o pensamento algébrico e a linguagem matemática na espiral

O PENSAMENTO ALGÉBRICO E A LINGUAGEM MATEMÁTICA NA
ESPIRAL PITAGÓRICA
Murillo Preto Cardoso Junior1
Regina Célia Grando2
RESUMO
O referente texto apresenta a primeira parte do desenvolvimento de uma tarefa de uma
sequência didática, a qual foi desenvolvida para produzir dados para uma pesquisa de
Mestrado em Educação do Programa Stricto Sensu em Educação da Universidade São
Francisco. A tarefa faz relação a uma investigação matemática que aborda o
desenvolvimento do pensamento algébrico e da linguagem matemática em uma turma
de 9° Ano do Ensino Fundamental da Rede Estadual de Ensino do Estado de São Paulo.
O texto a aborda os diálogo e discussões de um grupo de alunos sobre a tarefa proposta,
mostrando o desenvolvimento do pensamento algébrico não simbólico evidenciados
nestes momentos e traz as impressões do professor-pesquisador sobre a atividade
desenvolvida.
Palavras-Chave: Pensamento Algébrico; Linguagem Matemática; Investigações nas
Aulas de Matemática;
Introdução
Como temos visto nas escolas, a matemática tem sido considerada uma das
disciplinas mais apavorante ou vista como aquela que mais causa arrepios aos alunos,
tornando-se assustadora até mesmo para pessoas que ainda não foram apresentadas a
ela.
Nesta perspectiva evidenciamos que para muitos alunos a matemática é algo
incompreensível e de difícil compreensão, muitos tendem a considerar que não possuem
o “dom” para aprender a matemática ou mesmo não veem significado em aprender a
matemática ensinada nas escolas, o que a torna desinteressante e desestimulante nesta
perspectiva.
Porém, observamos que a maioria dos estudantes tem facilidade em aprender e
desenvolver a matemática enquanto esta se desenvolve no campo de situações
concretas, mas quando a matemática passa a assumir um campo flexível, mutável,
1
Professor de Matemática da rede estadual de São Paulo e mestrando em Educação pelo Programa Stricto
Sensu em Educação da Universidade São Francisco (USF), e-mail: [email protected]
2
Doutora em Educação pela Universidade de Campinas/UNICAMP. Professora do Curso de PósGraduação da Universidade São Francisco – USF/Itatiba. E-mail: [email protected]
dinâmico (movimento, variação) e abstrato, as coisas começam a ficar um tanto quanto
confusas. Moura e Sousa (2008, p.46) evidenciam que,
De modo geral, a dificuldade que o aluno demonstra ter ao aprender
álgebra é considerada natural, por entender-se que o nível de abstração
da álgebra é de difícil acesso à aprendizagem do iniciante em
matemática.
É evidente que uma das maiores dificuldades dos alunos na aprendizagem da
matemática está relacionada ao ensino da álgebra, principalmente quanto à ideia da
abstração referente aos conceitos dessa temática. Portanto não é de se estranhar que
alunos questionem os conceitos algébricos e prefiram utilizar conceitos e
exemplificações que apenas fiquem no campo do concreto.
Moura e Sousa (2008) ainda evidenciam que em grande parte das pesquisas
realizadas, tendo como base o tema algébrico, apresentam a dificuldade dos alunos em
compreender o conceito de variável, o formalismo da linguagem matemática e ainda
apontam este último como um dos principais responsáveis pela dificuldade dos alunos
em compreender os significados algébricos.
Mesmo que observada como natural, assim como as autoras afirmam, e que a
passagem do concreto para o abstrato seja um dos fatores de mais alta complexidade no
estudo da matemática, consideramos importante que investiguemos maneiras de
mediarmos o ensino de tais conceitos, visto que o conceito de variável está intrínseco ao
mundo de transformações e dinamismo em que vivemos.
Desta forma, o presente texto tem o intuito de apresentar uma tarefa
correspondente a uma sequência didática desenvolvida para a produção de dados para
Dissertação de Mestrado em Educação3, a qual se encontra em produção e tem como
foco o “olhar” para desenvolvimento da linguagem matemática, do pensamento
algébrico e principalmente quanto à formulação do conceito de variável em uma turma
do 9º Ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede pública estadual do município
de Louveira – SP. O texto possui, também, o caráter de apresentar as observações feitas
por um grupo de alunas sobre uma parte da tarefa e as constatações evidenciadas por
elas e pelo professor-pesquisador durante o momento de desenvolvimento da tarefa.
