Lógica Formal-3

Lógica Formal
Matemática Discreta
Prof° Marcelo Maraschin de Souza
Exercícios
Use lógica proposicional para provar os seguintes
argumentos:
a) 𝐴 ∧ 𝐵 → 𝐶 → 𝐵 → 𝐴 ∧ 𝐶
b)
𝐴→ 𝐵∨𝐶
∧ 𝐵′ ∧ 𝐶 ′ → 𝐴′
c) 𝐴′ ∧ 𝐵 ∧ 𝐵 → 𝐴 ∨ 𝐶
→𝐶
Exercícios
Use lógica proposicional para provar que o argumento é válido, utilize as
letras sugeridas em cada argumento:
a)
Se o programa é eficiente, executa rapidamente; o programa é
eficiente ou tem algum bug. No entanto, o programa não executa
rapidamente. Logo, ele tem algum bug. E,R,B
b)
Se Jane é a mais popular, ela será eleita. Se Jane é a mais popular,
então Carlos vai renunciar. Portanto, se Jane é a mais popular, ela
será eleita e Carlor renunciará. J,E,C
Exercícios
c) Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. A faca não
estava na gaveta ou Jason Pritchard viu a faca. Se a faca não estava lá no
dia 10 de outubro, segue que Jason Pritchard não viu a faca. Além disso,
se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o
martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava
no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente.
Proposições:
A - Cliente inocente
B - Faca na gaveta
C - Jason viu a faca
D - Faca estava no dia 10 de outubro
E - Martelo estava no celeiro
Lógica de primeira ordem
Também chamada de lógica de predicados.
Considere:
“Para todo x, x>0”
Poderíamos considerar essa afirmação verdadeira para os
números inteiros positivos, mas não conseguimos fazer
isso apenas utilizando proposições, conectivos lógicos e
parênteses.
Quantificador Universal
“Para todo x, x>0”
• São frases do tipo: “para todo”, “para cada”, “para
algum”.
• É simbolizado por ∀
• Então a sentença dada de exemplo fica:
“(∀x)(x>0)”
Predicado
“Para todo x, x>0”
• A frase “x>0” descreve uma propriedade da variável x,
neste caso, ser positiva. Chamamos uma propriedade
de predicado.
• É simbolizado por 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑥 , …
• Então a sentença dada de exemplo fica:
“(∀x)(P(x))”
Conjunto Universo
“Para todo x, x>0”
• O conjunto universo é o domínio dos objetos no qual
estamos nos referindo.
• Neste exemplo, se o conjunto universo fosse os
números inteiros positivos, então o valor lógico da
sentença seria verdadeiro.
• Se o conjunto universo fosse qualquer número inteiro,
então o valor lógico da sentença seria falso.
Exemplo
Considere (∀x)(P(x))
• Conjunto universo: todos os livros da biblioteca.
• P(x): é um predicado de x ter capa vermelha.
• Qual é o valor lógico dessa expressão?
Exercício
Qual o valor lógico da expressão ( ∀ x)(P(x)) em cada
expressão a seguir:
A. P(x) é o predicado em que x é amarelo e o conjunto
universo é o conjunto de todas as flores.
B. P(x) é o predicado em que x é verde e o conjunto
universo é o conjunto de todos os tipos de grama.
C. P(x) é o predicado em que x é positivo ou negativo e o
conjunto universo é o conjunto de todos os números.
Quantificador Existencial
“Existe algum x, x>0”
• São frases do tipo: “existe”, “há pelo menos um”, “existe
algum”,...
• É simbolizado por ∋
• Então a sentença dada de exemplo fica:
(∋ x)(x>0) ou (∋ x)(P(x))
Quantificador Existencial
(∋ 𝐱)(P(x))
Considere o caso da biblioteca:
• Conjunto universo: todos os livros da biblioteca.
• P(x): é um predicado de x ter capa vermelha.
Neste caso, o valor lógico é verdadeiro se tiver pelo
menos um livro de capa vermelha.
Exercício
• Dê um conjunto verdade e o significado de P(x) para
que (∋ 𝑥)(P(x)) tenha valor lógico verdadeiro.
• Dê um conjunto verdade e o significado de P(x) para
que (∀x)(P(x)) tenha valor lógico verdadeiro.
Predicado Binário
Exemplo:
(∀𝑥)(∋ 𝑦)(Q(x,y)) : “para todo x existe um y tal que Q(x,y)”
Considere o conjunto universo consiste dos números
inteiros e Q(x,y) é o predicado x < y.
“Para todo número inteiro existe um inteiro maior”
Valor lógico?
Predicado Binário
Exemplo:
(∋ 𝑦)(∀𝑥)(Q(x,y)) : “existe um y, para todo x, tal que Q(x,y)”
Considere o conjunto universo consiste dos números
inteiros e Q(x,y) é o predicado x < y.
“Existe um inteiro y que é maior que qualquer outro inteiro”
Valor lógico?
Constantes
Exemplo:
(∀𝑥) (Q(x,a)) : “para todo x, Q(x,a)”
Considere o conjunto universo consiste dos números
inteiros e Q(x,a) é o predicado x < a.
Suponha a=7.
