ES-013 Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de

ES-013
Exemplo de um Projeto Completo de um
Edifício de Concreto Armado
São Paulo
agosto - 2001
4 – Pilares de Edifícios
4.1 Introdução
As funções dos pilares são as de conduzir as cargas verticais dos pavimentos para as
fundações, donde decorre seu comportamento primário de barra comprimida, e de
fornecer estabilidade ao edifício quanto aos esforços horizontais (vento e terremotos). Os
pilares podem ser dimensionados para fornecer estabilidade às estruturas isoladamente
(pilares de grande rigidez, como os das caixas de escada e elevadores) ou participando
de pórticos de contraventamento (associação de pilares e vigas).
Neste capítulo apresentaremos um procedimento para o cálculo de pilares de edifícios
baseado no texto do projeto de revisão da NBR6118 publicado em agosto de 2001, que
doravante chamaremos de NB1/2001.
Neste capítulo, em muitas ocasiões, apresentaremos apenas os dispositivos da NB1/2001
necessários para o entendimento e dimensionamento do edifício exemplo, permanecendo
como referência básica o texto da NB1/2001.
4.2 Análise Local e Global
A NB1/2001 define dois níveis de análise para os pilares:
global e;
local.
Deve ser realizada a análise global, considerando o carregamento proveniente do vento,
desaprumo e efeitos de 2a ordem globais para todos os elementos responsáveis pelo
contraventamento do edifício, ou seja, os elementos responsáveis pela resistência aos
esforços horizontais atuantes.
Todos os elementos, considerados isolados (trechos do pilar entre os pisos do edifício)
devem ser verificados localmente, considerando os momentos iniciais aplicados em suas
extremidades, momentos devidos à excentricidade acidental local e quando necessário,
efeitos localizados de 2a ordem.
4.3 Cargas e Ações Consideradas
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fl. 2
Considerando o arranjo tradicional, com lajes apoiando-se em vigas que por sua vez se
apóiam em pilares, temos que os esforços atuantes em uma determinada seção do pilar
decorrem do momento fletor introduzido pelas vigas, das cargas verticais que se somam a
cada pavimento e dos esforços transversais provenientes da ação do vento e da
consideração do desaprumo global da estrutura, além dos efeitos globais e locais de 2a
ordem.
4.3.1
Cargas Verticais
As cargas verticais são determinadas segundo o procedimento apresentado no capítulo 1,
utilizando os valores de carga prescritos pela NBR6120/1980 – Cargas para o Cálculo de
Estruturas de Edificações.
4.3.2
Ação do Vento
A consideração do efeito do vento nas edificações é obrigatória segundo a NB1/2001.
Este efeito deve ser determinado de acordo com o prescrito pela NBR6123/1988 – Forças
Devidas ao Vento em Edificações, permitindo-se o emprego de regras simplificadas
previstas em normas brasileiras específicas (NB1/2001 11.4.1.2). O procedimento
simplificado para a obtenção do carregamento de vento segundo a NBR6123 é
apresentado no capítulo 1.
4.3.3
Imperfeições Geométricas Globais
Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser
considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 4-1
(NB1/2001).
l
θa
n prumadas de pilares
Figura 4-1– Consideração das imperfeições geométricas globais (NB1/2001)
Aonde:
θ1 =
1
( 4.1 )
100 l
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fl. 3
θa = θ1
1 + 1n
2
( 4.2 )
tal que,
l
é a altura da estrutura em metros;
n
é o número total de elementos verticais contínuos.
 1
para estruturas de nós fixos;

θ1min =  400
1
para estruturas de nós móveis e imperfeições locais.

