Álgebras com Identidades Polinomiais - PMA-UEM

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
(Mestrado)
Álgebras com Identidades Polinomiais
FERNANDA TALINE DA SILVA STORI
Orientador: Ednei Aparecido Santulo Júnior
Maringá - PR
2011
Álgebras com Identidades Polinomiais
FERNANDA TALINE DA SILVA STORI
Dissertação
apresentada
Graduação
em
de Matemática,
ao
Programa
Matemática
do
de
Pós-
Departamento
Centro de Ciências Exatas da
Universidade Estadual de Maringá, como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
Área de concentração: Álgebra
Orientador: Prof.
Júnior
Maringá - PR
2011
Dr.
Ednei Aparecido Santulo
Agradecimentos
Aos meus pais, Vera e Elemar da Silva, pelo apoio innito desde meu ingresso
na vida acadêmica e por acreditarem em mim mais do que eu mesma.
Ao meu irmão, Felipe da Silva, pelo incentivo que talvez nem ele mesmo imagina.
Ao meu esposo, companheiro e amigo, Newton Stori, por ser minha vida e estar
ao meu lado em cada momento, sempre pronto a me amparar e ouvir.
À minha eterna professora, Fabiana Papani, pelo exemplo.
Ao meu orientador, professor Dr. Ednei Aparecido Santulo Júnior, pelo acompanhamento.
À Fundação Araucária, pelo apoio nanceiro.
1
Resumo
No presente trabalho são introduzidas denições e resultados básicos sobre PIálgebras, são enunciados e demonstrados resultados clássicos da teoria que as envolvem, são fornecidas demonstrações, utilizando identidades graduadas, de partes
do Teorema do Produto Tensorial de Kemer e, utilizando métodos assintóticos, é
mostrado que o mesmo não se estende ao caso de característica positiva.
2
Abstract
In this work we introduce basic denitions and results about PI-algebras, we state
and prove classical results of their theory, we provide proofs, through graded identities, of parts of Kemer's Tensor Product Theorem and, by using asymptotic methods,
we show it is not valid for the case of positive characteristic.
3
Sumário
Agradecimentos
1
Abstract
3
Introdução
6
1 Conceitos Preliminares
9
1.1
Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
PI-álgebras
1.3
Geradores dos
1.4
Matrizes Genéricas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T -ideais
9
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.5
Polinômios Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.6
Dimensão Gelfand-Kirillov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2 Teoremas Clássicos da PI-teoria
36
2.1
O Teorema da Codimensão de Regev
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.2
O Teorema de Amitsur-Levitzki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3
O Teorema de Nagata-Higman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.4
Teorema de Shirshov
49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Identidades Polinomiais Graduadas de Álgebras T -primas
3.1
Álgebras Graduadas e Bases Multiplicativas
4
. . . . . . . . . . . . . .
58
59
Mp,q (E)
e
Mp,q (E) ⊗ Mr,s (E)
3.2
Identidades Polinomiais Graduadas de
3.3
Identidades Monomiais Multilineares para a Àlgebra
Mp,q (E)
.
62
. . . . .
69
4 Identidades Polinomiais de Álgebras em Característica Positiva
75
4.1
Conceitos Introdutórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.2
GK-dimensão de Álgebras Relativamente Livres
. . . . . . . . . . . .
77
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.2.1
As álgebras
E⊗E
4.2.2
As álgebras
M1,1 (E) ⊗ E
e
M1,1 (E)
e
Referências Bibliográcas
M2 (E)
. . . . . . . . . . . . . . . .
79
81
5
Introdução
Entre os objetos importantes de estudo estão as álgebras de matrizes sobre anéis, as
álgebras comutativas e as álgebras de dimensão nita, visto que o campo de aplicações destes objetos é bastante amplo. Essas álgebras pertencem a uma classe mais
ampla de álgebras, a qual denominamos de PI-álgebras ou álgebras com identidades
polinomiais, ou seja, são álgebras para as quais, existe pelo menos um polinômio não
nulo cujo produto entre as variáveis é associativo mas não comutativo, que é anulado em qualquer substituição das variáveis por elementos da álgebra em questão.
Estudar PI-álgebras consiste em estudar como as identidades polinomiais satisfeitas
por uma álgebra interferem em sua estrutura.
Ainda que os primeiros passos no estudo de identidades polinomiais satisfeitas
por uma álgebra tenham sido dados em 1922 com o artigo [9], seu estudo se intensicou nesta direção em torno dos anos 1950, principalmente devido a trabalhos
importantes de Jacobson e Kaplansky, os quais inuenciaram o posterior desenvolvimento da PI-teoria. Vale observar que Kaplansky, em [15], elaborou uma extensa
lista de problemas relevantes na teoria de anéis.
mas em aberto sobre PI-álgebras.
Nessa lista estão vários proble-
Alguns desses problemas já foram resolvidos e
em sua solução surgiram novos problemas, outros permanecem sem solução e têm
sido alvo de pesquisas e trabalhos de alta relevância. Nessa mesma época, Specht
levantou o seguinte problema: O T -ideal de identidades polinomiais satisfeitas por
uma álgebra é sempre nitamente gerado?
6
Tal problema passou a ser conhecido
como problema de Specht e uma solução (positiva) para ele, em característica zero,
foi obtida por Kemer em [16]. Neste trabalho Kemer ainda classicou as álgebras
T -primas,
a menos de PI-equivalência, em característica zero, e obteve o Teorema
do Produto Tensorial.
Teorema (Teorema do Produto Tensorial). Seja charK = 0. Então
1.
Ma,b (E) ⊗ E ∼ Ma+b (E).
2.
Ma,b (E) ⊗ Mc,d (E) ∼ Mac+bd,ad+bc (E).
3.
M1,1 (E) ∼ E ⊗ E .
Em particular, tal teorema estabelece que o produto tensorial de duas álgebras
T -primas
é igualmente uma álgebra
T -prima.
Posteriormente, surgiram demonstrações alternativas para o Teorema do Produto
Tensorial em característica zero (por exemplo [10]) bem como foi demonstrado que
o Teorema do Produto Tensorial não é válido quando as álgebras são consideradas
sobre outros tipos de corpos (por exemplo [1]).
Na presente dissertação fornecemos os fundamentos da PI-teoria, fornecemos
alguns resultados clássicos e procuramos mostrar como tais ferramentas foram utilizadas para obter demonstrações alternativas de partes do Teorema do Produto
Tensorial de Kemer ou para mostrar que o mesmo não se estende, em geral, para o
caso de característica positiva.
A dissertação está organizada do seguinte modo.
No Capítulo 1 são introduzidos conceitos e resultados básicos da PI-teoria.
No Capítulo 2 são enunciados e demonstrados resultados clássicos da PI-teoria,
a saber, o Teorema de Amitsur-Levitzki (no caso de característica zero), o Teorema
de Shirshov sobre a Altura, o Teorema de Regev sobre a Codimensão e o Teorema
de Nagata-Higman.
7
No Capítulo 3 são fornecidos geradores para o
graduadas de
Mp,q ⊗ Mr,s (E)
e
Mp,q (E)
T -ideal
de identidades
Zn × Z2 -
(Teorema 3.2.5) e é fornecida uma demons-
tração devida a Di Vincenzo e Nardozza para um dos casos do Teorema de Kemer
sobre o Produto Tensorial utilizando identidades graduadas (Teorema 3.2.7). Também é feita uma análise acerca de que subálgebras especiais de
Mn (E)
satisfazem
identidades monomiais não triviais (Teorema 3.3.4).
No Capítulo 4 é mostrado (seguindo métodos de Alves e Koshlukov) que dois dos
casos de tal teorema falha para corpos innitos de característica positiva (Teoremas
4.2.5 e 4.2.9).
8
Capítulo 1
Conceitos Preliminares
Neste capítulo introduzimos denições que serão utilizadas ao longo de toda a dissertação, bem como enunciamos resultados básicos, porém de uso recorrente ao longo
de todo o texto.
Iniciamos com a denição de álgebra associativa e de denições e resultados elementares sobre tais álgebras, denimos álgebra livre em uma variedade, denimos
PI-álgebras (graduadas) e álgebras relativamente livres, enunciamos alguns resultados relativos aos geradores do
T -ideal
de identidades satisfeitas por uma álgebra,
exibimos e enunciamos algumas propriedades da álgebra de matrizes genéricas (que
constituem um modelo bastante útil de álgebra relativamente livre na variedade
determinada por
Mn (K),
sendo
K
innito), fazemos uma breve discussão acerca
dos polinômios centrais e, por m, denimos e enunciamos resultados referentes à
GK -dimensão
1.1
de uma PI-álgebra.
Álgebras
Nesta seção denimos e fornecemos as propriedades básicas de álgebras.
Denição 1.1.1.
Uma
álgebra A
sobre um corpo
9
K
(ou uma
K -álgebra)
é um
K
espaço vetorial sobre
munido de uma operação
multiplicação, tal que, para qualquer
1.
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c;
2.
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c;
3.
α(a ∗ b) = (αa) ∗ b = a ∗ (αb).
α∈K
Na denição anterior usamos o símbolo
de
A,
∗ : A × A −→ A,
e quaisquer
chamada
a, b, c ∈ A,
∗ para a multiplicação de dois elementos
a m de distingui-la da multiplicação por escalar, mas ao longo do restante
do texto denotaremos ambas as operações da mesma forma.
Repare que uma álgebra possui, simultaneamente, as estruturas de espaço vetorial e de anel. Se a álgebra
A,
como anel, é um anel comutativo, dizemos que
A
é
álgebra comutativa e se A é um anel unitário, dizemos que A é uma álgebra
unitária. Se a álgebra A é unitária, ela contém uma cópia do corpo K , o conjunto
uma
{λ.1 : λ ∈ K};
Uma
que, por abuso de notação, é denotado por
K -álgebra A
é uma
álgebra de Lie se, para quaisquer a, b, c ∈ A vale que
1.
a∗a=0
2.
(a ∗ b) ∗ c + (b ∗ c) ∗ a + (c ∗ a) ∗ b = 0
Uma
subálgebra B
relação às operações de
de uma álgebra
A,
K.
A
(identidade de Jacobi).
é um subconjunto da mesma que, com
também é uma álgebra, ou seja,
B
respeito à adição, multiplicação e multiplicação por escalar de
que
A
é unitária,
B
deve ser fechado com
A.
No caso ainda em
deve possuir também 1. Tal como ocorre para ideais em um
anel, a interseção de qualquer família de subálgebras de uma álgebra também é uma
subálgebra desta álgebra.
X
de uma álgebra
conjunto, isto é,
A,
[X]
Assim, a
denotada por
subálgebra gerada por um subconjunto
[X],
é a menor subálgebra que contém esse
é a interseção de todas as subálgebras de
10
A
que contém
X.
Um subconjunto
mente, um ideal de
I
de
A
é um
ideal da álgebra A se o mesmo é,
A como anel e um subespaço vetorial de A como espaço vetorial.
No caso em que a álgebra é unitária, se
I
maticamente que
simultanea-
I
é um ideal de
A.
é um subespaço vetorial de
A
como anel, temos auto-
Tal como no caso de anéis e de
espaços vetoriais, podemos denir o quociente de uma álgebra
estendendo as operações de
I
bem denidas já que
A
às classes de equivalência de
A por um seu ideal I
A/I .
As operações são
é, ao mesmo tempo, ideal de um anel e subespaço vetorial.
centro Z(A) de uma álgebra A é a subálgebra denida por Z(A) := {a ∈ A :
ab = ba, ∀b ∈ A}. Se a álgebra A é unitária, então K ⊂ Z(A) e A é uma álgebra
central se Z(A) = K .
O
elementos de um
A pode ser escrita como soma direta de subespaços indexados por
M
grupo abeliano (G, +), isto é, A =
Ag e, além disso, se dados
a ∈ Ag
temos que
Se uma álgebra
g∈G
e
b ∈ Ah
um elemento
a ∈ Ag
é chamado de
um elemento homogêneo
Exemplo 1.1.2.
K -álgebra
a∈A
Todo corpo
dizemos que a álgebra
G-graduada
extensão de
e
O grau de
∂(a).
K,
com as operações usuais, é uma
A álgebra
Mn (K)
das matrizes
n×n
com entradas em um corpo
com as operações usuais de adição, multiplicação e multiplicação por escalar,
é uma
K -álgebra
Denição 1.1.4.
k ∈ Zn , Mn (K)k := {(aij ) : aij = 0
Seja
K
um corpo e seja
V
conjunto enumerável (eventualmente nito)
sendo
i
um inteiro positivo (1
(denotada por
base
Mn (K)
unitária e central. A álgebra
natural. Para cada
ei
é
elemento homogêneo de grau g.
é denotado por
L
A
comutativa e unitária.
Exemplo 1.1.3.
K,
ab ∈ Ag+h ,
E(V ),
Zn -graduação
j − i 6≡ k(mod n)}.
um espaço vetorial tendo por base um
X,
≤ i ≤ |X|).
ou simplesmente por
se
admite uma
cujos elementos são denotados por
A
E)
álgebra de Grassmann sobre V
é a
K -álgebra
unitária tendo como
β = {ei1 ei2 · · · eik : k ≥ 1; i1 < i2 · · · < ik } ∪ {1}, sendo a adição e multiplicação
11
formais levando-se em conta as relações
ei ej = −ej ei , e2i = 0
(se
charK 6= 2
essa
última condição segue da primeira).
Para um elemento de
fatores
ej
β
denimos seu
comprimento como sendo o número de
que o formam (tendo 1 comprimento 0). Denotando por
álgebra de Grassmann gerado por todos os elementos de
par e, por
E1
o subespaço gerado pelos elementos de
ímpar, temos que
E = E0 ⊕ E1
é uma
Z2
E0 o subespaço da
β que possuem comprimento
β
que possuem comprimento
E
-graduação de
e que
Z(E) = E0
se
charK 6= 2.
Denição 1.1.5.
ção
ϕ:A→B
Seja
é um
K
um corpo e sejam
A
e
B
homomorsmo de álgebras
transformação linear de
K -espaços
duas
K -álgebras.
A aplica-
se é, simultaneamente, uma
vetoriais e um homomorsmo de anéis.
isomorsmo se é bijetor. Um homomorsmo
de álgebras ϕ : A → A é chamado endomorsmo da álgebra A.
Um homomorsmo é chamado de
O núcleo de um homomorsmo de álgebras
ϕ : A → B
momorsmo de anéis. O mesmo é sempre um ideal de
A
é o núcleo como ho-
e propriedades análogas
do núcleo e imagem de um homomorsmo de anéis valem para homomorsmo de
álgebras.
Teorema 1.1.6 (Teorema do Isomorsmo para Álgebras). Sejam A e B álgebras e
seja ϕ : A → B um homomorsmo. Então A/ ker ϕ é isomorfo a Imϕ.
A demonstração é essencialmente a mesma do caso de anéis, tomando-se o cuidado em vericar que o isomorsmo de anéis, nesse caso, também preserva a multiplicação por escalar.
Uma classe mais restrita de ideais de uma álgebra, mas que desempenha papel
importante no estudo de PI-álgebras, é a dos
T -ideais,
que denimos a seguir.
Denição 1.1.7. Um ideal I de uma álgebra A é um T -ideal de A se, para qualquer
endomorsmo
ϕ : A → A,
tivermos que
ϕ(I) ⊂ I .
12
Exemplo 1.1.8.
Seja
K
um corpo, então o conjunto
superiores com entradas em
K
de diagonal nula é um
I
das matrizes triangulares
T -ideal
das matrizes triangulares superiores). A vericação de que
I
de
U Tn (K)
é um ideal é canônica.
I
Para vericar que é fechado por endomorsmos, basta reparar que
U Tn (K)
o conjunto de todas as matrizes nilpotentes de
(conjunto
representa
e um endomorsmo deve
mandar elementos nilpotentes em elementos nilpotentes.
T -ideais
Tal como ocorre com os ideais, a interseção de qualquer família de
uma álgebra
A é também um T -ideal e, portanto, podemos falar no T -ideal
de
gerado
por um subconjunto X de A, que denotamos por hXiT .
Denição 1.1.9.
B
Seja
uma classe de álgebras à qual pertence
álgebra, por um subconjunto
gerada por X
i
Dizemos que
se, para qualquer álgebra
existir um homomorsmo
qual
X.
ϕ:A→B
denota a inclusão de
X
A,
em
A
A
gerada, como
é livre na classe B livremente
B ∈ B,
e qualquer aplicação
que estende
f,
f : X → B,
isto é, o diagrama abaixo, no
comuta.
X _
i
f
/
>B
ϕ
A
A cardinalidade do conjunto
Seja
X
X = {x1 , x2 , · · · , xn , · · ·}
Denotamos por
KhXi
a
é chamada de
um conjunto enumerável, possivelmente nito.
K -álgebra
dos polinômios nas variáveis
