Lógica para Computação - DAINF

Lógica para Computação
Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, D.E.E.
celsokaestner (at) utfpr (dot) edu (dot) br
Lógica para Computação (IF61B)
Introdução
Três citações extraídas de “Logique: Méthodes pour
l´informatique fondamentale”, de Paul Gochet e Pascal
Gribomont, Hermes, Paris, 1990:
1.
É razoável esperar que a relação entre a
computação e a lógica matemática
produza tantos frutos ... quanto a que se
instalou entre a Análise Matemática e a
Física no curso do século XIX (John
McCarthy).
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Lógica para Computação (IF61B)
Introdução
2.
Ao longo da maior parte do século XX, a
Lógica Matemática foi principalmente
utilizada para a introspecção. Como
ferramenta para a criação de provas na
prática cotidiana, ainda não teve sua
chance. Para que possa realizar todas as
potencialidades parece ser necessário
conceber o objetivo da Lógica como sendo
não de mimetizar o pensamento humano,
mas como o de fornecer um substituto a
este último na forma de um cálculo (Edsger
Dijkstra).
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Introdução
3.
As conexões entre a Lógica e a Informática
crescem e se aprofundam rapidamente. Ao
lado da demonstração automática, da
programação em lógica, da especificação e
verificação de programas, outros setores
revelam uma fascinante interação mútua
com a Lógica, como a teoria de tipos, a
teoria do paralelismo, a inteligência
artificial, a teoria da complexidade, as bases
de dados, a semântica operacional e as
técnicas de compilação (José Meseguer).
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Introdução
História da Lógica:
http://pt.wikipedia.org/wiki/História_da_lógica
Lógica:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica
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Introdução
O que é Lógica ?
1.
O estudo da Lógica é o estudo dos
métodos e princípios usados para
distinguir o raciocínio correto do incorreto
(“Introdução à Lógica”, Irving M. Copi, Ed.
Mestre Jou, São Paulo, 1968);
2.
A Lógica formal é uma ciência que
determina as formas corretas (ou válidas)
de raciocínio (“Noções de Lógica Formal”,
Joseph Dopp, Ed. Herder, São Paulo,
1970);
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Introdução
3.
Lógica é o estudo de argumentos. Um
argumento é uma sequencia de
enunciados na qual um dos enunciados
é a conclusão e os demais são premissas,
as quais servem para provar, ou pelo
menos fornecer alguma evidência para a
conclusão (“Lógica”, John Nolt e Dennis
Rohatyn, Makron Books, São Paulo,
1991).
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Introdução
4.
Lógica, hoje, designa uma vasta área do
conhecimento, com implicações em
praticamente todas os demais domínios da
investigação. Da antiga disciplina que
estudava "o raciocínio correto", ou as
"formas válidas de inferência (ou de
raciocínio)", a lógica transformou-se em
uma disciplina que alcançou resultados
que, em termos de complexidade e
profundidade, nada ficam devendo aos
maiores resultados da matemática. Alias, a
lógica é, presentemente, uma disciplina de
características matemáticas... (Newton C.A.
da Costa).
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Introdução
Outros conceitos:
Termos gerais (ou universais) X termos
singulares (ou individuais);
Designação por intenção X por extensão;
•
Intenção: qualidades ou propriedades que
constituem o conceito;
•
Extensão: consiste dos elementos (exemplos) que
constituem o conceito.
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Introdução
Conceito de proposição (desde Platão):
Combinação de um substantivo e de um verbo,
constituindo um sentença declarativa à qual se
pode atribuir um valor verdade (no caso
clássico, verdadeiro ou falso):
“O homem aprende”;
“O céu é azul”;
“Hoje é terça-feira”.
Observe que estão excluídas, entre outras,
sentenças interrogativas, autoreferentes, etc.
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Lógica Aristotélica
A tradição aristotélica: lógica é o estudo da
concepção, do julgamento, e do raciocínio;
•
Os conceitos são expressos por termos gerais;
•
Os julgamentos são expressos por proposições;
•
Os raciocínios são sequencias de proposições.
Em Aristóteles as proposições são constituídas
por dois termos gerais ligados pelo verbo ser na
forma “ é ” ou “ não é ” (cópula lógica).
As proposições são relacionadas logicamente de
acordo com o “quadrado lógico” ou “ tábua de
oposições”.
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Lógica Aristotélica
Tábua de oposições
contrárias
E
subalternas
subalternas
A
I
O
subcontrárias
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Lógica Aristotélica
Tipos de proposições e exemplos:
•
A: afirmação universal (todo homem é mortal);
•
E: negação universal (nenhum homem é mortal);
•
I: afirmação particular (algum homem é mortal);
•
O: negação particular (algum homem não é mortal).
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Lógica Aristotélica
Relacionamento entre proposições :
•
A e E são ditos contrários; se a proposição A é
verdadeira então E é falsa;
•
A e O e também E e I são contraditórios: não podem
ser nem verdadeiros nem falsos conjuntamente;
•
I e O são subcontrários: não podem ser ambos
falsos;
•
I é subalterno de A, e O é subalterno de E; se A é
verdadeira, I também o é, e se E é verdadeira então
O também o é.
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Lógica Aristotélica
Relacionamento entre proposições:
•
A existência de quatro tipos de proposições não é
coincidência: representam as quatro relações
possíveis entre as extensões dos termos gerais;
•
O matemático Euler representou as quatro relações
lógicas na forma de diagramas de conjuntos
(diagramas de Venn-Euler).
Se S é o termo sujeito e se P é um predicado
então as proposições correspondem aos
diagramas a seguir.