 300
1
θ1máx =
200
( 4.3 )
Ainda segundo a NB1/2001, o desaprumo mínimo (θ1mín) não deve necessariamente ser
superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser
considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido como o que provoca o
maior momento total na base da construção.
Deve-se ainda considerar o efeito de imperfeições locais (entre pisos). Tal procedimento
será discutido quando da modelagem dos pilares isolados.
4.3.4
Efeitos de 2a Ordem
Na análise estrutural de estruturas de nós móveis devem ser obrigatoriamente
considerados os efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física e,
portanto, no dimensionamento, devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos
globais e locais de 2ª ordem.
Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, consiste
na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração adicional
dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γz. Esse
processo só é válido para γz ≤ 1,3 (NB1/2001). Acima deste limite, devemos utilizar
métodos mais exatos para a determinação dos esforços, como a análise não-linear física
e geométrica utilizando programas de elementos finitos, ou para casos mais simples, o
processo P-∆.
A análise global de 2ª ordem em geral fornece apenas os esforços nas extremidades das
barras. Desta forma, quando não tivermos os esforços de 2a ordem no meio dos pilares,
provenientes da análise global, devemos realizar uma análise dos efeitos locais de 2ª
ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de acordo com o prescrito no item
15.8 da NB1/2001.
Quando realizarmos uma análise global com discretização conveniente das vigas e
pilares, utilizando uma formulação para os elementos que leve em consideração a nãolinearidade física e geométrica, podemos considerar que os efeitos de 2a ordem já são
automaticamente captados pelos elementos.
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fl. 4
4.4 Combinações de Carregamento (ELU)
O valor de cálculo das ações para a combinação última, Fd, é determinado por (NB1/2001
11.8.2):
Fd = γ gFgk + γ εgFεgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk ) + γ εq ψ 0 εFεqk
( 4.4 )
ou, mais especificamente para as ações presentes neste edifício exemplo:
Fd = γ gFgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )
( 4.5 )
Tomando os coeficientes de ponderação das ações no estado limite último (ELU)
(NB1/2001 11.7.1), temos as seguintes combinações de cálculo para o edifício exemplo:
Tabela 4-1 – Combinações de carregamento para o cálculo dos pilares do edifício exemplo para cada
direção
Combinação
1
Descrição
Carga acidental vertical como Fd
ação principal. Vento (+).
2
Carregamento de vento como Fd
ação principal. Vento (+).
3
Carga acidental vertical como Fd
ação principal. Vento (–).
4
Carregamento de vento como Fd
ação principal. Vento (–).
= γ g Fgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )
= 1,4 Fgk + 1,4(Fq,vertical + 0,6 Fq,vento )
= γ g Fgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )
= 1,4 Fgk + 1,4(Fq,vento + 0,5 Fq,vertical )
= γ g Fgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )
= 1,4 Fgk + 1,4(Fq,vertical + 0,6 Fq,vento )
= γ g Fgk + γ q (Fq1k + ∑ ψ 0 jFqjk )
= 1,4 Fgk + 1,4(Fq,vento + 0,5 Fq,vertical )
Desta forma, a rigor, para o edifício exemplo, teríamos 8 combinações de carregamento, o
que obviamente torna o cálculo manual muito extenso. Com o objetivo de manter a
simplicidade, utilizaremos o dispositivo apresentado no livro de comentários da NB1/2001,
que permite a substituição das combinações de carregamento acima por apenas uma em
cada direção, se o edifício apresentar γ z ≤ 1,1 (a definição de γz é apresentada no capítulo
1).
Tabela 4-2 – Combinação de carregamento para o cálculo dos pilares do edifício exemplo para cada
direção (processo simplificado ( γ z ≤ 1,1) )
Combinação
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fl. 5
1
Fd