plicação sendo associativa, mas não comutativa.
K -álgebra
posto da álgebra A.
xj ,
com a multi-
Em outras palavras,
KhXi
é a
que possui por base, como espaço vetorial, a união de {1} com o con-
junto formado por todos os monômios da forma
inteiro positivo menor ou igual a
|X|,
e cada
ij
um
podendo ocorrer repetição de índices. O re-
sultado da multiplicação entre dois monômios
xi1 xi2 · · · xik xj1 xj2 · · · xjl
xi 1 xi 2 · · · xi k ; k ∈ N
xi 1 · · · xi k
e
xj1 · · · xjl
é o monômio
e se estende por linearidade para todos os elementos de
KhXi.
13
Proposição 1.1.10. A álgebra KhXi é livre, livremente gerada por X na classe de
todas as álgebras associativas e unitárias. Assim como a álgebra KhXi \ K é livre,
livremente gerada por X na classe de todas as álgebras associativas.
Demonstração: Mostraremos apenas a primeira armação, uma vez que a demonstração da segunda é similar.
f :X →A
a
|X|
dado
X
é nito) denotamos por
p(x1 , · · · , xk ) ∈ KhXi,
p
uma álgebra associativa unitária e seja
i
uma aplicação qualquer. Para cada inteiro positivo
no caso em que
partir de
A
Seja
para que
substituindo-se cada
Um polinômio
xi
por
ϕ
estenda
ai
em
p.
ai
a imagem de
(menor ou igual
xi
pela
f.
f , ϕ(p) = p(a1 , · · · , ak ),
Claramente,
ϕ
p
obtido a
é homomorsmo.
p(x1 , · · · , xn ) ∈ KhXi é chamado de homogêneo,
de cada um de seus monômios é constante. O polinômio
Então,
se o grau total
é chamado de
multiho-
mogêneo de multigrau (k1 , · · · , kn ) se, em todos os monômios que constituem p,
e, para todo
j
de multi-grau
entre 1 e
n , a variável xj
(1, 1, · · · , 1)
Denição 1.1.11.
tem grau
é chamado de
Sejam
A, B
duas
kj .
Um polinômio multihomogêneo
multilinear .
K -álgebras.
Então
A
e
B
são
K -módulos
bilaterais sendo a ação (tanto à esquerda quanto à direita) a multiplicaçõ por escalar.
O produto tensorial
A ⊗K B
B
(vide [3]) munido de multiplicação denida por
como
K -módulos
(ou simplesmete
A ⊗ B)
é o produto tensorial de
A
e
(a ⊗ b) · (a0 ⊗ b0 ) = aa0 ⊗ bb0
para quaisquer
1.2
a, a0 ∈ A
e
b, b0 ∈ B
e estendida por linearidade.
PI-álgebras
A m de evitar repetições desnecessárias, ao longo do texto, exceto quando explicitado o contrário,
K
denotará um corpo,
A
14
uma
K-
álgebra e
G
um grupo abeliano
com notação aditiva.
Além disso, todas as álgebras consideradas por nós serão
unitárias e grande parte do que fazemos aqui pode ser generalizado para álgebras
quaisquer tomando-se os devidos cuidados. Assim trataremos a álgebra
KhXi
sim-
plesmente por álgebra livre, cando subentendido que é livre na classe de todas as
álgebras associativas e unitárias.
Denição 1.2.1. Seja A uma K -álgebra. Dizemos que A é uma álgebra com
identidade polinimial ou simplesmente uma PI-álgebra, se existe um polinômio
não-nulo
gebras
p(x1 , · · · , xn ) ∈ KhXi
ϕ : KhXi → A
álgebra
A
de modo que, para qualquer homomorsmo de ál-
, temos que
p(x1 , · · · , xn ) ∈ ker ϕ.
Nesse caso dizemos que a
satisfaz o polinômio p .
Repare que a denição anterior é equivalente a dizer que qualquer substituição
das variáveis do polinômio
p
por elementos da álgebra
A
anula o polinômio em
um vez que cada tal substituição induz automaticamente uma aplicação
A,
f :X→A
que se estende a um homomorsmo
ϕ : KhXi → A.
Exemplo 1.2.2.
unitária comutativa é uma PI-álgebra, já que
satisfaz
Toda
K -álgebra
x 1 x2 − x2 x 1 .
Proposição 1.2.3. Toda K -álgebra A de dimensão nita n satisfaz o polinômio
standard sn+1 (x1 , · · · , xn+1 ) =
X
(−1)σ xσ(1) xσ(2) · · · xσ(n+1) .
σ∈Sn+1
Demonstração: Como o polinômio em questão é multilinear, basta vericar que
o mesmo se anula para elementos em uma base
base de
β
de
A.
Seja
β = {v1 , · · · , vn }
A, então, ao substituirmos cada xi por um elemento de β , algum vj
pelo menos duas vezes em cada monômio. Denotemos por
substituídas pelo mesmo
às permutações
σ
e
vj .
(i1 i2 )σ
Então, para cada
e, portanto,
A
satisfaz
e
A
15
duas variáveis
com o sinal trocado,
sn+1 (vj1 , · · · , vjn+1 ) = 0
sn+1 (x1 , · · · , xn+1 ).
x i2
aparecerá
σ ∈ Sn+1 par, os monômios associados
fornecem o mesmo elemento de
logo a soma de tais parcelas se anula e,
xi 1
uma
se
vj1 , · · · , vjn+1 ∈ β
Para quaisquer polinômios
p, q ∈ KhXi denotamos por [p, q] o polinômio pq −qp.
Proposição 1.2.4. A álgebra de Grassmann E satisfaz [[x1 , x2 ], x3 ].
Demonstração: Como o polinômio em questão é multilinear, basta vericar que
o mesmo se anula para os elementos
Se
x1
está em
ou
x2
vj
da base
temos que
[v1 , v2 ]
zero. Por outro lado, se ambos,
v1
e
(e, consequentemente,
v2 ,
Seja
A
(sendo o próprio centro se
[v1 , v2 ]
em
E0 .
Como
E0
é igual a
v1 v2
e
v2 v1
está contido
charK 6= 2), [[v1 , v2 ], v3 ] = 0.
uma PI-álgebra. Denotamos por
polinômios satisfeitos por
[[v1 , v2 ], v3 ])
possuem comprimento ímpar,
possuem, ambos, comprimento par, estando
E
dada na Denição 1.1.4.
é substituído por um elemento de comprimento par, como o mesmo
E0 = Z(E),
no centro de
β
T (A) ⊂ KhXi
o conjunto de todos os
A.
Proposição 1.2.5. Seja A uma PI-álgebra. Então T (A) é um T-ideal de KhXi.
Demonstração: Note que
\
T (A) =
ker ϕ,
que é uma interseção de uma
ϕ:KhXi→A
família de ideais de
KhXi
e, portanto, ideal de
é fechado por endomorsmos.
qualquer homomorsmo
de
Ora,
p ∈ T (A)
ψ : KhXi → A.
KhXi.
Veriquemos pois que
T (A)
p ∈ ker ψ ,
para
se, e somente se,
Em particular, sendo
ϕ
um endomorsmo
KhXi, p ∈ ker(ψ ◦ ϕ), para qualquer homomorsmo ψ : KhXi → A.
ker ψ
para qualquer homomorsmo
Dizemos que duas álgebras
A
e
ψ : KhXi → A;
B
são
e, portanto,
Logo
ϕ(p) ∈
ϕ(p) ∈ T (A).
PI-equivalentes se T (A) = T (B).
16
Seja
ideal
I
um conjunto de índices indexando
hpi : i ∈ IiT
KhXi
de
todos os polinômios de
A∈B
se
J ⊂ T (A).
J
e seja
B
pi ∈ KhXi.
Denotemos por
J
o
T-
a classe de todas as álgebras que satisfazem
(podendo satisfazer mais polinômios). Em outras palavras,
A classe de álgebras
B
é chamada de
variedade de álgebras
determinada pelas identidades {pi : i ∈ I}.
Seja
B uma variedade de álgebras.
livre da variedade B,
Seja
B é chamada relativamente
(livremente gerada por um conjunto
LX (B), se é livre na classe B
Exemplo 1.2.6.
Uma álgebra em
e livremente gerada por
X = {x1 , x2 , · · · , xn , · · ·}
X
X ),
denotada por
tal como na Denição 1.1.9.
um conjunto enumerável (possivel-
mente nito).
A álgebra
os monômios
K[X],
xi1 xi2 · · · xik , k ∈ N e 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ · · · ≤ ik ≤ |X| com a multiplicação
entre os monômios
n1 , · · · , nk+l
que tem por base {1} unido com o conjunto formado por todos
xj 1 · · · xj k
e
xi 1 · · · xi l
dada por
são a reordenação dos índices
n2 ≤ · · · ≤ nk+l
xn1 xn2 · · · xnk+l , no qual os índices
i1 , · · · , il , j1 , · · · , jk
de modo que
n1 ≤
(ou seja, as variáveis comutam) é relativamente livre na variedade
determinada pelo polinômio
[x1 , x2 ].
O fato de que tal álgebra é relativamente livre na variedade determinada por
[x1 , x2 ]
segue do teorema seguinte com o fato de que
K[X] = KhXi/h[x1 , x2 ]iT .
Teorema 1.2.7. Seja B uma variedade denida por um dado conjunto de polinômios
{pi : i ∈ I} ⊂ KhXi. Seja J o T -ideal de KhXi gerado por tal família de polinômios.
Então a álgebra KhXi/J é relativamente livre na variedade B. Além disso, álgebras
relativamente livres em uma mesma variedade e com mesmo posto são isomorfas.
Demonstração:
conjunto
de
xi
X
pela
Claramente
KhXi/J ∈ B .
pela projeção canônica
π.
Sejam
Denotemos por
π : KhXi → KhXi/J ,
A ∈ B, f : X → A
17
sendo
uma aplicação e
X
a imagem do
xi ∈ X
f : X → A
a imagem
dada por
f = f ◦ π.
modo que
Como
KhXi
ψ|X = f ,
é a álgebra livre, existe homomorsmo
ψ : KhXi → A
de
em outras palavras, o diagrama abaixo comuta.
ψ
KhXi
π
/
;
A
f
KhXi/J
O homomorsmo
por
ψ(π(p)) = ψ(p),
(e, portanto
ψ : KhXi/J → A
f
mas note que tal aplicação só está bem denida se
p − q ∈ ker π )
p − q ∈ ker ψ .
que naturalmente estenderia
Ou seja,
implicar
ker π
A ∈ B, J ⊂ T (A) ⊂ ker ψ .
ψ(p) = ψ(q);
seria dado
π(p) = π(q)
o que ocorre se, e somente se,
deve estar contido em
ker ψ ,
Portanto tal aplicação
ψ
mas
ker π = J
e como
está bem denida e é um
homomorsmo.
Por m, vamos mostrar que se
|X| = |Y | então LX (B) ∼
= LY (B).
uma bijeção. Então existem homomorsmos
LX (B)
que estendem, respectivamente,
deixado xo por
portanto
ψ ◦ ϕ,
f
e
ϕ : LX (B) → LY (B)
f −1 .
Seja
e
f :X→Y
ψ : LY (B) →
X
é
ϕ ◦ ψ,
e
Mas então todo elemento de
o mesmo ocorrendo com os elementos de
Y
para
ψ◦ϕ = IdLX (B) e ϕ◦ψ = IdLY (B) , de onde segue que ψ e ϕ são isomorsmos,
sendo um o inverso do outro.
Muitas vezes é difícil trabalhar com as identidades polinomiais de uma álgebra,
convindo utilizar tipos mais fracos de identidades polinomiais, mas que sejam mais
fáceis de serem manipuladas. É o caso das identidades com traço, das identidades
com involução, dos polinômios centrais e das identidades graduadas, por exemplo.
Falaremos somente dos últimos dois.
Para tanto, primeiro denimos a
álgebra G-graduada livre KhXiG .
um grupo abeliano com notação aditiva. Para cada
18
g ∈ G,
Seja
G
tomamos um conjunto
(g)
(g)
[
(g)
Xg = {x1 , x2 , · · · , xn , · · ·} enumerável e denimos X :=
Xg .
Note que
KhXiG
g∈G
é
G-graduada
(g ) (g )
xi 1 1 xi 2 2
de
X0
KhXig
se considerarmos
(g )
· · · xi k k , k
∈ N
o subespaço gerado por todos os monômios
g1 + g2 + · · · + gk = g .
de modo que
acrescentamos o 1 à sua base.
Usando um argumento similar ao utilizado
KhXi,
na demonstração da Proposição 1.1.10, mostra-se que
G-livre
e uma aplicação
algum elemento de
que
Ag ,
ϕ(KhXig ) ⊂ Ag ,
para todo
Seja
graduado não-nulo
p ∈ KhXiG
p
pertence ao
ker ϕ
f :X→A
A
g∈G
é uma
G-graduada.
para qualquer homomorsmo graduado
A
(g )
(g )
p(x1 1 , · · · , xmm )
é denotado por
ocorre no caso das identidades ordinárias, é um
TG (A)
(tal
ϕ : KhXiG → A.
é identidade graduada
de
O conjunto de todas as identidades polinomiais
satisfeitas por uma álgebra
para
Dizemos que o polinômio
(gi )
Agi .
(g)
xi
f.
A se o mesmo sempre se anula ao substituirmos cada variável xi
quer elemento de
é,
manda
identidade polinomial G-graduada de A
Uma denição equivalente é dizer que
de
g ∈ G,
ϕ : KhXi → A G-graduado
) que estende
uma PI-álgebra
com tal graduação é
isto é, dada uma álgebra
que, para todo
existe um homomorsmo
Denição 1.2.8.
se
G-graduadas,
na variedade de todas as álgebras
G-graduada A,
No caso particular
é invariante por endomorsmos
TG (A)
p por qual-
G-graduadas
que, analogamente ao que
T -ideal G-graduado de KhXiG , isto
G-graduados
de
KhXiG .
O conceito de
álgebra relativamente livre também se estende para o caso graduado de maneira
natural.
Em geral, é mais fácil determinar um conjunto de identidades geradoras do
T-
T -ideal
de
ideal graduado de uma álgebra do que um conjunto de geradores do
identidades ordinárias. Vasilovsky determinou em [22], por exemplo, um conjunto
gerador para o
entanto, para
T -ideal Zn -graduado
n≥3
de
Mn (K)
um conjunto gerador de
para o caso em que
T -ideal
charK = 0.
No
de identidades ordinárias de
tal álgebra permanece desconhecido (no início da próxima seção fornecemos a lista
de algumas álgebras para as quais o
T -ideal
19
de identidades é conhecido).
Exemplo 1.2.9.
Como já visto, a álgebra de Grassmann
graduada. Considerando tal
graduadas de
Z2 -graduação, E
(0)
x◦y
é naturalmente
Z2 -
satisfaz as seguintes identidades
Z2 -
KhXiZ2 .
(0)
(0)
(1)
[x1 , x2 ], [x1 , x1 ]
Acima,
E
é usado para denotar
(1)
(1)
x 1 ◦ x2
xy + yx.
Mais adiante veremos que, quando
três identidades geram o
e
E
é considerada sobre um corpo innito, essas
T -ideal Z2 -graduado
de
E.
Uma das vantagens de se trabalhar com as identidades graduadas é que elas
podem fornecer alguma informação sobre o
T -ideal
de identidades ordinárias de
uma álgebra. O teorema seguinte serve para ilustrar como isso acontece.
Teorema 1.2.10. Sejam A e B duas PI-álgebras G-graduadas. Se TG (A) ⊂ TG (B),
então T (A) ⊂ T (B). Em particular, se TG (A) = TG (B), então A e B são PIequivalentes.
Demonstração: Considere
e
f (x1 , x2 , · · · xn ) ∈ T (A).
e
g ∈ G,
de maneira que
KhXi a álgebra associativa livre, com X = {x1 , x2 , · · ·}
b1 , b2 , · · · , bn ∈ B , tome big ∈ Bg , para i = 1, · · · , n
X
bi =
big . Para cada big 6= 0, tome xig ∈ Xg e considere
Sejam
g∈G
o polinômio
f1 = f
X
x1g , · · · ,
g∈G
que
f1 ∈ TG (A)
i = 1, · · · , n
e
X
xng
f1 ∈ TG (B).
X
b1 g ,
g∈G
f ∈ T (A),
segue
Substituindo
x i g = bi g ,
para
X
g∈G
b2g , · · · ,
X
bng = 0,
g∈G
f ∈ T (B).
Por m, se
segue que
Visto que
obtemos
f (b1 , b2 , · · · , bn ) = f
ou seja,
∈ KhXi.
g∈G
e, por hipótese, temos
g ∈ G,
TG (A) = TG (B),
então
TG (A) ⊂ TG (B)
e
TG (A) ⊂ TG (B).
Disso
T (A) ⊂ T (B) e T (B) ⊂ T (A), o que conclui a prova da última armação.
20
1.3
T -ideais
Geradores dos
Um tipo de problema comum e, geralmente bastante difícil no estudo de PI-álgebras
é determinar um conjunto de identidades polinomiais que geram o
determinada álgebra.
de uma
São conhecidos conjuntos de geradores para identidade sa-
tisfeitas pelas álgebras matriciais
álgebra de Grassmann
T -ideal
E
Mn (K), n ≤ 4,
quando o corpo
K
é nito; pela
sobre qualquer corpo; pelas matrizes triangulares superio-
res, também sobre qualquer corpo. Para álgebras de grande importância tais como
Mn (K),
quando
K
é innito ainda não foram encontradas bases de identidades po-
linomiais que geram o
T -ideal
da mesma no caso
n ≥ 3.
Mesmo as identidades da
álgebra das matrizes de ordem 2, sobre corpos de característica 2 não são totalmente
conhecidas e não se sabe sequer se seu
T -ideal
é nitamente gerado ou não.
Também conhece-se um conjunto de geradores para as identidades polinomiais
satisfeitas pelo quadrado tensorial da álgebra de Grassmann
E ⊗ E , sobre um corpo
de característica zero.
Nosso intuito nessa seção é apresentar algumas propriedades dos geradores de
T -ideais
de identidades polinomiais que possam ser úteis para se determinar um
conjunto de geradores do
Se
o
K
T -ideal
T -ideal
de uma PI-álgebra.
é innito, podemos encontrar um conjunto de geradores conveniente para
de identidades satisfeitas por uma
K -álgebra.
Lema 1.3.1. Seja K innito e seja p(x1 , · · · , xn ) ∈ KhXi um polinômio escrito
como p = p0 + · · · + pk , onde cada parcela pj é homogênea com respeito à variável
x1 com grau j (consideramos que o polinômio nulo é homogêneo em x1 de qualquer
grau). Se p ∈ J , sendo J um T -ideal de KhXi, então cada pj pertence a J .
Demonstração: Como
K
é innito, existem
e não-nulos. Para cada inteiro
KhXi
j
entre 0 a
obtido a partir da aplicação
k,
λ0 , · · · , λk ∈ K
denotamos por
fj : X → KhXi
21
tal que
distintos dois a dois
ϕj
o endomorsmo de
x1 7→ λj x1
e
xm 7→ xm
se
m > 1.
KhXi/J .
J
Como
é um
T -ideal, ϕj (p) ∈ J ,
Por outro lado, note que
Isso nos fornece que
nas variáveis
(p0 , · · · , pk )
para cada
j,
ou seja,
ϕj (p) = 0
em
ϕj (p) = p0 + λj p1 + · · · + λkj pk .
é solução do sistema linear homogêneo seguinte
ξ0 , ξ1 , · · · , ξk assumindo valores em KhXi/J .



