Constante de propagação

LINHAS DE TRANSMISSÃO
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Constante de propagação - 1
• A grandeza complexa γ = α + jβ = (R + jωL )(G + jωC ) é denominada por constante de
propagação e tem por unidade o inverso do comprimento (m-1), sendo Z = R + jωL e Y = G + jωC
a impedância longitudinal e a admitância transversal da linha de transmissão por unidade de
comprimento.
• Para interpretar fisicamente as grandezas α e β vamos considerar o caso geral de VO+ , VO− e Z 0 ,
serem grandezas complexas: VO+ = V + e jφ , VO− = V − e jφ e Z 0 = Z 0 e jθ
1
2
• Os valores instantâneos da tensão e da corrente ao longo da linha serão então:
v( z , t ) = Re{V ( z )e jωt } = V + e −αz . Re{e j (ωt − βz + φ ) } + V − e αz . Re{e j (ωt + βz + φ 2 ) }
1
v( z , t ) = V + e −αz Cos (ωt − βz + φ1 ) + V − e αz Cos(ωt + βz + φ 2 )
V + −α z
V − αz
j (ωt − βz + φ −θ )
} + e . Re{e j (ωt + β +φ 2+θ ) }
i ( z , t ) = Re{I ( z )e } =
e . Re{e
Z0
Z0
jωt
1
I + −αz
I − αz
i(z, t ) =
e Cos (ωt − βz + φ1 − θ ) + e Cos (ωt + βz + φ 2 + θ )
Z0
Z0
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Constante de propagação - 2
• Tanto v( z , t ) como i ( z , t ) são, no caso geral, o resultado da sobreposição de duas ondas
progressivas, a onda incidente e a onda reflectida, propagando-se em sentidos opostos.
• Significado físico de α
o A parte real da constante de
propagação determina o modo
como as amplitudes das ondas
incidente de tensão e corrente são
amortecidas ao longo da linha, no
seu sentido de propagação, devido
ao factor e-αz. Daí designar-se α por
constante de atenuação.
o Na figura está representada a onda
incidente de tensão
v( z , t ) = V + e −αz Cos (ωt − βz + φ1 ) ao
longo da linha em dois instantes de
tempo.
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Constante de propagação - 3
o Para as ondas reflectidas de tensão e corrente, que se propagam em sentido contrário ao das
ondas incidentes, o amortecimento é devido à exponencial e-αz. Portanto, as ondas reflectidas
amortecem-se quando progridem do receptor para o gerador, isto é, no seu sentido de
propagação.
o Considerando uma onda incidente de tensão que se desloca do ponto z1 para o ponto z2 ao
longo de uma linha de transmissão uniforme, as amplitudes V(z1) e V(z2) naqueles dois
pontos estão relacionadas pela expressão:
V (z 2 )
= e −α ( z − z )
V ( z1 )
2
1
o O que determina a atenuação entre os dois pontos. Na prática utiliza-se como unidade de
atenuação o decibel (dB), sendo então a atenuação determinada por:
A( dB ) = 20 log
V (z 2 )
V ( z1 )
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Constante de propagação - 4
• Significado físico de β
o As ondas incidentes de tensão e de corrente sofrem uma variação de fase βz em atraso,
proporcional à distância z ao gerador, enquanto as ondas reflectidas sofrem a mesma
variação de fase em avanço.
o Portanto, a parte imaginária da constante de propagação determina a variação de fase que
sofrem as ondas de corrente e de tensão por unidade de comprimento da linha. Designa-se
por constante de fase e exprime-se em radianos por unidade de comprimento.
o A variação de fase βl, correspondente ao comprimento total da linha, é designado por
ângulo de distorção da linha.
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Constante de propagação - 5
• Velocidade de fase, comprimento de onda
o Na figura está representada a posição da onda incidente de tensão, em três instantes de
tempo, no caso de uma linha sem perdas (α
α=0).
o Para se determinar a velocidade com que se desloca um ponto P da onda, basta considerar
constante o argumento ou fase ωt − βz + φ1 = const. e derivar em ordem ao tempo:
dz
= 0 . Obtemos assim a velocidade de propagação vp.
ω−β
dt
ω
vp =
β
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Constante de propagação - 6
o Esta velocidade de propagação é designada por velocidade de fase e está relacionada com o
comprimento de onda λ pela expressão vp=fλ
λ e portanto
β=
2π
λ
o Com efeito, dados dois pontos de linha afastados de ∆z em que a onda incidente tem a
mesma fase, terá de se verificar:
βz = 2πn
o O valor mínimo de ∆z, corresponde a n=1, denomina-se comprimento de onda λ.
o No caso ideal de uma linha sem perdas, R=0 e G=0, a constante de propagação será
γ = jω LC = jβ e a velocidade de fase será:
vp =
ω
=
β
1
LC