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Lógica Aristotélica
P
Proposição A: inclusão total
(todo S é P)
Proposição E: exclusão total
(nenhum S é P)
S
P
S
Proposição I: inclusão parcial de S em P
(algum S é P)
SP
Proposição O: exclusão parcial de S em P
(algum S não é P)
S
P
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Lógica Aristotélica
Os raciocínios lógicos ocorrem na forma de
sequencias de proposições geradas por
inferências imediatas obtidas da tábua de
oposições;
Um silogismo é um discurso no qual,
estando dadas certas proposições premissas,
uma nova proposição conclusão é obtida
necessariamente e unicamente a partir das
premissas;
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Lógica Aristotélica
Os silogismos são apresentados da seguinte
forma:
•
Premissa maior
•
Premissa menor
•
Conclusão
O termo menor (S) é o sujeito da conclusão, o
termo maior (P) é o predicado da conclusão, e
o termo comum às premissas é o termo
médio (M).
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Lógica Aristotélica
Exemplos:
Todos os mamíferos são vertebrados (premissa maior)
• Todos os homens são mamíferos (premissa menor)
• portanto
• Todos os homens são vertebrados (conclusão).
•
Neste caso o termo menor S é “todos os homens”, o termo
maior P é “vertebrados”, e o termo médio M é “mamíferos”.
Este silogismo tem portanto a forma:
Todas as proposições são do tipo A.
MP
SM
SP
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Lógica Aristotélica
Considerando que há 4 tipos de proposições (A,E,I e O) então
há 43 = 64 silogismos por figura (ver abaixo) , ou seja 256
silogismos no total;
As figuras do silogismo são:
1ª figura
2ª figura
3ª figura
4ª figura
Premissa maior
MP
PM
MP
PM
Premissa menor
SM
SM
MS
MS
Conclusão
SP
SP
SP
SP
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Lógica Aristotélica
Nem todos os silogismos são válidos; o estudo da
Lógica por Aristóteles, e posteriormente na idade
média, buscou separar os silogismos válidos, ou
seja, aqueles em que a conclusão segue
necessariamente das premissas;
Pode-se deduzir a validade ou não de um silogismo
a partir dos diagramas de Venn-Euler
correspondentes;
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Lógica Aristotélica
Exemplo:
•
Nenhum peixe (M) é mamífero (P) <tipo E>;
•
Todos os robalos (S) são peixes (M) <tipo A>;
•
portanto
•
Nenhum robalo (S) é mamífero (P) <tipo E>.
Ou, esquematicamente:
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MP <E>
SM <A>
SP <E>
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M
S
P
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Lógica Aristotélica
Exemplo:
•
Todos os animais venenosos (M) são perigosos (P) <tipo A>;
•
Algumas serpentes (S) são animais venenosos (M) <tipo I>;
•
portanto
•
Algumas serpentes (S) são perigosas (P) <tipo I>.
Esquematicamente:
MP <A>
SM <I>
SP <I>
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M
S
P
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Lógica Aristotélica
Em alguns casos os diagramas de Venn-Euler apresentam o
inconveniente de admitir, para um mesmo silogismo, várias
representações geométricas;
Exemplo:
MP <E>
SM <I>
SP <O>
M S
M S
M S
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P
P
P
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Lógica Aristotélica
Verdade e validade (ou correção):
•
Um silogismo é válido (correto) se e somente se (sse) a
verdade da conclusão segue necessariamente da verdade
das premissas;
•
Os silogismos portanto “transmitem” a verdade das
premissas à conclusão;
•
Esta definição exclui a possibilidade de que um silogismo
válido possa ter premissas verdadeiras e conclusão falsa;
•
Isto não exclui a possibilidade de que a conclusão de um
silogismo válido seja falsa; neste caso alguma das
premissas é falsa.
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Lógica Aristotélica
Exemplo:
•
•
•
•
Todos os animais marinhos são peixes;
Todas as baleias são animais marinhos;
portanto
Todas as baleias são peixes.
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Lógica Aristotélica
Indique a forma do silogismo (termos, figura,
diagrama), e indique se mesmo é válido ou não:
a)
Todos os gregos são homens;
Todos os atenienses são gregos;
Todos os atenienses são homens.
b)
Todos os socialistas são marxistas;
Alguns governantes são marxistas;
Alguns governantes são socialistas.
c)
Todas as ações penais são atos cruéis;
Todos os processos por homicídio são ações penais;
Todos os processos por homicídio são atos cruéis.
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Lógica Aristotélica
d)
Alguns papagaios não são animais nocivos;
Todos os papagaios são animais de estimação;
Nenhum animal de estimação é nocivo.
e)
Nenhum ator dramático é um homem feliz;
Alguns comediantes não são homens felizes;
Alguns comediantes não são atores dramáticos.
f)
Todos os coelhos são corredores muito velozes;
Alguns cavalos são corredores muito velozes;
Alguns cavalos são coelhos.
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Lógica Aristotélica
Exercício similar, porém com a necessidade de determinar
as proposições:
a) Nenhum submarino de propulsão nuclear é um navio
mercante, assim nenhum vaso de guerra é navio
mercante, visto que todos os submarinos de propulsão
nuclear são vasos de guerra;
b) Alguns conservadores não são defensores de tarifas
elevadas, porque todos os defensores de tarifas elevadas
são republicanos, e alguns republicanos não são
conservadores;
c) Nenhum indivíduo obstinado que jamais admite um erro
é bom professor; portanto, como algumas pessoas bem
informadas são indivíduos obstinados que nunca
admitem um erro, alguns bons professores não são
pessoas bem informadas.
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Introdução
Atividades complementares:
1.
Consulte os links indicados e navegue sobre
assuntos relacionados à história da Lógica e à
sua definição;
2.
Pesquise a definição de paradoxo e exemplifique
este conceito;
3.
Encontre uma “charada lógica” e apresente sua
solução.
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