ξ + λ0 ξ1 + · · · + λk0 ξk = 0

 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
.
+ .. +
.
= ..



 ξ + λ ξ + · · · + λk ξ = 0
0
k 1
k k
Mas a matriz reduzida do sistema é a matriz de Vandermonde nos escalares
λ0 , · · · , λk ,
cujo determinante é
Y
(λj − λi ).
λj
Uma vez que tomamos os
distintos
i<j
dois a dois, tal determinante é não-nulo. Portanto tal sistema só deve admitir solução
trivial, de onde segue que
pj = 0
Embora tenhamos suposto
possuir
k+1
K
para todo
j
entre 0 e
k,
ou seja, cada
pj ∈ J .
innito, repare que utilizamos apenas o fato de
escalares distintos dois a dois, sendo
k
o grau de
x1
em
K
p.
Aplicando indução e o argumento utilizado anteriormente, temos o seguinte corolário.
Corolário 1.3.2. Sejam K um corpo innito e J um T -ideal de KhXi. O polinômio
p(x1 , · · · , xn ) ∈ J se, e somente se, cada uma de suas componentes multihomogêneas
pertence a J .
Exemplo 1.3.3.
Tomemos o polinômio
2x1 x2 x23 ∈ QhXi.
de
QhXi
p(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x1 x3 − x22 x1 + x2 x3 x21 +
Aplicando o Lema 1.3.1, temos que
se, e somente se, ambos os polinômios
−x22 x1 + 2x1 x2 x23
pertencem a
J,
p
pertence ao
q1 = x1 x2 x1 x3 + x2 x3 x21
no segundo polinômio, temos que ambos
J.
Em particular, o
T -ideal
e
q =
sendo que o primeiro deles é multihomogêneo.
Agora, aplicando o mesmo raciocínio utilizado para a variável
a
T -ideal J
x1 ,
para a variável
x2
q2 = −x22 x1 e q3 = 2x1 x2 x23 devem pertencer
gerado por
p
22
é também
hq1 , q2 , q3 iT .
Outra consequência do Lema 1.3.1 é o seguinte teorema.
Teorema 1.3.4. Todo T -ideal de identidades polinomiais satisfeitas por uma PIálgebra A, sobre um corpo innito, é gerado pelas identidades multihomogêneas satisfeitas por essa álgebra.
Quando investigamos o
T -ideal
de identidades satisfeitas por uma álgebra
A,
é
importante procurar pelas identidades de menor grau total satisfeitas por tal álgebra, já que, dentre elas, se encontrarão certamente alguns geradores de
T (A).
A
proposição seguinte nos garante que basta procurar entre as identidades multilineares.
Proposição 1.3.5. Seja A uma K -álgebra que satisfaz um polinômio p ∈ KhXi de
grau total d. Então existe q ∈ T (A) multilinear e de grau d.
Demonstração: Suponha que o grau de
se
p(x1 , · · · , xm ) ∈ T (A),
então
x1
em
q(x1 , x2 , · · · , xm+1 )
p
é maior do que 1. É claro que
dado por
p(x1 + x2 , x3 , x4 , · · · , xm+1 ) − p(x1 , x3 , · · · , xm+1 ) − p(x2 , x3 , · · · , xm+1 ) ∈ T (A),
possui mesmo grau total
d e o grau de x1 diminui em 1 com relação ao seu grau em p.
Repete-se o procedimento até obter o grau de
x1
sendo 1. Uma vez conseguido isso,
repete-se o processo para as outras variáveis até obter um polinômio multilinear.
Observação 1.3.6. Uma consequência importante da Proposição 1.3.5 é que Mn (K)
não satisfaz nenhuma identidade polinomial de grau
k = 2n − 1 primeiramente.
Denotemos por
eij
k ≤ 2n−1.
a matriz de
é 1 e que possui todas as demais entradas nulas. Seja
Vamos vericar para
Mn (K) cuja entrada (i, j)
p(x1 , · · · , x2n−1 ) um polinômio
multilinear não-nulo. Podemos supor, sem perda de generalidade, que o monômio
x1 x2 · · · x2n−1
possui coeciente não-nulo
λ
23
em
p.
Substituindo-se a variável
xi
por
e i+1 , i+1
2
2
se
i
é ímpar; e por
e i , i +1
2 2
i
se
é par; temos que o único monômio que não se
anula mediante tal substituição é aquele correspondente a
p
avaliado mediante tal substituição resulta em
mesma substituição, limitada claramente por
λ 6= 0.
x1 x2 · · · x2n−1
Para
e, portanto,
k < 2n − 1,
aplica-se a
k.
O mesmo argumento utilizado na observação anterior pode ser aplicado para
se mostrar que, para um
gebra
LV := {T : V → V : T
LV : dim(ImT ) < ∞}
{v1 , · · · , vn , · · ·} ⊂ β ,
linear de
β.
V
V
vetorial
é linear} bem como sua subálgebra
β
de
V
B := {T ∈
e tomando um subconjunto innito enumerável
para cada par de inteiros
que envia
de dimensão innita, tanto a ál-
(a multiplicação sendo dada pela composição) não são PI-
álgebras. Fixada uma base
de
K -espaço
vj
para
vi
i, j ,
denotamos por
Sij
o operador
e envia para vetor nulo todos os demais elementos
Tal como ocorre com as matrizes
eij , Sij Skl = 0 se j 6= k
e
Sij Sjl = Sil .
Repare
que podemos proceder tal como na Observação 1.3.6, sem nos preocuparmos com um
limite para o grau do polinômio e, portanto,
LV
polinomial, o mesmo valendo para a subálgebra
não satisfaz nenhuma indentidade
B,
já que todos os
Sij
pertencem a
B.
O processo descrito na demonstração da Proposição 1.3.5 é chamado
de linearização de um polinômio p.
processo
O exemplo a seguir ilustra a aplicação de tal
processo.
Exemplo 1.3.7.
variável
x1
por
Suponhamos que
x1 + x2
x31
pertença a
T (A),
então substituindo-se a
devemos obter ainda uma identidade de
T (A).
Assim,
x31 + x21 x2 + x1 x2 x1 + x2 x21 + x22 x1 + x2 x1 x2 + x1 x22 + x32 ∈ T (A),
porém, como
x31
e
x32
pertecem ambos a
T (A),
temos que
p(x1 , x2 ) = x21 x2 + x1 x2 x1 + x2 x21 + x22 x1 + x2 x1 x2 + x1 x22
deve igualmente pertencer a
T (A).
24
Aplicando novamente o processo de linearização, concluímos que o polinômio
multilinear
q(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 + x2 x1 x3 + x1 x3 x2 + x2 x3 x1 + x3 x1 x2 + x3 x2 x1 ∈ T (A).
A próxima questão a ser investigada é:
que uma identidade polinomial
p
sob que condições podemos garantir
pertence ao
T -ideal
gerado pelo(s) polinômio(s)
p?
multilineare(s) obtido(s) no processo de linearização de
Teorema 1.3.8. Sejam K um corpo de característica zero e p(x1 , · · · , xm ) ∈ KhXi.
O T -ideal hpiT de KhXi é gerado pelos polinômios multilineares de KhXi obtidos
no processo de linearização de cada uma das componentes multihomogêneas de p.
Demonstração: Seja
K
p(x1 , · · · , xm ),
tal como no enunciado do teorema.
hpiT =
possui característica zero, é innito, e portanto, pelo Teorema 1.3.4,
hp1 , · · · , pk iT ,
pj 's
onde os
são as componentes multihomogêneas de
demos nos ater ao caso em que
p(x1 , · · · , xm )
é multihomogêneo.
meiro passo de processo de linearização do polinômio
q(x1 , x2 , · · · , xm+1 )
p,
p.
Como
Então po-
Após o pri-
obtemos um polinômio
de mesmo grau total, cujas componentes multihomogêneas pos-
suem grau menor com relação a primeira variável de grau maior do que 1.
camente o polinômio assim obtido é gerado por
q,
a substuição dada por
n.p(x1 , · · · , xm ),
onde
n
charK = 0, p ∈ hqiT .
x1 7→ x1
e
p,
xi 7→ xi−1 ,
Como
K
é innito,
q
mas se zermos, no polinômio
para
é o número de parcelas de
Logi-
q,
2 ≤ i ≤ m + 1,
ou seja,
obtemos
n.p ∈ hqiT .
Como
é consequência de suas componen-
tes multihomogêneas, (possivelmente algumas multilineares). Para aquelas que não
são multilineares, repete-se o processo de linearização e o raciocínio anterior até
obtermos um sistema de identidades multilineares geradoras de
p.
25
T -ideal
gerado por
Os resultados demonstrados nessa seção se estendem para as identidades graduadas de uma álgebra. Isto é, se o corpo-base da álgebra é innito, o
T -ideal graduado
da álgebra é gerado pelas identidades graduadas multihomogêneas e se
o
T -ideal
charK = 0,
graduado é gerado pelas identidades graduadas multilineares.
Como aplicação dos resultados aqui apresentados, encerramos essa seção com
a demonstração de que as identidades
listadas no Exemplo 1.2.9 geram o
Z2 -graduadas
da álgebra de Grassmann
T -ideal Z2 -graduado de identidades de E
E
quando
a álgebra é tomada sobre um corpo innito de característica diferente de 2. Comecemos por um lema.
Lema 1.3.9. Seja J o T -ideal Z2 -graduado de KhXiZ2 gerado pelos polinômios
[x1 , x2 ], [x1 , x1 ] e x1 ◦ x2 e considere um monômio graduado
(0)
(0)
(0)
(1)
(1)
(1)
(0)
(0)
(1)
(1)
m(x1 , · · · , xk , x1 , · · · , xl ) ∈ KhXiZ2
possui grau ai , e para cada j; 1 ≤ j ≤
no qual, para cada i; 1 ≤ i ≤ k , a variável x(0)
i
l; a variável xj possui grau bj . Então, se algum bj > 1, m = 0 em KhXiZ2 /J , caso
(1)
contrário (isto é, bj = 1 para todo j ) temos
(0)
(0)
(1)
(1)
m = ±(x1 )a1 · · · (xk )ak x1 · · · xl
Demonstração:
em
Pelos dois primeiros polinômios geradores de
(0)
KhXiZ2 /J, x2 x1
m =
(0)
±(x1 )a1
(1) (1)
(0)
= x1 x2 ,
independente de
(0)
· · · (xk )ak m0 onde
riáveis ímpares.
m0
portanto
(1)
x1
charK 6= 2
(1)
x2 .
temos que,
Disso segue que
J,
temos que
. Assim, a menos de sinal, podemos colocar as varíaveis ímpares
ímpar, por exemplo
Mas
de
J,
é um monômio envolvendo somente as va-
também em ordem crescente de índices em
m.
Z2 -grau
Utilizando agora o terceiro polinômio gerador de
(1) (1)
x2 x1 = −x1 x2
em KhXiZ2 /J.
(x1 )2 = 0.
KhXiZ2 /J .
No entanto, se uma variável
, aparece mais de uma vez, temos um fator
e, pelo terceiro polinômio gerador de
J,
temos
Caso contrário, tal como queríamos, obtemos
(0)
(0)
(1)
(1)
m = ±(x1 )a1 · · · (xk )ak x1 · · · xl .
26
(1)
(x1 )2
dentro de
(1)
2(x1 )2 = 0
e
(0)
(0)
(1)
(1)
(1)
Teorema 1.3.10. Os polinômos [x(0)
1 , x2 ], [x1 , x1 ] e x1 ◦ x2 ∈ KhXiZ2 geram
o T -ideal de identidades Z2 -graduadas satisfeitas por E com graduação natural se
K é innito de característica diferente de 2.
Demonstração: Denotemos por
J
T -ideal Z2 -graduado de KhXiZ2
o
três identidades listadas no enunciado da proposição e por
E.
polinômios graduados satisfeitos por
que
J ⊂I
p 6= 0
em
e, portanto, precisamos mostrar que
KhXiZ2 /J
K
Como
Como
então
é innito,
satisfeitas por
I,
I
p 6= 0
em
E
I
o
T -ideal
gerado pelas
graduado de
satisfaz tais polinômios, temos
I⊂J
ou, equivalentemente, que se
KhXiZ2 /I .
é gerado pelas identidades graduadas multihomogêneas
bastando analisar o caso em que
p
é multihomogêneo.
Supo-
(0)
(0)
(1)
(1)
nhamos então que p(x1 , · · · , xk , x1 , · · · , xl ) é multihomogêneo de multi-grau
n
X
(a1 , · · · , ak , b1 , · · · , bl ).
Então
p =
αj mj ,
sendo
n
o número de parcelas de
p
e
j=1
tendo cada
então
mj
p=0
Então cada
multi-grau
KhXiZ2 /J .
em
mj
(a1 , · · · , ak , b1 , · · · , bl ).
é igual a
p=
Pelo Lema 1.3.9, se algum
Suponhamos então que todos os
(0)
(1)
(0)
(1)
bj 's
sejam iguais a 1.
±(x1 )a1 · · · (xk )ak (x1 ) · · · (xl )
módulo
n
X
(1)
(0)
(0)
(1)
bj > 1,
J
e, portanto
βj (x1 )a1 · · · (xk )ak (x1 ) · · · (xl )
j=1
em
KhXiZ2 /J ,
onde cada
βj = ±αj ,
dependendo da paridade do número de trans-
posições necessárias entre as variáveis ímpares para colocar as variáveis na ordem
desejada. Se o coeciente obtido é nulo, temos que
n
X
βj = γ 6= 0
(e, portanto
p 6= 0
em
KhXiZ2 /J ),
p = 0.
Suponhamos então que
vamos mostrar que
p 6= 0
tam-
j=1
bém em
KhXiZ2 /I .
variável
xj
p 6= 0
em
(1)
por
Note que ao substituirmos todas as variáveis pares por 1 e cada
ej , temos que p(1, · · · , 1, e1 , · · · , el ) = γe1 · · · el 6= 0 em E
KhXiZ2 /I .
27
e portanto
Um invariante muito utilizado no estudo de PI-álgebras é a sequência de codimensões de uma PI-álgebra. Como visto anteriormente, as identidades multilineares
de uma PI-álgebra fornecem informação importante sobre o
T -ideal
de identidades
da mesma, especialmente no caso de característica zero. Convém muitas vezes ana-
T -ideal
lisar o comportamento de tais polinômios módulo o
de identidades de uma
álgebra, como a seguir.
Denição 1.3.11.
Seja
multilineares de grau
PI-álgebra
A
n,
Pn ⊂ KhXi
o subespaço formado por todos os polinômios
x1 , x2 , · · · , xn .
nas variáveis
n-ésima
codimensão
da
é o número
cn (A) = dim
Pn
(Pn ∩ T (A))
Na seção 2.1 fornecemos uma estimativa para a
1.4
A
n-ésima
codimensão.
Matrizes Genéricas
A álgebra de matrizes genéricas denida nessa seção constitui um modelo bastante
Mn (K)
útil de álgebra relativamente livre na variedade determinada por
e algumas
generalizações dela serão utilizadas no capítulo 3.
Nesta seção assumimos que o corpo
xamos a notação
comutativas
é arbitrário e sendo
n ≥ 2
um inteiro,
para a álgebra de polinômios em innitas variáveis
(i)
Ωn = K[ypq |p, q = 1, · · · , n, i = 1, 2, · · ·].
Denição 1.4.1.
1, 2, · · ·
Ω = Ωn
K
As matrizes
são chamadas
A álgebra
An
n×n
com entradas em
Ωn , yi =
genérica n × n.
Denotamos
matrizes genéricas
y1 , · · · , ym
Anm
n×n
a subálgebra de
28
(i)
ypq
epq , i =
p,q=1
matrizes genéricas n × n.
gerada pelas matrizes genéricas
n
X
An
é a
álgebra matricial
gerada pelas primeiras
m
Exemplo 1.4.2.
Para
n = m = 2,
fazendo
(1)
(2)
ypq = xpq , ypq = ypq ,
temos
A22
gerada
por