3
Dissertação de mestrado em andamento pelo Programa Stricto Sensu em Educação da Universidade São
Francisco (USF) sob a orientação da Prof. Dra. Regina Célia Grando.
A tarefa abordada se refere a uma investigação matemática na Espiral Pitagórica,
onde evidenciamos o desenvolvimento do pensamento algébrico. Mesmo que não
atingindo o simbolismo matemático formal, como destacaremos ao longo de nosso
texto, o qual muitas vezes é exigido pela formalidade da linguagem matemática,
consideramos que o pensamento algébrico está presente na fala, na escrita, nas
discussões e diálogos realizados pelos alunos no momento destacado anteriormente.
Por que investigar?
Quando pensamos em aulas de matemáticas, na maioria das vezes, visualizamos
um professor explicando diversos métodos e algoritmos de resolução de contas e alunos
sentados prestando atenção sem mover um dedo para tentar compreender cada
passagem que o professor realiza em sua explanação sobre o assunto. Porém
acreditamos que o ensino da matemática possa tomar outros caminhos, um caminho
mais interessante que leve os alunos a participarem mais ativamente das aulas, a
produzirem conhecimentos através da mediação do professor e com isto produzam
significados relevantes sobre o tema abordado durante as aulas. Acreditamos que tais
caminhos possam conduzir os nossos alunos a uma autonomia de ensino e que não
sejam apenas reprodutores de um saber já estruturado.
Para diversos autores, a matemática é vista através de uma perspectiva de
inquirição constante, pois esta surge através do questionamento de situações-problemas
e o desenvolvimento de soluções para tais problemas, sendo assim a matemática uma
situação de investigação em sua essência. Porém, a mesma, perdeu sua essência quando
escolarizada tornando-se realmente algo a se decorar e reproduzir, ao nosso modo de ver
desestimulante. Pensando sobre estas preposições, adotamos a filosofia da investigação
e da inquirição em uma tentativa de aproximar a essência matemática descrita
filosoficamente.
Deste modo, passamos a compreender assim como Ponte, Brocado e Oliveira
(2003, p. 23) que investigação, como atividade de ensino-aprendizagem,
ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática
genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O
aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação
de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas
também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação
com os seus colegas e o professor.
A tarefa: Observando regularidades na construção da Espiral Pitagórica
A Espiral Pitagórica é uma representação geométrica apresentada pela sociedade
Pitagórica, a qual possuía por si um misticismo muito grande em torno de seu formato,
o que desenvolveu muito interesse de estudos de sociedades posteriores. A espiral
Pitagórica (ver imagem 1) é construída através de inúmeros triângulos retângulos, cada
qual sendo obtido através da hipotenusa do triângulo retângulo anterior, e apresenta
regularidades quanto a cada nova hipotenusa encontrada e a quantidade de raízes
quadradas não exatas de números naturais compreendidas entre dois números inteiros
consecutivos. Além de apresentar o formato de uma concha, das galáxias e até mesmo
de um feto humano, por isso de tantas discussões quanto ao seu misticismo e a relação
com a natureza (imagem 2e 3).
(imagens 1, 2 e 3)
Uma de suas funções no ensino da matemática é proporcionar aos alunos um
olhar para um novo campo numérico, os irracionais, que surge através da relação do
Teorema de Pitágoras4 (Ver representação geométrica, imagem 4) e que colocou toda a
filosofia da sociedade pitagórica em crise. Pensamos que colocar os nossos alunos
4
Teorema do famoso matemático e filósofo grego, Pitágoras, que definiu que para um triângulo que
possuía o ângulo de 90° (ângulo reto), existem dois lados menores adjacentes ao ângulo reto chamados de
catetos, um lado maior que é oposto ao ângulo reto chamado de hipotenusa e que o quadrado do lado
maior (hipotenusa) poderia ser obtido pela soma dos quadrados dos lados menores (catetos), definindo
assim a expressão a² = b² + c².
perante as discussões e problemas enfrentados pela própria sociedade possa desenvolver
situações de investigação interessantes a serem discutidas. Apenas para situar o leitor, a
Sociedade Pitagórica era formada pelos discípulos e pessoas que compadeciam das
mesmas crenças do famoso filósofo e matemático grego, Pitágoras. A referida sociedade
acreditava que tudo no mundo poderia ser representado numericamente e demostrado
pelos números. Com o surgimento dos números irracionais e a sua impossibilidade de
escrita exata, a Sociedade Pitagórica sentiu seus alicerces tremerem, porém pôde
superar tal fragilidade graças à representação geométrica dos números que não podiam
ser mensuráveis através da escrita.
