Sistemas de Numeração

Sistemas de Numeração
Denomina-se sistema de numeração o conjunto de regras que nos
permite escrever e ler qualquer número, utilizando para isto símbolos básicos.
Os símbolos que utilizamos (os algarismos de 0 a 9) são apenas convenções
para serem utilizadas em sistemas numéricos, sendo que poderiam ser
utilizados letras, símbolos geométricos ou qualquer outra simbologia.
A quantidade de símbolos necessários para representar números em um
sistema de numeração é igual ao valor da base deste sistema.
Notação Posicional -> Dado um número, seu valor é calculado de acordo
com a base do sistema e a posição que cada algarismo ocupa com sua potência
correspondente.
Um número no sistema de base decimal pode ser decomposto em uma
soma de potências de base 10. E assim para cada sistema de numeração, com
sua base correspondente.
Ex.: 1998
diferença de valor.
9198 => A
posição
dos
algarismos
determina
a
Processo de Soma de Potências (de 10 – Base decimal)
11000 9100 910
1
9
9
81
8
1000+900+90+8 = 1998
91000 1100 910
9
1
9
81
8
9000+100+90+8 = 9198
Sistema decimal => relacionado a dez dedos, únicas “ferramentas” para
auxílio em cálculos, até a invenção do ábaco.
Não precisamos fazer cálculos com as potências relacionadas a cada
algarismo toda vez que lemos um número decimal simplesmente porque o
sistema decimal é o sistema naturalmente compreendido pelo ser humano,
utilizado no nosso dia-a-dia. Porém, sempre que lemos um número estamos
utilizando a notação posicional inconscientemente.
234
2100 310
2
3
41
4
200+30+4 = 234
Principais Sistemas de Numeração:
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Binário
0
1
Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
O Sistema Decimal, como já citado é importante para o ser humano por
ser o sistema utilizado naturalmente no seu dia-a-dia. Porém, o computador se
utiliza de outros sistemas de numeração.
Sistema Binário
Utilizado por sua fácil representação eletrônica. Possui apenas dois
símbolos (0 ou 1), que podem ser facilmente relacionados aos estados de
“aberto” e “fechado” dos transistores do computador, ou “com corrente” e “sem
corrente”. Comentário: Não há como utilizarmos no computador o sistema
decimal, que seria mais facilmente compreendido, pelo fato de não podermos
representar eletronicamente dez estados diferentes.
Para não haver confusão entre os sistemas, já que os símbolos são
basicamente os mesmos, usa-se um índice que indica a que sistema o número
pertence. A ausência do índice indica o Sistema Decimal.
210
32
48
Dois na base dez
Três na base dois
Quatro na base oito
(Sistema decimal)
(Sistema binário)
(Sistema octal)
Os Sistemas Octal e Hexadecimal também são amplamente utilizados em
Informática devido a sua fácil relação com o sistema binário.
A conversão de números em Sistema Decimal para o Sistema Binário
pode ser feita através do mecanismo de divisões sucessivas ou levando-se em
conta as potências referentes a cada posição, e relacionando-as com 1s e 0s
conforme o número a ser representado.
Exemplos:
Conversão de Decimal para Binário
Converter 10
Divisões sucessivas por dois:
10
0
2
5
1
2
2
0
2
1
1
2
0
Resultado obtido: 10102
Processo: divide-se por 2 com quociente inteiro, sucessivamente até que o
quociente seja igual a 0. Os restos da divisão, de trás para frente, formam o
binário.
Notação posicional
28
0
27
0
26
0
25
0
24
0
23
1
22
0
Resultado obtido: 10102
21
1
20
0
Processo: Utilizar as potências de 2 (2º = 1, 21 = 2, 22 = 4, etc.) para converter
o número. Lembrar de trabalhar com as casas da esquerda para a direita,
preenchendo com 1 as mais próximas ao número decimal e com 0 as que
extrapolarem o valor necessário para se atingir o número decimal. Mostrar que
os valores de cada casa são os valores das potências.
Converter 107
Divisões sucessivas por dois:
107 2
1
53
1
2
26
0
2
13
1
2
6
0
2
3
1
2
1
1
2
0
Resultado obtido através deste processo: 11010112
Notação posicional
28
0
27
0
26
1
25
1
24
0
23
1
22
0
21
1
20
1
Resultado obtido: 11010112
Conversão de Binário para Decimal
Converter 1010
28
0
27
0
26
0
25
0
24
0
23
1
22
0
21
1
20
0
27
0
26
1
25
1
24
0
23
1
22
0
21
1
20
1
23 + 21 = 8 + 2 = 10
Converter 1101011
28
0
26 + 25 + 23 + 21 + 20 = 64 + 32 + 8 + 2 + 1
Processo: Somar o valor correspondente as casas com 1 e ignorar o valor das
casas com 0.