x=
Para qualquer
K -álgebra
x11 x12
x21 x22


,y = 
comutativa
A,
y11 y12
y21 y22
as matrizes


n×n
com entradas em
A
podem ser obtidas por substituições das entradas das matrizes genéricas por entradas
da álgebra
A,
por exemplo
a=
n
X
γpq epq γpq ∈ A
p,q=1
é obtida de
y1 =
n
X
(1)
ypq
epq ,
p,q=1
substituindo as variáveis
(1)
ypq
por
γpq .
Proposição 1.4.3. Se K é innito, a álgebra matricial genérica An é isomorfa
a álgebra relativamente livre L(Mn (K)) da variedade de matrizes n × n, isto é,
An ' KhXi/T (Mn (K)). Se K é nito e P é uma extensão innita qualquer de K ,
An ' L(Mn (P )).
Demonstração: ver [17].
Lema 1.4.4. Os autovalores da matriz genérica n × n, y1 , são dois a dois distintos.
Demonstração: Consideremos
de frações da álgebra polinomial
Seja
f (λ)
y1
como sendo uma matriz com entradas no corpo
Ωn .
o polinômio característico de
y1 .
Suponhamos que
menos uma raiz de multiplicidade maior que um.
29
f (λ)
possui pelo
Então o discriminante de
f (λ)
é igual a zero.
Como cada matriz
ser obtida por uma substituição de
n×n
M
de ordem
y1 ,
o discriminante do polinômio característico
com entradas em
K
pode
fM (λ) também é igual a zero e isto signica que M ∈ Mn (K) possui pelo menos um
autovalor com multiplicidade algébrica maior que
1.
Para mostrar o lema é suciente encontrarmos uma matriz
todos os autovalores possuem multiplicidade algébrica
Se
K
M ∈ Mn (K)
em que
1.
é um corpo innito, então podemos considerar uma matriz diagonal cujos
elementos da diagonal são todos distintos.
Se
sobre
K = Fq
Fq
é um corpo com
de grau
n
q
elementos, então existe um polinômio irredutível
e dessa forma podemos construir uma matriz
M ∈ Mn (Fq )
que
tem como polinômio característico este polinômio irredutível (basta tomar a matriz
companheira do polinômio).
Portanto, a matriz
M
não tem autovalores múltiplos em nenhuma extensão de
Fq .
Corolário 1.4.5. Seja Ωn nas condições anteriores e seja
y10
=
n
X
(1)
ypp
epp , yi0 =
p=1
i > 1. A álgebra A0n gerada por y10 , y20 , y30 , · · · é isomorfa a álgebra matricial
yi ,
genérica An .
Demonstração: Seja
Ωk .
y1
Pelo lema anterior, a matriz genérica
y1
não tem autovalores múltiplos. Assim,
é diagonalizável, isto é, existe uma matriz inversível
a matriz
u1 = z −1 y1 z
Denote por
Temos
de
Ξ o fecho algébrico do corpo de frações da álgebra polinomial
com entradas em
Ξ tal que
é diagonal.
Un a K -subálgebra de Mn (Ξ) gerada por u1 , u2 , · · ·, onde uk = z −1 yk z .
Un ' An .
K -álgebras,
z
De fato, sejam
φ : An → A0n
e
ψ : A0n → Un
estendidos respectivamente pelas aplicações
ui , i = 1, 2, · · ·
30
os homomorsmos
φ0 : yi → yi0
e
φ0 : yi0 →
Como as matrizes
ψ
ui
0
são obtidas como substituições de matrizes "genéricas"yi ,
é um homomorsmo.
A composição
Isso implica que
ψ ◦ φ : An → Un
ker φ = 0
e, como
é o homomorsmo denido por
φ
vai para
A0n ,
yi → ui = z −1 yi z .
é um isomomorsmo.
O último corolário nos permite substituir uma das matrizes genéricas por uma
matriz diagonal, o que será muito útil em considerações posteriores.
Algumas vezes, se considerarmos uma única matriz
usar caracteres gregos para as entradas da diagonal de
n
n
X
X
y =
ηp epp em vez de
p=1
comutativas.
1.5
y =
ypp epp ,
n×n
y
genérica
y,
podemos
e, escrever, por exemplo,
assumindo que
η1 , · · · , ηk
são variáveis
p=1
Polinômios Centrais
Assim como as identidades graduadas de uma álgebra, os polinômios centrais podem
fornecer infromações sobre as identidades polinomiais de uma álgebra.
O problema sobre a existência de polinômios centrais para
Mn (K)
para,
n > 2,
foi colocado pela primeira vez por Kaplansky em 1956 e respondido por Formanek
e Razmylov na década de 1970. Nessa seção fornecemos os polinômios centrais de
Razmylov.
Denição 1.5.1. Seja A uma álgebra. O polinômio c(x1 , · · · , xn ) ∈ KhXi é chamado polinômio central de A se c(x1 , · · · , xn ) não possui o termo constante,
pertence ao centro de
polinomial de
Seja
A
para quaisquer
a1 , · · · , an ∈ A
e não é uma identidade
A.
K[u1 , · · · , un+1 ] a álgebra polinomial em n+1 variáveis comutativas.
mos uma aplicação linear
Deni-
θ ( não é um homomorsmo de álgebras ) de K[u1 , · · · , un+1 ]
31
Khx, y1 , · · · , yn i
na álgebra livre
de posto
n + 1,
da seguinte maneira:
Se
g(u1 , · · · , un+1 ) =
então a imagem de
g
por
θ
X
é
θ(g)(x, y1 , · · · , yn+1 ) =
Teorema 1.5.2
(Formanek)
Y
g(u1 , · · · , un+1 ) =
a
n+1
, αa ∈ K[u1 , . . . , un+1 ],
αa ua11 · · · un+1
X
αa xa1 y1 xa2 y2 xa3 y3 · · · xan yn xan+1 .
. Seja
(u1 − up )(un+1 − up )
2≤p≤n
Y
(up − uq )2 ∈ K[u1 , · · · , un+1 ].
2≤p<q≤n
O polinômio da álgebra associativa livre Khx, y1 , · · · , yn i
c(x, y1 , · · · , yn ) = θ(g)(x, y1 , · · · , yn ) + θ(g)(x, y2 , · · · , yn , y1 ) + · · · +
+θ(g)(x, yn , y1 , · · · , yn−1 )
é um polinômio central para a matriz polinomial Mn (K) sobre o corpo K .
Demonstração: É suciente mostrar que o polinômio
triz escalar, ou seja, pertence a
e
c(x, y1 , · · · , yn )
c(x, y1 , · · · , yn )
Z(Mn (K)), quando x, y1 , · · · yn são matrizes genéricas
não é uma identidade polinomial para
Mn (K).
Pelo Corolário 1.4.5, podemos assumir que a matriz genérica
n
X
x =
ξp epp ,
onde
é uma ma-
ξ1 , · · · , ξn
são variáveis comutativas.
Como
x
é diagonal,
c(x, y1 , · · · , yn )
é
p=1
multilinear em
mentares
(eij ).
y1 , · · · , yn
podemos assumir também que
y1 , · · · , yn
são matrizes ele-
Portanto,
c(x, y1 , · · · , yn ) =
n
X
θ(x, eiq ,jq , · · · , ein ,jn , ei1 ,j1 , · · · , eiq−1 ,jq−1 ) =
q=1
=
k
X
g(ξiq , · · · , ξin ξi1 , · · · , ξiq−1 , ξjq−1 )eiq ,jq · · · ein ,jn ei1 ,j1 · · · eiq−1 ,jq−1
q=1
32
Como escolhemos
alguma das variáveis
g
ξip
e
(Sempre há repetição, são
é uma permutação de
g(ξiq , · · · , ξin ξi1 , · · · , ξiq −1 , ξjq −1 ) = 0
de forma especial,
ξi0p
são iguais ou se
n+1
1, · · · , n
posições e
n
ξjq−1
é igual a algum
ξip
com
se
q 6= p.
variáveis). Por outro lado, se i1 , · · · , in
então
g(ξiq , · · · , ξin ξi1 , · · · , ξiq−1 , ξiq ) = g(ξ1 , ξ2 , · · · , ξn , ξ1 ) =
Y
(ξp − ξp0 )2 , θ(g)(x, eiq ,iq+1 , eiq+1 ,iq+2 , · · · , ein ,i1 , ei1 ,i2 , · · · , eiq−1 ,iq ) =
1≤p<p0 ≤n
Y
(ξp − ξp0 )2 eiq ,iq
1≤p<p0 ≤n
Portanto,
Y
c(x, ei1 ,i2 , ei2 ,i3 , · · · , ein−1 ,in , ein ,i1 ) =
(ξp ξq )
i1 , i2 , · · · , in
é uma permutação de
Mn (K).
Se
x
Y
eiq ,iq =
(ξp − ξq )2 I,
1≤p<q≤n
1, 2, · · · , n.
c(x, ei1 ,j1 , ei2 ,j2 , · · · , ein ,jn ) = 0
Agora resta provar que
n
X
q=1
1≤p,q≤n
se
2
c(x, y1 , · · · , yn )
caso contrário.
não é uma identidade polinomial para
é uma matriz diagonal com autovalores distintos
ρ1 , · · · , ρn ,
vemos
que
Y
c(x, e1,2 , e2,3 , · · · , en−1,n , en,1 ) =
(ρp − ρq )2 I
1≤p<q≤n
a qual é uma matriz escalar não-nula em
x ∈ Mn (Fq )
Portanto,
Mn (K).
com autovalores distintos. Então
c(x, y1 , · · · , yn )
x
Se
K = Fq ,
consideramos
é diagonalizável sobre algum
é uma combinação linear (com coecientes em
c(x, ei1 ,j1 , · · · , ein ,jn ) ∈ Mn (Fq ),
algum
c(x, ei1 ,j1 , · · · , ein ,jn )
completa a prova do Teorema de Formanek.
33
Fq m .
Fq m )
de
é diferente de zero. Isso
1.6
Dimensão Gelfand-Kirillov
A dimensão de Gelfand-Kirillov, ou simplesmente
GK -dimensão,
é um invariante
bastante utilizado no estudo de PI-álgebras através de métodos assintóticos. Se duas
PI-álgebras possuem
GK -dimensões
distintas, então elas não são PI-equivalentes.
Ela será utilizada no Capítulo 4 para mostrar que o Teorema do Produto Tensorial
não se estende ao caso de característica positiva.
Denição 1.6.1.
Seja
φ
são eventualmente monótonas crescentes e positivas.
n0 ∈ N
tal que
f (n0 ) > 0
e
Denimos uma relação
f (n2 ) ≥ f (n1 )
gf
de
A relação
para todo
∼
a
e
p
n2 ≥ n1 ≥ n0 .
tais que, para todo
dada por
f ∼g
para
as quais
Isso signica que existe um
em φ assumindo que f g
se, existem inteiros positivos
f (n) ≤ ag(pn).
f : N ∪ {0} → R
o conjunto de todas as funções
para
n
f, g ∈ φ
f, g ∈ φ se,
e somente
sucientemente grande,
se, e somente se,
é de equivalência. Chamamos a classe de equivalência
f g
e
G(f ) = {g ∈ φ|f ∼ g}
crescimento de f .
Denição 1.6.2. Seja A uma álgebra nitamente gerada e seja {a1 , · · · , am } um conjunto de geradores. Seja
Vn
1, · · · , m}, n = 0, 1, 2, · · ·
onde assumimos que
A
o espaço vetorial gerado pelo conjunto
não é unitária. A função crescimento de
A
V0 = K
se
A
{ai1 · · · ain |ij =
é unitária e
V0 = 0
se
é denida por
gV (n) = dim(V 0 + V 1 + · · · + V n ), n = 0, 1, 2, · · ·
A classe de equivalência
G(A) = G(gV )
peito ao espaço vetorial gerador
é chamada crescimento de
A
(com res-
V ).
A proposição que segue mostra que a GK-dimensão está bem denida.
Proposição 1.6.3. O crescimento da álgebra nitamente gerada A não depende do
conjunto de geradores escolhido. Se V , gerado por {r1 , r2 , · · · , rm }, e W , gerado por
{s1 , s2 · · · , sm0 }, são espaços vetoriais geradores de A, então G(gV ) = G(gW ).
34
Demonstração: Como
que todo
sj
está em
r1 , r2 , · · · , rm
geram
V 0 + V 1 + · · · + V p.
A,
como espaço vetorial, existe
p
tal
Logo,
W 0 + W 1 + · · · + W n ⊂ V 0 + V 1 + · · · + V pn , n = 0, 1, 2, · · ·
e
gW (n) ≤ gV (pn)
tal que
para qualquer
gV (n) ≤ gW (qn), n ∈ N.
n ∈ N.
Então,
Similarmente, temos que existe um
q∈N
G(gV ) = G(gW )
Denição 1.6.4.
Seja
A a álgebra nitamente gerada, com um conjunto de gerado-
{a1 , · · · , am } e
seja
gV (n) a
res
A
função crescimento de
A,
onde
V = span{a1 · · · am }.
dimensão Gelfand-Kirillov de A é denida por
GKdim(A) = lim sup(logn gV (n)) = lim sup
n→∞
n→∞
log gV (n)
.
log n
Lema 1.6.5. GKdim([K[x1 , · · · , xm ]) = m.
Demonstração: O número de todos os monômios de grau menor do que
variáveis é igual ao número de todos os polinômios de grau
uma vez que
a1 + · · · + am ≤ n
n
em
m+1
n
em
variáveis,
existe uma correspondência injetora
xa11 · · · xamm → xa00 xa11 · · · xamm , a0 = n − (a1 + · · · + am )
entre estes conjuntos.
Portanto, com respeito ao conjunto usual de geradores de