Valor lógico?
Fbf’s Predicadas
Exemplo:
• 𝑷 𝒙 ∨𝑸 𝒙
•
∀𝒙 [𝑷 𝒙 → 𝑸 𝒙 ]
•
∀𝒙 ( ∋ 𝒚 𝑷 𝒙, 𝒚 ∧ 𝑸 𝒙, 𝒚
→ 𝑹(𝒙))
Fbf’s Predicadas
Exemplo interpretativo:
∀𝑥 ∋ 𝑦 𝑃 𝑥, 𝑦 ∧ 𝑄 𝑦, 𝑎
•
O escopo de
∋𝑦
é 𝑃 𝑥, 𝑦 ∧ 𝑄 𝑦, 𝑎
e o escopo de
∀𝑥
é (∋
Fbf’s Predicadas
Tradução Correta
Exemplo: “Todo papagaio é feio”.
Pode interpretar: “Dada uma coisa, se é papagaio, então é feio”.
Denote os predicados:
Conjunto universo: mundo inteiro
P(x) é a frase “x é um papagaio”
Q(x) é a frase “x é feio”
Temos que:
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 → 𝑄(𝑥))
Fbf’s Predicadas
Tradução Incorreta
Exemplo: “Todo papagaio é feio”.
Denote os predicados:
Conjunto universos: mundo inteiro.
P(x) é a frase “x é um papagaio”
Q(x) é a frase “x é feio”
É incorreto:
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ^ 𝑄(𝑥))
Pois estaremos afirmando: “Todos no conjunto universo (mundo inteiro)
são papagaios feios”. (estaria correto só se o conjunto universo fosse
apenas os papagaios)
Fbf’s Predicadas
Tradução Correta
Exemplo: “Existe um papagaio feio”.
Pode interpretar: “Existe alguma coisa que é, ao mesmo tempo,
papagaio e feio”.
Denote os predicados:
Conjunto universo: mundo inteiro
P(x) é a frase “x é um papagaio”
Q(x) é a frase “x é feio”
Temos que:
(∋ 𝑥)(𝑃 𝑥 ^ 𝑄(𝑥))
Fbf’s Predicadas
Tradução Incorreta
Exemplo: “Existe um papagaio feio”.
Denote os predicados:
Conjunto universo: mundo inteiro
P(x) é a frase “x é um papagaio”
Q(x) é a frase “x é feio”
É incorreto:
(∋ 𝑥)(𝑃 𝑥 → 𝑄(𝑥))
Essa fbf seria verdadeira se P e Q fossem verdade (1) ou se P fosse
falsa(2). O caso 2 seria possível se não existisse papagaios no mundo.
Fbf’s Predicadas
Ideia!!!
Escrever as frases com os conectivos lógicos e quatificadores.
João ama apenas Maria.
Apenas João ama Maria.
Reescreva:
Se João ama alguma coisa, então essa coisa é Maria.
Se alguma coisa ama Maria, então essa coisa é João.
Exercícios
1) Determine o valor lógico de cada fbf. Considere o conjunto universo
todos números inteiros, I(x) significa “x é ímpar”, L(x) que “x < 0” e
“G(x)” que “x > 9”.
a)
b)
c)
d)
e)
∋ 𝑥 𝐼(𝑥)
∀𝑥 𝐼 𝑥
∀𝑥 [𝐿 𝑥 → 𝐼(𝑥)]
∋ 𝑥 [𝐿 𝑥 → 𝐼(𝑥)]
∋ 𝑥 𝐿 𝑥 ^𝐺 𝑥
Exercícios
2) Determine o valor lógico de cada fbf. Onde o conjunto universo são
todos estados do Brasil, Q(x,y) significa “x está ao norte de y”, P(x) que “x
começa com a letra M” e A simboliza “Santa Catarina”
a)
b)
c)
d)
∀𝑥 𝑃 𝑥
∋ 𝑦 ∋ 𝑥 𝑄(𝑦, 𝑥)
∀𝑥 ∋ 𝑦 𝑃 𝑦 ^ 𝑄 𝑥, 𝑦
∋ 𝑦 𝑄(𝐴, 𝑦)
Exercícios
3) Usando os símbolos predicados e quantificadores, escreva cada
declaração como uma fbf predicada. O conjunto universo é o mundo
inteiro.
D(x) é “x é um dia”
S(x) é “x é ensolarado”
C(x) é “x é chuvoso”
M é “segunda-feira”
T é “terça-feira”
a)
b)
c)
d)
Todos os dias são ensolarados.
Alguns dias não são chuvosos.
Todo dia ensolarado não é chuvoso.
Alguns dias são ensolarados e chuvosos.
Exercícios
D(x) é “x é um dia”
S(x) é “x é ensolarado”
C(x) é “x é chuvoso”
M é “segunda-feira”
T é “terça-feira”
e) Nenhum dia é, ao mesmo tempo, ensolarado e chuvoso.
f) É sempre um dia ensolarado só se for um dia chuvoso.
g) Nenhum dia é ensolarado
h) A segunda-feira foi ensolarada; portanto, todos os dias serão
ensolarados
i) Choveu na segunda-feira e na terça-feira