conjunto dos números reais

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS(Aula01-Top1-Link4)
Alguns conjuntos numéricos são importantes e recebem nomes especiais,
admitindo que o conjunto dos reais é o conjunto universo dos números(1), tem-se o
conjunto dos números:
(a) Inteiros não negativos dado por N  {0,1, 2,3,...} (2);
(b) Inteiros dado por Z  {..., 2, 1, 0,1, 2,...} (3);
(c) Racionais dado por Q =
{ ; p e qÎ Z
p
q
}
com q ¹ 0
(4).
Observe que são
números racionais, as frações, os decimais com um número finito de algarismos
decimais e os decimais tendo infinitos algarismos decimais periódicos. Qualquer
que seja p Î Z, observe também que p0 não está definido como número
racional(5), em particular
0;
0
(d) Irracionais é indicado pela letra I e é o conjunto dos números reais que não
são racionais. Os números irracionais não possuem
representação usando os
algarismos indo-arábicos, mas podem ser aproximados por números racionais. A
existência de tais números, veio com a descoberta da
3 @1, 7320 ou
2 @1, 4142 ou talvez
5 @ 2, 2360 (6). Existe número irracional que não é raiz
quadrada de nenhum número inteiro, por exemplo, os números indicados pelas letras
“e”
(que aparece no estudo do logaritmo, cujo valor é
 2, 7182 ) e “ p ”
(usado como a razão do comprimento da circunferência para o seu diâmetro, cujo
(1)
Alguns autores consideram o conjunto universo dos números como sendo o conjunto dos números
complexos. Números complexos, são números da forma a  bi onde i  1, a e b são reais,
surgiram antes dos números negativos e os irracionais estarem solidamente estabelecidos, a grande
contribuição foi do italiano Raplael Bombelli (1526-1572) em sua “ ' Algebra” de 1573. Entretanto o
símbolo “ 1 ” foi introduzido em 1629 pelo francês Albert Girard (1590-1633) e “i” foi usado
pela primeira vez para indicar 1 em 1777 pelo suíço Leonhard Euler (1707-1783); foi impresso
pela primeira vez em 1794 e o termo “número complexo” foi introduzido pelo alemão Carl
Friederich Gauss (1777-1855) em 1832. Não estou querendo causar nenhuma confusão na sua cabeça,
mas na realidade, o que se chama de “números complexos” de forma tradicional, são pares ordenados
de números reais.
(2)
A letra “N” se refere a inicial da palavra “natural”, embora existam autores que consideram o conjunto
dos naturais (isto é, conjunto dos números que são usados para contagem de objetos da natureza)
como os inteiros positivos, o que é mais lógico.
(3)
A letra “Z” vem da palavra alemã “zahl” que significa “número”.
(4)
A letra “Q” deriva da palavra inglesa “quotient” que significa “quociente”.
(5)
Em Matemática pode ocorrer na solução de certos problemas se chegar ao símbolo
p
0,
particularmente em 00 , mas tais expressões não representam nenhum valor; entretanto, podem indicar
(6)
procedimentos a serem seguidos para resolver esse tipo de problema.
É suposto que o pitagórico Hipasus de Metapontum ou Crotona (cerca de 400 A.C.) descobriu o
primeiro número irracional, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo isósceles, que
revelaria a irracionalidade da 2, mais dois outros problemas poderiam ter levado a 3 e a 5.
CONJUNTOS NUMÉRICOS 2
valor é @ 3,1415 )(1);
(e) Pares dado por X = {K , - 4, - 2, 0, 2, 4, K } = {x Î R; x = 2n e n Î Z};
Y = {K , - 3, - 1,1,3,K } = {x Î R; x = 2n - 1 e n Î Z} =
(f) Ímpares dado
por
{x Î R; x = 2n + 1 e n Î Z};
(g) Primos dado por W = {1, 2,3, K } = {x Î N; x é divísivel somente por um e ele
mesmo}.