g(n) = 
m+n
m
A = K[x1 , · · · , xm ],


que é um polinômo de grau
35
m.
Então
m
G(A) = G(nm ).
Capítulo 2
Teoremas Clássicos da PI-teoria
Neste capítulo serão enunciados e demonstrados resultados clássicos da PI-teoria. O
primeiro deles é o Teorema de Regev sobre a Codimensão que fornece um limitante
superior para a
n-ésima
polinomial de grau
d.
codimensão de uma álgebra que satisfaz uma identidade
O segundo resultado é o Teorema de Amitsur-Levitzki em
característica zero, que fornece uma identidade polinomial de grau
Mn (K)
2n para a álgebra
(relembramos que tal álgebra não satisfaz identidade polinomial de grau
menor - v. Observação 1.3.6). O terceiro resultado é o Teorema de Nagata-Higman
que mostra que toda álgebra nil é nilpotente.
O último resultado apresentado é
o Teorema de Shirshov sobre a Altura que garante a nitude da altura de uma
PI-álgebra nitamente gerada.
2.1
O Teorema da Codimensão de Regev
Nessa seção demonstramos o Teorema da Codimensão de Regev, que fornece uma
sequência majorante, de crescimento exponencial, para a sequência de codimensão
de uma PI-álgebra que satisfaz uma identidade polinomial de grau
d.
Além disso, obtemos que o produto tensorial de duas PI-álgebras também é uma
36
PI-álgebra.
Denição 2.1.1.
P
Um conjunto
com a relação
≺
é
parcialmente ordenado se
a relação satisfaz as seguintes condições:
1.
a ≺ a, ∀a ∈ P
2. Se
3.
a≺b
a≺b
e
b≺c
b≺a
e
Os elementos
então
implica
a1 , a2 , . . . , ak
rearranjados de modo que
ai 6≺ aj
para todo par
a ≺ c, ∀a, b, c ∈ P
a = b.
formam uma
cadeia em P
a1 ≺ a2 ≺ · · · ≺ ak
(ai , aj )
com
se os índices podem ser
e, eles formam uma
anticadeia
se
i 6= j .
Teorema 2.1.2 (Dilworth). Seja (P, ≺) um conjunto nito parcialmente ordenado.
Então o número mínimo de cadeias nas quais P pode ser particionado (ou seja,
apresentado como uma união disjunta) é igual ao número máximo de elementos em
uma anticadeia de P .
Demonstração:
P.
A prova segue por indução sobre o comprimento do conjunto
O resultado é válido para
P
vazio.
pelo menos, um elemento e, considere
por indução, que para algum inteiro
P \{a}
pode ser coberto por
uma anticadeia
Veja que
Para
A0
i = 1, 2, · · · , k ,
para
que contém
xi .
A
k,
o elemento maximal de
P.
P
Assumimos,
o conjunto parcialmente ordenado
C1 , C2 , · · · , Ck
tenha,
P 0 :=
e tem pelo menos
k.
i = 1, 2, · · · , k
seja
xi
k
em
anticadeia de comprimento
a
cadeias disjuntas
de comprimento
A0 ∩ Ci 6= ∅,
Armamos que
k
Suponha agora que o conjunto
o elemento maximal em
P
e, dena
é um anticadeia. Seja
que pertence a uma
A := {x1 , x2 , · · · , xk }.
Ai
Fixe índices árbitrários distintos
Ai ∩ Cj 6= ∅.
37
Ci
uma anticadeia de comprimento
i
e
j,
então
k
Seja
pois
xi y .
xj xi
que
y ∈ Ai ∩ Cj .
Então
pela denição de
i
Trocando os papéis de
A
e, disso segue que
a ≥ xi
y ≤ xj ,
e
Isso implica que
xi xj ,
neste argumento, também temos que
é uma anticadeia . Voltando ao conjunto
i ∈ {1, 2, · · · , k}.
para alguns
j
xj .
Seja
K
P,
suponha
a cadeia
{a} ∪ {z ∈ Ci : z ≤ xi }
Assim, pela escolha de
hipótese de indução,
xi , P \K
P \K
não tem uma anticadeia de comprimento
k−1
pode ser coberta por
k
cadeias disjuntas. E, se
a xi
uma anticadeia de comprimento
P
pode ser coberto por
Denição 2.1.3.
k+1
para cada
k+1
cadeias
Para a permutação
em
P,
Assim,
a
em
Sn
pode ser coberta
então
é maximal em
{a}, C1 , C2 , · · · , Ck .
π
P
i ∈ {1, 2, · · · , k},
já que
Pela
cadeias disjuntas visto que
A\{xi } é uma anticadeia de comprimento k −1 em P \K .
por
k.
P.
A ∪ {a}
é
Portanto,
O que completa a prova.
denotamos por
d(π) o maior número
d para o qual existem inteiros 1 ≤ i1 < i2 · · · < id ≤ n tais que π(i1 ) > π(i2 ) > · · · >
π(id ).
Em outras palavras, para uma permutação
π ∈ Sn
xada, introduzimos uma
ordenação parcial sobre o conjunto P = {1, 2, · · · , n} da seguinte maneira
ij
Então
é
d-boa
d(π)
se
i<j
e
π(i) < π(j).
é o maior número de elementos em uma anticadeia de
se não existe anticadeia de comprimento

Exemplo 2.1.4.
1<2<3<5
5). Portanto,
e
π
Seja
n=6
e
π=
π

.
Então
5 3 2 4 1 6
π(1) > π(2) > π(3) > π(5) (e não há anticadeias
38
e
d.
1 2 3 4 5 6
é 5-boa (e, também 6-boa).
{1, · · · , n}
d(π) = 4
já que
de comprimento
Denição 2.1.5.
T1 (π) = (tij )
e
Para uma permutação
construímos um par de tabelas
T2 (π) = (uij ).
Primeiro denimos
k,
exista, é o menor
π(k) > ui,j−1 .
π ∈ Sn
T1
impondo
t11 = 1.
Por indução, se
ti,j−1
que ainda não apareceu na tabela, tal que
Caso não exista
k
existe,
tij ,
caso
ti,j−1 ≤ k ≤ n
e
satisfazendo tal condição, passa-se à proxima linha
denindo ti+1,1 como sendo o menor elemento que não aparece nas linhas superiores.
O processo termina quando se esgotam todos os inteiros entre
A tabela
T2 (π)
possui o mesmo formato de

Exemplo 2.1.6.
Seja
n=6
e
π=
T1 (π)
e
1 2 3 4 5 6
T1 (π)
e
n.
uij = π(tij ).

4 3 5 1 2 6
Damos os passos consecutivos para construir
1
.
e
T2 (π).
t11 = 1, u11 = π(t11 ) = 4, T1 = (1), T2 = (4)
π(2) = 3 < 4 = u11 , π(3) = 5 > 4 = u11 ,
portanto
t12 = 3, u12 = 5;
T1 = ( 1 3 ), T2 = ( 4 5 ).
Seguindo o raciocínio,
T1 = ( 1 3 6 ), T2 = ( 4 5 6 ).
Não podemos continuar o processo. Os inteiros remanescentes em

π=
∗ 2 ∗ 4 5 ∗
∗ 3 ∗ 1 2 ∗
E começamos com a segunda linha de

T1 = 
1 3 6
2
T1 (π)

e

T2 (π), t21 = 2, u21 = 3

 T2 = 
39
π

4 5 6
3

.
são
De forma análoga, completamos a tabela




1 3 6
4 5 6








T1 =  2
 T2 =  3





4 5
1 2
Lema 2.1.7
. Para uma permutação π ∈ Sn , o inteiro d(π) é igual ao
(Amitsur)
número de linhas da tabela T1 (π).
Demonstração: Pela construção das tabelas
π(i1 ) > · · · > π(id(π) )
Portanto
d(π)
i1 , · · · , id(π)
então,
T1 (π)
e
id = td1
ik+1
Se
denimos
ik = tkj
ukj < π(ik+1 ),
verdade. Assim,
Isso nos dá que
i1 < · · · < id(π)
e
T1 (π).
é menor ou igual ao número de linhas.
i1 < · · · < i d
T1 (π),
se
estão em linhas distintas de
Agora construiremos uma sequência
Começamos com
T2 (π),
e, por indução, se
como sendo o maior
ik+1
então
j
deve estar na
está na
tal que
k -ésima
π(ik ) = π(tkj ) = ukj > π(ik+1 )
com
π(i1 ) > · · · > π(id ).
(k + 1)-ésima
linha de
tkj < ik+1 .
linha de
T1 (π),
o que não é
e podemos continuar o processo.
d(π) = d.
Teorema 2.1.8
. Se A é uma PI-álgebra e o T -ideal T (A) contém uma
(Latyshev)
identidade polinomial de grau d, então o espaço vetorial de polinômios multilineares
de grau n em KhXi/T (A) é gerado por monômios xπ(1) · · · xπ(n) , onde π ∈ Sn é
d-boa (ou seja, d(π) < d).
Demonstração: Como
T (A)
contém uma identidade polinomial de grau
Proposição 1.3.5, este contém também um polinômio multilinear de grau
perda de generalidade, podemos assumir que
xd xd−1 · · · x1 =
X
A
40
d.
pela
Sem
satisfaz uma identidade da forma
ασ xσ(1) xσ(2) · · · xσ(d) ,
σ∈Sd \{δ}
d,
ασ ∈ K,
sendo
δ
a permutação

δ=
Trabalharemos em
Gd
mutação
d d − 1 ···
n,
é
d-boa.
se, e somente se para algum
1
isto é, no espaço vetorial de po-
Pn (A)
xπ(1) · · · xπ(n) ∈ Pn (A)
Pn (A) é gerado por Gd .
assumindo que
A.
tal que a per-
Ordenamos lexi-
xσ(1) · · · xσ(n) < xτ (1) · · · xτ (n)
k , σ(1) = τ (1), · · · σ(k) = τ (k), σ(k + 1) < τ (k + 1).
h = xπ(1) · · · xπ(n) o monômio minimal que não pertence ao subespaço gerado
Gd .
por
.
módulo identidades polinomiais de
Mostraremos que
cogracamente os monômios em
Seja
2
o conjunto de todos os monômios
π ∈ Sn