Representação geométrica do Teorema de Pitágoras
A priori, a atividade aqui a ser relatada não fazia parte do composto de
atividades da sequência que elaborávamos para o nossa investigação sobre a produção
do conceito de variável e da linguagem algébrica. Quando propomos a construção da
espiral aos alunos, observamos que o apenas realizar a construção geométrica da tal
espiral era um tema banal e desestimulante, já que os mesmos apenas reproduziam
ferramentas matemáticas e não eram motivados a construí-la. Porém notamos o
interesse, em alguns alunos, por alguns padrões e regularidades que eles conseguiam
observar durante a construção geométrica.
Partindo da construção da espiral e do questionamento de alguns alunos quando
a existência de tais regularidades, pensamos em articular a tarefa com a investigação e a
observação de regularidades. Consideramos que as observações das regularidades que
acontecem durante os movimentos numéricos e matemáticos, os alunos podem começar
a estabelecer o conceito de variável algébrica, mesmo que esta inicialmente não se
apresente no campo simbólico, ou seja, na linguagem matemática formal. Através destes
pressupostos desenvolvemos a atividade que esta apresentada a seguir.
Tarefa 1 – A Espiral Pitagórica
1) Construam a espiral pitagórica, partindo do triângulo retângulo de catetos 1.
2) Observe a espiral que você construiu e escreva o que vocês podem concluir
sobre:
a) O que acontece com os valores encontrados nas hipotenusas obtidas na
espiral pitagórica?
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b) Na espiral encontram-se alguns valores que apresentam raiz quadrada exata e
outros não, portanto escreva quantas raízes não exatas existem entre os
valores 1 e 2; 2 e 3; 3 e 4. Existe alguma relação acontecendo entre estes
valores? Quais conclusões vocês podem ter sobre o que acontece?
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Observamos que após a “reviravolta” na tarefa os alunos começaram a tomar
mais “gosto” em desenvolvê-la e se mobilizaram a investigar as regularidades que iam
acontecendo no desenrolar da tarefa.
Cada grupo ao seu tempo percebeu que não precisava calcular a hipotenusa do
novo triângulo retângulo gerado pela espiral pitagórica, o que para eles foi fascinante
principalmente por não terem que refazerem novos cálculos para completar a tarefa.
Observemos, a seguir, a espiral pitagórica produzida por um grupo de alunas e algumas
discussões e diálogos realizadas no grupo durante a desenrolar da tarefa, o qual foi
atentamente anotado no diário de campo do professor-pesquisador (os nomes das alunas
foram alterados).
Josiane: Espera um pouco, o primeiro foi 1, o segundo a √2 e
o terceiro √3. [Josiane falava enquanto marcava os valores em uma
folha]
Amanda: Tudo bem. Mas o que nós podemos tirar disto?
Luciana: Será, Josi, que você está querendo dizer que o
próximo deve ser raiz quadrada de 4? Ou eu estou “viajando”?
Josiane: Aham.
Natália: Não entendi nada do que você disse.
Josiane: Assim, olha aqui. [Josiane volta à folha que tinha
começado a marcar os três valores iniciais]
Josiane: Se colocarmos raiz no primeiro fica assim. [Josiane
mostra na folha que os números ficariam da seguinte forma: √1, √2,
√3]
Josiane: Então o próximo é raiz quadrada de 4, raiz
quadrada de 5 e assim por diante. [enquanto falava Josiane marcava
no papel os próximos valores]
Amanda: Certo, mas por que você colocou raiz quadrada no
primeiro?
Natália: Eh, a parte do próximo eu percebi, mas quanto à raiz
do um, eu fiquei na dúvida se isso pode ser feito. [A indagação de
Amanda e Natália é compreensível pela dificuldade das diversas
formas de se representar um mesmo valor]
Luciana: Assim, você pode colocar a raiz no um, porque a
raiz quadrada de um é um.[Luciana tenta justificar a possibilidade de
representação através do cálculo]
Josiane: Isso mesmo, tanto faz colocar um ou raiz quadrada
de 1. Eles são a mesma coisa. [Luciana e Josiane tentam explicar a
questão da equivalência numérica e que o número um pode ser
representado de uma forma diferente]
Natália: Fiquei na mesma.