Sistema Octal
- Cada dígito em octal equivale a três dígitos binários. Pode, portanto ser
facilmente utilizado para endereçamento ou sistemas que trabalhem com
apenas três dígitos.
- Fácil conversão para o binário e vice-versa.
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
Binário
000
001
010
011
100
101
110
111
Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
A conversão do sistema octal para qualquer outra base deve ser feita
através do sistema binário, ou seja, o número em base octal é transformado em
binário e em seguida para a base desejada.
A conversão é feita levando-se em conta que cada dígito octal
corresponde a 3 dígitos binários. Portanto, a conversão é feita sobre cada
algarismo para seu correspondente binário, a concatenação dos algarismos
binários resulta no número binário correspondente.
Exemplo:
Converter 10 em base decimal para base octal
Sabe-se que o número 10 em decimal transformado para base binária é igual a:
1010.
1010
Da direita para a esquerda pega-se os três primeiros algarismos (010)
transforma-se estes 3 algarismos no seu correspondente na base decimal. No
exemplo acima 010 corresponde ao elemento 2. Pega-se os próximos 3
elementos, neste exemplo temos apenas 1 elemento. Transformando este
número 1 para base decimal temos 1. O octal é a concatenação dos resultados
obtidos: 12.
20
1
1
22
0
21
1
2
20
0
Converter 107 em base decimal para base octal
Sabe-se que o número 107 em decimal transformado para base binária é igual
a: 1101011.
20
1
1
22
1
21
0
5
20
1
22
0
21
1
20
1
3
Sistema Hexadecimal
- Cada dígito em hexadecimal equivale a quatro dígitos binários. É
utilizado para endereçamento de portas, endereçamento interno, etc.
- Também é facilmente convertido para binário.
- Utiliza letras como símbolos adicionais.
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Binário
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
A conversão do sistema hexadecimal para qualquer outra base deve ser
feita através do sistema binário, ou seja, o número em base hexadecimal é
transformado em binário e em seguida para a base desejada.
A conversão é feita levando-se em conta que cada dígito hexadecimal
corresponde a 3 dígitos binários. Portanto, a conversão é feita sobre cada
algarismo para seu correspondente binário, a concatenação dos algarismos
binários resulta no número binário correspondente.
Exemplos:
Converter 10 em base decimal para base hexadecimal
Vide Tabela
Converter 107 em base decimal para base hexadecimal
Sabe-se que o número 107 em decimal transformado para base binária é igual
a: 1101011.
22
1
21
1
6
20
0
23
1
22
0
21
1
B
20
1
Representação de Números menores que 1 (fracionários)
A representação de números com casas decimais é feita levando-se em
conta, ainda, a Notação Posicional e sua sequência de potências. Os algarismos
a direita da vírgula correspondem as potências da base com expoentes
negativos, já que o primeiro número a esquerda da vírgula representa a base
elevada a expoente 0. Exemplo:
1 4
5 , 1 6
2
1
10 10 100 10-110-2
O valor representado pelos algarismos é correspondente a posição que
ele ocupa. Se o algarismo está na posição relacionada a 10-1 ele representa o
seu valor multiplicado por 0,1, se está na posição relacionada a 10 -2 ele
representa o seu valor multiplicado por 0,01, e assim por diante.
Para a representação no sistema binário, usa-se o mesmo sistema, com
base 2.
A conversão da parte fracionária de números decimais para o sistema
binário pode ser feita de forma natural, ou seja, pela soma do valor obtido para
cada casa pela Notação Posicional. Outro método de conversão é através do
seguinte processo:
Multiplica-se o número a ser convertido pela base equivalente (2), do
resultado obtido, extrai-se a parte inteira, que será sempre 0 ou 1, e o restante
(a direita da vírgula) é utilizado sucessivamente para calcular os outros dígitos.
O processo se encerra quando a parte fracionária é zero ou quando é atingido
um número razoável de casas decimais.
Exemplo: 10,9310
Parte inteira  1010 = 10102
Parte fracionária  0,9310
2 x 0,93
2 x 0,86
2 x 0,72
2 x 0,44
2 x 0,88
=
=
=
=
=
1,86
1,72
1,44
0,88
1,76
Portanto 10,9310 = 1010,111012 com 5 casas decimais.
