímos infinitos recursos para serem
utilizamos. Por exemplo, suponha uma máquina de café onde inserimos uma moeda A e
em seguida recebemos um café B. Ao receber o café, não recebemos de volta a moeda.
Ou seja, a moeda é um recurso que foi consumido durante a prova.
A implicação A ( B da Lógica Linear consome A para produzir B. Para recuperar
o comportamento clássico, utilizamos !
!A ( B
Já a máquina de café, que pode ser utilizada um número indeterminado de vezes e,
em cada uso, uma moeda é consumida para produzir um café, pode ser representada na
Lógica Linear como
!(A ( B)
As lógicas subestruturais são caracterizadas por rejeitarem uma ou mais regras estruturais. Nesse sentido, em Lógica Linear não é permitido livremente o uso das regras
estruturais de enfraquecimento e contração. As fórmulas representam recursos e recursos
não podem ser usados livremente sem especificar o que foi consumido durante a prova.
42
A Lógica Linear às vezes precisa que algumas fórmulas tenham comportamento “clássico”, ou seja, é preciso se aplicar as regras de enfraquecimento e contração. Diferentemente
de outras lógicas subestruturais, as regras estruturais aparecem em Lógica Linear de forma
controlada através dos operadores ! e ?, como exemplificado anteriormente. Dessa forma,
os exponenciais ! e ? dão às fórmulas um comportamento clássico enquanto que as outras
fórmulas que não possuem os exponenciais têm um comportamento linear: são recursos
finitos durante a prova.
Uma das consequências de não poder utilizar enfraquecimento e contração é o surgimento de mais conectivos lógicos além dos utilizados na Lógica Clássica usual. Por exemplo, em Cálculo de Sequentes, podemos introduzir o operador lógico ∧ de duas formas,
como mostrado abaixo para os sistemas S1 e S2:
• introdução da conjunção no sistema S1
Γ1 ⇒ A, ∆1
Γ2 ⇒ B, ∆2
Γ1 , Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1 , ∆2
∧R
Γ, A, B ⇒ ∆
Γ, A ∧ B ⇒ ∆
∧L
• introdução da conjunção no sistema S2
Γ ⇒ A, ∆
Γ ⇒ B, ∆
Γ ⇒ A ∧ B, ∆
Γ, A ⇒ ∆
Γ, A ∧ B ⇒ ∆
∧L1
∧R
Γ, B ⇒ ∆
Γ, A ∧ B ⇒ ∆
∧L2
Observe que no sistema S1 os contextos são divididos enquanto que no sistema S2 os
contextos são compartilhados.
Podemos mostrar que, na presença das regras de enfraquecimento e contração, os
sistemas S1 e S2 são equivalentes. Mostrando para o caso ∧R :
Γ1 ⇒ A, ∆1
Γ2 ⇒ B, ∆2
W
Γ1 , Γ2 ⇒ A, ∆1 , ∆2
Γ1 , Γ2 ⇒ B, ∆1 , ∆2
Γ1 , Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1 , ∆2
W
∧R
Note que o sistema S2 segue de S1 quando utilizamos enfraquecimento e contração:
Γ ⇒ A, ∆
Γ ⇒ B, ∆
Γ, Γ ⇒ A ∧ B, ∆, ∆
C
Γ ⇒ A ∧ B, ∆
∧R
43
Para provar a equivalência entre S1 e S2, controlamos o enfraquecimento e a contração
na prova. Como em Lógica Linear não existem essas regras, as regras de introdução da
conjunção dos sistemas S1 e S2 correspondem a dois operadores diferentes. O mesmo
vale para os outros operadores ∨, >, ⊥, que correspondem a dois operadores diferentes na
Lógica Linear.
Na sintaxe da Lógica Linear Clássica, existem três tipos de conectivos: Multiplicativos
(⊗, O, 1, ⊥), Aditivos (⊕, &, 0, >) e Exponenciais (!, ?). Definimos a linguagem da Lógica
Linear através da notação BNF1 :
Definição 3.1 (Sintaxe da Lógica Linear Clássica).
A ::= p | p⊥ | A ⊗ A | A ⊕ A | A & A | A O A | 1 | 0 | > | ⊥ | !A | ?A
| ∃x.A | ∀x.A
onde p é um átomo e A é uma fórmula.
Dessa forma, apresentamos as regras da Lógica Linear Clássica:
Sistema cLL
Regras de identidade
p⇒p
Γ1 ⇒ B, ∆1
Γ2 , B ⇒ ∆2
Γ1 , Γ2 ⇒ ∆1 , ∆2
Axiom
Cut
Regras de negação
Γ ⇒ A, ∆
Γ, A⊥ ⇒ ∆
(.)⊥ L
Γ, A ⇒ ∆
Γ ⇒ A⊥ , ∆
(.)⊥ R
Regras multiplicativas
Γ⇒∆
Γ, 1 ⇒ ∆
1L
⇒1
1R
Γ1 ⇒ A, ∆1
Γ2 ⇒ B, ∆2
Γ1 , Γ2 ⇒ A ⊗ B, ∆1 , ∆2
1
⊥⇒
⊗R
⊥L
Γ⇒∆
Γ ⇒ ⊥, ∆
Γ, A, B ⇒ ∆
Γ, A ⊗ B ⇒ ∆
⊥R
⊗L
BNF (Backus-Naur Form ou Backus Normal Form) é uma sintaxe usada para descrever linguagens
formais.
44
Γ ⇒ A, B, ∆
Γ ⇒ A O B, ∆
Γ1 , A ⇒ ∆1
Γ2 , B ⇒ ∆2
Γ1 , Γ2 , AOB ⇒ ∆1 , ∆2
OR
OL
Regras aditivas
0L
Γ, 0 ⇒ ∆
Γ ⇒ >, ∆
Γ ⇒ A, ∆
Γ ⇒ B, ∆
Γ ⇒ A & B, ∆
>R
&R
Γ, A ⇒ ∆
Γ, A & B ⇒ ∆
&L1
Γ, B ⇒ ∆
Γ, A & B ⇒ ∆
&L2
Γ ⇒ A, ∆
Γ ⇒ A ⊕ B, ∆
⊕R1
Γ ⇒ B, ∆
Γ ⇒ A ⊕ B, ∆
⊕R2
Γ, A ⇒ ∆
Γ, B ⇒ ∆
Γ, A ⊕ B ⇒ ∆
⊕L
Regras exponenciais
! Γ ⇒ A, ?∆
! Γ ⇒ !A, ?∆
!R
! Γ, A ⇒ ?∆
! Γ, ?A ⇒ ?∆
Γ, A ⇒ ∆
Γ, !A ⇒ ∆
!L
Γ ⇒ A, ∆
Γ ⇒ ?A, ∆
?R
Γ⇒∆
Γ, !A ⇒ ∆
!W
Γ⇒∆
Γ ⇒?A, ∆
?W
Γ, !A, !A ⇒ ∆
Γ, !A ⇒ ∆
!C
Γ ⇒?A, ?A, ∆
Γ ⇒?A, ∆
?L
?C
Regras dos quantificadores
Γ, A(t/x) ⇒ ∆
Γ, ∀xA ⇒ ∆
Γ, A(y/x) ⇒ ∆
Γ, ∃xA ⇒ ∆
∀L
∃L
Γ ⇒ A(y/x), ∆
Γ ⇒ ∀xA, ∆
∀R
Γ ⇒ A(t/x), ∆
Γ ⇒ ∃xA, ∆
∃R
Observe que as fórmulas !A, ?A em !W, !C, ?W, ?C tem comportamento clássico. As
regras !L e ?R transformam uma fórmula clássica em uma fórmula linear, ou seja, a fórmula
A após consumida não poderá mais ser utilizada. Já as regras !R e ?L só permitem que se
introduza os exponenciais se todas as outras fórmulas tiverem comportamento clássico.
45
Dividimos os operadores da Lógica Linear em dois grupos: os multiplicativos e os aditivos. Enquanto os operadores multiplicativos dividem o contexto, os operadores aditivos
possuem contextos compartilhados. Isto é, os operadores multiplicativos utilizam a premissa apenas uma vez e os operadores aditivos utilizam a premissa várias vezes. (REIS,
2010)
Do ponto de vista lógico, podemos ver a Lógica Linear como um refinamento das Lógicas Clássica e Intuicionista. O objetivo da Lógica Linear é conciliar a simetria da Lógica
Clássica com as provas construtivas da Lógica Intuicionista. Enquanto a Lógica Clássica
enfatiza a “verdade” e a Lógica Intuicionista enfatiza a prova, a Lógica Linear enfatiza a
função das fórmulas como recurso, ou seja, ela possui um controle mais preciso sobre as
regras estruturais. A vantagem desse fato é que a dedução lógica não é simplesmente uma
aplicação de regras, e sim uma forma de manipular recursos que nem sempre podem ser
duplicados ou perdidos durante a prova.
Em Lógica Linear, temos duas possíveis leituras para o Princípio do Terceiro Excluído:
A ⊕ A⊥ (aditivo)
AOA⊥ (multiplicativo)
A disjunção aditiva é a disjunção da Lógica Intuicionista: não é provável. Ao tentarmos
provar A ⊕ A⊥ na Lógica Linear, teremos o mesmo problema que a Lógica Intuicionista:
?
..
.
⇒A
⇒ A ⊕ A⊥
?
..
.
⊕R1
⇒ A⊥
⇒ A ⊕ A⊥
⊕R2
Porém, ao se utilizar o exponencial ? para que a fórmula tenha um comportamento
clássico, podemos utilizar a contração e A ⊕ A⊥ é facilmente demonstrável:
A ⇒ A (.)⊥
L
⇒ A, A⊥
⊕R
⇒ A, A ⊕ A⊥
⊕R
⇒ A ⊕ A⊥ , A ⊕ A⊥
?R
⇒?(A ⊕ A⊥ ), ?(A ⊕ A⊥ )
?C
⇒?(A ⊕ A⊥ )
Já a disjunção multiplicativa é trivialmente demonstrável, pois corresponde à tautologia A ⊃ A (que é aceitável na Lógica Intuicionista):
46
A⇒A
⇒ A, A⊥
⇒ AOA⊥
(.)⊥ L
OR
Note que na Lógica Linear Clássica não há a implicação linear (. Isso ocorre pois a
implicação pode ser reescrita como
A ( B ≡ A⊥ OB
onde a equivalência A ˛ B é definida como A ˛ B = (A ( B)&(B ( A).
Isso é facilmente demonstrável. Basta provar que (A ( B) ˛ (A⊥ OB). Primeiro
provemos o sequente ⇒ (A ( B) ( (A⊥ OB)
A⇒A
B ⇒ B (L
A ( B, A ⇒ B
(.)⊥ R
⊥
A ( B ⇒ A ,B
OR
A ( B ⇒ A⊥ OB
(R
⇒ (A ( B) ( (A⊥ OB)
Agora, provemos ⇒ (A⊥ OB) ( (A ( B)
A ⇒ A (.)⊥
L
A⊥ , A ⇒
B⇒B
OL
⊥
A OB, A ⇒ B
(R
A⊥ OB ⇒ A ( B
(R
⇒ (A⊥ OB) ( (A ( B)
Como já dito anteriormente, em Lógica Linear existem duas conjunções (⊗ e &) e
duas disjunções (⊕ e O). Enquanto A ⊗ B nos diz que tanto A quanto B serão realizados,
A&B nos diz que apenas uma das ações será realizada, mas deveremos decidir qual. Já
A ⊕ B nos diz que apenas uma ação será realizada, mas não poderemos decidir qual.
(LINCOLN et al., 1992)
A proposição AOB significa “se não A, então B”. Esse significado torna-se mais claro
quando vemos que A ( B é equivalente a A⊥ OB. A fórmula A ( B pode ser pensada
como “podemos obter B consumindo A apenas uma vez”. (LINCOLN, 1992)
Para cada um desses conectivos, existe a sua unidade (ou elemento neutro): 1 é a
unidade de ⊗, > é a unidade de &, ⊥ é a unidade de O e 0 é a unidade de ⊕. Assim,
podemos escrever:
47
⊥OA ≡ A
>&A ≡ A
1⊗A≡A
0⊕A≡A
E, por fim, temos a dualidade dos exponenciais ! e ?. Como dito no início do capítulo,
os operadores exponenciais controlam o enfraquecimento e a contração. Intuitivamente,
podemos enxergar ! como o operador que controla o enfraquecimento e a contração no lado
esquerdo do sequente: !A significa que “temos várias cópias de A” ou que “podemos usar
A zero, uma ou mais vezes”. Enquanto que ?A controla o enfraquecimento e a contração
do lado direito do sequente: ?A significa que “eu posso produzir quantas cópias de A eu
queira” ou que “A pode ser obtido zero, uma ou mais vezes”.
A Lógica Linear possui a negação linear, escrita na forma (.)⊥ . Ela nos mostra claramente a dualidade da Lógica Linear. A negação linear se comporta da mesma forma que
a transposição na Álgebra Linear, expressando a mudança de ponto de vista: (GIRARD,
1995)
A negação A⊥ é o inverso da proposição A
Ação do tipo A = Reação do tipo A⊥
A ( B ≡ B ⊥ ( A⊥
Uma das principais propriedades da negação linear é a dupla negação:
A ≡ A⊥⊥
Isso é facilmente demonstrável, basta provar o sequente ⇒ (A ( A⊥⊥ )&(A⊥⊥ ( A)
A ⇒ A ⊥L
A ⇒ A ⊥R
⊥
A, A ⇒
⇒ A⊥ , A
⊥R
⊥L
A ⇒ A⊥⊥ (R
A⊥⊥ ⇒ A (R
⇒ A ( A⊥⊥
⇒ A⊥⊥ ( A &R
⇒ (A ( A⊥⊥ )&(A⊥⊥ ( A)
As fórmulas de De Morgan podem ser escritas nessa notação:
48
3.1
⊥
(p)⊥ = p⊥
(p⊥ ) = p
(A ⊗ B)⊥ = A⊥ OB ⊥
(AOB)⊥ = A⊥ ⊗ B ⊥
(A ⊕ B)⊥ = A⊥ &B ⊥
(A&B)⊥ = A⊥ ⊕ B ⊥
(1)⊥ = ⊥
(⊥)⊥ = 1
(0)⊥ = >
(>)⊥ = 0
(!A)⊥ =?(A⊥ )
(?A)⊥ =!(A⊥ )
(∀xA)⊥ = ∃xA⊥
(∃xA)⊥ = ∀xA⊥
Lógica Linear Intuicionista
Na sintaxe da Lógica Linear Intuicionista, existem três tipos de conectivos: Multiplicativos (⊗, (, 1), Aditivos (⊕, &, 0, >) e Exponenciais (!). Definimos a linguagem da
Lógica Linear através da notação BNF:
Definição 3.2 (Sintaxe da Lógica Linear Intuicionista).