= γ g (Fgk + Fqk + 0,8 ⋅ Fq, vento )
= 1,4 (Fgk + Fqk + 0,8 ⋅ Fq, vento )
Para paredes estruturais com espessura inferior a 19cm e não interior a 12cm, e para os
pilares com dimensão interior a 19cm, as ações Fd devem ser majoradas pelo coeficiente
de ajustamento γn (NB1/2001 13.2.3). Esta correção se deve ao aumento da probabilidade
de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção.
b
≥ 19cm
12 ≤ b ≤ 19cm
γn
1,0
2,73 − 0,07b
γn =
1,4
( 4.6 )
4.5 Definições
4.5.1
Esbeltez
As simplificações possíveis (tanto do seu comportamento, como do método de
modelagem) de serem adotadas no projeto dos pilares isolados estão diretamente
relacionadas com o índice de esbeltez λ do pilar.
le
i
Ic
i=
Ac
λ=
( 4.7 )
( 4.8 )
onde
le = comprimento de flambagem
i
= raio de giração da seção geométrica da peça (seção de concreto não
se considerando a presença da armadura)
= momento de inércia da seção transversal do pilar em relação ao eixo
Ic
principal de inércia na direção considerada
Ac = área da seção transversal do pilar
Nas estruturas de edifícios consideradas indeslocáveis, o comprimento de flambagem le
dos pilares é determinado conforme a Figura 4-2 e a equação ( 4.9 ). Nas estruturas de
nós móveis, rigorosamente o comprimento de flambagem é medido entre pontos de
inflexão da configuração deformada do pilar. Entretanto, uma boa aproximação é
considerar o mesmo critério adotado para os pilares de estruturas indeslocáveis.
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fl. 6
0
h
Figura 4-2 – Determinação do comprimento de flambagem nos casos usuais de estruturas de
edifícios
O comprimento equivalente le do elemento comprimido suposto simplesmente apoiado
em ambas extremidades é o menor dos seguintes valores:
l + h
le ≤  0
l
( 4.9 )
Na próxima figura apresentamos o comprimento de flambagem para outras condições de
vinculação e na Figura 4-4 a situação real e a de projeto.
le = l
le = 0,5l
le = 2/3 l
Figura 4-3 – Comprimentos de Flambagem
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fl. 7
Figura 4-4 – Situação de Cálculo x Situação de Projeto
4.5.2
Excentricidade
Em algumas ocasiões é conveniente saber transformar os momentos fletores aplicados a
excentricidades equivalentes:
Figura 4-5 – Equivalência entre os pares N-M e N-e
Utilizando a convenção da Figura 4-5, temos:
Mx = N ⋅ e x
( 4.10 )
My = N ⋅ e y
4.6 Classificação dos Pilares
4.6.1
Introdução
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fl. 8
Tradicionalmente temos a classificação dos pilares baseada em sua esbeltez, em sua
posição relativa no pavimento e quanto ao fato dele pertencer ao sistema de
contraventamento do edifício. Entretanto, sabemos que tais classificações tem apenas o
objetivo de permitir o cálculo mais simplificado para alguns tipos de pilares, pois se
adotarmos a modelagem global da estrutura, todos os pilares podem ser tratados da
mesma forma.
4.6.2
Classificação quanto à Resistência dos Esforços Transversais
Os pilares de um edifício podem pertencer ou não ao seu sistema de contraventamento,
responsável por resistir aos esforços transversais. Desta forma, temos:
Pilares de Contraventamento: são responsáveis pela estabilidade global da
estrutura e devem ser dimensionados para resistir aos esforços globais de vento,
desaprumo, etc. e aos esforços provenientes da análise local (esforços introduzidos
pelas vigas dos pavimentos, momentos de 2a ordem localizados).
Pilares Contraventados: são contraventados pelos primeiros. É necessário apenas
efetuar sua análise local.
Percebe-se que o procedimento de dimensionamento é o mesmo, mudando apenas os
esforços para dimensionamento.
4.6.3
Classificação quanto a sua Posição no Pavimento
Quanto a sua localização no pavimento, os pilares são usualmente classificados em:
Pilares Centrados
Pilares de Extremidade
Pilares de Canto
O objetivo principal desta classificação é simplificar o procedimento de cálculo, excluindo