Observe que: (i) N Ì Z Ì Q Ì R; (ii) I Ì R; (iii) R = Q È I; (iv) Q Ç I = Æ,
isto é, Q e I são disjuntos; (v) I = R - Q.
Em tais conjuntos numéricos, quando se usa o símbolo: * (estrela), indica que o
zero foi excluído do conjunto; + (sinal de adição), significa que foram excluídos todos
os números negativos; - (sinal de subtração), quer dizer que foram excluídos todos os
números
positivos.
Por exemplos: (i) N* = {1, 2,3,K }; (ii) Z+ = N; (iii)
Q*- = {x Î Q; x é negativo}.
O conjunto N* é chamado de conjunto dos naturais. O conjunto R+* é dito o
conjunto dos reais estritamente positivos e os outros conjuntos análogos têm nomes
semelhantes.
Considerando que uma reta é formada de pontos, é possível identificar
cada número real através de um ponto da reta e vice-versa, assim representar
geometricamente o conjunto dos números reais R através de uma reta, isso é feito
como segue.
Suponha que r está na posição horizontal, escolhendo um ponto qualquer de
r, designando esse ponto pela letra “O”, faça-o corresponder ao número “zero”; em
seguida, escolha outro ponto qualquer à direita do ponto “O”, chamando esse ponto de
“ P ”, identifique P com o número “um”.
O
P
0
1
r
Adotando a distância unitária de O a P, essa distância é usada para associar o
restante dos números reais a pontos da reta. O número dois corresponde ao ponto que
está à direita e a uma unidade de distância de P, o número três correspondente ao ponto
que está à direita e a uma unidade de distância do ponto representando o número dois,
assim sucessivamente; analogamente, é feita a correspondência dos inteiros negativos
com os pontos à esquerda de O.
(1)
A irracionalidade de “e” e “ p ” têm demonstrações de níveis mais alto do que a raiz de dois. A
demonstraçao que o número “e” é irracional foi obtida por Euler em 1737. O uso da letra “e” foi
idealizado por Euler e impresso pela primeira vez em sua obra “Mechanica” de 1736, embora o seu
conceito já fosse conhecido a mais de um século. A letra “ p ” é a inicial da palavra “perímetro” em
grego e foi também adotada por Euler; porém foi o suiço Johann Heinrich Lambert (1728-1777),
quem primeiro apresentou a prova de que p é irracional, na Academia de Berlin em 1761. O
conceito de p data da época dos antigos babilônios e egípcios, que já usavam com precisão bastante
satisfatória, consideravam   3,16.
CONJUNTOS NUMÉRICOS 3
r
-1
-2
0
1
2
3
Os números racionais são associados a pontos de r, seguindo o princípio natural
da ordem e da distância unitária; por exemplo, para achar o ponto associado a 23 , como
2
3
está entre 0 e 1, o segmento de O a P é dividido em três partes iguais por dois
pontos, o segundo desses pontos está associado a
2
3
.
Observe que entre dois números inteiros, pode não existir outro inteiro, por
exemplo, entre 0 e 1 não existe número inteiro; entretanto, entre dois racionais,
sempre existe outro racional, por exemplo, se a e b são números racionais, com a à
esquerda de b, então a+2 b está entre a e b, e a +2 b Î Q. Esta propriedade dos
racionais, permite dizer que ele é denso no conjunto dos reais; porém, isso não significa
afirmar que todos os pontos da reta estão associados somente aos racionais, conforme a
figura e comentários a seguir.
Considere na figura o triângulo
retângulo de catetos iguais a 1, assim (do teorema de Pitágoras) de hipotenusa igual a
2 . Usando um
compasso com as pontas nas extremidades da hipotenusa e traçando
um arco de circunferência até interceptar a reta à direita da origem, o
ponto de interseção corresponde a
2 . Analogamente, foi localizado o
ponto da reta associado 3 .