A ::= p | A ⊗ A | A ⊕ A | A&A | A ( A | 1 | 0 | > |!A |?A | ∃x.A | ∀x.A
onde p é um átomo e A é uma fórmula.
Na Lógica Linear Intuicionista, o conectivo ( agora faz parte da sintaxe. A regras são
as mesmas da Lógica Linear Clássica, porém o lado direito do sequente contém exatamente
uma fórmula. Por esse motivo, os conectivos ⊥ e O foram omitidos. (ROCCA; ROVERSI,
1997) (BENTON et al., 1993) (NIGAM; OLARTE; PIMENTEL, 2016)
Sistema iLL
Regras de identidade
p⇒p
Axiom
Γ⇒B
∆, B ⇒ A
Γ, ∆ ⇒ A
Cut
Regras multiplicativas
Γ⇒A
Γ, 1 ⇒ A
Γ1 ⇒ A
Γ2 ⇒ B
Γ1 , Γ2 ⇒ A ⊗ B
1R
1L
⇒1
⊗R
Γ, A, B ⇒ C
Γ, A ⊗ B ⇒ C
⊗L
49
Γ, A ⇒ B
Γ⇒A(B
Γ1 ⇒ A
Γ2 , B ⇒ C
Γ1 , Γ2 , A ( B ⇒ C
(R
(L
Regras aditivas
Γ, 0 ⇒ A
0L
Γ⇒>
Γ⇒A
Γ⇒B
Γ⇒A&B
>R
&R
Γ, A ⇒ C
Γ, A & B ⇒ C
&L1
Γ, B ⇒ C
Γ, A & B ⇒ C
Γ⇒A
Γ⇒A⊕B
⊕R1
Γ⇒B
Γ⇒A⊕B
Γ, A ⇒ C
Γ, B ⇒ C
Γ, A ⊕ B ⇒ C
&L2
⊕R2
⊕L
Regras exponenciais
!Γ ⇒ A
!Γ ⇒ !A
Γ, A ⇒ B
Γ, !A ⇒ B
Γ⇒B
Γ, !A ⇒ B
!Γ, A ⇒?B
!Γ, ?A ⇒?B
!R
!L
Γ⇒A
Γ ⇒?A
?L
?R
W
Γ, !A, !A ⇒ B
Γ, !A ⇒ B
∀R
Γ, A(t/x) ⇒ B
Γ, ∀xA ⇒ B
∀L
∃R
Γ, A(y/x) ⇒ B
Γ, ∃xA ⇒ B
∃L
C
Regras dos quantificadores
Γ ⇒ A(y/x)
Γ ⇒ ∀xA
onde y não é livre em Γ
Γ ⇒ A(t/x)
Γ ⇒ ∃xA
onde y não é livre nem em Γ nem em B
50
3.2
Admissibilidade do Corte na Lógica Linear
A admissibilidade do corte na Lógica Linear é demonstrada utilizando a mesma ideia
da admissibilidade do corte em G3ip: indução na ordem lexicográfica do par ordenado
(W, H), onde W é o peso do corte e H é a altura do corte.
Definição 3.3 (Peso de uma fórmula). O peso w(A) de uma fórmula A é definido indutivamente por
w(>) = 0, w(1) = 0, w(0) = 0
w(p) = 1, onde um átomo p é uma fórmula que não contém conectivos lógicos.
w(A ◦ B) = w(A) + w(B) + 1, onde ◦ = &, ⊗, ⊕, (
w(∀xA) = w(A) + 1
w(∃xA) = w(A) + 1
w(!A) = w(A) + 1
w(?A) = w(A) + 1
Além disso, para um dos casos apresentados (ver caso 5.5), será necessário utilizar a
regra Cut!. A regra Cut! é uma generalização derivável da regra de corte:
Lema 3.1. A regra Cut!
Γ ⇒!A
∆, (!A)r ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut! (r > 1)
é admissível na Lógica Linear Intuicionista, onde (!A)r (r > 1) significa r cópias de !A.
Demonstração. A prova da eliminação de Cut! é similar à prova de eliminação do
corte. Assim como na eliminação do corte, a prova de Cut! procede por indução na ordem
lexicográfica do par ordenado (W, H), e os casos indutivos se subdividem em vários casos.
A grande maioria dos casos é similar a prova do corte que mostraremos a seguir, mas
alguns casos são mais interessantes. Considere por exemplo o caso em que C = F ⊗ G.
Temos a derivação com altura de Cut! igual a n + 1 + max(m, k) + 1
π1
..
.
!Γ ⇒ A
!Γ ⇒!A
π2
..
.
π3
..
.
0
!R
00
∆1 , (!A)r ⇒ F
∆2 , (!A)r ⇒ G
∆, (!A)r ⇒ F ⊗ G
Cut!
!Γ, ∆ ⇒ F ⊗ G
⊗R
51
onde r = r0 + r00 e ∆ = ∆1 , ∆2 .
Transformamos então em duas derivações com alturas de Cut! igual a n + 1 + k e
n+1+m
π1
..
.
!Γ ⇒ A
!Γ ⇒!A
!R
π3
..
.
00
π1
..
.
!Γ ⇒ A
!Γ ⇒!A
∆2 , (!A)r ⇒ G
Cut!
∆2 , !Γ ⇒ G
!Γ, !Γ, ∆ ⇒ F ⊗ G
!Γ, ∆ ⇒ F ⊗ G
!R
π2
..
.
0
(!A)r , ∆1 ⇒ F
!Γ, ∆1 ⇒ F
Cut!
⊗R
!C
onde r = r0 + r00 e ∆ = ∆1 , ∆2 .
QED.
Lema 3.2 (Preservação da altura da α-conversão para a Lógica Linear Intuicionista).
Dado uma derivação D de Γ ⇒ C na Lógica Linear Intuicionista, essa derivação pode
ser transformada em uma derivação D0 de Γ0 ⇒ C 0 onde Γ0 , C 0 e D0 diferem de Γ, C e
D apenas pela substituição dos símbolos das variáveis ligadas por símbolos de variáveis
frescas.
Demonstração. A demonstração da Preservação da altura da α-conversão para a Lógica Linear Intuicionista é similar à demonstração em G3i (ver lema 2.2). Vamos considerar, por exemplo, o caso em que a última regra aplicada foi !R
`n !Γ ⇒ A
`n+1 !Γ ⇒!A
!R
Por hipótese indutiva, temos
`n !Γ0 ⇒ A0
Aplicando !R
`n !Γ0 ⇒ A0
`n+1 !Γ0 ⇒!A0
QED.
!R
52
Lema 3.3 (Lema da Substituição para a Lógica Linear Intuicionista). Se Γ ⇒ C é
derivável na Lógica Linear Intuicionista e t é livre para x ∈ {Γ, C} então Γ(t/x) ⇒ C(t/x)
é derivável na Lógica Linear Intuicionista com a mesma altura de derivação.
Demonstração. A demonstração do Lema da Substituição para a Lógica Linear Intuicionista é similar a demonstração em G3i (ver lema 2.3). Vamos considerar, por exemplo,
o caso em que a última regra aplicada foi !R
`n !Γ ⇒ A
`n+1 !Γ ⇒!A
!R
Por hipótese indutiva, temos
`n !Γ(t/x) ⇒ A(t/x)
Aplicando !R
`n !Γ(t/x) ⇒ A(t/x)
`n+1 !Γ(t/x) ⇒!A(t/x)
!R
QED.
Teorema 3.1 (Eliminação do corte na Lógica Linear Intuicionista). A regra de corte
Γ⇒D
∆, D ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
é admissível na Lógica Linear Intuicionista.
Demonstração. A prova procede por indução na ordem lexicográfica do par ordenado
(W, H), onde W é o peso (ou a complexidade) da fórmula de corte e H é a altura da
fórmula de corte (da mesma forma como feito no capítulo 2 para demonstrar o teorema
2.3).
Casos base: (W, H) = (0, 0)
Para W = 0, temos três casos:
(i) D = 0
Temos a derivação com altura de corte zero, onde 0 ∈ Γ para que H = 0
53
0L
0, Γ0 ⇒ 0
0, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
0L
Cut
Transformamos então em uma derivação sem corte
0, Γ0 , ∆ ⇒ C
0L
(ii) D = >
Temos a derivação com altura de corte zero, onde 0 ∈ ∆ para que H = 0
Γ⇒>
>R
>, 0, ∆0 ⇒ C
Γ, 0, ∆0 ⇒ C
0L
Cut
Transformamos então em uma derivação sem corte
Γ, 0, ∆0 ⇒ C
0L
(iii) D = 1
Temos a derivação com altura de corte zero, onde 0 ∈ Γ para que H = 0
⇒1
1R
1, 0, Γ0 , ∆ ⇒ C
0, Γ0 , ∆ ⇒ C
0L
Cut
Transformamos então em uma derivação sem corte
0, Γ0 , ∆ ⇒ C
0L
Se 0 ∈ ∆, o caso é similar. Outra possibilidade seria C = >, nesse caso os sequentes
terminam com >R .
Casos indutivos: a demonstração será dividida nos seguintes casos
O corte possui pelo menos um axioma ou conclusão de 0L , >R como premissa
1. A premissa esquerda Γ ⇒ D do corte é um axioma ou conclusão de 0L , >R .
2. A premissa direita D, ∆ ⇒ C é um axioma ou conclusão de 0L , >R .
54
O corte não possui nem axioma nem conclusão de 0L , >R como premissas
3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda.
4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita.
5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas.
Segue a demonstração para cada caso com seus respectivos subcasos:
1. A premissa esquerda Γ ⇒ D do corte é um axioma ou conclusão de 0L , >R .
1.1. 0 é uma fórmula em Γ
Temos uma derivação com altura de corte n, onde Γ = Γ0 , 0
π1
..
.
0L
0
Γ ,0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
0
Γ , 0, ∆ ⇒ C
Cut
Transformamos em uma derivação sem corte
Γ0 , 0, ∆ ⇒ C
0L
1.2. D = >
Neste caso, temos
Γ⇒>
>R
∆, > ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
Como não existe regra de > à esquerda, o sequente ∆, > ⇒ C corresponde aos
casos em que D não é principal na premissa direita (casos 4.1 a 4.18) e aos
casos 2.1 e 2.2.
2. A premissa direita D, ∆ ⇒ C é um axioma ou conclusão de 0L , >R .
2.1. 0 é uma fórmula em ∆
Temos uma derivação com altura de corte n, onde ∆ = ∆0 , 0
π1
..
.
Γ⇒D
∆0 , 0, D ⇒ C
Γ, ∆0 , 0 ⇒ C
0L
Cut
55
Transformamos em uma derivação sem corte
Γ, ∆0 , 0 ⇒ C
0L
2.2. C = >
Temos uma derivação com altura de corte n, onde C = >
π1
..
.
Γ⇒D
∆, D ⇒ >
Γ, ∆ ⇒ >
>R
Cut
Transformamos em uma derivação sem corte
Γ, ∆ ⇒ >
>R
3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda.
3.1. &L , com Γ = A&B, Γ0
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
π2
.
..
A, Γ0 ⇒ D
.
&L
0
A&B, Γ ⇒ D
∆, D ⇒ C
0
A&B, Γ , ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
A, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
A, Γ0 , ∆ ⇒ C
&L
A&B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
O caso de &L escolhendo B é similar.
3.2. ⊕L , com Γ = A ⊕ B, Γ0
A derivação com uma altura de corte max(n, m) + 1 + k é
π1
π2
..
..
π3
.
.
..
0
0
Γ ,A ⇒ D
Γ ,B ⇒ D
.
⊕L
∆, D ⇒ C
A ⊕ B, Γ0 ⇒ D
A ⊕ B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
56
Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + k e m + k
π1
π2
π3
π3
..
.
..
..
..
.
.
.
A, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
B, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
A, Γ0 , ∆ ⇒ C
B, Γ0 , ∆ ⇒ C
⊕L
0
A ⊕ B, Γ , ∆ ⇒ C
Cut
3.3. ⊗L , com Γ = A ⊗ B, Γ0
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
π2
.
..
A, B, Γ0 ⇒ D
.
⊗L
A ⊗ B, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
A ⊗ B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
A, B, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
A, B, Γ0 , ∆ ⇒ C
⊗L
A ⊗ B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
3.4. (L , com Γ = A ( B, Γ0 onde Γ0 = Γ01 , Γ02
A derivação com uma altura de corte max(n, m) + 1 + k é
π2
π1
..
..
π3
.
.
..
Γ02 , B ⇒ D
Γ01 ⇒ A
.
(L
A ( B, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
A ( B, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte m + k
π2
π3
..
..
π1
.
.
..
0
Γ
,
B
⇒
D
∆,
D
⇒C
.
2
0
0
Γ2 , ∆, B ⇒ C
Γ1 ⇒ A
(L
0
A ( B, Γ , ∆ ⇒ C
Cut
3.5. !L , com Γ =!A, Γ0
Neste caso, é possível aplicar três regras distintas quando temos ! à esquerda:
dereliction 2 , contração e enfraquecimento
2
Uma tradução literal para “Dereliction” é “Abandono”, mas preferimos manter o nome original da
regra.
57
• Dereliction
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π1
..
π2
.
..
A, Γ0 ⇒ D
.
!L
0
!A, Γ ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
0
!A, Γ , ∆ ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
A, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
A, Γ0 , ∆ ⇒ C
!L
!A, Γ0 , ∆ ⇒ C
• Contração
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
π2
.
..
!A, !A, Γ0 ⇒ D
.