as excentricidades iniciais nas duas direções para os pilares centrados e a excentricidade
inicial numa direção para os pilares de extremidade.
Sob o nosso ponto de vista, tais simplificações são muito grosseiras e podem
desconsiderar excentricidades iniciais importantes. Por exemplo, um pilar centrado pode
apresentar excentricidades iniciais importantes decorrentes de vãos desiguais de vigas,
carregamentos de lajes e vigas muito diferentes, vinculação excêntrica de viga ao pilar,
que podem ser esquecidas.
Desta forma, adotaremos o procedimento de determinar os momentos iniciais nas
direções principais para todos os pilares e sempre dimensionar os pilares à flexão normal
oblíqua.
4.6.4
Classificação quanto a sua Esbeltez
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fl. 9
Tradicionalmente, os pilares são classificados, quanto a sua esbeltez em:
Pilares Curtos
Pilares Medianamente Esbeltos
Pilares Esbeltos
Pilares muito Esbeltos
Esta classificação é realizada para que possamos simplificar o tratamento dos pilares.
Conforme o pilar se torna mais esbelto, os efeitos de 2a ordem e decorrentes da fluência
tornam-se mais importantes e desta maneira, passamos a utilizar modelos menos
simplificados e mais confiáveis. A NB1/2001 introduziu várias mudanças na avaliação da
esbeltez dos pilares que conseqüentemente altera os limites que separam os tipos de
pilares, além de novos métodos para a avaliação dos efeitos de 2a ordem e da fluência.
Um resumo sobre estas mudanças pode ser visto no tópico 4.9.
4.7 Dimensionamento à Flexão Normal Composta
4.7.1
Processo Geral
a) Definição
M
G
N
Plano de Simetria e
Plano de Solicitação
b) Construção de Curvas de Interação(Mu, Nu)
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fl. 10
εc
σc
σsi.Asi
Nc
x
G
L
ac
as
N
Ns
εs
Concreto
Aço
Dados: Seção, armaduras, materiais(fck,fyk)
Escolhe-se x →
Domínios de ELU sai a deformação correspondente → Com as
deformações entra-se no diagrama dos materiais para retirar as
tensões no aço e no concreto.
Nc → Resultante de tensões no concreto
ac → Dstância da resultante de tensões no concreto ao C.G. da seção transversal
Ns → Resultante das forças nas barras de aço
as → Distância da resultante das forças no aço ao C.G. da seção transversal
Domínios do Estado Limite Último
“Lugar Geométrico” das Deformações Últimas
Deduz-se:
Nu = Nc + Ns
Mu = Ncac + Nsas
Nu e Mu formam um par de valores que levam a peça ao E.L.U
Portanto:
Correspondência Biunívoca x ↔ (Nu,Mu)
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fl. 11
Variando x obtém-se pares (Nu,Mu)
c) Aspecto Geral das Curvas de Interação
Nu
A
Compressão
As dado
B
C
D
Mu
Tração
Pontos Característicos
A → Compressão Simples
B → Máximo Mu
C → Flexão Simples
D → Tração Simples
Trecho AC → Flexo-Compressão
Trecho CD → Flexo-Tração
d) Verificação da segurança da peça, dada a armadura, para os esforços Nd e Md
Nu
Nu
Md
Segurança
Deficiente
Boa
Segurança
Md
As dado
Nd
As dado
Nd
Mu
Mu
Marca-se no gráfico o ponto(Nd , Md)
Se o ponto é interno à curva → Segurança Boa
Se o ponto é externo à curva → Segurança deficiente
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fl. 12
Ábacos de Interação para Dimensionamento
Escolhidos seção transversal e disposição da armadura e categoria do aço
Curvas interação, função de variáveis adimensionais do tipo:
Nd
A c .fcd
Md
µ=
A c .fcd .h
A
ρ = s (taxa geométrica de armadura)
Ac
A s .f yd
ω=
(taxa mecânica de armadura)
A c .fcd
ν=
υ
ω
ω
=1
Retira-se o ω
desejado
=0
υ
µ
4.7.2
µ
Processo Simplificado
Nas situações de cálculo de flexão composta normal de seções retangulares ou circulares
com armadura simétrica em que a força normal reduzida (ν) for maior ou igual a 0,7,
permite-se a transformação deste caso de dimensionamento em um de compressão
centrada equivalente (NB1/2001). Tal processo é conveniente para a estimativa da
armadura, que posteriormente será verificada por métodos mais rigorosos.
ν ≥ 0,7
e