··· d − 1 d
2
Pn (A) = Pn /(Pn ∩ T (A)),
linômios multilineares de grau
Seja
1
Portanto
Escrevemos
h
d(π) ≥ d
na forma
e existem
i1 < · · · < id
com
π(i1 ) > · · · > π(id ).
h = h0 xπ(i1 ) h1 xπ(i2 ) h2 · · · xπ(id−1 ) hd−1 xπ(id ) hd .
Usando a identidade polinomial de grau
d
para
xd = xπ(i1 ) h1 , xd−1 = xπ(i2 ) h2 , · · · , x2 = xπ(id−1 ) hd−1 , x1 = xπ(id ) hd ,
obtemos
h = h0 (xd xd−1 · · · x1 ) =
X
ασ h0 xσ(1) xσ(2) · · · xσ(d) =
σ∈Sd \{δ}
X
ασ h0 xπ(iσ(d) ) hσ(d) xπ(iσ(d−1) ) · · · xπ(iσ(1) ) hσ(1) .
σ∈Sd \{δ}
Como
π(i1 ) > · · · > π(id ),
estão abaixo de
n
subespaço vetorial
ções
d-boas.
obtemos que todos os monômios na última parcela
na ordem lexicográca e, por argumentos indutivos, pertence ao
span(Gd )
Portanto
h
gerado pelo conjunto
também pertence ao
41
Gd
correspondente as permuta-
span(Gd )
e, isso completa a prova.
Teorema 2.1.9. Seja A uma PI-álgebra com uma identidade polinomial de grau d.
Então, a sequência das codimensões de A satisfaz cn (A) ≤ (d − 1)2n , n = 0, 1, 2, · · ·
Demonstração: Pelo Teorema 2.1.8, é suciente mostrar que o número de permutações
d-boas
Sn
em
é limitado por
(d − 1)2n .
Pelo Lema 2.1.7, para qualquer permutação
T2 (π) = (uij )
d-boa π ,
as tabelas
construídas na Denição 2.1.5, tem menos do que
d
T1 (π) = (tij )
e
linhas. Já que
π(tij ) = (uij ), toda permutação π é unicamente determinada pelo par (T1 (π), T2 (π)).
Em cada linha de
inteiro
T1 (π) e T2 (π), os inteiros ti1 , ti2 , · · · e ui1 , ui2 , · · · aumentam.
1, 2, · · · , n pode ser escrito em uma das (d − 1) linhas de T1 (π) e em uma das
(d − 1) linhas de T2 (π).
do que
Cada
d
Portanto, o número máximo de pares de tabelas com menos
linhas é limitado por
(d − 1)2n .
Isso completa a prova do teorema.
Teorema 2.1.10. O produto tensorial A = A1 ⊗K A2 de duas PI-álgebras A1 e A2
também é uma PI-álgebra.
A1
Demonstração: Sejam
d1
nomiais de grau
e
d2 .
e
A2 ,
satisfazendo respectivamente, identidades poli-
Portanto, pelo Teorema 2.1.9,
cn (A1 ) ≤ (d1 − 1)2n , cn (A2 ) ≤ (d2 − 1)2n .
Escolhemos
menor do que
n
n!
cn (A1 )cn (A2 ) < n!.
tal que
para
n
Isso sempre é possível porque
an
é
grande. Sejam
{gi (x1 , · · · , xn )|i = 1, 2, · · · , c0 = cm (A1 )},
{hj (x1 , · · · , xn )|j = 1, 2, · · · , c00 = cm (A2 )}
bases, respectivamente, de
toda permutação
π ∈ Sn ,
Pn (A1 )
e
Pn (A2 ),
consideramos
onde
Pn (Ai ) =
xπ(1) · · · xπ(n)
42
Pn
,i
T (Ai )∩Pn
= 1, 2.
como um elemento de
Para
Pn (A1 )
e escrevemos o mesmo como uma combinação linear
0
xπ(1) · · · xπ(n) =
c
X
βπi gi (x1 , · · · , xn ), βπi ∈ K
i=1
Similarmente, em
Pn (A2 ),
00
xπ(1) · · · xπ(n) =
c
X
γπj hj (x1 , · · · , xn ), γπj ∈ K
j=1
Veja que as duas equações são identidades polinomiais, respectivamente, para
A1
e
e
A2 ,
isto é, elas são automaticamente satisfeitas para quaisquer
v1 , · · · , vn ∈ A2 ,
u1 , · · · , un ∈ A1
respectivamente. Queremos garantir uma identidade polinomial
multilinear de grau
n
para o produto tensorial
A = A1 ⊗K A2
de
K -álgebras A1
e
A2 .
Seja
f (x1 , · · · , xn ) =
X
ξπ xπ(1) · · · xπ(n)
a identidade polinomial desejada para
π∈Sn
A, onde ξπ 's são coecientes desconhecidos de K .
supor que se
f
se anula para arbitrários
Como
f
é multilinear, é suciente
u1 ⊗ v1 , u2 ⊗ v2 , · · · , un ⊗ vn , u1 , · · · , un ∈
A1 , v1 , · · · , vn ∈ A2 .
Calculamos
f (u1 ⊗ v1 , u2 ⊗ v2 , · · · , un ⊗ vn )
f (u1 ⊗ v1 , u2 ⊗ v2 , · · · , un ⊗ vn ) =
X
e obtemos
ξπ (uπ(1) ⊗ vπ(1) ) · · · (uπ(n) ⊗ vπ(n) ) =
π∈Sn
=
X
ξπ (uπ(1) · · · uπ(n) ) ⊗ (vπ(1) · · · vπ(n) ) =
π∈Sn
0
00
c X
c
XX
=
π∈Sn
ξπ βπi γπj gi (u1 , · · · , un )hj (v1 , · · · , vn ) = 0.
i=1 j=1
Reescrevemos esta equação na forma
0
00
c X
c
X
X
(
βπi γπj ξπ )gi (u1 , · · · , un )hj (v1 , · · · , vn ) = 0.
i=1 j=1 σ∈Sn
43
Consideremos o sistema linear homogêneo
X
βπi γπj ξπ = 0,
i = 1, · · · , c0 , j = 1, · · · , c00 .
π∈Sn
O número de
que é menor que
ξπ
desconhecidos é
n!.
n! e o número de equações é c0 c00 = cn (A1 )cn (A2 )
Portanto, o sistema possui uma solução não trivial do sistema
correpondente a uma identidade polinomial para
2.2
A = A1 ⊗ A2 .
O Teorema de Amitsur-Levitzki
Como apontado previamente na Observação 1.3.6, a álgebra
nhuma identidade polinomial de grau menor ou igual a
Mn (K) não satisfaz ne-
2n − 1
nos garante que tal álgebra satisfaz uma identidade de grau
n2 + 1.
natural é: qual o menor grau de uma identidade satisfeita por
(2n)
e a Proposição 1.2.3
Uma pergunta
Mn (K)?
A resposta
foi dada por Amitsur e Levitzki em 1950 em [2], utilizando argumentos com-
binatórios indutivos. Mais quatro demonstrações foram apresentadas desde então,
utilizando recursos variados, como teoria de grafos e co-homologia. A demonstração
que apresentamos a seguir é essencialmente a fornecida por Rosset em [20] e é válida
somente para o caso de característica zero (embora o Teorema seja verdadeiro para
um corpo
K
arbitrário).
Portanto, daqui em diante,
K
é um corpo de característica zero.
Primeiro vamos utilizar a Fórmula de Newton. Sejam
nimos os polinômios
l ≤ k inteiros positivos, de-
el (x1 , · · · , xk ) e Sl (x1 , · · · , xk ) em K[X] - a álgebra comutativa
livre - como sendo
el (x1 , · · · , xk ) =
X
xi 1 · · · xi l
1≤i1 <i2 <···<il ≤k
e
Sl (x1 , · · · , xk ) =
k
X
i=1
44
xli .
Lema 2.2.1 (Fórmula de Newton). Sejam l ≤ k inteiros positivos. Então
Sl − e1 Sl−1 + e2 Sl−2 + · · · + (−1)l−1 el−1 S1 + (−1)l el = 0.
A demonstração para tal fórmula pode ser encontrada em [14].
Corolário 2.2.2. Seja k um inteiro positivo. Então, para cada l ≤ k, temos que
existe h(x1 , · · · , xl ) ∈ K[X] tal que el (x1 , · · · , xk ) pode ser expresso como um polinômio h(S1 (x1 , · · · , xk ), · · · , Sl (x1 , · · · , xk )).
O resultado é consequência da Fórmula de Newton.
Lema 2.2.3. Seja K um corpo de característica zero e seja A ∈ Mn (K). Se trAj =
0, para todo j, 1 ≤ j ≤ n, então An = 0.
Demonstração: Sejam
ξ1 , · · · , ξn ,
os autovalores de
A
no fecho algébrico de
K.
Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, e utilizando a forma normal de Jordan, temos
que
An − e1 (ξ1 , · · · , ξn )An−1 + · · · + (−1)n en (ξ1 , · · · , ξn )I = 0.
Mas, pelo Corolário 2.2.2, cada
para
i ≤ j.
ej
pode ser escrito em função dos
Por outro lado, repare que
igual a zero para qualquer
i≤n
Si (ξ1 , · · · , ξn ) = trAi ,
e portanto,
Si (ξ1 , · · · , ξn ),
que, por hipótese, é
An = 0.
Lema 2.2.4. Seja C uma K -álgebra comutativa e seja A ∈ Mn (C). Se trAj = 0,
para todo inteiro j, 1 ≤ j ≤ n, então An = 0.
Demonstração: Repare que o resultado é válido pra
X ),
K[X]
(qualquer que seja
já que o mesmo é um domínio e podemos mergulhá-lo em seu corpo de frações.
Por outro lado,
K[X]
é a álgebra comutativa livre e, escolhendo
45
X
sucientemente
grande, podemos garantir a existência de um homomorsmo sobrejetor
C.
Então
ϕ
induz um homomorsmo sobrejetor
ϕ̃((aij )) = (ϕ(aij )).
Agora considere
que
ϕ̃(B) = A.
igual a
n.
ϕ̃ : Mn (K[X]) → Mn (C)
Segue diretamente da denição de
para qualquer matriz
dado por
ϕ̃ que tr(ϕ̃(B j )) = ϕ(trB j )),
B ∈ Mn (K[X]).
A,
Logo
ϕ : K[X] →
tal como no enunciado do lema, e seja
ϕ(trB j ) = trAj = 0,
B ∈ Mn (K[X])
para todo inteiro positivo
j
tal
menor ou
Pelo Teorema de Cayley-Hamilton e pela Fórmula de Newton,
B n + h1 (trB)B n−1 + h2 (trB, trB 2 )B n−2 + · · · + hn (trB, trB 2 , · · · , trB n )I = 0
Aplicando
ϕ̃
à equação acima, obtemos
An = 0.
Enm estamos prontos para proceder à demonstração do Teorema de AmitsurLevitzki.
Teorema 2.2.5 (Teorema de Amitsur-Levitzki). A álgebra Mn (K) satisfaz a identidade s2n (x1 , · · · , x2n ) ∈ K[X].
Demonstração: Como
K
é de característica zero,
Q ⊂ K.
Além do mais,
é multilinear, bastando portanto vericar tal identidade em uma base de
Repare que
{eij : 1 ≤ i, j ≤ n} ⊂ Mn (Q)
é uma base para
denido da Obvervação 1.3.6) . Logo, basta vericar que
mio
s2n .
Consideremos então, matrizes
e1 , e2 , · · · , e2n
triz
alguns dos geradores da
Mn (K), (eij
Mn (Q)
B = e1 A1 +· · ·+e2n A2n pertence a Mn (E) e, pelo fato de E
B2 =
X
ei ej (Ai Aj − Aj Ai ) ∈ Mn (E0 ).
i<j
46
Mn (K).
tal como
satisfaz o polinô-
A1 , A2 , · · · , A2n ∈ Mn (Q).
Q-álgebra de Grassmann E ,
s2n
Denotando por
temos que a ma-
ser supercomutativa,
Denotemos por
positivo
C
a matriz
B2.
É de simples vericação que, para todo inteiro
k, 1 ≤ k ≤ n,
X
Ck =
ei1 · · · ei2k (s2k (Ai1 , · · · , Ai2k ))
(2.1)
i1 <···<i2k
e, pela linearidade do traço,
X
tr(C k ) =
ei1 · · · ei2k tr(s2k (Ai1 , · · · , Ai2k )).
i1 <···<i2k
Como
tr(AB − BA) = 0,
para quaisquer matrizes
é uma permutação ímpar, para qualquer
Aσ(i1 ) Aσ(i2 ) · · · Aσ(i2k )
aparecem com sinal trocado em
e
σ ∈ S2k ,
A, B ∈ Mn (Q),
e um
2n-ciclo
as parcelas
Aσ(i2k ) Aσ(i1 ) Aσ(i2 ) · · · Aσ(i2k−1 )
s2k (Ai1 , · · · , Ai2k )
e, consequentemente
tr(s2k (Ai1 , · · · , Ai2k )) = 0
e
tr(C k ) = 0 para todo k .
Como a matriz
C
comutativa, o Lema 2.2.4 nos garante que
pertence a
C n = 0.
Mn (E0 ), e E0
é uma álgebra
Por outro lado, pela Equação
2.1,
C n = e1 · · · e2n s2n (A1 , · · · , A2n ).
Como
0
e1 e2 · · · e2n 6= 0 e s2n (A1 , · · · , A2n ) ∈ Mn (Q), temos que s2n (A1 , · · · , A2n ) =
para quaisquer matrizes
Mn (Q)
2.3
A1 , · · · , A2n
e, consequentemente, para
Mn (Q),
de
Mn (K)
se
K
sendo portanto identidade para
é corpo de característica zero.
O Teorema de Nagata-Higman
Nesta seção vamos provar o clássico Teorema Nagata-Higman para a nilpotência de
nil álgebras de índice limitado. Consideramos álgebras não unitárias.
47
Lema 2.3.1. Se charK 6= 2, então a identidade x2 implica na identidade x1 x2 x3 .
Demonstração: Linearizando a identidade
x2 ,
temos
x2 x1 + x22 . Implicando x1 x2 + x2 x1 = e2 (x1 , x2 ) ∈ hx2 iT .
(x1 + x2 )2 = x21 + x1 x2 +
Consideremos as consequên-
cias:
e2 (x1 x2 , x3 ) = (x1 x2 )x3 + x3 (x1 x2 ) = 0 ∈
KhXi\K
hx2 iT
e2 (x2 x3 , x1 ) = (x2 x3 )x1 + x1 (x2 x3 ) = 0 ∈
KhXi\K
hx2 iT
e2 (x3 x1 , x2 ) = (x3 x1 )x2 + x2 (x3 x1 ) = 0 ∈
KhXi\K
hx2 iT
como um sistema linear homogêneo com incógnitas
x1 x2 x3 , x2 x3 x1 , x3 x1 x2 .
Assim, temos a matriz associada