C
0
∆, D ⇒ C
!A, Γ ⇒ D
Cut
0
!A, Γ , ∆ ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
!A, !A, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
!A, !A, Γ0 , ∆ ⇒ C
C
!A, Γ0 , ∆ ⇒ C
• Enfraquecimento
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
π2
..
.
..
.
Γ0 ⇒ D W
!A, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
!A, Γ0 , ∆ ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
Γ0 , ∆ ⇒ C
W
!A, Γ0 , ∆ ⇒ C
3.6. ?L , com Γ =?A, Γ0
Temos a derivação
58
π1
..
π2
.
..
!Γ0 , A ⇒?D
.
?L
!Γ0 , ?A ⇒?D
∆, ?D ⇒ C
!Γ0 , ?A, ∆ ⇒ C
Cut
Vamos considerar a premissa direita do corte e fazer uma análise dos casos
possíveis para a derivação π2 :
• ?D não é principal à direita e aplicamos uma L-rule
Esses casos correspondem aos casos 4.1 a 4.9 e ao caso 2.1
• ?D não é principal à direita e aplicamos uma R-rule
Esses casos correspondem aos casos 4.10 a 4.18 e ao caso 2.2
• ?D é principal à direita
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π1
π2
..
..
.
.
!Γ0 , A ⇒?D
!∆, D ⇒?C
?L
?L
!∆, ?D ⇒?C
!Γ0 , ?A ⇒?D
Cut
!Γ0 , ?A, !∆ ⇒?C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m + 1
π2
..
π1
.
..
!∆, D ⇒?C
.
?L
0
!Γ , A ⇒?D
!∆, ?D ⇒?C
Cut
!Γ0 , A, !∆ ⇒?C
?L
!Γ0 , ?A, !∆ ⇒?C
3.7. 1 é uma fórmula em Γ
Temos que Γ = 1, Γ0 . A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
π2
..
.
..
.
Γ0 ⇒ D 1L
1, Γ0 ⇒ D
D, ∆ ⇒ C
1, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Γ0 , ∆ ⇒ C
1L
1, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
59
3.8. ∀L , com Γ = ∀xA, Γ0
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
.
π2
..
A(t/x), Γ0 ⇒ D
.
∀L
∀xA, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
∀xA, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
..
.
π2
..
.
A(t/x), Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
A(t/x), Γ0 , ∆ ⇒ C
∀L
∀xA, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
3.9. ∃L , com Γ = ∃xA, Γ0
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
.
π2
..
A(y/x), Γ0 ⇒ D
.
∃L
∃xA, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
∃xA, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte e pelo lema da substituição, temos uma derivação com
altura de corte n + m
π1 0
π2
..
..
.
.
A(z/x), Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
A(z/x), Γ0 , ∆ ⇒ C
∃L
∃xA, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita.
4.1. &L , com ∆ = A&B, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
0
A, ∆ , D ⇒ C
.
Γ⇒D
A&B, ∆0 , D ⇒ C
Γ, A&B, ∆0 ⇒ C
&L
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
60
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
A, ∆0 , D ⇒ C
Γ, A, ∆0 ⇒ C
&L
Γ, A&B, ∆0 ⇒ C
Cut
O caso de &L escolhendo B é similar.
4.2. ⊕L , com ∆ = A ⊕ B, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é
π2
π3
..
..
.
.
0
0
∆ , D, A ⇒ C
∆ , D, B ⇒ C
0
A ⊕ B, ∆ , D ⇒ C
Cut
Γ, A ⊕ B, ∆0 ⇒ C
π1
..
.
Γ⇒D
⊕L
Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + m e n + k
π2
π3
π1
π1
..
..
..
..
.
.
.
.
0
0
Γ⇒D
Γ⇒D
∆ , A, D ⇒ C
∆ , B, D ⇒ C
Cut
0
0
Γ, ∆ , A ⇒ C
Γ, ∆ , B ⇒ C
⊕L
0
Γ, A ⊕ B, ∆ ⇒ C
Cut
4.3. ⊗L , com ∆ = A ⊗ B, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
0
A,
B,
∆
,D ⇒ C
.
Γ⇒D
A ⊗ B, ∆0 , D ⇒ C
Γ, A ⊗ B, ∆0 ⇒ C
⊗L
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
A, B, ∆0 , D ⇒ C
Γ, A, B, ∆0 ⇒ C
⊗L
Γ, A ⊗ B, ∆0 ⇒ C
4.4. (L , com ∆ = A ( B, ∆0 onde ∆0 = ∆01 , ∆02
A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é
61
π2
π3
..
..
π1
.
.
..
0
0
∆
⇒
A
∆
,
D,
B⇒C
.
1
2
0
Γ⇒D
A ( B, ∆ , D ⇒ C
Cut
Γ, A ( B, ∆0 ⇒ C
(L
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + k
π3
π1
..
.
π2
..
.
..
0
Γ
⇒
D
∆
,
B,
D
⇒C
.
2
0
0
∆1 ⇒ A
∆2 , Γ, B ⇒ C
(L
Γ, A ( B, ∆0 ⇒ C
Cut
4.5. !L , com ∆ =!A, ∆0
Neste caso, é possível aplicar três regras distintas quando temos ! à esquerda:
dereliction, contração e enfraquecimento
• Dereliction
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
D, A, ∆0 ⇒ C
.
!L
Γ⇒D
D, !A, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, !A, ∆0 ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, A, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, A, ∆0 ⇒ C
!L
Γ, !A, ∆0 ⇒ C
• Contração
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
D, !A, !A, ∆0 ⇒ C
.
C
D, !A, ∆0 ⇒ C
Γ⇒D
Cut
Γ, !A, ∆0 ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, !A, !A, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, !A, !A, ∆0 ⇒ C
C
Γ, !A, ∆0 ⇒ C
62
• Enfraquecimento
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
0
D, ∆ ⇒ C
.
W
Γ⇒D
D, !A, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, !A, ∆0 ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
∆0 , D ⇒ C
Cut
Γ, ∆0 ⇒ C
W
Γ, !A, ∆0 ⇒ C
4.6. ?L , com ∆ =?A, ∆0
Temos a derivação
π2
..
π1
.
..
0
A, !∆ , !D ⇒?C
.
Γ ⇒!D
?A, !∆0 , !D ⇒?C
Γ, ?A, !∆0 ⇒?C
?L
Cut
Vamos considerar a premissa esquerda do corte e fazer uma análise dos casos
possíveis para a derivação π1 :
• !D não é principal à esquerda
Esses casos correspondem aos casos 3.1 a 3.9 e ao caso 1.1
• !D é principal à esquerda
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π2
π1
..
..
.
.
0
A,
!∆
,
!D
⇒?C
!Γ ⇒ D !R
?L
0
!Γ ⇒!D
?A, !∆ , !D ⇒?C
Cut
!Γ, ?A, !∆0 ⇒?C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + 1 + m
π1
π2
..
.
..
.
!Γ ⇒ D !R
!Γ ⇒!D
A, !∆0 , !D ⇒?C
Cut
!Γ, A, !∆0 ⇒?C
?L
!Γ, ?A, !∆0 ⇒?C
4.7. 1 é uma fórmula em ∆
Temos que ∆ = 1, ∆0 . A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
63
π2
..
π1
.
..
0
D,
∆
⇒C
.
0
Γ⇒D
D, 1, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
1L
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
∆0 , D ⇒ C
Γ, ∆0 ⇒ C
1L
Γ, 1, ∆0 ⇒ C
Cut
4.8. ∀L , com ∆ = ∀xA, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
A(t/x), ∆0 , D ⇒ C
.
∀L
∀xA, ∆0 , D ⇒ C
Γ⇒D
Cut
Γ, ∀xA, ∆0 ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
A(t/x), ∆0 , D ⇒ C
Γ, A(t/x), ∆0 ⇒ C
∀L
Γ, ∀xA, ∆0 ⇒ C
Cut
4.9. ∃L , com ∆ = ∃xA, ∆0
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
A(y/x), ∆0 , D ⇒ C
.
∃L
Γ⇒D
∃xA, ∆0 , D ⇒ C
Cut
Γ, ∃xA, ∆0 ⇒ C
Permutando o corte e pelo lema da α-conversão, temos uma derivação com
altura de corte n + m
64
π2 0
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
A(z/x), ∆0 , D ⇒ C
Γ, A(z/x), ∆0 ⇒ C
∃L
Γ, ∃xA, ∆0 ⇒ C
Cut
Como y pode estar livre em Γ, podemos substituí-lo por z assumindo que z
não ocorre livre em D, ∆0 e Γ.
4.10. &R , com C = A&B
A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é
π2
π3
..
..
π1
.
.
..
∆,
D
⇒
A
∆,
D
⇒B
.
Γ⇒D
∆, D ⇒ A&B
Cut
Γ, ∆ ⇒ A&B
&R
Permutando o corte, temos duas derivações com alturas de corte n + m e n + k
π1
π2
π1
π3
..
..
..
..
.
.
.
.
Γ⇒D
∆, D ⇒ A
Γ⇒D
∆, D ⇒ B
Cut
Γ, ∆ ⇒ A
Γ, ∆ ⇒ B
&R
Γ, ∆ ⇒ A&B
Cut
4.11. ⊕R , com C = A ⊕ B
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
∆, D ⇒ A
.
Γ⇒D
∆, D ⇒ A ⊕ B
Γ, ∆ ⇒ A ⊕ B
⊕R
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
Γ⇒D
∆, D ⇒ A
Γ, ∆ ⇒ A
⊕R
Γ, ∆ ⇒ A ⊕ B
Cut
4.12. ⊗R , com C = A ⊗ B onde ∆ = ∆1 , ∆2
A derivação com uma altura de corte n + max(m, k) + 1 é
65
π2
π3
..
..
π1
.
.
..
∆
⇒
A
∆
,
D
⇒B
.
1
2
Γ⇒D
∆, D ⇒ A ⊗ B
Cut
Γ, ∆ ⇒ A ⊗ B
⊗R
Observe que foi feito uma escolha ao aplicar ⊗R , porém o caso em que temos
∆1 , D na derivação π2 é similar.
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + k
π1
π3
..
..
π2
.
.
..
Γ⇒D
∆2 , D ⇒ B
.
Cut
∆2 , Γ ⇒ B
∆1 ⇒ A
Γ, ∆ ⇒ A ⊗ B
⊗R
4.13. (R , com C = A ( B
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
∆, D, A ⇒ B
.
∆, D ⇒ A ( B
Γ⇒D
Γ, ∆ ⇒ A ( B
(R
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
Γ⇒D
∆, A, D ⇒ B
Γ, ∆, A ⇒ B
(R
Γ, ∆ ⇒ A ( B
Cut
4.14. !R , com C =!A
Temos a derivação
π2
..
π1
.
..
!D,
!∆
⇒A
.
!R
!D, !∆ ⇒!A
Γ ⇒!D
Cut
Γ, !∆ ⇒!A
Vamos considerar a premissa esquerda do corte e fazer uma análise dos casos
possíveis para a derivação π1 :
• !D não é principal à esquerda
Esses casos correspondem aos casos 3.1 a 3.9 e ao caso 1.1
66
• !D é principal à esquerda
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π2
π1
..
..
.
.
!D, !∆ ⇒ A
!Γ ⇒ D !R
!R
!Γ ⇒!D
!D, !∆ ⇒!A
Cut
!Γ, !∆ ⇒!A
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + 1 + m
π1
π2
..
.
..
.
!Γ ⇒ D !R
!Γ ⇒!D
!D, !∆ ⇒ A
Cut
!Γ, !∆ ⇒ A
!R
!Γ, !∆ ⇒!A
4.15. ?R , com C =?A
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
∆, D ⇒ A
.
∆, D ⇒?A
Γ⇒D
Γ, ∆ ⇒?A
?R
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
Γ⇒D
∆, D ⇒ A
Γ, ∆ ⇒ A
?R
Γ, ∆ ⇒?A
Cut
4.16. C = 1
Temos que C = 1. Nesse caso, temos a derivação
Γ, ∆ ⇒ D
D⇒1
Γ, ∆ ⇒ 1
Cut
Para a prova terminar, D deve ser vazio. Mas como D é a fórmula de corte, ela
não pode ser vazia. Não existe o caso no qual, na premissa direita, aplicamos
a regra 1R imediatamente depois de cut.
4.17. ∀R , com C = ∀xA
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
67
π2
..
.
π1
..
∆, D ⇒ A(y/x)
.
∀R
Γ⇒D
∆, D ⇒ ∀xA
Cut
Γ, ∆ ⇒ ∀xA
Permutando o corte e pelo lema da α-conversão, temos uma derivação com
altura de corte n + m
π2 0
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
∆, D ⇒ A(z/x)
Γ, ∆ ⇒ A(z/x)
∀R
Γ, ∆ ⇒ ∀xA
Cut
Como y pode estar livre em Γ, podemos substituí-lo por z assumindo que z
não ocorre livre em D, ∆ e Γ.
4.18. C = ∃xA
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
∆, D ⇒ A(t/x)
.
∃R
∆, D ⇒ ∃xA
Γ⇒D
Cut
Γ, ∆ ⇒ ∃xA
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
∆, D ⇒ A(t/x)
Γ, ∆ ⇒ A(t/x)
∃R
Γ, ∆ ⇒ ∃xA
Cut
5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas.
5.1. D = A&B
A derivação com um peso de corte w(A&B) é
π3
π1
π2
..
..
..
.
.
.
∆, A ⇒ C
Γ⇒A
Γ ⇒ B &R
Γ ⇒ A&B
∆, A&B ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
&L
Cut
68
Neste caso, selecionamos A na premissa direita. O caso selecionando B é similar.
Temos então a derivação com um peso de corte menor w(A)
π1
π3
..
..
.
.
Γ⇒A
A, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
5.2. D = A ⊕ B
A derivação com um peso de corte w(A ⊕ B) é
π1
..
.
Γ⇒A
Γ⇒A⊕B
π2
π3
..
..
.
.
∆, A ⇒ C
∆, B ⇒ C
⊕R
∆, A ⊕ B ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
⊕L
Neste caso, selecionamos A na premissa esquerda. O caso selecionando B é
similar. Temos então a derivação com um peso de corte menor w(A)
π1
π2
..