1
3
2
1
1
0
2
3
2
r
Além da construção na última figura, uma localização aproximada do ponto
associado a raiz quadrada de dois, também pode ser efetuada usando uma aproximação
racional, pois como 2  1,414, o ponto está entres os pontos identificados com
1, 4 
7
5
 1 52
e
1,5 
3
2
 1 12 . Analogamente, o procedimento pode ser usado para
localizar aproximadamente os pontos associados aos números “ 3 ” “ 5 ”, “e” e
“ p ”.
1,4 1,5
-1
- 12
0
1
3
2
3
1
2
2,5
3
2 5
e
r
3
A seta para à direita,
indica que o crescimento
dos reais no eixo é da
esquerda para direita.
Ficou evidente que o conjunto dos irracionais I = R - Q não é vazio, mais do
que isso, uma teoria mais avançada permite mostrar que ele também é denso em R;
além disso, existe critério que classifica I mais amplo do que Q.
CONJUNTOS NUMÉRICOS 4
A explanação efetuada está de acordo com o postulado de Cantor-Dedekind(1) ,
este mas do que foi dito, afirma que cada número real corresponde a um único ponto da
reta e cada ponto da reta está associado a um único número real. O conjunto dos reais,
com as considerações mencionadas em relação a uma reta, é dito um sistema de
coordenadas da reta e a reta é chamada de reta real ou eixo real. Embora um número
real e um ponto de uma reta sejam elementos de natureza diferentes, devido a
correspondência entre os pontos e números reais, é comum mencionar os pontos da reta
como números, considerando desta forma fica natural uma expressão do tipo “o ponto 2
da reta” ou “o segmento de reta de - 1 até 2”.
Se uma reta está na posição horizontal, por exemplo, dados os números reais a
e b, então a é menor que b (ou b é maior que a), indica-se a < b (ou b > a), se
a está à esquerda de b na reta(2); além disso, a £ b (lê-se, a menor do que b ou
igual a b) se a < b ou a = b, analogamente a ³ b.
Outros conjuntos numéricos importantes, são os intervalos de números reais,
se a e b ∈ R com a < b, tais intervalos são definidos a seguir. Nas figuras, os eixos
na cor “azul” representam o conjunto dos reais e intervalos estão ilustrados na cor
“laranja”:
(a) Intervalo fechado,
R
R
(
a
(
[
[
[a, b] = {x Î R; a £ x £ b};
R
b
(b) Intervalos abertos,
(a , b)  {x  R; a  x  b},
(
a
(, b)  {x  R; x  b},
(a,)  {x  R; a  x} ,
b
b
(
R
a
(,)  R;
R
(c) Intervalos semifechados ou semi-abertos,
[a , b)  {x  R; a  x  b},
[
a
a
R
(
(
[
(a , b]  {x  R; a  x  b},
R
b
b
Até o final do século XIX não havia qualquer definição da expressão “número real”, a preocupação dos
matemáticos em complementar os racionais para chegar aos reais, durou cerca de meio século, até que
o alemão Julius Wihelm Richard Dedekind (1831-1916) viu que o conjunto dos racionais podia ser
estendido aos reais, supondo o que é chamado o axioma de Cantor-Dedeking, isto é, existe uma
correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais. Tal axioma tem uma
aritmetização, que divide os números racionais em duas classes e se chama “corte de Dedekind”, essa
sistemática define número irracional. Resumindo, o corte de Dedekind no sistema dos racionais, faz
uma construção dos números reais.
(2)
Esta é uma definição geométrica, mas é possível estabelecer uma definição analítica de <.
(1)
CONJUNTOS NUMÉRICOS 5
( , b]  {x  R; x  b} ,
R
[
b
[a,)  {x  R; a  x}.
[
R
a
Exemplo Resolvido. Os intervalos [- 1, 2) e (- ¥ , 0] são representados por
(
[
-1
0
1
2
R
e
0
R