aula 05set2013

Pesquisa Operacional
Solução Analítica do PPL
Profa. Alessandra Martins Coelho
setembro/2013
Solução Analítica
• Considere um sistema Ax = b de m equações
lineares e n variáveis, em que m < n.
• Se m = n e as equações são coerentes, o
sistema tem uma única solução.
• Se m > n, pelo menos m-n equações devem ser
redundantes.
• Se m < n e as equações forem coerentes, o
sistema terá um número infinito de soluções.
Solução Analítica
• Para encontrar uma solução para o sistema
Ax=b, em que m < n:
– escolher um conjunto de variáveis n – m de x
(variáveis não básicas – VNB), as quais são
atribuídas valores iguais a 0.
– As m variáveis restantes do sistema (variáveis
básicas – VB) são então determinadas.
• A solução encontrada é chamada solução
básica (SB).
• O conjunto de variáveis básicas é chamado
base.
Solução Analítica
• Se a solução básica atende as restrições de não
negatividade, a mesma é chamada solução básica
factível (SBF)
• Uma variável básica pode ser definida como aquela que
apresenta coeficiente 1 em apenas uma equação e 0
nas demais. Todas as variáveis restantes são não
básicas.
• Para o cálculo da solução ótima, calcula-se o valor da
função objetivo z de todas as possíveis soluções básicas
e escolher a melhor alternativa (se max ou min).
• O número máximo de soluções básicas a serem
calculadas é:
Solução Analítica
• Analisa todas as possíveis combinações
de n variáveis escolhidas m a m,
escolhendo a melhor delas;
• A resolução por um sistema de equações
lineares é viável em casos em que m e n
são pequenos.
Exemplo 1
Determinar todas as soluções básicas par
o sistema:
x1 + 2x2 + 3x3 = 28
3x1
-
x3 = 4
Solução:
variável não básica? n-m
variável básica? m
total de soluções básicas possíveis?
Exemplo 1
Solução 1
VNB= {x1} e VB={x2, x3}
x1=0
Calcula-se algebricamente x2 e x3
0 + 2x2 + 3x3 = 28
0
- x3 = 4
x2= 20 e x3 = -4
Exemplo 1
Solução 2
VNB= {x2} e VB={x1, x3}
x2=0
Calcula-se algebricamente x2 e x3
x1 + 0 + 3x3 = 28
3x1 - x3 = 4
x1= 4 e x3 = 8
Exemplo 1
Solução 3
VNB= {x3} e VB={x1, x2}
x3=0
Calcula-se algebricamente x2 e x3
x1 + 2x2 + 0 = 28
3x1
- 0=4
x1= 4/3 e x2 = 13,33
Exemplo 1
Determinar todas as soluções básicas
para o sistema:
x1 + 2x2 + 3x3 = 28
3x1
- x3 = 4
Solução:
n – m = 3 – 2 = 1 variável não básica e
m = 2 variáveis básicas
número total de soluções básicas possíveis = 3.
Exercício
• Resolver o PPL pelo forma analítica.
Max 3x1 +2x2
s. a:
x1 + x2 <= 6
5x1 + 2x2 <= 20
x1, x2 >=0