NSd,eq = NSd,real 1 + β 
h

MSd,eq = 0
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(4.11)
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fl. 13
onde
ν=
NSd
,
A c ⋅ fcd
MSd,real
e
=
h NSd,real ⋅ h
e
β=
1
(0,39 + 0,01⋅ α ) − 0,8 ⋅ d´
h
e
α=−
1
αs
α = αs
α=6
α = −4
se
αs < 1
se
αs ≥ 1
se
αs > 6
para seções circulares
considerando α s =
A s,sup erior = A s,inf erior
A s,lateral 2
, conforme a figura abaixo:
Figura 4-6 – Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αs
4.7.3
Ábacos Adimensionais para Dimensionamento
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fl. 14
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fl. 19
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fl. 20
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fl. 21
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fl. 22
4.8 Dimensionamento à Flexão Oblíqua
4.8.1
Processo Geral
Superfície de Interação ( Para um dado As)
Figura 4-7 – Diagrama de Interação
4.8.2
Processo Simplificado
A NB1/2001 permite o cálculo simplificado e aproximado, nas situações de flexão simples
ou composta oblíqua, pela expressão de interação:
α
α
 MRd,y 
 MRd,x 
 =1

 +
M
M

 Rd,xx 
 Rd,yy 
( 4.12 )
onde:
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fl. 23
MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão
oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da
seção bruta, com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal
solicitante NSd. Estes são os valores que se deseja obter;
MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos
referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd.
Estes valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de
armadura em estudo;
α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da
força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas
porcentagens. Em geral pode ser adotado α = 1,0 a favor da segurança. No
caso de seções retangulares poder-se adotar α = 1,2.
Os momentos MRdxx e MRdyy são extraídos dos diagramas de interação para a flexão
normal nas direções x e y da seção. O diagrama de interação é construído arbitrando-se
valores para MRdx e determinando o momento:
α
MRd,y
M

= α 1 −  Rd,x  ⋅ MRd,yy
 MRd,xx 
( 4.13 )
Figura 4-8 – Aproximação dos diagramas de interação para a flexão oblíqua
Observação:
Horowitz apresenta uma expressão para a melhor avaliação de α:
 N
α = 0,5 + b Sd
 NRd,máx
4.8.3




1,50 p / CA 50B
b=
1,60 p / CA 50 A
( 4.14 )
Ábacos Adimensionais para Dimensionamento
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fl. 24
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fl. 25
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fl. 26
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fl. 27
4.9 Pilares Contraventados (Cálculo dos Pilares Isolados)
4.9.1
Introdução
A próxima figura mostra os critérios para a modelagem dos pilares isolados em função de
seu índice de esbeltez.
0
λ1
90
200
140
a
Consideração dos efeitos de 2 ordem
Consideração da Fluência
Método Geral
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Método do Pilar Padrão com rigidez Κ aproximada
Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r
Figura 4-9 – Critérios para a modelagem dos pilares isolados conforme o índice de esbeltez
As duas primeiras barras indicam o intervalo onde há obrigatoriamente a necessidade da
consideração dos efeitos de 2ª ordem e de fluência e nas quatro barras seguintes o
intervalo de validade de cada método de solução recomendado pela NB1/2001. Devemos
ainda complementar que o valor λ1 é um valor que determina o início da consideração dos
efeitos de 2ª ordem e será discutido com mais detalhe no tópico 4.9.2 e que não são
permitidos pilares usuais com índice de esbeltez maior que 200.
4.9.2
Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2ª Ordem
A NB1/2001 estabelece novos critérios para a dispensa dos efeitos de 2ª ordem. Ela
estabelece que os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser
desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 (ao invés do
valor fixo de 40 utilizado anteriormente).
O valor de λ 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são:
a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h;
a vinculação dos extremos da coluna isolada;
a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem.
Desta forma, são estabelecidas expressões que visam levar em conta a influência de
cada um dos fatores citados acima. Assim sendo, o valor de λ1 é calculado pela
expressão:
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fl. 28
(25 + 12,5 e1/h)
λ1 =
αb
≤ 90