..
.
.
Γ⇒A
A, ∆ ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
5.3. D = A ⊗ B onde Γ = Γ1 , Γ2
A derivação com um peso de corte w(A ⊗ B) é
π3
π1
π2
..
..
..
.
.
.
∆, A, B ⇒ C
Γ1 ⇒ A
Γ2 ⇒ B ⊗
R
Γ1 , Γ2 ⇒ A ⊗ B
∆, A ⊗ B ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
⊗L
Cut
Temos então duas derivações com um peso de corte menor w(A) e w(B)
π1
..
.
Γ1 ⇒ A
π2
π3
..
..
.
.
Γ2 ⇒ B
∆, A, B ⇒ C
∆, Γ2 , A ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
5.4. D = A ( B onde ∆ = ∆1 , ∆2
A derivação com um peso de corte w(A ( B) é
Cut
69
π1
..
.
Γ, A ⇒ B
Γ⇒A(B
π2
π3
..
..
.
.
∆1 ⇒ A
∆2 , B ⇒ C
(R
∆, A ( B ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
(L
Temos então duas derivações com um peso de corte menor w(A) e w(B)
π2
..
.
∆1 ⇒ A
π1
π3
..
..
.
.
Γ, A ⇒ B
∆2 , B ⇒ C
Γ, ∆2 , A ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
5.5. D =!A
Neste caso, é possível aplicar três regras distintas quando temos !D: dereliction,
contração e enfraquecimento
• Dereliction
A derivação com um peso de corte w(!A) é
π2
π1
..
..
.
.
∆, A ⇒ C
!Γ ⇒ A !R
!L
!Γ ⇒!A
∆, !A ⇒ C
Cut
!Γ, ∆ ⇒ C
Temos então a derivação com um peso de corte menor w(A)
π1
π2
..
..
.
.
!Γ ⇒ A
A, ∆ ⇒ C
Cut
!Γ, ∆ ⇒ C
• Enfraquecimento
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
π2
..
..
.
.
!Γ ⇒ A !R
∆⇒C W
!Γ ⇒!A
!A, ∆ ⇒ C
Cut
!Γ, ∆ ⇒ C
Podemos então encontrar uma derivação sem corte
π2
..
.
∆⇒C W
!Γ, ∆ ⇒ C
• Contração
Para o caso de contração podemos tentar permutar o corte. A derivação
com uma altura de corte n + 1 + m + 1
70
π2
π1
..
..
.
.
!A,
!A,
∆⇒C
!Γ ⇒ A !
C
R
!Γ ⇒!A
!A, ∆ ⇒ C
Cut
!Γ, ∆ ⇒ C
se torna a derivação com alturas de corte n + 1 + max(n + 1, m) + 1 e
n+1+m
π1
π2
..
π1
.
..
..
.
!Γ ⇒ A !R
.
!Γ ⇒!A
!A, !A, ∆ ⇒ C
!Γ ⇒ A !R
Cut
!Γ ⇒!A
!A, !Γ, ∆ ⇒ C
Cut
!Γ, !Γ, ∆ ⇒ C
C
!Γ, ∆ ⇒ C
Ou seja, a permutação aumentou a altura do primeiro corte. Nesse caso,
a solução é utilizar a regra de multicut. Podemos transformar a derivação
com uma altura de corte n + 1 + m + 1
π2
π1
..
..
.
.
!A, !A, ∆ ⇒ C
!Γ ⇒ A !
C
!Γ ⇒!A R
!A, ∆ ⇒ C
Cut
!Γ, ∆ ⇒ C
na derivação com uma altura de corte n + 1 + m, onde r = 2
π1
π2
..
.
..
.
!Γ ⇒ A !R
!Γ ⇒!A
∆, !A, !A ⇒ C
Cut!
!Γ, ∆ ⇒ C
5.6. D =?A
A derivação com um peso de corte w(?A) é
π1
..
.
Γ⇒A
Γ ⇒?A
π2
..
.
!∆, A ⇒?C
?R
!∆, ?A ⇒?C
Γ, !∆ ⇒?C
?L
Cut
Temos então a derivação com um peso de corte menor w(A)
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒A
!∆, A ⇒?C
Γ, !∆ ⇒?C
5.7. D = 1
Temos a derivação
Cut
71
π1
..
.
Γ, ∆ ⇒ C
1R
⇒1
Γ, ∆, 1 ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
1L
Cut
E a derivação sem corte é
π1
..
.
Γ, ∆ ⇒ C
5.8. D = ∀xA
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π1
..
.
Γ ⇒ A(y/x)
Γ ⇒ ∀xA
π2
..
.
∆, A(t/x) ⇒ C
∀R
∀L
∆, ∀xA ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
Pelo lema da substituição, temos então uma derivação com altura de corte
n+m
π1 [t/y]
π2
..
..
.
.
Γ ⇒ A(t/x)
∆, A(t/x) ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
5.9. D = ∃xA
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
.
Γ ⇒ A(t/x)
Γ ⇒ ∃xA
∆, A(y/x) ⇒ C
∃L
∆, ∃xA ⇒ C
Cut
Γ, ∆ ⇒ C
∃R
Pelo lema da substituição, temos então uma derivação com altura de corte
n+m
π2 [t/y]
..
.
Γ ⇒ A(t/x)
∆, A(t/x) ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
π1
..
.
QED.
Cut
72
4
Lógica Linear com
Subexponenciais (SELL)
Nós podemos mostrar que os conectivos (com exceção dos exponenciais) dos capítulos
anteriores são canônicos, isto é, se existem dois conectivos diferentes para a mesma regra,
eles são iguais. Suponha que tenhamos duas conjunções diferentes (∧a e ∧b ) para as regras
clássicas do cálculo de sequentes: (NIGAM; PIMENTEL; REIS, 2011)
Γ, A, B ⇒ ∆
Γ, A ∧a B ⇒ ∆
∧a L
Γ ⇒ ∆, A
Γ ⇒ ∆, B
Γ ⇒ ∆, A ∧a B
∧a R
Γ, A, B ⇒ ∆
Γ, A ∧b B ⇒ ∆
∧b L
Γ ⇒ ∆, A
Γ ⇒ ∆, B
Γ ⇒ ∆, A ∧b B
∧b R
É fácil mostrar que, para quaisquer fórmulas A e B, A ∧a B ≡ A ∧b B:
A, B ⇒ A
A, B ⇒ B
∧a L
a
A∧ B ⇒A
A ∧a B ⇒ B
a
A ∧ B ⇒ A ∧b B
∧a L
∧b R
Isso significa que todos os símbolos para a conjunção clássica pertencem à mesma
classe de equivalência. Dessa forma, qualquer conectivo que escolhamos usar (∧a , ∧b , ∧c , ...)
não irá interferir na derivabilidade do sequente.
O mesmo não vale para os conectivos exponenciais da Lógica Linear. Suponha que
temos !a , !b e ?a , ?b com as regras da Lógica Linear Intuicionista:
!a Γ ⇒ A
! Γ ⇒ !a A
!a R
!a Γ, A ⇒ ?a B
! Γ, ?a A ⇒ ?a B
?a L
!b Γ ⇒ A
b
! Γ ⇒ !b A
!b R
!b Γ, A ⇒ ?b B
!b Γ, ?b A ⇒ ?b B
?b L
a
Γ, A ⇒ B
Γ, !a A ⇒ B
a
!a L
Γ⇒A
Γ ⇒ ?a A
?a R
73
Γ, A ⇒ B
Γ, !b A ⇒ B
Γ⇒A
Γ ⇒ ?b A
!b L
?b R
Em geral, não é possível mostrar as equivalências !a A ≡!b A e ?a A ≡?b A:
?
..
.
?
..
.
a
b
! A ⇒! A
A ⇒!b A
!a A ⇒!b A
!a,b R
?
..
.
?
..
.
?a A ⇒?b A
!a L
?a A ⇒ A
?a A ⇒?b A
?a,b L
?b D
No sequente A ⇒!b A, em geral, não podemos introduzir !. Por exemplo, seja A = >
?
..
.
> ⇒!b >
A ⇒!b A
Nesse sentido, podemos definir uma classe de exponenciais, que chamaremos de subexponenciais. A Lógica Linear com Subexponenciais (SELL1 ) é um refinamento da Lógica
Linear, onde adicionamos os novos operadores subexponenciais !i ,?i e o índice i indica a
classe do exponencial.
Formalmente, o sistema SELL foi apresentado por Vincent Danos (DANOS; JOINET;
SCHELLINX,
1993). Vivek Nigam (NIGAM; MILLER, 2009) apresentou um sistema onde os
subexponenciais têm uma estrutura de pré-ordem para garantir a eliminação do corte.
Posteriormente, apresentou-se o sistema SELLe (NIGAM; OLARTE; PIMENTEL, 2013) (sistema SELL com quantificadores) e o sistema SELLS2 (OLARTE; PIMENTEL; NIGAM, 2015).
SELLS, diferente de SELL, possui uma estrutura de ×-poset.
4.1
Sintaxe
SELL possui as mesmas regras da Lógica Linear, exceto as regras dos exponenciais.
Enquanto a Lógica Linear possui apenas os exponenciais ! e ?, SELL possui quantos
1
2
A abreviatura vem do inglês “Linear Logic with Subexponential”.
A abreviatura SELLS vem do inglês “Linear Logic with Soft Subexponential”.
74
exponenciais se queira. Assim, substituiremos os exponenciais da Lógica Linear por um
conjunto (finito ou não) de exponenciais rotulados chamados subexponenciais (OLARTE;
PIMENTEL; NIGAM,
2015).
Definimos a linguagem de SELL no sistema intuicionista através da notação BNF:
Definição 4.1 (Sintaxe do sistema SELL intuicionista).
F ::= p | F ⊗ F | F ⊕ F | F &F | F ( F | 1 | 0 | > |!i F |?i F | ∃x.F | ∀x.F
onde p é um átomo e F é uma fórmula.
Dessa forma, os subexponenciais são a divisão de ! e ? em classes diferentes. Cada
subexponencial é caracterizado pelo seu índice i e o conjunto de fórmulas definido por
esse índice é chamado de location. Os índices possuem uma ordem que será definida mais
à frente, onde a ordem dos subexponenciais define em quais fórmulas aplicaremos as regras
!i e ?i .
Através dessa sintaxe, cada sistema é especificado por uma assinatura exponencial
Σ = (A, , U ) onde A é o conjunto de índices, é a relação de ordem entre esses índices
e U é o conjunto dos índices que podem sofrer enfraquecimento e contração.
Além disso, iremos provar que a Eliminação do Corte também é válida para SELLS.
Uma estrutura de pré-ordem é suficiente para provar a Eliminação do Corte, porém, em
aplicações mais interessantes, utilizamos um ×-poset. Os quantificadores em SELLS são
consideravelmente mais expressivos do que em SELL. Veremos adiante que SELLe permite
somente a quantificação de subexponenciais que estão no ideal de um único subexponencial, enquanto SELLSe permite a quantificação de subexponenciais que estão no ideal de
qualquer subexponencial de um dado conjunto não vazio de subexponenciais.
4.2
Estrutura Algébrica dos Subexponenciais
Definição 4.2 (Conjuntos Parcialmente Ordenados). Um conjunto parcialmente ordenado (poset)
3
é representado pelo par (D, v), onde D é um conjunto e v é uma relação
binária sobre D, tal que
• v é reflexiva: ∀d ∈ D, d v d;
3
A abreviatura “poset” vem do inglês “partially ordered set”
75
• v é antisimétrica: ∀d1 , d2 ∈ D, se d1 v d2 e d2 v d1 , então d1 = d2 ;
• v é transitiva: ∀d1 , d2 , d3 ∈ D, se d1 v d2 e d2 v d3 , então d1 v d3 .
Observação 4.1. Se, ∀d1 , d2 ∈ D, ou d1 v d2 ou d2 v d1 ocorre, então dizemos que
(D, v) é um conjunto totalmente ordenado.
Definição 4.3 (Menor Limite Superior e Maior Limite Inferior). Seja (D, v) um conjunto
parcialmente ordenado, e seja X ⊆ D.
• ∀x ∈ X, d ∈ D é um limite superior de X se somente se x v d.
• d ∈ D é o menor limite superior de X (notação tX) se somente se d é um limite
superior de X e d v d0 , para todo limite superior d0 ∈ D.4
• ∀x ∈ X, d ∈ D é um limite inferior de X se somente se d v x.
• d ∈ D é o maior limite inferior de X (notação uX) se somente se d é um limite
inferior de X e d0 v d, para todo limite inferior d0 ∈ D.5
Definição 4.4 (Reticulado Completo). Um conjunto parcialmente ordenado (D, v) é um
reticulado completo se somente se tX e uX existem ∀X ⊆ D
Observação 4.2. Um reticulado completo (D, v) possui um menor elemento ⊥ = uD e
um maior elemento > = tD.
Definição 4.5 (×-poset). Um ×-poset é representado pela tripla (D, v, ×), onde essa
tripla representa um conjunto parcialmente ordenado unido com a operação binária ×
(chamada produto), tal que:
• × é associativa: ∀d1 , d2 , d3 ∈ D, (d1 × d2 ) × d3 = d1 × (d2 × d3 );
• × é comutativa: ∀d1 , d2 ∈ D, d1 × d2 = d2 × d1 ;
• > é o elemento neutro de ×: ∀d ∈ D, d × > = d;
• × é monótona: ∀d1 , d2 , d3 , d4 ∈ D, se d1 v d4 e d2 v d1 × d3 , então d2 v d4 × d3 ;
• × é intensiva: ∀d1 , d2 ∈ D, d1 × d2 v d1 .
• ⊥ é o elemento nulo de ×: ∀d ∈ D, d × ⊥ = ⊥
4
5
Abreviaremos “menor limite superior” como “lub”, do inglês “least upper bound”.
Abreviaremos “maior limite inferior” como “glb”, do inglês “greatest lower bound”.
76
Observação 4.3. Se, ∀d1 , d2 ∈ D, glb(d1 , d2 ) existe e d1 × d2 = glb(d1 , d2 ), então o
×-poset é chamado idempotente.