Luciana: Assim, lembra quando aprendemos frações
equivalentes? Nós podíamos representar a mesma fração de formas
diferentes. [Luciana retoma o conceito de frações que se equivalem
para explicar para Natália o que a Josiane queria mostrar]
Natália: Lembro mais ou menos.
Amanda: Eu lembro, era aquele negócio de mostrar que o
número dois era a mesma coisa que dois divido por um ou quatro
dividido por dois.
Natália: Tudo bem. Então não precisamos colocar o número
um, podemos colocar outra coisa, então poderia ser quatro dividido
por quatro.
Amanda: Sim. Ah, então no lugar da raiz quadrada de quatro
podemos colocar o dois. [Amanda pega o papel de Josiane e anota em
cima da √4 o número 2]
Natália: Agora ficou fácil, nem precisa fazer as contas é só
construir a espiral.
Josiane: Aham. Ainda bem. [A satisfação de não necessitar
dos cálculos numéricos para deduzir o próximo valor fica evidente na
expressão das alunas]
Como podemos perceber através do diálogo e das discussões das alunas Josiane,
Natália, Amanda e Luciana, a investigação da regularidade dos valores das hipotenusas
obtidas de cada um dos triângulos retângulos da espiral pitagórica suscitou uma
observação sobre o que acontecia nos valores, mas mais importante que isso gerou uma
discussão sobre a representação numérica. E culminou-se em algumas conclusões
interessantes principalmente que um número não precisa ser necessariamente
representado do mesmo modo que o imaginamos.
Esta discussão nos remete ao pensamento algébrico, o que era algo fixo torna-se
algo em movimento, mutável e variável. Não queremos dizer estas alunas
desenvolveram o conceito de variável, porém elas começam a apresentar um olhar
diferenciado quanto à formulação de número, em palavras corriqueiras poderíamos
dizer que o fixo, o sólido e estático foi “quebrado” e o conceito de variável
provavelmente começou a ser desenvolvido.
Outra constatação que evidenciamos da discussão, acima, é que as alunas não
discutiram sobre o motivo dos valores das hipotenusas, da espiral pitagórica,
apresentarem as características que elas observaram. Desta forma, evidenciamos a
necessidade de uma intervenção que as levassem a pensar sobre o “por que” aquilo
acontecia. As intervenções podem ser visualizadas pelo diálogo entre o professorpesquisador e o grupo transcrito a seguir.
Professor-pesquisador: E ai meninas, o que vocês conseguiram concluir?
Josiane: Assim, professor. [Josiane mostra a folha enquanto fala sobre o que
perceberam] Os valores vão mudando em um em um, só que sempre na raiz quadrada.
Amanda: Essa foi fácil sor. [Enquanto isso Josiane mostra os valores obtidos que
são 1, √2, √3, √4, √5, √6, √7, assim por diante]
Josiane: Alguns não precisamos representar na forma de uma
raiz, como é o caso desses. [Josiane mostra os valores que não
precisariam ficar na raiz por apresentarem uma raiz quadrada exata,
neste caso o 1, 4, 9, 16, 25 assim por diante]
Professor-pesquisador: Hum, interessante não acham?
Luciana: Aham, mas deu um certo trabalho, pra falar a
verdade.
Natália: Foi a Josiane que percebeu, se ela não tivesse
percebido estávamos calculando o Teorema de Pitágoras até a agora.
Professor-pesuisador: Verdade. Mas deixa-me perguntar uma
coisa pra vocês.
Amanda: IIIIIH. Lavem o sor, com as perguntas malucas dele.
Professor-pesquisador: Não. Só queria saber o “por que” isso
acontece.
Amanda: Tá vendo. Falei. [Risos]
Natália: Sor e os seus porquês. Num tá de bom de bom
tamanho apenas escrever a quanto dá. [Enquanto isso Josiane e
Luciana retomavam a folha e voltava olhar as contas do Teorema de
Pitágoras que tinham feito]
Professor-pesquisador: O que vocês estão fazendo? [Pergunta
direcionada a Josiane e Luciana]
Luciana: Estamos olhando as contas do Teorema de Pitágoras
pra ver se encontramos alguma relação pra ir aumentando assim. [A
atenção das integrantes do grupo se voltam para o que a Josiane e
Luciana estavam fazendo]
Professor-pesquisador: Mas por que no Teorema de Pitágoras?