A conversão de números fracionários binários para decimais deve ser
feita seguindo o mesmo princípio usado para conversão de números inteiros.
Representação de Números
Um computador típico pode ser imaginado como tendo um grande
número de lugares nos quais uma sequência de bits (Dígitos 0 ou 1) pode ser
armazenada. Tais sequências são de comprimento fixo denominado
comprimento da palavra do computador.
Uma cadeia de 0’s e 1’s pode ser interpretada de diversas maneiras.
Inicialmente a interpretamos como um inteiro binário. Deve, portanto, existir
um método para indicar o sinal do número.
A forma encontrada é utilizar o bit mais significativo (mais à esquerda)
para representá-los. Computadores com palavras de 8 bits, usam o bit 7 como
bit de sinal e os 7 bits restantes para representar a amplitude.
Serão discutidos três métodos de tratamento do sinal. Cada um deles
constitui uma variante da chamada representação em ponto fixo.
O termo ponto fixo refere-se ao fato de que o ponto decimal pode ser
encarado como tendo uma posição fixa na palavra do computador. Se esta
posição for na extrema direita, os números serão inteiros positivos ou
negativos.
As três representações são:
1) Sinal e Amplitude: o bit mais à esquerda é o bit de sinal;
normalmente, 0 indica positivo e 1 indica negativo. Os demais bits são
chamados de amplitude.
Exemplo: Consideremos um computador com palavra de comprimento de
6 bits.
Assim,
+ 1310 é representado por 001101
- 1310 é representado por 101101
O zero é representado por 000000 e 100000 mas todos os demais
números entre –31 (111111) e + 31 (011111) têm uma representação única.
2) Complemento 1: Nesta notação, números não negativos são
representados da mesma maneira que nos dois métodos anteriores.
O zero tem duas representações (000000 e 111111).
Os números são representados seguindo ainda o mesmo princípio até
aqui visto. Os positivos inteiros são representados normalmente, com um 0 à
esquerda. Os negativos são formados através da complementação de cada bit
(inversão).
3) Complemento 2: O bit a esquerda continua sendo usado como bit de
sinal. Os números positivos continuam sendo representados da mesma
maneira. Porém, os negativos serão representados através do seguinte
algoritmo:
a) Listar o número decimal sem sinal.
b) Converter o decimal em binário, utilizando um número pré-definido de
bits. Se não houver limite de bits, acrescentar um 0 a esquerda como bit de
sinal.
c) Complementar cada bit formando o complemento 1.
d) Somar 1 ao número Complemento 1.
Exemplo: -9 com 8 bits
1) 9
2) 00001001
3) 11110110
4) 11110111 = -9
Para convertermos um número Complemento 2 para decimal, deve ser
feito o mesmo processo: escrever o número Complemento 2, complementar
cada bit e somar 1 ao resultado.
Exemplo: 111100002 (Complemento 2)
1) Escrever o Comp. 2 = 11110000
2) Complementar cada bit =
00001111
3) Somar +1 =
00010000
Resultado =
16
Resumo – Exemplo utilizando 4 bits
Sinal e Amplitude  2 representações para o zero: 0000 e 1000
-7 (1111) até + 7 (0111)
Complemento 1  2 representações para o zero: 0000 e 1111
-7 (1000) até +7 (0111)
Complemento 2  1 representação para o zero: 0000
-8 (1000) até +7 (0111)
Operações com Binários
A principal operação realizada internamente pelo computador com
números binários é a adição. A adição com números binários é feita da mesma
forma que fazemos com qualquer sistema de numeração, levando-se em conta
que o sistema binário é formado por apenas 2 símbolos (0 e 1). As
combinações possíveis destes símbolos para a execução da adição são:
0+0=0
0 + 1 ou 1 + 0 = 1
1 + 1 = 10, neste caso, durante a adição será usado o “vai um”, que
pode gerar overflow.
Passar uma conta de exemplo. Explicar a soma de três
números 1’s. Explicar o overflow.
Exemplo:
As demais operações são feitas baseadas na adição, devido a
complexidade necessária para implementar outras operações em particular. A
subtração é feita através da soma com o número negativo (p. ex.: 10 - 20 = 10
+ (-20)). A multiplicação é feita pela repetição de somas, ssim como a divisão
se utiliza de outras operações para chegar ao seu resultado.