Exemplo 4.1. Todo reticulado distributivo limitado (L, ∨, ∧, 0, 1) é um ×-poset idempotente, onde d1 v d2 se e somente se d1 ∨ d2 = d2 e × = ∧.
Se d1 v d4 , então d1 ∨ d4 = d4 . Assim, d4 ∧ d3 = (d1 ∨ d4 ) ∧ d3 = (d1 ∧ d3 ) ∨ (d4 ∧ d3 ).
Logo, d1 ∧ d3 v d4 ∧ d3 .
Temos que d2 ∨ 1 = 1 e d1 ∧ 1 = d1 . Assim, d1 = d1 ∧ (d2 ∨ 1) = (d1 ∧ d2 ) ∨ (d1 ∧ 1) =
(d1 ∧ d2 ) ∨ d1 . Logo, d1 ∧ d2 v d1 .
Exemplo 4.2 (C-semiring). Um c-semiring é uma tupla (A, +, ×, ⊥, >) que satisfaz as
seguintes condições:
(i) A é um conjunto e ⊥, > ∈ A;
(ii) + é um operador binário, comutativo, associativo e idempotente em A, onde ⊥ é
seu elemento neutro e > é seu elemento nulo;
(iii) × é um operador binário, associativo e comutativo em A, onde > é seu elemento
neutro e ⊥ é seu elemento nulo. Além disso, × é distributivo sobre +.
Seja v definido como a1 v a2 se e somente se a1 + a2 = a2 . Assim, (A, v) é um
reticulado completo onde
(iv) + e × são monótonas em v;
(v) × é intensiva em v;
(vi) ⊥ (respectivamente, >) é o menor elemento (respectivamente, o maior elemento) de
A;
(vii) + é o operador lub.
Se × é idempotente, então
(viii) + é distributivo sobre ×;
(ix) (A, v) é um reticulado distributivo completo e × é seu glb. Um c-semiring é idempotente se seu operador × é idempotente. De outra maneira, o c-semiring é nãoidempotente.
77
Assim, (A, v, ×) é um ×-poset e, se × é idempotente, (A, v, ×) é um ×-poset idempotente.
Exemplo 4.3. Seja (D, v) um poset limitado e defina × como d1 × d2 = (↓ d1 ) ∩ (↓ d2 )
onde ↓ d1 está no ideal de d1 , isto é, ↓ d1 = {x ∈ D | x v d1 }. Observe que a interseção de
ideais é um ideal e é não vazia pois ∀d1 ∈ D, ⊥ ∈ (↓ d1 ). Além disso, d1 v d2 se e somente
se (↓ d1 ) ⊆ (↓ d2 ). Assim, a monotonicidade e a intensividade se mantém trivialmente e
(D, v, ×) é um ×-poset.
4.3
Sistema SELLSΣ
A Lógica Linear com Subexponenciais (SELLSΣ ) é especificada por uma assinatura
exponencial Σ = (A, , ×Σ , U ), tal que
• A é um conjunto de rótulos;
• (A, , ×Σ ) é um ×-poset que possui o produto ×Σ ;
• (A, , ×Σ ) possui um mínimo e um máximo (⊥, > ∈ A);
• U ⊆ A especifica quais subexponenciais permitem tanto o enfraquecimento quanto
a contração;
• é ascendentemente fechado em relação a U : se a1 ∈ U e a1 a2 , então a2 ∈ U .
Dada uma assinatura exponencial, o sistema SELLSΣ é um sistema obtido pela substituição do exponencial ! da Lógica Linear pelo subexponencial !a , ∀a ∈ A, tal que as
regras da Lógica Linear permanecem válidas e adicionamos as seguintes regras:
Sistema SELLSΣ
• ∀a ∈ A (regras de dereliction e promotion)
Γ, F ⇒ G
Γ, !a F ⇒ G
!a1 F1 ,..., !an Fn ⇒ F
!a1 F1 ,..., !an Fn ⇒ !a F
!a L
!a R
tal que a a1 ×Σ ... ×Σ an .
Γ⇒G
Γ ⇒ ?a G
?a R
!a1 F1 ,..., !an Fn , F ⇒ ?an+1 G
! F1 ,..., !an Fn , ?a F ⇒ ?an+1 G
a1
?a L
78
tal que a a1 ×Σ ... ×Σ an+1
• ∀u ∈ U (regras estruturais)
Γ⇒G
Γ, !u F ⇒ G
W
Γ, !u F , !u F ⇒ G
Γ, !u F ⇒ G
C
Teorema 4.1. A regra F ⇒ F é admissível, onde F é uma fórmula.
Demonstração.
A prova procede por indução no peso de F . Primeiramente, vamos demonstrar os
casos bases onde w(F ) = 0
(i) F = 1
⇒1
1⇒1
1R
1L
(ii) F = 0
0⇒0
0L
(iii) F = >
>⇒>
>R
Por hipótese indutiva, os sequentes A ⇒ A e B ⇒ B são demonstráveis. Temos
então os casos indutivos:
(iv) F = A&B
A ⇒ A &L
B⇒B
A&B ⇒ A
A&B ⇒ B
A&B ⇒ A&B
(v) F = A ⊗ B
A⇒A
B ⇒ B ⊗R
A, B ⇒ A ⊗ B
⊗L
A⊗B ⇒A⊗B
(vi) F = A ⊕ B
&L
&R
79
A⇒A
B⇒B
⊕R
A⇒A⊕B
B ⇒A⊕B
A⊕B ⇒A⊕B
⊕R
⊕L
(vii) F = A ( B
A⇒A
B⇒B
A ( B, A ⇒ B
A(B⇒A(B
(L
(R
(viii) F =!a A
A⇒A
!a A ⇒ A
!a A ⇒!a A
!a L
!a R
(ix) F =?a A
A ⇒ A ?a R
A ⇒?a A ?a L
?a A ⇒?a A
QED.
Teorema 4.2. Se o sequente Γ ⇒!a F é demonstrável em SELLSΣ , então o sequente
Γ ⇒!b F , ∀b a, também é demonstrável.
Demonstração. Suponha que temos uma prova de Γ ⇒!a F . Vamos tentar provar o
sequente Γ ⇒!b F
F ⇒F
!a F ⇒ F
Γ ⇒!a F
!a F ⇒!b F
b
Γ ⇒! F
!a L
!b R
Cut
onde Γ ⇒!a F possui uma prova por hipótese e F ⇒ F é admissível pelo teorema 4.1.
QED.
Lema 4.1. A regra Cut!
Γ ⇒!a F
∆, (!a F )r ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut! (r > 1)
é admissível em SELLSΣ , onde (!a F )r (r > 1) significa r cópias de !a F e a ∈ U .
80
Demonstração. A prova da eliminação de Cut! em SELLSΣ é similar à prova de eliminação do corte em SELLSΣ . Assim como na eliminação do corte, a prova de Cut!
procede por indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H), e os casos indutivos
se subdividem em vários casos. A grande maioria dos casos é similar a prova do corte que
mostraremos a seguir, mas alguns casos são mais interessantes. Considere, por exemplo,
o caso em que a fórmula de corte é principal à esquerda e temos que C =!b G.
Temos a derivação com altura de Cut! igual a n + 1 + m + 1
π2
π1
..
..
.
.
b1
bn
a
r
a1
an
!
∆
,
...,
!
∆
1
n , (! F ) ⇒ G
! Γ1 , ..., ! Γn ⇒ F a
! R
!a1 Γ1 , ..., !an Γn ⇒!a F
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , (!a F )r ⇒!b G
!a1 Γ1 , ..., !an Γn , !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒!b G
!b R
Cut
onde
Γ =!a1 Γ1 , ..., !an Γn
∆ =!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n
a a1 ×Σ ... ×Σ an
b b1 ×Σ ... ×Σ bn ×Σ a ×Σ ... ×Σ a
{z
}
|
r vezes
Transformamos então em uma derivação com altura de Cut! igual a n + 1 + m
π1
π2
..
.
..
!a1 Γ1 , ..., !an Γn ⇒ F a
.
! R
!a1 Γ1 , ..., !an Γn ⇒!a F
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , (!a F )r ⇒ G
!a1 Γ1 , ..., !an Γn , !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒ G b
! R
!a1 Γ1 , ..., !an Γn , !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒!b G
Cut
onde b a1 ×Σ ... ×Σ an ×Σ b1 ×Σ ... ×Σ bn é válido por monotonicidade.
QED.
Teorema 4.3 (Eliminação do corte em SELLSΣ ). A regra de corte
Γ⇒D
∆, D ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
é admissível em SELLSΣ .
Cut
81
Demonstração. A prova procede por indução na ordem lexicográfica do par ordenado
(W, H), de mesma forma que no teorema 3.1. Para provar a eliminação do corte em
SELLSΣ , devemos reduzir a ordem lexicográfica do par ordenado (W, H) nas regras dos
exponenciais. Estes correspondem aos casos 3.5, 3.6, 4.5, 4.6, 4.14, 4.15, 5.5, 5.6 do capítulo
3. Os casos bases são os mesmos da Lógica Linear mostrados no capítulo anterior.
3.5. !L , com Γ =!a F, Γ0
Neste caso, é possível aplicar três regras distintas quando temos ! à esquerda:
dereliction, contração e enfraquecimento.
• Dereliction
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
π2
.
..
F, Γ0 ⇒ D a
.
! L
a
0
! F, Γ ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
a
0
! F, Γ , ∆ ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
F, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
F, Γ0 , ∆ ⇒ C a
! L
!a F, Γ0 , ∆ ⇒ C
• Contração
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
π2
.
..
a
a
0
! F, ! F, Γ ⇒ D
.
C
!a F, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
!a F, Γ0 , ∆ ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
!a F, !a F, Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
!a F, !a F, Γ0 , ∆ ⇒ C
C
!a F, Γ0 , ∆ ⇒ C
• Enfraquecimento
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
π2
..
.
..
.
Γ0 ⇒ D
W
∆, D ⇒ C
!a F, Γ0 ⇒ D
!a F, Γ0 , ∆ ⇒ C
Cut
82
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
Γ0 ⇒ D
∆, D ⇒ C
Cut
Γ0 , ∆ ⇒ C
W
!a F, Γ0 , ∆ ⇒ C
3.6. ?L , com Γ =?a F, Γ0
Temos a derivação
π1
..
π2
.
..
F, !a1 Γ01 , ..., !an Γ0n ⇒?an+1 D a
.
? L
∆, ?an+1 D ⇒ C
?a F, !a1 Γ01 , ..., !an Γ0n ⇒?an+1 D
?a F, !a1 Γ01 , ..., !an Γ0n , ∆ ⇒ C
Cut
onde Γ0 =!a1 Γ01 , !a2 Γ02 , ..., !an Γ0n e a a1 ×Σ ... ×Σ an+1
Vamos considerar a premissa direita do corte e fazer uma análise dos casos
possíveis para a derivação π2 :
• ?an+1 D não é principal à direita e aplicamos uma L-rule
Esses casos correspondem aos casos 4.1 a 4.8
• ?an+1 D não é principal à direita e aplicamos uma R-rule
Esses casos correspondem aos casos 4.9 a 4.16
• ?an+1 D é principal à direita
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π2
π1
..
..
.
.
b1
bn
an+1
a1 0
an 0
! ∆1 , ..., ! ∆n , D ⇒?bn+1 C
D a
! Γ1 , ..., ! Γn , F ⇒?
? L
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , ?an+1 D ⇒?bn+1 C
!a1 Γ01 , ..., !an Γ0n , ?a F ⇒?an+1 D
!a1 Γ01 , ..., !an Γ0n , ?a F, !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒?bn+1 C
onde a a1 ×Σ ... ×Σ an+1 e an+1 b1 ×Σ ... ×Σ bn+1
?an+1 L
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m + 1
π2
..
π1
.
..
b1
bn
! ∆1 , ..., ! ∆n , D ⇒?bn+1 C
a
.
?Ln+1
b1
bn
a1 0
an 0
an+1
an+1
bn+1
! Γ1 , ..., ! Γn , F ⇒?
! ∆1 , ..., ! ∆n , ?
D ⇒?
C
D
Cut
a1 0
an 0
b1
bn
bn+1
! Γ1 , ..., ! Γn , F, ! ∆1 , ..., ! ∆n ⇒?
C a
? L
!a1 Γ01 , ..., !an Γ0n , ?a F, !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒?bn+1 C
onde a a1 ×Σ ...×Σ an ×Σ b1 ×Σ ...×Σ bn+1 e an+1 b1 ×Σ ...×Σ bn+1 . Temos
que a a1 ×Σ ... ×Σ an ×Σ b1 ×Σ ... ×Σ bn+1 é válido por monotonicidade.
83
4.5. !L , com ∆ =!a F, ∆0
Neste caso, é possível aplicar três regras distintas quando temos ! à esquerda:
dereliction, contração e enfraquecimento.
• Dereliction
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
D, F, ∆0 ⇒ C a
.
! L
Γ⇒D
D, !a F, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, !a F, ∆0 ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, F, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, F, ∆0 ⇒ C a
! L
Γ, !a F, ∆0 ⇒ C
• Contração
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
a
a
D,
!
F,
!
F,
∆0 ⇒ C
.
C
D, !a F, ∆0 ⇒ C
Γ⇒D
Cut
Γ, !a F, ∆0 ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, !a F, !a F, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, !a F, !a F, ∆0 ⇒ C
C
Γ, !a F, ∆0 ⇒ C
• Enfraquecimento
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
0
D, ∆ ⇒ C
.
W
D, !a F, ∆0 ⇒ C
Γ⇒D
Cut
Γ, !a F, ∆0 ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
Γ⇒D
D, ∆0 ⇒ C
Cut
Γ, ∆0 ⇒ C
W
Γ, !a F, ∆0 ⇒ C
84
4.6. ?L , com ∆ =?a F, ∆0
Temos a derivação
π2
..
.
π1
..
.
F, !a1 ∆01 , ..., !an ∆0n , !b D ⇒?an+1 C
Γ ⇒!b D
?a F, !a1 ∆01 , ..., !an ∆0n , !b D ⇒?an+1 C
Γ, ?a F, !a1 ∆01 , ..., !an ∆0n ⇒?an+1 C
?a L
Cut
onde ∆0 =!a1 ∆01 , ..., !an ∆0n e a a1 ×Σ ... ×Σ an+1 ×Σ b
Vamos considerar a premissa esquerda do corte e fazer uma análise dos casos
possíveis para a derivação π1
• !b D não é principal à esquerda
Esses correspondem aos casos 3.1 a 3.8
• !b D é principal à esquerda
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π2
π1
..