1 0 1




 1 1 0 


0 1 1
cujo determinante é igual a
2 6= 0.
Então, a única solução do sistema dado acima é a trivial, ou seja,
x2 x3 x1 = x3 x1 x2 = 0.
E segue que
x1 x2 x 3 =
x1 x2 x3 ∈ hx2 i.
Teorema 2.3.2 (Dubnov-Ivanov-Nagata-Higman). Seja A uma álgebra associativa
não unitária sobre um corpo K de característica zero satisfazendo a identidade polinomial xk = 0. Existe um inteiro d = d(k), dependendo apenas de k , tal que A é
nilpotente de classe d, isto é, A satisfaz a identidade polinomial x1 · · · xd .
Demonstração: Vamos trabalhar módulo a identidade
relativamente livre
A = (KhXi \ K)/hxk iT
identidade polinomial
xk = 0.
48
xk = 0, ou seja, na álgebra
da variedade de álgebras denida pela
xk
A linearização parcial de
é
f (x, y) = xk−1 y + xk−2 yx + · · · + xyxk−2 + yxk−1 = 0.
Daí segue que
f (x, yz j )z k−j−1 = xk−1 yz k−1 +xk−2 yz j xz k−j−1 +· · ·+xyz j xk−2 z k−j−1 +yz j xk−1 z k−j−1
é consequência de
k−1
X
xk
e, portanto,
f (x, yz j )z k−j−1 = kxk−1 yz k−1 +
j=0
k−2
X
xi yf (z, xk−i−1 )
i=1
também é.
Como
identidade
f ∈ hxk iT
xk−1 = 0
e
charK = 0,
temos
xk−1 yz k−1 ∈ hxk iT .
implica em nilpotência. Portanto, para algum
x1 · · · xd =
X
ai bk−1
ci ,
i
e
xd+2 · · · x2d+1 =
i
onde
bi , vj ∈ A
Então,
e
X
Por indução, a
d = d(k − 1),
uj vjk−1 wj ,
j
ai , ci , uj , vj
K ou a A.
X
=
ai (bk−1
(ci xd+1 uj )vjk−1 )wj = 0̄
i
pertencem a
x1 · · · xd xd+1 xd+2 · · · x2d+1
em
A
e, a
i,j
A
álgebra relativamente livre
é nilpotente de classe
2.4
(e consequentemente qualquer álgebra da variedade)
2d + 1.
Teorema de Shirshov
Fixamos o número
hx1 , · · · , xm i
m > 1
de geradores da álgebra livre associativa.
o conjunto de todos os monômios em
mado de semigrupo unitário livre de posto
os semigrupos com unidade.
comprimento (ou grau) de
Para
m
Khx1 , x2 , · · · , xm i.
49
W =
Este é cha-
e é o objeto livre na classe de todos
w = xi 1 x i 2 · · · xi n ∈ W ,
w.
Seja
denotamos por
|w|
o
Denição 2.4.1.
que
Introduzimos a ordenação lexicográca parcial em
x1 < x2 < · · · < xm
xi1 · · · xip > xj1 · · · xjq
para algum
é chamado
u = vw
para algum
são
assumindo
da seguinte forma
i1 = j1 , · · · , ik = jk , ik+1 > jk+1
incomparáveis se uma delas é o começo
w ∈ W, w 6= 1).
Um subconjunto nito de
W
incomparável se contém duas palavras incomparáveis.
Denição 2.4.2.
crita na forma
unidade) e
se, e somente se,
k ≥ 0. Duas palavras u e v
da outra (ou seja,
W
e, então, estendendo em
W
A palavra
w∈W
w = w0 w1 · · · wd wd+1
é chamada
d-decomponível
(algumas das palavras
w0 w1 · · · wd+1 > w0 wσ(1) · · · wσ(d) wd+1 ,
w0
e
se pode ser es-
wd+1
podem ser a
para toda permutação não trivial
σ ∈ Sd .
Observe que se todas as palavras
que
w
é
d-decomponível
se
w1 , · · · , wd
são comparáveis duas a duas, temos
w1 > w2 > · · · > wd .
Exemplo 2.4.3. w = x2 x1 x3 x2 x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 = (x2 x1 )(x3 x2 x1 x2 )(x3 x1 x2 )(x4 x1 )
é uma decomposição, com
w 0 = x2 x1
e
w 3 = x4 x1 ,
porque
(x2 x1 )(x3 x2 x1 x2 )(x3 x1 x2 )(x4 x1 ) > (x2 x1 )(x3 x1 x2 )(x3 x2 x1 x2 )(x4 x1 ) = w0 w2 w1 w3 .
Lema 2.4.4. Se w ∈ W tem a apresentação w = pq = rp para certas palavras de
comprimento positivo p, q, r, então w tem a forma an ou abab · · · aba = (ab)n−1 a
para certos a, b 6= 1 e n > 1.
Demonstração: (i) Se
para
|p| < |r|,
então
r = pb
e assim
w = pbp,
ou seja,
w = aba
a = p.
(ii) Se
então
|r| ≤ |p|,
p1 = rp2
pk+1 q = rpk+1
(a) Se
e
então
p = rp1 .
p2 q = rp2 .
onde
pk+1 = 1,
w = rp1 q = rrp1
e
p1 q = rp1 .
Continuamos este processo até obter
|pk+1 | < |r|.
então
Logo,
Neste caso, temos
p = rk+1
e
w = rk+2 = ak+2
50
para
a = r.
Se
|r| ≤ |p1 |,
pk = rpk+1
e
(b) Se
pk+1 6= 1,
então
pk+1 q = rpk+1
a = pk+1 , r = ab, p = rk+1 pk+1
e
e
|pk+1 | < |r|.
Do caso (i), temos que
w = rk+2 pk+1 = (ab)k+2 a.
Lema 2.4.5. Seja v = w0 ww1 ww2 · · · wd−1 wwd um monômio tal que a subpalavra
w tem d diferentes subpalavras comparáveis. Então, v é d-decomponível.
Demonstração: Queremos mostrar que
v = b00 b01 · · · b0d+1
pode ser escrito como
b00 b01 · · · b0d+1 > b00 b0σ(1) · · · b0σ(d) b0d+1 , ∀σ ∈ Sd .
e
w = ai vi bi , i = 1, 2, · · · , d
Seja
v
e
v1 > v2 > · · · > vd .
Então
v
tem a seguinte
d-decomposição
v = (w0 a1 )(v1 b1 w1 a2 )(v2 b2 w2 a3 ) · · · (vd−1 bd−1 wd−1 ad )(vd bd )wd+1
pois
t1 > t2 > · · · > td ,
Exemplo 2.4.6.
contém
Se
d
p<q
ei
Sejam
então
e
q
palavras comparáveis.
p > q,
então
e
td = vd bd .
Então a palavra
w = pd−1 q
pd−1 q > pd−2 q > · · · > pq > q .
pd−1 q < pd−2 < · · · < pq < q .
Seja
w∈W
é um começo de
palavras
p
ti = vi bi wi ai+1 , i = 1, · · · , d − 1
subpalavras comparáveis. Se
Denição 2.4.7.
onde
onde
w1 , w2 , · · · , wd
w
e
e
|w| ≥ d.
|ei | = i − 1.
são os
d-ns
Escreva
Então
w = 1.w1 = e2 w2 = · · · = ed wd ,
|wi | = |w| − i + 1.
Dizemos que as
de w.
Lema 2.4.8. Seja |w| ≥ d tal que o conjunto formado por todos os d-ns de w é
incomparável. Então w = abt c, onde |a| + |b| < d, t ≥ 1 e qualquer c = 1 ou c um
começo de b. Se, para um inteiro positivo k , |w| ≥ dk ,então t ≥ k e, em particular,
w contém uma subpalavra bk com |b| < d se k ≤
51
|w|
.
d
Demonstração:
w = awi
w = abwj ,
e
wi
Como
e
wj
(wi = bwj = wj u)
seja,
w = abt c.
wi
Sejam
assim
e
wj
dois d-ns incomparáveis de
Então,
wi = bwj .
wi = wj u
são incomparáveis, temos que
segue que
Além disso,
w, i < j .
w i = bt c ,
c=1
onde cada
|a| + |b| = j − 1 < d.
Se
c
ou
e, pelo Lema 2.4.4,
é um começo de
dk ≤ |w|,
b,
ou
então
dk ≤ |a| + |b| + (t − 1)|b| + |c| < d + (t − 1)|b| + |c| < d + (t − 1)d
e
k ≤ t.
Lema 2.4.9. Seja w ∈ W tal que |w| = kd. Se w não contém uma subpalavra
bk , |b| < d, então w pode ser escrito como w = vu, com |v| ≥ d e os d-ns de
v comparáveis dois a dois, e v pertence a um conjunto nito S de cardinalidade
limitada por
|S| ≤ s(d, k) =
Demonstração:
Se
Lema 2.4.8, todos os
Seja
v
w
w
ráveis. Pela denição de
Seja
v = qx
não contém uma subpalavra
d-ns
o começo de
d(d − 1)
(k − 1)md
2
w
da palavra
bk ,
pela contrapositiva do
são comparáveis.
de comprimento mínimo tal que os
d-ns
de
q
são compa-
d-ns, |v| ≥ d.
para alguma letra
x.
|q| < d
Então cada
ou os
d-ns
de
q
são
incomparáveis.
No segundo caso, os Lemas 2.4.4 e 2.4.8 nos dão que
1, |a| + |b| + |c| < d
O caso
t < k.
t≥k
e
t≥1
ou
q = abt ,
é impossível, pois
Denotemos por
S
w
onde
b 6= 1
contém
e
(bc)t
q = a(cb)t c,
onde
c, b 6=
|a| + |b| < d.
e
|bc| = |b| + |c| < d.
Portanto,
o conjunto de todas as palavras escritas de uma das
seguintes duas formas:
(i)
v = a(cb)t cx,
onde
c, b 6= 1, 1 ≤ t ≤ k − 1, |a| + |b| + |c| ≤ d − 1
diferente da primeira letra de
b.
52
e a letra
x
é
(ii)
v = abt x,
onde
b 6= 1, 1 ≤ t ≤ k − 1, |a| + |b| ≤ d − 1
diferente da primeira letra de
e a letra
x
é uma letra
b.
Vamos estimar o número de palavras de primeiro tipo (em alguns lugares temos
inequações porque não garantimos que a representação correspondente é única).
Seja
l = |a| + |b| + |c|.
2 ≤ l ≤ d − 1.
Os dois inteiros
|a|
e
|a| + |c|
|a| e |a| + |c|
l(l − 1)
entre 0, 1, 2, · · · , l − 1, e temos
possibilidades para |a|, |b|, |c|. Para l xo,
2
l(l − 1) l
m (k − 1)(m − 1) (m letras em cada uma das l
as possibilidades para v são
2
posições de a, b, c; k − 1 possibilidades para t; e m − 1 letras x distintas da primeira
determinam
letra de
b).
|a|, |b|, |c|.
Então
Portanto, escolhemos dois inteiros distintos
A soma para
l = 2, 3, · · · , d − 1
nos dá que o número de palavras do
primeiro tipo é limitado por
d−1
X
l(l − 1)
2
l=2
ml (k − 1)(m − 1).
Similarmente, para as palavras do segundo tipo, temos
d−1
X
lml (k − 1)(m − 1).
l=1
Por m, usando a relação de Stifel, e
|S| ≤ (k − 1)(m − 1)
d−1
X
(l + 1)l
l=1
2
temos
d−1
ml ≤ (k − 1)(m − 1)
≤ (k − 1)
Teorema 2.4.10
l ≤ d − 1,
d(d − 1) X l
m ≤
2
l=0
d(d − 1) d
m .
2
. Seja w uma palavra do semigrupo livre hx1 , x2 , · · · , xm i,
(Belov)
m > 1 e, sejam k e d inteiros xos com k ≥ d > 1. Se a palavra w não é d-
decomponível, então pode ser escrita na forma
w = c0 v1k1 c1 v2k2 · · · vrkr cr
53
r
X
d4 k 2 md
onde |vi | < d, ki ≥ k, r < dm ,
|ci | ≤ d ks(d, k) + dk(r + 1) ≤
, as
2
i=0
palavras vi e ci não têm começo comum. Aqui, s(d, k) foi denido no Lema 2.4.9.
d
|w| ≤ d2 ks(d, k), então assumimos que c0 = w e temos o resul-
Demonstração: Se
|w| > d2 ks(d, k), então w = u1 w1 u2 w2 · · · ut wt ut+1
tado. Se
kd, |b| < d,
subpalavra
2.4.9 e
vi
e os
ui 's
contém
d
Portanto, algum
c0
palavras
Se
e
w1
c1
v1
d vezes em w
w1
w
w)
S
wi
contém uma
denido no Lema
w
onde
algum
vi
é d-decomponível.
contém uma subpalavra
w = c0 v1k1 w1 ,
tal que
bk , |b| < d.
|v1 | < d, k1 ≥ k
e as
não têm começo comum, o que pode ser facilmente obtido sempre.
contém uma subpalavra
bk , |b| < d,
então escolhemos
c1
tal que
w1 = c1 v2k2 w2
com menor tamanho possível.
Como acima, podemos assumir que
w2
t = ds(d, k), |wi | =
t = ds(d, k) ≥ d|S|,
e, pelo Lema 2.4.5, a palavra
(e então, também
o menor início de
e
está no conjunto
subpalavras comparáveis. Como
wi
onde
são arbitrários. Pelo Lema 2.4.9, se nenhum
bk , |b| < d, então wi = vi xi , onde vi
aparece pelo menos
Seja
2
da mesma maneira que
w1 ,
v2
e
w2
não têm começo comum. Fazemos
etc. Obtemos a seguinte forma para
w:
w = c0 v1k1 c1 v2k2 · · · cr−1 vrkr cr
onde
e
ci
|vi | < d, ki ≥ k, ci
não contém uma subpalavra da forma
não têm começo comum ou, se
Portanto,
w
contém
r−1
ci = 1 ,
subpalavras disjuntas
uma letra diferente da primeira letra de
Aqui usamos que
da forma
k≥d
v d−1 x, |v| < d
e
x
então
vi
e
vi+1
bk , |b| < d,
vi
não têm começo comum.
vid−1 xi , i = 1, · · · , r − 1,
onde
xi
é
vi .
(e que talvez
cr = 1).
O número de palavras distintas
uma letra diferente da primeira letra de
d−1
X
e cada
v
é
ml (m − 1) = md − m < md .
l=1
Se assumirmos que
r ≥ dmd , então alguma palavra da forma v d−1 x, onde |v| < d,
54
e
x
não é a primeira letra de
v,
aparece em
w
pelo menos
d
vezes
w = q0 (v d−1 x)q1 (v d−1 x)q2 · · · qd−1 (v d−1 x)qd .
Pelo exemplo 2.4.6, a palavra
Lema 2.2.4, obtemos uma
v d−1 x
contém
Para provar a desigualdade de
r
X
dk
e uma palavra de comprimento
Assim temos,
p=
r h
X
|ci | i
r
1 X
>
|ci | − (r + 1)
dk
dk i=0
i=0
intervalos de comprimento
d,
Portanto,
|ci |, vamos dividir cada uma das palavras ci em
i=0
várias subpalavras consecutivas de comprimento
dk .
subpalavras comparáveis e, pelo
d-decomposição de w, o que é uma contradição.
r < dmd .
menor do que
d
dk .
Como
ci
não contém subpalavras da forma
bk , |b| <
pelo Lema 2.4.9, cada um desses intervalos tem como começo um elemento do
conjunto
S,
que aparece como uma subpalavra de
decomponível. Como isso é impossível, obtemos que
r
X
|ci | < dk(p + (r + 1)),
a desigualdade
w.
Isso torna a palavra
p < ds(d, k).
w d-
Usando também
obtemos
i=0
r
X
|ci | ≤ d2 ks(d, k) + dk(r + 1) ≤ d2 kmd (
i=0
Denição 2.4.11.
Seja
nito de palavras de
(k − 1)(d − 1)d
1
+ 1) ≤ d4 k 2 md .
2
2
A uma álgebra gerada por a1 , · · · , am .
a1 , · · · , am .
Dizemos que
A
Seja
H
um conjunto
tem altura h com relação ao
conjunto de palavras H , se h é o menor inteiro com a propriedade que, como um
espaço vetorial,
A
é gerado por todos os produtos
uki11 · · · ukitt
tal que
ui1 , · · · , uit ∈ H
55
e
t ≤ h.
Agora, provamos o teorema de Shirshov para a altura de PI-álgebras nitamente
geradas.
Teorema 2.4.12
(Teorema de Shirshov)
. Seja A uma PI-álgebra gerada por m
elementos a1 , · · · , am e satisfazendo uma identidade polinomial de grau d > 1. Então A tem altura nita com relação ao conjunto de todas as palavras ai1 · · · ais de
comprimento s < d.
Demonstração:
Nossas considerações serão similares as da prova do Teorema
de Regev para o crescimento exponencial da sequência de codimenções de uma PIálgebra. Assumimos que
A
satisfaz uma identidade multilinear da forma
x1 · · · xd =
X
ασ xσ(1) · · · xσ(d) , ασ ∈ K,
σ∈Sd
σ ∈ Sd .
Considere um
d-decomponível,
então podemos
onde a soma está em todas as permutações não-triviais
produto
w = ai1 · · · aip ∈ A.
escrevê-la como um produto de
Primeiro, se
d+2
w
é
subpalavras
w0 w1 . . . wd wd+1
tais que
w = w0 w1 · · · wd wd+1 > w0 wσ(1) · · · wσ(d) wd+1 ,
para qualquer permutação
σ ∈ Sd
não-trivial. Então aplicamos a identidade polino-
mial
w0 (w1 · · · wd )wd+1 =
X
ασ w0 (wσ(1) · · · wσ(d) )wd+1 .
σ∈Sd
Obtemos que
w é uma combinação linear de palavras que são menores na ordena-
ção lexicográca e, continuando o processo até obter que todos os elementos de
combinações lineares de palavras em
Agora, xamos o inteiro
k = d.
a1 , · · · , am ,
as quais não são
A são
d-decomponíveis.
Pelo Teorema 2.4.10, se a palavra não é
decomponível então ela pode ser escrita na forma
w = c0 v1k1 c1 v2k2 · · · vtkt ct ,
56
d-
em que
palavras
ci 's
as palavras
como um produto
a1 , · · · , am
t
X
d4 k 2 md
d6 md
=
. Considerando as
2
2
i=0
ci = uj1 · · · ujq de comprimento q = |c1 | com relação
|vi | < d, ki ≥ k = d, t < dm
d
, e
(de comprimento
|ci | ≤
1 < d),
temos que
A
é gerada por todos
w = u1 · · · up0 v1k1 up0 +1 · · · up1 v2k2 · · · vtkt upt−1 +1 · · · upt .
Portanto, a altura de
A
são limitados em termos de
d
é limitada pela soma de
d
e
m,
onde
m
t
e
|c0 | + · · · |ct | = pt
e,
t
é o número de geradores da álgebra
é o grau da identidade polinomial satisfeita por
e
pt
A
e
A.
Corolário 2.4.13. Seja A uma PI-álgebra nitamente gerada, com altura h, a
GKdim(A) ≤ h.
57
Capítulo 3
Identidades Polinomiais Graduadas
de Álgebras T -primas
Em 1987, em [16], Kemer respondeu ao Problema de Specht e também classicou as
álgebras
T -primas, a menos de PI-equivalência, em característica zero.
Nesse mesmo
trabalho ele demonstrou o Teorema do Produto Tensorial
Teorema 3.0.14
. Seja charK = 0. Então
(Teorema do Produto Tensorial)
1. Ma,b (E) ⊗ E ∼ Ma+b (E).
2. Ma,b (E) ⊗ Mc,d (E) ∼ Mac+bd,ad+bc (E).
3. M1,1 (E) ∼ E ⊗ E .
Os métodos utilizados por ele usam fortemente a teoria de estrutura de anéis.
Mais tarde surgiram demonstrações alternativas para o teorema utilizando métodos
combinatórios e identidades graduadas. Neste capítulo é apresentada uma demonstração desse tipo para
T (Mp,q (E) ⊗ Mr,s (E)) = T (Mpr+qs,ps+qr (E)),
discutidas as equivalências entre subálgebras graduadas de
58
Mn (E).
bem como são
3.1
Álgebras Graduadas e Bases Multiplicativas
Denição 3.1.1. Seja B uma base para a álgebra A. Dizemos que B é uma base
multiplicativa para A se, para quaisquer b1 , b2 ∈ B, tais que b1 b2 6= 0, existe
α ∈ K \ {0}
tal que
Quando existe
cação
αb1 b2 ∈ B .
B,
uma base multiplicativa para
| · | : B → G,
em que
G
A,
se podemos denir uma apli-
denota um grupo (abeliano com notação aditiva),
satisfazendo
b1 b2 6= 0 ⇒ |b1 b2 | = |b1 | + |b2 |, ∀b1 , b2 ∈ B,
tal aplicação induz uma
gerado pelo conjunto
(3.1)
G-graduação em A sendo, para cada g ∈ G, Ag
{b ∈ B| |b| = g}.
base com tal propriedade chamamos
Dessa forma, a base
G-multiplicativa
B
é
o subespaço
G-homogênea.
para a álgebra
Uma
G-graduada
A.
As álgebras
Mp,q (E)
e seus produtos tensoriais possuem bases multiplicativas
canônicas. Preliminarmente, vamos xar algumas notações. Para um inteiro positivo
m, [m]
denotará o conjunto
Denição 3.1.2.
Seja
Zm -graduação
A
Essa
| · |µ
A = Mm (K).
denindo
Zm -graduação
Na verdade,
e
em
ı
Qualquer aplicação
µ : [m] → [m]
induz uma
|eij | := µ(j) − µ(i) ∈ Zm (1 ≤ i, j ≤ m).
é chamada de
B = {eij |1 ≤ i, j ≤ m}
satisfaz a Equação 3.1.
graduação elementar em
por
{1, 2, · · · , m}.
é uma base
Zm -multiplicativa
para
Mm (K)
Daqui em diante, quando nos referirmos a uma
Mn (K),
a aplicação identidade em
graduação elementar induzida por µ.
cará implícito que
[m].
Neste caso,
µ
é uma bijeção. Denotamos
|eij | = j − i
fornece a graduação
introduzida por Vasilovsky em [2].
Como visto, logo após a Denição 1.1.4, a álgebra de Grassmann
espaço vetorial
V
de dimensão innita tem uma
59
E
de um
Z2 -graduação natural E = E0 ⊕ E1 .
A base
β
(que ao longo desse capítulo denotaremos por
notação) para
E
particioná-la em
e
ε1
exibida na Denição 1.1.4 é
ε = ε0 ∪ ε1 , sendo ε0
ε
para evitar conito de
Z2 -multiplicativa e, portanto, podemos
formado pelos elementos de comprimento par,
o conjunto formado pelos elementos de comprimento ímpar.
Como
Mm (K)
Mn (E) ∼
= Mn (K) ⊗ E
pode-se combinar uma graduação elementar para
com a graduação natural em
E
para obter uma graduação em
Denição 3.1.3. Seja A = Mm (E) e µ ∈ Sm .
Para todo
Mn (E).
a ∈ ε e i, j ∈ [m] denimos
|aeij | := (|eij |µ , |a|2 ) ∈ Zm × Z2 .
Toda
Zm ×Z2 -graduação considerada em Mm (E) será como na denição anterior.
Como
|·| satisfaz 3.1, esta transforma Mm (E) em uma álgebra Zm ×Z2 -graduada,
denotada por
(Mm (E), µ).
Agora buscamos uma classe muito importante de subálgebras de
Mm (E), a classe
Mp,q (E),com m = p + q . Lembramos
que os elementos Mp,q (E) são

