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Confiabilidade em Sistemas Eletrônicos Princípios Matemá1cos Alessandro L. Koerich Introdução •  Os princípios da confiabilidade moderna são baseados principalmente em esta@sAca e probabilidade. •  Existem duas definições principais para probabilidade: –  Bayesiana –  Laplaciana Introdução –  Definição Bayesiana: •  Atribui probabilidades para qualquer evento, mesmo quando um processo aleatório não está envolvido. •  Probabilidade é uma maneira de representar o grau de crença de um indivíduo em um evento, dada a evidência. –  Definição Laplaciana: •  Atribui probabilidades somente quando temos experimentos aleatórios bem definidos. Introdução –  Definição Relacionada à Frequência: •  Um experimento aleatório é repeAdo n vezes sob condições uniformes e observa-­‐se a ocorrência de um evento parAcular E em f das n tentaAvas. •  A razão f/n é chamada de frequência relaAva de E para as n primeiras tentaAvas. •  Se o experimento for repeAdo um número grande e suficiente de vezes, a razão para o evento E é aproximada pelo valor P, a probabilidade do evento E. •  Logo: 0 ≤ P ≤1
Distribuição de Probabilidade •  Descreve a frequência de ocorrência de valores diferentes de uma dada caracterísAca. •  As distribuições de probabilidade podem ser discretas ou con@nuas. Distribuição de Probabilidade •  Distribuição discreta: se f(x) gera uma probabilidade que uma variável aleatória X assumirá certos valores discretos, ela é chamada de função de probabilidade. –  Função de probabilidade Binomial: n!
f (x) =
p x q (n−x )
x!(n − x)!
p = probabilidade de obter x itens bons e (n-­‐x) itens com defeito em uma amostra de n itens, onde p é a probabilidade de selecionar bons itens e q é a probabilidade de selecionar itens com defeito. Distribuição de Probabilidade –  Função de probabilidade Poisson: λ x −λ
f (x) =
e
x!
λ = taxa média de ocorrência e x é o número de falhas. Distribuição de Probabilidade •  Distribuição conAnua: quando uma variável aleatória X é livre para assumir qualquer valor dentro de um intervalo, a distribuição de probabilidade resultante é con@nua. F(x) = P(X ≤ x)
–  Para uma distribuição con@nua: dF(x)
f (x) =
dx
Distribuição de Probabilidade –  Logo, f (x)
≥ 0 , e : +∞
∫ f (x)dx = 1
−∞
–  A função de distribuição cumulaAva nunca decresce a medida que a variável cresce. Distribuição de Probabilidade –  A distribuição normal é base para diversas técnicas esta@sAcas em engenharia. –  A função densidade de probabilidade da distribuição Normal é: ( x−µ )2
−
2σ 2
1
f (x) =
e
σ 2π
onde x varia de -­‐∞ a +∞, μ é a média e σ é o desvio padrão. Distribuição de Probabilidade –  A função densidade de probabilidade da distribuição Lognormal é: f (x) =
1
σ x 2π
e
(ln x−µ )2
−
2σ 2
Distribuição de Probabilidade –  A função densidade de probabilidade da distribuição Weibull é: β
β −1
f (x) = ( x − γ ) e
η
( x−γ )
−
β
η
onde η é o parâmetro de escala, β é o parâmetro de forma, e γ é o parâmetro de localização. Distribuição de Probabilidade ( x−γ )
−
β
β
β −1
f (x) = ( x − γ ) e η
η
–  Se as falhas puderem acontecer tão logo o equipamento seja operado, γ =0 –  O parâmetro β é importante para determinar a taxa de falhas: •  Para β < 1: a taxa de falha está diminuindo (mortalidade infanAl). •  Para β = 1: a taxa de falha é constante (aleatórias). •  Para β > 1: a taxa de falha está aumentando (exaustão). Indicadores de Confiabilidade •  Quase toda discussão sobre confiabilidade começa e termina com uma avaliação da: –  Taxa de falhas para componentes ou –  MTBF para sistemas •  Podemos definir algumas equações para caracterizar confiabilidade Indicadores de Confiabilidade •  Se a probabilidade de uma falha for representada por F(t): t