..
.
.
F, !a1 ∆01 , ..., !an ∆0n , !b D ⇒?an+1 C
!b1 Γ1 , ..., !bm Γm ⇒ D b
! R
?a F, !a1 ∆01 , ..., !an ∆0n , !b D ⇒?an+1 C
!b1 Γ1 , ..., !bm Γm ⇒!b D
!b1 Γ1 , ..., !bm Γm , ?a F, !a1 ∆01 , ..., !an ∆0n ⇒?an+1 C
onde b b1 ×Σ ... ×Σ bm e a a1 ×Σ ... ×Σ an+1 ×Σ b
?a L
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + 1 + m
π1
..
π2
.
..
b1
bm
! Γ1 , ..., ! Γm ⇒ D
.
!b R
!b1 Γ1 , ..., !bm Γm ⇒!b D
!a1 ∆01 , ..., !an ∆0n , !b D, F ⇒?an+1 C
Cut
!b1 Γ1 , ..., !bm Γm , F, !a1 ∆01 , ..., !an ∆0n ⇒?an+1 C a
? L
!b1 Γ1 , ..., !bm Γm , ?a F, !a1 ∆01 , ..., !an ∆0n ⇒?an+1 C
onde a b1 ×Σ ... ×Σ bm ×Σ a1 ×Σ ... ×Σ an+1 é válido por monotonicidade.
4.14. !R , com C =!a F
Temos a derivação
π1
..
.
π2
..
.
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , !b D ⇒ F
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , !b D ⇒!a F
Γ ⇒!b D
Γ, !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒!a F
!a R
Cut
85
onde a b1 ×Σ ... ×Σ bn ×Σ b
Vamos considerar a premissa esquerda do corte e fazer uma análise dos casos
possíveis para a derivação π1
• !b D não é principal à esquerda
Esses casos correspondem aos casos 3.1 a 3.8
• !b D é principal à esquerda
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π2
π1
..
..
.
.
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , !b D ⇒ F
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒ D b
! R
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒!b D
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , !b D ⇒!a F
!a1 Γ1 , ..., !am Γm , !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒!a F
onde b a1 ×Σ ... ×Σ am e a b1 ×Σ ... ×Σ bn ×Σ b
!a R
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + 1 + m
π1
..
π2
.
..
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒ D b
.
! R
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒!b D
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , !b D ⇒ F
Cut
!a1 Γ1 , ..., !am Γm , !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒ F a
! R
!a1 Γ1 , ..., !am Γm , !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒!a F
onde a a1 ×Σ ... ×Σ am ×Σ b1 ×Σ ... ×Σ bn é válido por monotonicidade.
4.15. ?R , com C =?a F
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
∆, D ⇒ F
.
Γ⇒D
∆, D ⇒?a F
Γ, ∆ ⇒?a F
?a R
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
π2
..
..
.
.
Γ⇒D
∆, D ⇒ F
Γ, ∆ ⇒ F a
? R
Γ, ∆ ⇒?a F
Cut
Consideramos agora os casos em que a fórmula de corte é principal em ambas as
premissas:
86
5.5. D =!a F
Neste caso, é possível aplicar três regras distintas quando temos !D: dereliction,
contração e enfraquecimento
• Dereliction
A derivação com um peso de corte w(!a F ) é
π1
π2
..
..
.
.
a1
am
! Γ1 , ..., ! Γm ⇒ F a
∆, F ⇒ C
! R
a1
am
a
! Γ1 , ..., ! Γm ⇒! F
∆, !a F ⇒ C
!a1 Γ1 , ..., !am Γm , ∆ ⇒ C
onde a a1 ×Σ ... ×Σ am
!a L
Cut
Temos então a derivação com um peso de corte menor w(F )
π1
π2
..
..
.
.
F, ∆ ⇒ C
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒ F
Cut
!a1 Γ1 , ..., !am Γm , ∆ ⇒ C
• Enfraquecimento
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
π2
..
..
.
.
a1
am
! Γ1 , ..., ! Γm ⇒ F a
∆
⇒
C
! R
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒!a F
!a F, ∆ ⇒ C
!a1 Γ1 , ..., !am Γm , ∆ ⇒ C
onde a a1 ×Σ ... ×Σ am
W
Cut
Podemos então encontrar uma derivação sem corte
π2
..
.
∆⇒C
W
!a1 Γ1 , ..., !am Γm , ∆ ⇒ C
Note que podemos aplicar enfraquecimento em !a1 Γ1 , ..., !am Γm . Temos que
a ∈ U e a a1 ×Σ ... ×Σ am , então ∀i, ai ∈ U , pois é ascendentemente
fechado em relação a U: se a1 ∈ U e a1 a2 , então a2 ∈ U , logo a1 ×Σ
... ×Σ am ∈ U . Como ×Σ é intensiva, temos que a a1 , a a2 , ..., a am , logo a1 ∈ U, a2 ∈ U, ..., am ∈ U . Dessa forma, podemos aplicar o
enfraquecimento em Γ1 , ..., Γm .
• Contração
Para o caso de contração iremos usar a regra Cut!. Temos a derivação com
uma altura de corte n + 1 + m + 1
87
π1
π2
..
..
.
.
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒ F a
!a F, !a F, ∆ ⇒ C
! R
C
!a F, ∆ ⇒ C
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒!a F
Cut
!a1 Γ1 , ..., !am Γm , ∆ ⇒ C
onde a a1 ×Σ ... ×Σ am
Utilizando a regra Cut!, temos uma derivação com altura de corte n+1+m
π1
..
π2
.
..
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒ F a
.
! R
!a F, !a F, ∆ ⇒ C
!a1 Γ1 , ..., !am Γm ⇒!a F
Cut
!a1 Γ1 , ..., !am Γm , ∆ ⇒ C
onde a a1 ×Σ ... ×Σ am
5.6. D =?a F
A derivação com um peso de corte w(?a F ) é
π1
..
.
Γ⇒F
Γ ⇒?a F
π2
..
.
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , F ⇒?bn+1 C
!b1 ∆1 , ..., !bn ∆n , ?a F ⇒?bn+1 C
Γ, !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒?bn+1 C
?a R
?a L
Cut
onde a b1 ×Σ ... ×Σ bn+1
Temos então a derivação com um peso de corte menor w(F )
π2
π1
..
..
.
.
b1
bn
Γ⇒F
! ∆1 , ..., ! ∆n , F ⇒?bn+1 C
Γ, !b1 ∆1 , ..., !bn ∆n ⇒?bn+1 C
Cut
QED.
4.4
Sistema SELLSe
A assinatura exponencial de SELLSe é a mesma de SELLSΣ com algumas modificações: SELLSe possui variáveis subexponenciais. As variáveis exponenciais serão introduzidas através dos quantificadores subexponenciais. Definimos a linguagem de SELLSe no
sistema clássico através da notação BNF:
Definição 4.6 (Sintaxe do sistema SELLSe intuicionista).
88
F ::= p | F ⊗ F | F ⊕ F | F &F | F ( F | 1 | 0 | > |!s F |?s F | ∃x.F | ∀x.F | el : τ.F |
dl : τ.F
onde p é um átomo e F é uma fórmula.
Os operadores e e d são quantificadores que atuam nos índices dos exponenciais
(e não em variáveis). São utilizados para criar novos exponenciais de uma mesma classe.
Existem três tipos de tipagem nos quantificadores: uma para as constantes subexponenciais e duas para as variáveis exponenciais. Assim, em SELLSe temos uma assinatura
(A, , U ), tal que:
• Os elementos de A, isto é, a, a1 , a2 , ... são chamados de constantes subexponenciais;
• s, s1 , s2 , ... e d, d1 , d2 , ... representam tanto as variáveis subexponenciais quanto as
constantes subexponenciais;
• i ∈ {b, u} indica se o subexponencial é limitado ou não-limitado6 ;
• l, l1 , l2 , ... são variáveis subexponenciais: l ∈
/ A;
l : {s1 , ..., sn }i
l : {s1 /s2 }i
onde n ≥ 1 e s1 ≺ s2 ;
A tipagem l : {s1 , ..., sn }i especifica que ⊥ ≺ l e o subexponencial l está no ideal de
todos os subexponenciais {s1 , ..., sn }, isto é, l sj para todo 1 ≤ j ≤ n.
A tipagem l : {s1 /s2 }i especifica que s2 l s1 . Observe que se ambos s1 e s2
são não-limitados (respectivamente, limitados), então l também será, assim i = u
(respectivamente, i = b);
• a é uma constante subexponencial: a ∈ A
a : {a}i
onde a está no seu próprio ideal. Temos que i = u se a ∈ U e i = b caso contrário;
• τ especifica qualquer uma das três tipagens: a, s, d, l.
Os sequentes em SELLSe tem a forma S; Γ ⇒ G, onde
6
b e u vem do inglês “bounded” (limitado) e “unbounded” (não-limitado)
89
• S = AΣ ∪ {l1 : τ, ..., ln : τ };
• {l1 , ..., ln } é um conjunto de variáveis subexponenciais distintas;
• AΣ = {a : {a}i | a ∈ A}.
Seja S = {l | (l : τ ) ∈ S}. A relação de pré-ordem S é definida em S como um
conjunto fechado sobre as propriedades transitiva e reflexiva:7
∪{(l, >), (⊥, l) | l ∈ S}
∪{(l, s) | (l : {s1 , ..., sn }); (s : τ ) ∈ S; (sj , s) para todo 1 ≤ j ≤ n}
∪{(l, s1 ), (s2 , l) | (l : {s1 /s2 }) ∈ S}
onde ⊥ e > são, respectivamente, os elementos mínimo e máximo em S .
Note que (l, >), (⊥, l) diz que l é menor que o elemento máximo > e que l é maior
que o elemento mínimo (⊥).
Note (l, s). Como l : {s1 , ..., sn } especifica que l sj e (sj , s) nos diz que sj s, então
temos que l s. Da mesma forma, veja (l, s1 ), (s2 , l) e note que l : {s1 /s2 } especifica que
s2 l s1 .
Dessa forma, o sistema SELLSe estende o sistema SELLSΣ adicionando as regras dos
quantificadores subexponenciais:
Sistema SELLSe
S; Γ, F [s/l] ⇒ G
S; Γ, el : {s1 , ..., sn }i .F ⇒ G
eL1 (?1)
S; Γ, F [s/l] ⇒ G
S; Γ, el : {s1 /s2 }i .F ⇒ G
S; Γ ⇒ G[s/l]
S; Γ ⇒ dl : {s1 , ..., sn }i .G
dR1 (?1)
S; Γ ⇒ G[s/l]
S; Γ ⇒ dl : {s1 /s2 }i .G
S, le : τ ; Γ, F [le /l] ⇒ G
S; Γ, dl : τ.F ⇒ G
dL (?3)
S, le : τ ; Γ ⇒ G[le /l]
S; Γ ⇒ el : τ.G
eL2 (?2)
dR2 (?2)
eR (?3)
onde le é uma variável fresca, isto é, não está presente em S nas regras dL e eR . As
condições (?1), (?2) e (?3) são definidas abaixo:
(?1) s : τ ∈ S é tal que s S sj para todo 1 ≤ j ≤ n e se i = b então s é limitado,
caso contrário s é não-limitado.
7
Uma relação parcial de ordem, como já definido anteriormente, é transitiva, reflexiva e anti-simétrica.
Já a relação de pré-ordem é apenas transitiva e reflexiva. Toda ordem parcial também é uma pré-ordem.
90
(?2) s : τ ∈ S é tal que s1 S s S s2 e se i = b então s é limitado, caso contrário s é
não-limitado.
(?3) S 0 é uma pré-ordem, ascendentemente fechada com relação ao conjunto US 0 ,
onde S 0 = S, le : τ e US 0 = {s | (s : {τ }u ) ∈ S 0 }.
Note que as regras dos quantificadores tem condições diferentes, então s, l e le não são
necessariamente do mesmo tipo. Porém as observações (?1), (?2) e (?3) fazem com que os
tipos sejam compatíveis.
Antes de demonstrar a eliminação do corte em SELLSe , precisaremos do lema da
substituição para o sistema SELLSe .
Lema 4.2 (Lema da Substituição para SELLSe ). Assuma que S; Γ ⇒ G é derivável em
SELLSe com altura n e considere os subexponenciais s : τ e l : τ 0 tal que s ∈ S é livre
para l ∈ {Γ, G}. Temos que
(i) Se l : τ 0 é do tipo l : {s1 , ..., sn } então s : τ é tal que s ≤ sj para todo 1 ≤ j ≤ n;
(ii) Se l : τ 0 é do tipo l : {s1 /s2 } então s : τ é tal que s1 ≤ s ≤ s2 ;
então S; Γ[s/l] ⇒ G[s/l] é derivável em SELLSe com altura n.
Demonstração. A demonstração procede por indução na altura da derivação.
Casos bases: o sequente tem altura zero
`n S; Γ, 0 ⇒ G
0L
`n S; Γ, ⇒ >
>R
`n ⇒ 1
1R
Como o sequente termina com a regra 0L , >R , 1R , então
`n S; Γ[s/l], 0 ⇒ G[s/l]
0L
`n S; Γ[s/l], ⇒ >
>R
`n ⇒ 1
1R
Casos indutivos: considere, por exemplo, que a última regra aplicada foi ⊕R , onde
G=A⊕B
`n S; Γ ⇒ A[s/l]
`n+1 S; Γ ⇒ (A ⊕ B)[s/l]
⊕R
91
Como s é livre para l ∈ {A ⊕ B} então s é livre para algum l ∈ A (pois a regra ⊕R não
altera o conjunto de variáveis livres e ligadas). Então, por hipótese indutiva, S; Γ ⇒ G
possui a mesma altura que S; Γ[s/l] ⇒ G[s/l]. O mesmo vale para os demais operadores
⊗, (, &.