Josiane: Porque é a espiral pitagórica. Então o “por que” deve
estar no Teorema de Pitágoras. [Concordamos que esta resposta não
era esperada]
Professor-pesquisador: Tudo bem. Se chegarem a alguma
conclusão me chamem. Beleza? [Consideramos que despertado o
interesse em responder a questão colocada pelo professor-pesquisador
iniciamos uma nova investigação]
Em uma investigação as intervenções do professor são necessárias para conduzir
os alunos prossigam na investigação, encontrem novas investigações ou busquem
justificar as conclusões que alcançaram. Desta forma, concordamos com Ponte (et al,
1999) que em uma tarefa investigativa é papel do professor verificar se eles estão a
trabalhar de modo produtivo, formular questões, observar se estão tentando conjecturas
e procurando justificá-las.
Continuando a narrativa do diálogo com o grupo, após alguns minutos de termos
proposto a próxima situação.
Professor-pesquisador: E ai, chegaram a alguma
conclusão?
Josiane: Sim, é simples como sempre somamos o um ao
quadrado a antiga hipotenusa ao quadrado, pois ela virou um
cateto do triângulo que estamos construindo sempre vai
acrescentar um. [Josiane apresenta uma justificativa oral sobre
o “por que” aquilo acontecia]
Luciana: Sor é só você olhar aqui nas contas. [Luciana
mostra as contas para justificar a resposta dada por Josiane]
Josiane: Então sor. [Josiane pega a folha para explicar]
Como a raiz quadrada de dois vem de um ao quadrado mais um
ao quadrado no teorema de Pitágoras. [1² + 1²] E a raiz
quadrada de três pela a raiz de dois ao quadrado mais um ao
quadrado no mesmo teorema. [(√2)² + 1²] Sempre vai aumentar
um porque sempre é acrescentado um cateto de valor um.
[Observamos que a conclusão que Josiane e Luciana chegaram
estava correta, porém as alunas Amanda e Natália não
participaram da discussão o que apresentava que talvez elas
não tenham entendido]
Professor-pesquisador: Muito bem, e vocês meninas
entenderam? [Pergunta feita para as alunas Amanda e Natália].
Amanda: Eh. Não muito.
Professor-pesquisador: Meninas, agora expliquem para
as duas como chegaram a essa conclusão. [Pedido feito para as
alunas Josiane e Luciana. Consideramos que o momento de
exposição do pensamento é fator crucial para o aprendizado, o
ato de pedir que as alunas expliquem para as colegas faz com
que elas voltem a refletir sobre a situação e organizar o seu
pensamento para expor a ideia que tinham em mente]
A imagem a seguir mostra o registro final entregue pelo grupo de alunos, neste
texto abordamos, apenas, a primeira parte da tarefa desenvolvida com o grupo de alunas
devido à extensão dos diálogos e discussões produzidas.
Algumas observações e conclusões
Mesmo sendo apenas uma parte do desenvolvimento da tarefa, consideramos
que esta mostra o desenvolvimento do pensamento algébrico em movimento, desde o
rompimento do estigma da representação numérica, quando o grupo de alunas passa a
compreender, pela justificativa dada pelas alunas Josiane e Luciana, que um número não
necessita ser expresso de uma forma fixa, mas que eles podem ser representados por
outras maneiras.
A observação de regularidade e padrões, como o evidenciado para a construção
da espiral e os valores das hipotenusas como o padrão de se acrescentar o cateto de
valor um para gerar o próximo triângulo retângulo como o gerador da regularidade
apresentada.
Observamos, por fim, que com a perspectiva da investigação, da procura das
regularidades e relações entre os valores da espiral pitagórica os alunos tornaram-se
mais motivados e estimulados a desenvolver a referida tarefa, além de despertar o
espirito investigativo em alguns destes, não podemos obviamente dizer que todos foram
envolvidos, pois alguns ficaram apenas no campo da exploração da situação
apresentada, porém consideramos que os resultados foram mais significativos do que
apenas a construção da espiral como na primeira proposta aos alunos.
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