F(t) =
∫ f (t)dt
0
•  A probabilidade de sucesso será: t
R(t) = 1−
∫ f (t)dt
0
Indicadores de Confiabilidade •  F(t) é função distribuição para a probabilidade de falha, ou seja, a probabilidade que um disposiAvo falhará até um tempo t. •  R(t) é função distribuição para a probabilidade de sucesso, ou seja, a probabilidade que um disposiAvo não falhará até um tempo t. Indicadores de Confiabilidade •  A probabilidade de que ocorram falhas entre qualquer tempo t1 e t2 pode ser calculada a parAr da função de probabilidade: t2
P=
∫ f (t)dt
t1
e como todos os disposiAvos ou sistemas tem um tempo de vida finito: ∞
P=
∫ f (t)dt = 1
0
Indicadores de Confiabilidade •  MTBF (Mean Time Between Failures): pode ser calculado a parAr de diversas distribuições de probabilidade para vários períodos de tempo entre falhas. –  Usando o Teorema da ExpectaAva MatemáAca ∞
MTBF = ∫ tf (t)dt
. 0
Indicadores de Confiabilidade •  MTBF (Mean Time Between Failures): pode ser calculado a parAr de diversas distribuições de probabilidade para vários períodos de tempo entre falhas. –  Usando o Teorema da ExpectaAva MatemáAca ∞
MTBF = ∫ tf (t)dt
. 0
Indicadores de Confiabilidade •  Taxa de Perigo (Hazard Rate) Z(t): é a taxa de falhas instantânea de itens que sobreviveram um tempo. –  O produto Z(t)dt representa a probabilidade condicional de falha em um pequeno incremento de tempo. –  Pode ser mostrado que para t ≥0 e F(t) < 1: f (t)
f (t)
Z(t) =
=
. R(t) 1− F(t)
Indicadores de Confiabilidade •  A taxa de perigo Z(t) é definida como a razão do número de falhas ocorrendo no intervalo de tempo para o número de sobreviventes no início, dividido pela duração do intervalo de tempo. •  É uma medida da velocidade instantânea de falha. •  A unidade para Z(t) é o número de falhas por unidade de tempo, sendo a unidade mais usada 10-­‐9/h •  Diversos outros nomes são usados para Z(t), como taxa de falha instantânea, taxa de mortalidade, taxa de falha. Indicadores de Confiabilidade •  Consideramos então como sinônimos taxa de perigo Z(t) e taxa de falhas λ(t), definida como a densidade de defeitos f(t), dividida pela fração de elementos funcionando. •  Durante o momento de observação, esta fração é 1-­‐F(t) Indicadores de Confiabilidade •  Considerando estas condições simplificadas, se as falhas seguirem uma distribuição exponencial, então o inverso da taxa de falhas define o MTBF. Indicadores de Confiabilidade Indicadores de Confiabilidade •  Se assumirmos que todas as taxas são constantes, independente do tempo e que as falhas ocorrem independentemente umas das outras, podemos definir taxa de falhas como sendo simplesmente λ. •  Logo, o MTBF será: 1 λ
Indicadores de Confiabilidade •  Levando em conta a mesma suposição, podemos definir taxa de reparo como sendo μ. •  Logo, o MTTR (Mean Time to Repair) será: MTTR =
1
µ
•  Então, a disponibilidade será: MTBF
Disponibilidade =
MTBF+MTTR
Indicadores de Confiabilidade •  Uma distribuição exponencial descreve situações onde a taxa de falhas é constante, logo, podemos definir confiabilidade como: R = e− λt
•  A função densidade de probabilidade pode ser escrita como: f (t) = λ e− λt