 35
≥ α
b

( 4.15 )
O parâmetro αb é determinado em função da vinculação dos extremos da coluna e da
forma do diagrama de momentos de 1ª ordem:
a) Para pilares biapoiados
MB
≥ 0,40 para pilares biapoiados sem cargas transversais
MA
αb = 1,0 para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo
da altura.
Sendo,
MA e MB os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, tomando-se para MA
o maior valor absoluto ao longo do pilar e adotando para MB o sinal positivo se
tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário.
α b = 0,60 + 0,40
( 4.16 )
b) Para em pilares em balanço
α b = 0,80 + 0,20
MC
≥ 0,85
MA
( 4.17 )
Sendo,
MA
o momento de 1ª ordem no engaste, e
MC
o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço.
c) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento
mínimo
Deve-se tomar αb = 1 se o maior momento ao longo da coluna for menor que o momento
mínimo definido em (4.19).
4.9.3
Solicitações Iniciais
A solicitação inicial é composta pela força normal de cálculo (Nd) no elemento e pelos
momentos iniciais de cálculo (M1d,A e M1,B) aplicados às extremidades das barras.
Os esforços atuantes iniciais nos pilares são provenientes das combinações de
carregamento utilizadas, devendo-se ressaltar que os momentos iniciais nas
extremidades podem ser oriundos de uma análise de 1ª ordem ou de 2ª ordem global.
O momento inicial deve ainda respeitar um momento mínimo inicial decorrente da
consideração de imperfeições construtivas conforme será visto no item 4.9.4.
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fl. 29
4.9.4
Momento Decorrente de Imperfeições Construtivas
A NB1/2001 recomenda que sejam considerados os efeitos decorrentes da falta de
retilinidade e de desaprumo no pilar (item 11.3.3.4), conforme as figuras abaixo.
θ1
l
2
Figura 4-10– Falta de retilinidade no pilar [ABNT-2]
θ1
l
Figura 4-11 – Desaprumo do pilar [ABNT-2]
admitindo-se nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do
lance de pilar seja suficiente.
Desta forma temos:
e a = θ1 ⋅ l e
∴ Ma,d = Nd ⋅ e a
( 4.18 )
com θ1 determinado pela expressão ( 4.1 ).
O momento total M1d,mín de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem
acrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por:
M1d,mín = Nd ⋅ e a,mín = Nd ⋅ (0,015 + 0,03h)
h = dimensão do pilar na direção considerada, em metros.
( 4.19 )
Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja
atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares
submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma
das direções principais, separadamente.
4.9.5
Métodos para a avaliação dos Momentos de 2a ordem dos
Pilares Isolados
A NB1/2001 estabelece alguns métodos que podem ser utilizados para a obtenção de
esforços utilizados para o dimensionamento de pilares. A seguir apresentamos a
transcrição destes métodos.
4.9.5.1
Método Geral
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 30
Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da
barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção e consideração
da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada, sendo obrigatório para
λ >140.
4.9.5.2
Métodos Aproximados
A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados
como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado.
4.9.5.2.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada
É permitido para λ ≤ 90, em pilares de seção constante e de armadura simétrica e
constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de forma
aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é
levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica.
O momento total máximo na coluna é dado por:
Md, tot = α b M1d, A
l 2e 1
+ Nd .
≥ M1d, A
10 r
( 4.20 )
sendo 1/r a curvatura, que na seção crítica pode ser avaliada pela expressão aproximada:
1
0,005
0,005
=
≤
( 4.21 )
r h (ν + 0,5)
h
onde,
h = altura da seção na direção considerada;
N
ν = força normal adimensional, dada pela expressão ν = Sd
A c fcd
M1d,A deve respeitar o valor mínimo estabelecido em ( 4.19 ) (M1d,A ≥ M1d,min). O momento
M1d,A e o coeficiente αb têm as mesmas definições do item 4.9.2, sendo M1d,A o valor de
cálculo de 1ª ordem do momento MA.
4.9.5.2.2 Método do Pilar Padrão com rigidez Κ (kapa) aproximada
É permitido para λ ≤ 90, nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e
constante ao longo do eixo.
A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a
deformada da barra seja senoidal. A não linearidade física é levada em conta através de
uma expressão aproximada da rigidez.
O momento total máximo na coluna é dado por:
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 31
Md, tot =
α b M1d, A
λ2
1−
120 κ/ν
≥ M1d, A ≥ M1d,min
( 4.22 )
sendo o valor da rigidez adimensional Κ (kapa) dado aproximadamente por:
Md,tot 