Agora, vamos considerar um caso mais interessante. Se S; Γ ⇒ G é derivado por eL :
`n S; Γ, F [t/m] ⇒ G
`n+1 S; Γ, em : τ 0 .F ⇒ G
eL
Por hipótese indutiva, temos:
`n S; Γ[s/l], F [t/m][s/l] ⇒ G[s/l]
Podemos assumir que m 6= s, m 6= l, m 6= t. Então
F [t/m][s/l] = F [s/l][t/m]
Substituindo na hipótese indutiva
`n S; Γ[s/l], F [s/l][t/m] ⇒ G[s/l]
Pela regra eL
`n S; Γ[s/l], F [s/l][t/m] ⇒ G[s/l]
`n+1 S; Γ[s/l], em : τ 0 .F [s/l] ⇒ G[s/l]
eL
onde `n+1 S; Γ[s/l], em : τ 0 .F [s/l] ⇒ G[s/l] é o sequente que queríamos provar.
Argumento similar se utiliza nas demais regras de e, d.
Vamos considerar agora que S; Γ ⇒ G é derivado por !a R :
`n !a1 F1 , ..., !am Fm ⇒ F
`n+1 !a1 F1 , ..., !am Fm ⇒!a F
!a R
onde a a1 ×Σ ... ×Σ am .
Por hipótese indutiva, temos
`n !a1 F1 [s/l], ..., !am Fm [s/l] ⇒ F [s/l]
92
Aplicando !a R
`n !a1 F1 [s/l], ..., !am Fm [s/l] ⇒ F [s/l]
`n+1 !a1 F1 [s/l], ..., !am Fm [s/l] ⇒!a F [s/l]
!a R
onde a[s/l] a1 [s/l]×Σ ...×Σ am [s/l] é válido pois, apesar de l : τ 0 e s : τ não serem do
mesmo tipo, as observações (?1), (?2) e (?3) fazem os tipos serem compatíveis. Suponha,
por exemplo, que s : τ e l : {s1 , ..., sn }, isto é, l sj . Então (?1) nos garante que s sj .
Da mesma forma, suponha que s : τ e l : {s1 /s2 }, isto é, s1 l s2 . Então (?2) nos
garante que s1 s s2 . Argumento similar se utiliza na regra ?a L .
QED.
Teorema 4.4 (Eliminação do corte em SELLSe ). A regra de corte
S; Γ ⇒ D
S; ∆, D ⇒ C
S; Γ, ∆ ⇒ C
é admissível em SELLSe .
Demonstração. Para provar a eliminação do corte em SELLSe , devemos utilizar indução na ordem lexicográfica do par ordenado (W, H) nas regras dos quantificadores
exponenciais. Os casos bases são os mesmos da Lógica Linear mostrados no capítulo anterior. Continuando a numeração do sistema SELLSΣ , a demonstração será dividida nos
seguintes casos:
3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda.
4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita.
5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas.
Segue a demonstração para cada caso com seus respectivos subcasos:
3. A fórmula D no corte não é principal na premissa esquerda.
3.10. eL1 , com Γ = Γ0 , el : {s1 , ..., sn }i .F
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
93
π1
..
.
π2
..
S; Γ , F [s/l] ⇒ D
.
eL1
0
S; Γ , el : {s1 , ..., sn }i .F ⇒ D
S; ∆, D ⇒ C
0
S; Γ , el : {s1 , ..., sn }i .F, ∆ ⇒ C
0
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
..
.
π2
..
.
S; Γ0 , F [s/l] ⇒ D
S; ∆, D ⇒ C
Cut
S; Γ0 , F [s/l], ∆ ⇒ C
eL1
S; Γ0 , el : {s1 , ..., sn }i .F, ∆ ⇒ C
3.11. eL2 , com Γ = Γ0 , el : {s1 /s2 }i .F
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
.
π2
..
S; Γ0 , F [s/l] ⇒ D
.
eL2
S; ∆, D ⇒ C
S; Γ0 , el : {s1 /s2 }i .F ⇒ D
S; Γ0 , el : {s1 /s2 }i .F, ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
..
.
π2
..
.
0
S; Γ , F [s/l] ⇒ D
S; ∆, D ⇒ C
Cut
0
S; Γ , F [s/l], ∆ ⇒ C
eL2
S; Γ0 , el : {s1 /s2 }i .F, ∆ ⇒ C
3.12. dL , com Γ = Γ0 , dl : τ.F
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m é
π1
..
.
π2
..
S, le : τ ; Γ0 , F [le /l] ⇒ D
.
dL
S; Γ0 , dl : τ.F ⇒ D
S; ∆, D ⇒ C
S; Γ0 , dl : τ.F, ∆ ⇒ C
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1
..
.
π2
..
.
S, le : τ ; Γ0 , F [le /l] ⇒ D
S, le : τ ; ∆, D ⇒ C
S, le : τ ; Γ0 , F [le /l], ∆ ⇒ C
dL
S; Γ0 , dl : τ.F, ∆ ⇒ C
Cut
94
4. A fórmula D no corte não é principal na premissa direita.
4.19. eL1 , com ∆ = ∆0 , el : {s1 , ..., sn }i .F
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
S; D, ∆0 , F [s/l] ⇒ C
.
S; Γ ⇒ D
S; D, ∆0 , el : {s1 , ..., sn }i .F ⇒ C
S; Γ, ∆0 , el : {s1 , ..., sn }i .F ⇒ C
eL1
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
0
S; Γ ⇒ D
S; D, ∆ , F [s/l] ⇒ C
Cut
S; Γ, ∆0 , F [s/l] ⇒ C
eL1
S; Γ, ∆0 , el : {s1 , ..., sn }i .F ⇒ C
4.20. eL2 , com ∆ = ∆0 , el : {s1 /s2 }i .F
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
π1
.
..
0
S;
D,
∆
,
F
[s/l] ⇒ C
.
0
S; Γ ⇒ D
S; D, ∆ , el : {s1 /s2 }i .F ⇒ C
S; Γ, ∆0 , el : {s1 /s2 }i .F ⇒ C
eL2
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
0
S; Γ ⇒ D
S; D, ∆ , F [s/l] ⇒ C
Cut
S; Γ, ∆0 , F [s/l] ⇒ C
eL2
S; Γ, ∆0 , el : {s1 /s2 }i .F ⇒ C
4.21. dL , com ∆ = ∆0 , dl : τ.F
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
S, le : τ ; D, ∆0 , F [le /l] ⇒ C
.
dL
S; Γ ⇒ D
S; D, ∆0 , dl : τ.F ⇒ C
Cut
S; Γ, ∆0 , dl : τ.F ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
95
π2
π1
..
..
.
.
S, le : τ ; Γ ⇒ D
S, le : τ ; D, ∆0 , F [le /l] ⇒ C
S, le : τ ; Γ, ∆0 , F [le /l] ⇒ C
dL
S; Γ, ∆0 , dl : τ.F ⇒ C
Cut
4.22. dR1 , com C = dl : {s1 , ..., sn }i .G
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
S; ∆, D ⇒ G[s/l]
.
S; Γ ⇒ D
S; ∆, D ⇒ dl : {s1 , ..., sn }i .G
S; Γ, ∆ ⇒ dl : {s1 , ..., sn }i .G
dR1
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
S; Γ ⇒ D
S; ∆, D ⇒ G[s/l]
Cut
S; Γ, ∆ ⇒ G[s/l]
dR1
S; Γ, ∆ ⇒ dl : {s1 , ..., sn }i .G
4.23. dR2 , com C = dl : {s1 /s2 }i .G
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
S; ∆, D ⇒ G[s/l]
.
S; Γ ⇒ D
S; ∆, D ⇒ dl : {s1 /s2 }i .G
S; Γ, ∆ ⇒ dl : {s1 /s2 }i .G
dR2
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
S; Γ ⇒ D
S; ∆, D ⇒ G[s/l]
Cut
S; Γ, ∆ ⇒ G[s/l]
dR2
S; Γ, ∆ ⇒ dl : {s1 /s2 }i .G
4.24. eR , com C = el : τ.G
A derivação com uma altura de corte n + m + 1 é
π2
..
.
π1
..
S, le : τ ; ∆, D ⇒ G[le /l]
.
eR
S; Γ ⇒ D
S; ∆, D ⇒ el : τ.G
Cut
S; Γ, ∆ ⇒ el : τ.G
96
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2
π1
..
..
.
.
S, le : τ ; Γ ⇒ D
S, le : τ ; ∆, D ⇒ G[le /l]
S, le : τ ; Γ, ∆ ⇒ G[le /l]
eR
S; Γ, ∆ ⇒ el : τ.G
Cut
5. A fórmula D no corte é principal em ambas as premissas.
5.10. D = el : {s1 , ..., sn }i .F
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π1
..
.
π2
..
.
S; ∆, F [s/l] ⇒ C
S, le : {s1 , ..., sn }; Γ ⇒ F [le /l]
eR
S; Γ ⇒ el : {s1 , ..., sn }i .F
S; ∆, el : {s1 , ..., sn }i .F ⇒ C
S; Γ, ∆ ⇒ C
eL1
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1 [s/le ]
π2
..
..
.
.
S; Γ ⇒ F [s/l]
S; ∆, F [s/l] ⇒ C
S; Γ, ∆ ⇒ C
Cut
onde, pelo lema da substituição, π1 [s/le ] possui a mesma altura de derivação
de π1 .
5.11. D = el : {s1 /s2 }i .F
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π2
..
.
S; ∆, F [s/l] ⇒ C
S, le : {s1 /s2 }; Γ ⇒ F [le /l]
eR
S; Γ ⇒ el : {s1 /s2 }i .F
S; ∆, el : {s1 /s2 }i .F ⇒ C
S; Γ, ∆ ⇒ C
π1
..
.
eL2
Cut
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π1 [s/le ]
π2
..
..
.
.
S; Γ ⇒ F [s/l]
S; ∆, F [s/l] ⇒ C
S; Γ, ∆ ⇒ C
Cut
onde, pelo lema da substituição, π1 [s/le ] possui a mesma altura de derivação
de π1 .
97
5.12. D = dl : {s1 , ..., sn }i .F
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π1
..
.
S; Γ ⇒ F [s/l]
S; Γ ⇒ dl : {s1 , ..., sn }i .F
π2
..
.
S, le : {s1 , ..., sn }; ∆, F [le /l] ⇒ C
dR1
dL
S; ∆, dl : {s1 , ..., sn }i .F ⇒ C
Cut
S; Γ, ∆ ⇒ C
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2 [s/le ]
..
.
S; Γ ⇒ F [s/l]
S; ∆, F [s/l] ⇒ C
S; Γ, ∆ ⇒ C
π1
..
.
Cut
onde, pelo lema da substituição, π2 [s/le ] possui a mesma altura de derivação
de π2 .
5.13. D = dl : {s1 /s2 }i .F
A derivação com uma altura de corte n + 1 + m + 1 é
π1
..
.
S; Γ ⇒ F [s/l]
S; Γ ⇒ dl : {s1 /s2 }i .F
π2
..
.
S, le : {s1 /s2 }; ∆, F [le /l] ⇒ C
dL
S; ∆, dl : {s1 /s2 }i .F ⇒ C
Cut
S; Γ, ∆ ⇒ C
dR2
Permutando o corte, temos uma derivação com altura de corte n + m
π2 [s/le ]
π1
..
..
.
.
S; Γ ⇒ F [s/l]
S; ∆, F [s/l] ⇒ C
S; Γ, ∆ ⇒ C
Cut
onde, pelo lema da substituição, π2 [s/le ] possui a mesma altura de derivação
de π2 .
QED.
98
5
Especificação de sistemas
bioquímicos em SELL
Neste capítulo iremos descrever um formalismo para especificar e verificar propriedades de sistemas bioquímicos onde consideramos modalidades espaciais e temporais. Como
a Lógica Linear trata as fórmulas como recursos, este é um formalismo ideal para representar equações bioquímicas onde a cada interação temos o controle dos recursos sendo
consumidos e produzidos. Para tanto, utilizaremos SELL, que oferece um controle muito
mais refinado que a Lógica Linear Intuicionista. Cada interação dependerá das localizações dos componentes e do tempo, onde utilizaremos os subexponenciais de SELL para
representar cada interação por um location espacial e temporal.
Vamos especificar uma reação química em SELL e veremos como SELL pode nos
ajudar a verificar propriedades do sistema. Suponha, primeiramente, uma reação química
do tipo
F −→ G
em que consumimos F para produzir G. Em Lógica Linear, podemos representar essa
reação como
F (G
Se quisermos considerar a localização espacial l dos componentes da reação, marcamos
ambos F e G com o índice l:
!l F (!l G
Se quisermos considerar que essa reação pode ocorrer em qualquer espaço, utilizamos
o quantificador e:
99
!ω e l : ω.(!l F (!l G)
Suponha que, na localização espacial a, podemos encontrar uma cópia de F e que, na
localização espacial b, podemos encontrar uma cópia de F e H. Então representamos:
!ω e l : ω.(!l F (!l G)⊗!a F ⊗!b F ⊗!b H
Assim, utilizamos SELL para descrever a especificação do sistema bioquímico. Considere um subexponencial não-limitado ω (isto é, ω ∈ U ) e dois subexponenciais a, b tal
que a, b ω e a b. Seja F, G, H átomos e considere a seguinte fórmula
system =!ω e l : ω.(!l F (!l G)⊗!a F ⊗!b F ⊗!b H
(5.1)
Os subexponenciais a, b podem ser interpretados como duas diferentes locations (ou
domínios espaciais) em uma célula. Assim, !a F (respectivamente !b F e !b H) significa que
em a (respectivamente b) podemos encontrar uma cópia de algum reagente F (respectivamente F e H). A fórmula el : ω.(!l F (!l G) representa uma reação que, em um dado
location l ω, consumimos F para produzir G. Portanto o sistema pode evoluir a um
estado onde o location a contém uma cópia de G e o location b contém uma cópia de G e
H como mostrado na derivação abaixo: (OLARTE et al., 2016).
F ⇒ F !b
G ⇒ G !b
F ⇒ F !a L
G ⇒ G !a L
L
L
b
b
a
!
F
⇒
F
!
