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É a sentença Gödel auto-referente? Ou do equívoco de Wittgenstein
Pedro Bravo de Souza, Ricardo Pereira Tassinari. Marília, Faculdade de Filosofia e Ciências,
Filosofia, [email protected], Bolsista PIBIC-Reitoria.
Palavras Chave: Filosofia das ciências formais; teorema da incompletude de Gödel; Ludwig Wittgenstein.
Introdução
É comum trabalhos que afirmam que os teoremas
da incompletude de Gödel geram consequências
longínquas de seu campo original de estudo. Nesse
contexto, muitas vezes são mal entendidos os
passos lógico-matemáticos de suas demonstrações.
Por exemplo, alega-se que o primeiro teorema - o
qual afirma a existência num sistema axiomático P,
com características específicas, de uma sentença φ
verdadeira tal que ela nem sua negação são
demonstráveis em P - implica, em particular, que a
bíblia é incompleta (FRANZÉN, 2005). É comum
ainda, mesmo entre os especialistas, se afirmar que
a sentença que prova o primeiro teorema é autoreferente.
Com efeito, uma das maneiras correntes de se
referir à sentença indecidível φ, é a formulação
seguinte: nomeia-se a sentença indecidível por Gt,
de forma que φ codifique o seguinte enunciado: “A
sentença Gt é ela mesma não demonstrável”. Ora, a
partir dessa formulação, poder-se-ia pensar que a
sentença Gt é simplesmente auto-referente e,
assim, criar-se-ia um paradoxo semelhante àquele
do mentiroso. Autores como Ludwig Wittgenstein
(1978, p. 119 - 120) a enxergaram de semelhante
modo. Seria essa análise correta?
Objetivos
Busca-se evidenciar a forma como a sentença
indecidível φ, graças à qual é possível o primeiro
teorema da incompletude de Gödel (1979), é autoreferente, assim como avaliar se ela é um paradoxo,
como proposto na interpretação de Wittgenstein.
Material e Métodos
Dado o cunho teórico-conceitual da presente
pesquisa, o material utilizado constitui-se de livros e
artigos que versam sobre os teoremas da
incompletude de Gödel. Por sua vez, para atingir o
objetivo específico acima proposto, faz-se
necessário comentar tanto a demonstração de
Gödel, quanto o fragmento de Wittgenstein
exclusivamente referente ao teorema. Entende-se
por comentário de um texto, amparando-se na
XXVII Congresso de Iniciação Científica
definição de Folscheid (2006), não somente a
atividade de explicá-lo - mostrar o que o autor
realmente disse -, mas sobretudo a atividade
segundo a qual procura-se elucidar o que
determinado autor disse de verdadeiro, daí ser
possível dizer que a leitura de Wittgenstein, por
exemplo, é uma leitura equivocada.
Resultados e Discussão
Através da análise da demonstração do primeiro
teorema de Gödel, e de distinções a respeito dos
níveis das sentenças utilizadas no teorema (LACEY
& JOSEPH, 1968), mostra-se que a sentença
indecidível φ é uma sentença que fala sobre si, não
diretamente na linguagem do próprio sistema formal
em que φ está, mas, indiretamente, na
metalinguagem, através de regras de susbstituição
e pelo argumento da diagonalização. Portanto, um
paradoxo não é criado, como sugere a leitura de
Wittgenstein.
Conclusões
Além dos resultados descritos logo anteriormente,
no presente trabalho mostrar-se-á que as
passagens nas quais Wittgenstein aborda o primeiro
teorema da incompletude de Gödel não são
totalmente equivocadas. Há outros elementos e
questões consistentes propostos pelo autor. Porém,
em relação à sentença indecidível φ precisamente,
há um equívoco como se intenta evidenciar.
Agradecimentos
Ao Prof. Dr. Ricardo Pereira Tassinari pela
orientação paciente e atenta. Ao CNPq pela
concessão da bolsa.
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GODEL, Kurt. Acerca de proposições formalmente indecidíveis nos
Principia Mathematica e sistemas relacionados. In: LOURENÇO,
Manuel. O teorema de Gödel e a hipótese do contínuo. Lisboa:
Fundação Kalouste Gulbenkian, 1979. p. 245-290.
FOLSCHEID, Dominique. Metodologia filosófica. Tradução de Paulo
Neves. 3ª ed. São Paulo: Martins Fontes, 2006.
FRANZÉN, Torkel. Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use
and Abuse. Natick: A. K. Peters, 2005.
WITTGENSTEIN, Ludwig. Remarks on the Foundations of
Mathematics. Translated by G.E.M. Anscombe. 3ª ed. Oxford: Basil
Blackwell, 1978.
LACEY, Hugh & GEOFFREY, Joseph. What the Gödel Formula says.
Mind, Oxford, v. 77, p.77 - 83, 1968.