 ν
Κ = 32 1 + 5 .
h.N
d 

( 4.23 )
As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas no item anterior e o processo é
iterativo, sendo usualmente 2 ou 3 iterações suficientes.
4.9.5.2.3 Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r
A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com λ ≤ 140 pode ser feita
pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando para a curvatura da
seção crítica valores obtidos de diagramas M – N – 1/r específicos para o caso.
4.10 Pilares de Contraventamento
A determinação da rigidez mínima já foi discutida no capítulo 1.
4.11 Detalhamento
As exigências deste tópico referem-se a pilares cuja maior dimensão da seção transversal
não exceda cinco vezes a menor dimensão (que devem ser tratados como pilares
parede), e não são válidas para as regiões especiais.
4.11.1 Diâmetro Mínimo da Armadura Longitudinal (NB1/2001 18.4.2)
O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da
menor dimensão transversal.
4.11.2 Taxa Mínima de Armadura
A s,mín = 0,15 ⋅
Nd
≥ 0,40% ⋅ A c
fyd
( 4.24 )
4.11.3 Taxa Máxima de Armadura
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 32
A s,máx ≤ (8%) ⋅ A c
inclusive nas regiões de emenda.
( 4.25 )
4.11.4 Proteção contra Flambagem das Barras (NB1/2001 18.2.4)
Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à
superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la.
Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em
seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do canto,
se nesse trecho de comprimento 20φt não houver mais de duas barras, não contando a de
canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver
estribos suplementares.
Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele
deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a
barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à
mesma extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo
principal em ponto junto a uma das barras (como na ilustração da direita da Figura 4-12),
o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado (ver Figura 4-12).
Figura 4-12 – Proteção contra flambagem das barras
No caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do
concreto (por exemplo, colunas com seção transversal circular), não há necessidade de
estribos suplementares.
Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada
para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um
estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal.
4.11.5 Disposição da Armadura sobre a Seção Transversal (NB1/2001
18.4.2.2)
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:set/2001
fl. 33
As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir
a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo
menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras
distribuídas ao longo do perímetro.
Figura 4-13 – Disposição das barras da armadura longitudinal
O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da
região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
40 mm;
quatro vezes o diâmetro da barra ou duas vezes o diâmetro do feixe ou da luva;
no mínimo 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado, inclusive nas emendas.
Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura
lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir
a passagem do vibrador.
O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve
ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder
40 cm.
Para as condições usuais dos edifícios, temos:
Figura 4-14 – Espaçamentos convencionais entre barras da armadura longitudinal
4.11.6 Armadura Transversal (NB1/2001 18.4.3)
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por
grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória
sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes.
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
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fl. 34
Figura 4-15 – Colocação da armadura transversal ao longo de um pavimento
O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro
da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura
longitudinal.
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para
garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a
costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior
ao menor dos seguintes valores:
200 mm;
menor dimensão da seção;
24φ para CA-25, 12φ para CA-50.
Pode ser adotado o valor φt < φ /4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo
tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:
 φ2  1
smáx = 9000 t 
 φ  f yk
( 4.26 )
Quando houver necessidade de armaduras transversais para cortantes e torção, esses
valores devem ser comparados com os mínimos especificados para vigas, adotando-se o
menor dos limites especificados.
4.12 Ancoragem
As armaduras dos pilares são consideradas em boa situação quanto à aderência, pois
possuem inclinação maior que 45° sobre a horizontal.
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fl. 35
A ancoragem das armaduras dos pilares nas emendas é usualmente feita por aderência
(quando há congestionamento da seção transversal pode-se usar outro tipo de solução,
como a soldagem, ou emenda com luvas), e como os apoios são diretos, não há
necessidade do confinamento da ancoragem, seja utilizando armadura transversal ou
cobrimento suficiente de concreto.
Como as barras de aço nos pilares no caso geral estão comprimidas, devem ser
ancoradas sem ganchos.
4.12.1 Comprimento Básico de Ancoragem (NB1/2001 – item 9.4.2.4)
Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de
armadura passiva necessário para ancorar a força limite As fyd nessa barra, admitindo, ao
longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd (resistência de
aderência de cálculo entre armadura e concreto).
O comprimento de ancoragem básico é dado por:
lb =
φ f yd
4 fbd
( 4.27 )
onde, a resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem de
armaduras passivas (fbd) deve ser obtida pela seguinte expressão:
fbd = η1 η2 η3 fctd
( 4.28 )
sendo:
fctd =
fctk,inf
γc
( 4.29 )
e
η1 = 1,0 para barras lisas
η1 = 1,4 para barras dentadas
η1 = 2,25 para barras nervuradas
η2 = 1,0 para situações de boa aderência (ver item 9.3.1)
η2 = 0,7 para situações de má aderência (ver item 9.3.1)
η3 = 1,0 para φ < 32 mm
η3 = (132 − φ)/100 , para φ > 32 mm,
onde φ é o diâmetro das barras longitudinais.
4.12.2 Comprimento de Ancoragem Necessário (NB1/2001 – item
9.4.2.5)
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
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fl. 36
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:
l b,nec = α1l b
A s,calc
≥ l b,min
A s,ef
( 4.30 )
sendo:
α1 = 1,0 para barras sem gancho;
α1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do
gancho ≥ 3φ;
lb calculado conforme o tópico anterior;
l b,mín
0,3l b