G ⇒ G !b
! F ⇒ F !a R
! G ⇒ G !a R
!b R
R
!b F ⇒!b F
!b G ⇒!b G (L
!a F ⇒!a F
!a G ⇒!a G (L
!a F (!a G, !a F ⇒!a G
!b F (!b G, !b F ⇒!b G
eL
eL
el : ω.(!l F (!l G), !a F ⇒!a G
el : ω.(!l F (!l G), !b F ⇒!b G
!L
!L
!ω e l : ω.(!l F (!l G), !a F ⇒!a G
!ω e l : ω.(!l F (!l G), !b F ⇒!b G
H⇒H
⊗R
b
!ω e l : ω.(!l F (!l G), !ω e l : ω.(!l F (!l G), !a F, !b F ⇒!a G⊗!b G
!H⇒H
C
!ω e l : ω.(!l F (!l G), !a F, !b F ⇒!a G⊗!b G
!b H ⇒!b H
!ω e l : ω.(!l F (!l G), !a F, !b F, !b H ⇒!a G⊗!b G⊗!b H
⊗L
!ω e l : ω.(!l F (!l G)⊗!a F ⊗!b F ⊗!b H ⇒!a G⊗!b G⊗!b H
a
!b L
!b R
⊗R
Neste capítulo mostraremos como dependências espaciais e temporais em sistemas bioquímicos podem ser caracterizados como fórmulas em SELLSe . Utilizaremos um conjunto
de reações que possuem a seguinte forma:
rj : [c1 .A1 ]a1 + ... + [cn .An ]an −→k [d1 .B1 ]b1 + ... + [dn .Bn ]bn
(5.2)
100
onde ci unidades de Ai localizadas no domínio espacial ai são consumidas em k unidades de tempo para produzir dj unidades de Bj localizadas no domínio espacial bj .
Para modelar sistemas considerando suas modalidades temporais e espaciais em SELLSe ,
utilizaremos a assinatura subexponencial (A, , U ) mostrada no capítulo anterior. Temos
que os únicos subexponenciais não-limitados são tω e i+ , onde tω é utilizado para marcar
o conjunto de reações que pode ser usado quantas vezes for necessário e i+ representa a
unidade de tempo que se inicia em i e será usada para especificar propriedades do sistema
que serão mostradas adiante.
Considere, por exemplo, uma variável subexponencial lx : 4+ . Ela pode ser instanciada
com qualquer unidade de tempo que se inicia em 4. Os subexponenciais lineares 0, 1, 2, ...
representam a unidade de tempo, enquanto que os subexponenciais lineares sa .i, sb .i, ...
representam o domínio espacial sx na unidade de tempo i.
Para cada elemento químico A no sistema, temos o símbolo de constante A em SELL
para representar esse elemento. Temos o predicado binário ct(·, ·) que representa a concentração do elemento. Intuitivamente, a fórmula !sb .2 ct(A, c) significa que a concentração
de A no domínio espacial sb é c durante a segunda unidade de tempo. De forma usual, c
é definido como a n-ésima aplicação da função sucessor suc para a constante 0. Usamos
sucn (x) para denotar a n-ésima aplicação de suc em x.
Utilizando ct(·, ·), podemos agora definir o estado do sistema no tempo t.
Definição 5.1 (State). O estado do sistema na unidade de tempo t é definido como
state(t) =
OO
!s.t [ct(Ai , ci )]
(5.3)
s∈S Ai ∈A
onde A denota o conjunto de reagentes e S denota o conjunto de domínios espaciais.
Se não existem reagentes do tipo Aj no espaço sk , então cj = 0.
O modelo de uma reação representado em (5.2) é uma fórmula que primeiro confere
se os reagentes necessários estão disponíveis nos domínios espaciais. Assim, os reagentes
são consumidos e os produtos são adicionados após k unidades de tempo. Definimos então
uma reação:
Definição 5.2 (Reaction). Uma reação que ocorre na unidade de tempo t é definida como
eq(t) = ∀~x.[consume(t) ( produce(t + k)]
(5.4)
101
onde ~x = x1 , ..., xn .
Temos que
consume(t) =
OO
!s.t [ct(Ai , Ni )]
(5.5)
s∈S Ai ∈A

xi , se [ci .Ai ]s não ocorre no lado esquerdo da reação
Ni =
succi (x ), se [c .A ] ocorre no lado esquerdo da reação
i
i
i s
E temos que
produce(t) =
OO
!s.t [ct(Ai , Ni )]
(5.6)
s∈S Ai ∈A

xi , se [di .Ai ]s não ocorre no lado direito da reação
Ni =
sucdi (x ), se [d .A ] ocorre no lado direito da reação
i
i
i s
O quantificador ∀~x permite-nos vincular o atual número de reagentes no sistema.
A fórmula consume consome os reagentes necessários e a fórmula produce adiciona tais
reagentes após k unidades de tempo. Note que a concentração dos reagentes que não são
utilizados na reação são simplesmente copiados sem alterações após t + k unidades de
tempo.
Agora, podemos modelar o conjunto de reações do sistema:
Definição 5.3 (Conjunto de reações do sistema). O conjunto de reações do sistema é
definido como
eqs =!tω {elx : 0+ .[eq1 (lx )&...&eqk (lx )]}
(5.7)
O subexponencial não-limitado !tω permite-nos usar o conjunto de reações quantas
vezes for necessário. O quantificador elx : 0+ nos diz que, em qualquer unidade de tempo,
as reações estão disponíveis para serem realizadas. O conectivo & permite-nos escolher
uma das reações e descartar as outras.
Finalmente, podemos definir o modelo de um sistema na unidade de tempo t:
102
Definição 5.4 (System(t)). O sistema bioquímico na unidade de tempo t é definido como
system(t) = eqs ⊗ state(t)
(5.8)
Por exemplo, suponha que a seguinte reação química ocorre:
A −→ 2B
(5.9)
rj : [1.A]a −→k [2.B]b
Ou seja, consumimos 1 quantidade de A para produzir 2 quantidades de B em k
unidades de tempo. Para especificar essa reação em SELL, iremos renomear algumas
definições para tornar a derivação de fácil leitura e entendimento. Considere:
eqs0 = elx : 0+ .[∀x.∀y.(F ⊗ F 0 ) ( (H ⊗ H 0 )]
(5.10)
onde
F =!lx ct(A, suc(x))
F 0 =!ly ct(B, y)
H =!lx +1 ct(A, x)
H 0 =!ly +1 ct(B, suc(suc(y)))
A equação (5.10) representa nossa reação: a partir do tempo 0 (instanciado por lx e ly
para A e B respectivamente), temos a concentração suc(x) do reagente A e a concentração
y do reagente B. Após a reação, nos locations lx +1 e ly +1, a concentração de A tornou-se
x e a concentração de B tornou-se suc(suc(y)). Ou seja, consumimos 1A para produzir
2B, como em (5.9).
Considere agora a concentração inicial (arbitrária) dos elementos químicos A e B:
state(t) =!si .t ct(A, 3)⊗!si .t ct(B, 5)
(5.11)
Ou seja, a concentração inicial de A é 3 e a concentração inicial de B é 5. Temos então
o sequente:
state(t)⊗!ω eqs0 ⇒ G
(5.12)
103
onde G é a propriedade do sistema que devemos verificar. Assim, temos a derivação:
!ω eqs0 , !si .t+1 ct(A, 2), !si .t+1 ct(B, 7) ⇒ G
state(t) ⇒ state(t)
!ω eqs0 , H, H 0 ⇒ G
⊗L
def
state(t) ⇒!si .t ct(A, suc(2))⊗!si .t ct(B, 5)
!ω eqs0 , H ⊗ H 0 ⇒ G
(L
state(t), !ω eqs0 , !si .t ct(A, suc(2))⊗!si .t ct(B, 5) ( (H ⊗ H 0 ) ⇒ G
∀L
state(t), !ω eqs0 , ∀x.∀y.[!si .t ct(A, suc(x))⊗!si .t ct(B, y) ( (H ⊗ H 0 )] ⇒ G
eL
state(t), !ω eqs0 , elx : 0+ .[∀x.∀y.(F ⊗ F 0 ) ( (H ⊗ H 0 )] ⇒ G
def
state(t), !ω eqs0 , eqs0 ⇒ G
!L
state(t), !ω eqs0 , !ω eqs0 ⇒ G
C
state(t), !ω eqs0 ⇒ G
⊗L
state(t)⊗!ω eqs0 ⇒ G
def
onde def não é nenhuma regra lógica, mas sim a substituição da definição nos respectivos termos. Note que na regra eL substituímos lx e ly por si .t e na regra ∀L substituímos
x por 2 e y por 5.
A concentração inicial de A era 3 e a concentração inicial de B era 5. Agora, observe
o último sequente da direita:
!ω eqs0 , !si .t+1 ct(A, 2), !si .t+1 ct(B, 7) ⇒ G
(5.13)
Nesse último sequente, a concentração de A é 2 e a concentração de B é 7. Ou seja,
consumimos 1A para produzir 2B, assim como queríamos em (5.9).
Suponha agora que em nosso sistema ocorrem duas reações
A −→ 2B
(5.14)
rj : [1.A]a −→k [2.B]b
A −→ C
rj : [1.A]a −→k [1.C]c
Como temos duas reações, escrevemos as duas equações de reação
(5.15)
104
eq1 = ∀x.∀y.∀z.[F ⊗ F 0 ⊗ F 00 ] ( [H ⊗ H 0 ⊗ F 00 ]
(5.16)
eq2 = ∀x.∀y.∀z.[F ⊗ F 0 ⊗ F 00 ] ( [H ⊗ F 0 ⊗ H 00 ]
(5.17)
onde
F =!lx ct(A, suc(x))
F 0 =!ly ct(B, y)
F 00 =!lz ct(C, z)
H =!lx +1 ct(A, x)
H 0 =!ly +1 ct(B, suc(suc(y)))
H 00 =!lz +1 ct(C, suc(z))
Além disso, temos
eqs0 = elx : 0+ .[eq1 &eq2 ]
(5.18)
state(t) =!si .t ct(A, 3)⊗!si .t ct(A, 5)⊗!si .t ct(C, 6)
(5.19)
Assim, temos a derivação
!ω eqs0 , !si .t+1 ct(A, 2), !si .t ct(B, 5), !si .t+1 ct(C, 7) ⇒ G
!ω eqs0 , H, F 0 , H 0 ⇒ G
⊗L
ω
state(t) ⇒ state(t)
! eqs0 , H ⊗ F 0 ⊗ H 0 ⇒ G
(L
state(t), !ω eqs0 , (F ⊗ F 0 ⊗ F 00 ) ( (H ⊗ F 0 ⊗ H 00 ) ⇒ G
∀L
state(t), !ω eqs0 , ∀x.∀y.∀z.[(F ⊗ F 0 ⊗ F 00 ) ( (H ⊗ F 0 ⊗ H 00 )] ⇒ G
def
state(t), !ω eqs0 , eq2 ⇒ G
&L
state(t), !ω eqs0 , eq1 &eq2 ⇒ G
eL
state(t), !ω eqs0 , elx : 0+ .[eq1 &eq2 ] ⇒ G
def
state(t), !ω eqs0 , eqs0 ⇒ G
!L
state(t), !ω eqs0 , !ω eqs0 ⇒ G
C
state(t), !ω eqs0 ⇒ G
⊗L
state(t)⊗!ω eqs0 ⇒ G
def
105
Na regra ∀L substituimos x por 2, z por 6 e y por 5. Note que, como escolhemos a
reação eq2 na regra &L , a concentração de B permaneceu a mesma, pois B não reage em
(5.15). Por causa dessa escolha, temos o último sequente
!ω eqs0 , !si .t+1 ct(A, 2), !si .t ct(B, 5), !si .t+1 ct(C, 7) ⇒ G
(5.20)
Como queríamos (5.15), foi consumido 1A para produzir 1C.
Verificamos que SELL é um bom sistema para especificar os sistemas físicos formalmente. Isso vem do fato de os subexponenciais serem úteis para representar diferentes
modalidades de um sistema (neste capítulo foram modalidades espaciais e temporais).
106
6
Considerações finais
Ao longo do trabalho, verificamos que a Lógica Linear possui uma excelente estrutura para tratar de sistemas reais. Sem as regras de enfraquecimento e contração, existe
diferença entre os conectivos aditivos e multiplicativos e isso nos permite tratar fórmulas
como recursos a serem utilizados durante a prova. Esse controle é muito mais expressivo
com SELL, onde podemos separar as fórmulas em várias partes e cada uma representa
determinada modalidade (no capítulo 5 foram modalidades espaciais e temporais).
Provamos que a regra de corte na Lógica Linear e em SELL é uma regra admissível. Esse resultado é fundamental em teoria da prova, pois assim podemos concluir a
consistência do sistema para a Lógica Linear e para SELL. Do ponto de vista teórico, a
regra de corte é um resultado importante, pois ela nos diz que é permitido utilizar lemas intermediários para finalizar a prova: se um subsistema representado por Γ exibe um
comportamento D e, assumindo D, nós sabemos que ∆ conclui C, então todo o sistema
conclui C.
Γ⇒D
∆, D ⇒ C
Γ, ∆ ⇒ C
Cut
Do ponto de vista computacional, é complicado possuir um procedimento automático
onde se utiliza a regra de corte: o computador teria que “adivinhar” o lema D para
continuar a prova.
A busca pela ordem das regras que se aplica para terminar a prova do sequente motivou
o surgimento do focusing (ANDREOLI, 1992). Nesse sentido, uma prova que utiliza focusing,
i.e., possui regras de forma que não se perca a demonstrabilidade, é uma prova focada 1 .
De fato, o sistema de prova focado na Lógica Linear é completo, i.e., qualquer prova em
Lógica Linear pode ser representada por uma prova focada.
Uma perspectiva futura de trabalho é estudar SELL em sistemas focados. De fato,
se utilizarmos focusing na especificação de sistemas bioquímicos, cada passo da derivação
1
do inglês, “focused”
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corresponde a um passo na reação bioquímica e temos o controle de cada iteração da reação
(OLARTE et al., 2016). Através de focusing é possível construir processos semi-automáticos
onde já existe lemas previamente demonstrados e assim temos provas automáticas. Podemos então no futuro também utilizar SELL para especificar outros sistemas.
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