≥ 10φ
100mm

Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de
ancoragem necessário.
4.13 Disposições Construtivas
Mudança de seção em pilares (excêntrica e centrada)
Figura 4-16 - Mudança de seção de pilar
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fl. 37
Figura 4-17 - Mudança de seção de pilar
Figura 4-18 - Mudança de seção de pilar
4.14 Pilares-Parede
Apresentamos a transcrição do tópico 15.9 da NB1/2001 que trata da análise de pilares
parede.
4.14.1 Generalidades
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fl. 38
Para que os pilares parede possam ser incluídos como elementos lineares no conjunto
resistente da estrutura deve-se garantir que sua seção transversal tenha sua forma
mantida por travamentos adequados nos diversos pavimentos, e que os efeitos de 2ª
ordem localizados sejam convenientemente avaliados.
4.14.2 Dispensa da análise dos efeitos localizados de 2ª ordem
Os efeitos localizados de 2ª ordem de pilares parede podem ser desprezados se, para
cada uma das lâminas componentes do pilar parede, forem obedecidas as seguintes
condições:
a) A base e o topo de cada lâmina devem ser convenientemente fixadas às lajes do
edifício que conferem ao todo o efeito de diafragma horizontal;
b) A esbeltez λi de cada lâmina deve ser menor que 35, podendo, o cálculo desta
esbeltez λi ser efetuado através das expressões dadas a seguir.
λ i = 3,46
l ei
hi
( 4.31 )
onde, para cada lâmina:
λei é o comprimento equivalente;
hi é a espessura.
O valor de le depende dos vínculos de cada uma das extremidades verticais da lâmina,
conforme Figura 4-19.
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fl. 39
Figura 4-19 – Comprimento equivalente le
Se o topo e a base forem engastados e β ≤ 1, os valores de λ podem ser multiplicados por
0,85.
4.14.3 Processo aproximado para consideração do efeito localizado de
2ª ordem
Nos pilares parede simples ou compostos, onde a esbeltez de cada lâmina que o constitui
for menor que 90, pode ser adotado o procedimento aproximado descrito a seguir para
um pilar parede simples.
O efeito localizado de 2ª ordem deve ser considerado através da decomposição do pilar
parede em faixas verticais, de largura ai que devem ser analisadas como pilares isolados,
submetidos aos esforços Ni e Myid, sendo:
ai = 3h ≤ 100 cm
( 4.32 )
Myid = m1yd . ai ≥ M1dmin
onde:
ai é a largura da faixa i;
Ni é a força normal na faixa i, calculada a partir de nd (x) conforme Figura 4-20;
M1d,min tem o significado e valor estabelecidos no tópico ( 4.9.4 ).
Figura 4-20 – Avaliação aproximada do efeito de 2ª ordem localizado
O efeito de 2ª ordem localizado na faixa i é assimilado ao efeito de 2ª ordem local do pilar
isolado equivalente a cada uma destas faixas.
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4.15 Exemplo de Dimensionamento: Pilar P7
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