(E0 )p×p (E1 )p×q
 com entradas em E0 e E1 .
matrizes em blocos 
(E1 )q×p (E0 )q×q
Então Mp,q (E) herda a Zm × Z2 -graduação de (Mm (E), µ) e, denindo η : [m] →
da álgebra
Z2
tomando valores 0 se
[m], a ∈ εη(i)+η(j) }
é uma base
Observação 3.1.4.
fas em
i ≤ p
e 1, caso contrário.
O conjunto
(Zm × Z2 )-multiplicativa
Quaisquer dois
µ, ν ∈ Sm
induzem
para
Bp = {aeij |i, j ∈
Mp,q (E).
Zm × Z2 -graduações isomor-
Mm (E), ou seja, existe um isomorsmo Zm × Z2 -graduado ϕ : (Mm (E), µ) →
(Mm (E), ν).
Isso não é verdade para
Mp,q (E).
Por exemplo, se
m = 2n
e
ν =
(n n + 1), então (Mn,n (E), ı) e (Mn,n (E), ν) não são isomorfas como álgebras graduadas, pois a componente
e zero em
(n−1, 0) -graduadas tem dimensão innita em (Mn,n (E), ı)
(Mn,n (E), ν).
No entanto, sempre podemos mergulhar
60
(Mp,q (E), µ) dentro de (Mm (E), ı) atra-
vés de um homomorsmo
Zm × Z2 -graduado ϕµ
denido em
ϕµ : (Mp,q (E), µ) −→ (Mm (E), ı)
7−→
aeij
Bp
por
.
aeµ(i)µ(j)
De fato, note que
|ϕ(aeij )|ı = |aeµ(i)µ(j) |ı = (µ(j) − µ(i), |a|2 ) = |aeij |µ .
Além disso, os vetores de
ϕµ (Bp )
constituem uma
Zm × Z2 -base
multiplicativa para
ϕµ (Mp,q (E)).
Observação 3.1.5.
0 ∈ Z2
se
i ∈ Pµ
Seja
Pµ := µ([p]) ⊆ [m],
e 1, caso contrário. Denotando por
que, como espaço vetorial, é gerado por
imagem de
(Mp,q (E), µ)
Por outro lado, seja
em
Mm (E)
α : [m] → Z2
α(i) =
Mα (E) a subálgebra de Mm (E)
{aeij |a ∈ εα(i)+α(j) },
pela aplicação
como
temos que
Mα (E)
é a
ϕµ .
α : [m] → Z2 uma aplicação qualquer e assuma que uma entre
as bras de 0 e 1 tem exatamente
{j1 , · · · , jq } := [m]\{i1 , · · · ip },
sendo
e dena
p
i1 , · · · , ip ∈ [m].
elementos, a saber
temos que
Mα (E)
é um isomorfo a
Denindo
(Mp,q (E), µ),
µ

µ=
1
2 ··· p p + 1 ··· m
i1 i2 · · · ip
Portanto, estudar uma
Denição 3.1.6.
Seja
(aeij , beuv ) ∈ Bp × Br
· · · jq
Zm × Z2 -graduação
estudar uma subálgebra conveniente
O produto tensorial
j1
Mα (E)
Mp,q (E) ⊗ Mr,s (E)
em
para

 ∈ Sm .
(Mp,q (E), µ)
é equivalente a
(Mm (E), ı).
é dotado da seguinte graduação.
m = p + q, n = r + s
e, seja
µ ∈ Sm , ν ∈ Sn .
Dado
dena
|aeij ⊗ beuv | := (n(µ(j) − µ(i)) + (ν(v) − ν(u)), |a|2 + |b|2 ) ∈ Zmn × Z2 .
Como
{x ⊗ y|x ∈ Bp , y ∈ Br }
e a aplicação
é uma base multiplicativa para
Mp,q (E) ⊗ Mr,s (E)
| · | satisfaz a Equação (3.1), isso dene uma Zmn × Z2 -graduação nesta
álgebra.
61
Vamos provar que esta álgebra é graduada PI-equivalente a
Mpr+qs,ps+qr (E) com
respeito a uma graduação quase canônica.
3.2
Identidades Polinomiais Graduadas de
e
Mp,q (E) ⊗ Mr,s(E)
A seguir, fazemos algumas observações gerais a respeito do
uma álgebra
G-graduado
T -ideal G-graduado
de
A.
K
Uma vez que assumimos que o corpo
A,
Mp,q (E)
de identidades polinomiais
possui característica zero, o
G-graduadas
é gerado por polinômios multilineares.
para vericar se um polinômio multilinear
Se
f
B
satisfeitas por uma
é uma base
pertence a
TG (A),
T -ideal
K -álgebra
G-homogênea
de
A,
basta vericar se ele
pertence ao núcleo de qualquer homomorsmo graduado
S : KhXiG → A
S(xi ) ∈ B ,
substituição standard
para qualquer i. Neste caso, chamamos
e denotamos por
f |S .
Note que
No resultado que segue,
na álgebra livre
f |S = 0
ou
S
cf |S ∈ B
uma
para algum
tal que
c ∈ K\{0}.
M denota o conjunto de todos os monômios multilineares
G-graduada KhXiG .
Proposição 3.2.1. Sejam A uma álgebra G-graduada e B uma base G-multiplicativa de A. Seja N um conjunto de identidades polinomiais graduadas de A e denote
por I o TG -ideal gerado por N . Assuma que para todos h, h0 ∈ M\TG (A) existem
uma substituição standard S e um elemento não-nulo c ∈ K tal que
0 6= h|S = ch0 |S se, e somente se, h ≡ ch0 (mod I).
Então TG (A) é gerado por N ∪ (M ∩ TG (A)).
Demonstração: Seja
J
o
TG -ideal gerado por N ∪ (M ∩ TG (A)).
Temos
I⊆J ⊆
TG (A) e, portanto, devemos provar apenas que toda identidade multilinear graduada
de
A
está em
J.
62
f = f (x1 , · · · , xn ) ∈ TG (A)
Suponha que existe um polinômio multilinear
t
X
J.
não está em
f =
Então podemos escrever
ci fi (mod J),
i=1
os escalares ci são não nulos, e o número de parcelas
de parcelas
f1 ∈
/ TG (A),
t
deve ser maior que
1,
pois
J
t é o menor possível.
M ∩ TG (A).
contém
e portanto existe uma substituição standard
t
X
c1 f1 |S = −
onde cada
S
Como
tal que
t
que
fi ∈ M ,
O número
é mínimo,
f1 |S 6= 0.
Daí
ci fi |S .
i=2
Sendo
B
uma base multiplicativa
G-homogênea,
fornece um elemento de bases homogêneas
nulo
c0i .
Portanto, existe
para algum
c ∈ K \ {0}.
j ∈ {2, · · · , t},
B
de
A,
alguma avaliação não-nula
fi |S
a menos de um coeciente não-
digamos
j = 2,
tal que
Logo, por nossa suposição, segue que
f1 |S = cf2 |S
f1 ≡ cf2 (mod I).
Finalmente, isso garante que
f ≡ (c1 c + c2 )f2 +
t
X
ci fi (mod J)
i=3
contradizendo a minimalidade de
t.
Análogo ao que acontece com uma única álgebra
Mp,q (E) ⊗ Mr,s (E)
Mα (E) ⊗ Mγ (E)
neste caso, a
Mp,q (E),
o produto tensorial
é isomorfo, preservando-se a graduação, ao produto tensorial
para convenientes
Zm × Z2 -graduação
α : [m] → Z2
para
e
γ : [n] → Z2 .
Mα (E) ⊗ Mγ (E)
Relembramos que
é denida por
|aeij ⊗ beuv | = (n(j − i) + (v − u)), |a|2 + |b|2 ) ∈ Zmn × Z2 .
No resto da seção, vamos denotar por
gêneo de
A = Mα (E) ⊗ Mγ (E),
Um fato importante é que
Como uma consequência,
qualquer monômio em
enquanto
| · |mn
|·|
o
vai denotar
|aeij ⊗ beuv |mn = 0
|aeij ⊗ beuv | = (0, 0)
KhXiZm ×Z2
de grau
63
Zmn -grau
e
de um elemento homo-
Zmn × Z2 -grau.
se, e somente se,
A(0,1) = 0.
i=j
e
u = v.
Em outras palavras,
(0, 1) é uma identidade polinomial de A.
Agora, seja
N
o seguinte conjunto de polinômios multilineares
x1 x2 − x2 x1
com
|x1 | = |x2 | = (0, 0) ∈ Zm × Z2
x1 x2 x3 + (−1)s+1 x3 x2 x1
com
|x1 | = |x3 | − |x2 | = (t, s) ∈ Zm × Z2 .
Lema 3.2.2. Seja G := Zmn × Z2 . Então N ⊆ TG (A).
Demonstração: Para qualquer elemento homogêneo
duada, vamos denotar por
∂(w) ∈ Z2
w
de uma álgebra
a segunda componente de
G-grau.
G-graAgora,
seja
wh := ah eih jh ⊗ bh euh vh ∈ B
para
h = 1, 2, 3
e assuma
|w1 |mn = |w3 |mn = −|w2 |mn .
Se
w1 w2 w3 6= 0
j1 = i2
e
v1 = u2
u3 , j1 = i2 , v3 = u2 .
então
|w1 w2 | = (0, 0)
e, além disso,
e
j2 = i1
w1 w2 6= 0.
e
v2 = u1 .
Como acima, isso implica que
Analogamente,
j2 = i3 , v2 =
Em outras palavras, obtemos
w1 = a1 eij ⊗ b1 euv , w2 = a2 eji ⊗ b2 evu , w3 = a3 eij ⊗ b3 euv
para alguns
1 ≤ i, j ≤ m
e
1 ≤ u, v ≤ n.
Portanto,
w1 w2 w3 = a1 a2 a3 eij ⊗ b1 b2 b3 euv ,
w3 w2 w1 = a3 a2 a1 eij ⊗ b3 b2 b1 euv .
Note que
de
ak
e
bk
a1 a2 a3 = ±a3 a2 a1
(o mesmo vale para os
b's).
Se
s = 0,
são as mesmas, logo
a1 a2 a3 = a3 a2 a1
se, e somente se,
b1 b2 b3 = b 3 b2 b1
e, portanto,
a1 a2 a3 eij ⊗ b1 b2 b3 euv = a3 a2 a1 eij ⊗ b3 b2 b1 euv .
64
as paridades
Já se
s=1
as paridades de
ak
e
a1 a2 a3 = a3 a2 a1
bk
são distintas e
b1 b2 b3 = −b3 b2 b1 ,
se, e somente se,
de onde seguem as identidades do segundo tipo. Para as do primeiro tipo, aplica-se
um raciocínio análogo a mais simples.
Relembramos que
I
denotará o
TG -ideal
de
KhXiG
gerada pelo conjunto
N.
Lema 3.2.3. Sejam f, f 0 monômios multilineares nas mesmas variáveis e seja S
uma substituição standard em A = Mα (E) ⊗ Mγ (E) tal que f 0 |S = cf |S 6= 0 para
algum c ∈ K . Então f 0 ≡ cf (mod I).
Demonstração: Seja
permutação
σ ∈ Sd .
indução sobre
d
f = x1 x2 · · · xd
Se
d = 1,
e assumamos
e
f 0 = fσ = xσ(1) xσ(2) · · · xσ(d)
então o resultado é verdadeiro.
d ≥ 2.
para alguma
Façamos então
Primeiro, vamos provar que existe
c0 ∈ K
tal
que
f 0 ≡ c0 x1 f 00 (x2 , · · · , xd ) (mod I).
Sejam
a, b inteiros tais que 1 ≤ a ≤ b ≤ d e seja m um monômio m = xi1 xi2 . . . xid .
Denotamos por
o submonômio
m[a,b]
xi a · · · xi b .
Seja
S(xh ) = wh = ah eih jh ⊗ bh euh vh ∈ B
Como
seja
f 0 |S = cf |S 6= 0,
obtemos
i1 = iσ(1)
t = min{j ≤ d|σ −1 (j) < σ −1 (1)}.
σ −1 (1) ≤ σ −1 (t − 1).
e
para
h = 1, 2, · · · , d.
u1 = uσ(1) .
Claramente
t>1
Assuma
e, além disso,
Denimos
l := σ −1 (t), h := σ −1 (1), k := σ −1 (t − 1)
e considere as duas possibilidades:
l=1
ou
65
l > 1.
σ −1 (1) > 1
e
σ −1 (t) <
No primeiro caso, temos
|fσ[1,h−1] |mn = |(fσ[1,h−1] )|S | = |wσ(1) · · · wσ(h−1) |mn =
= n(jσ(h−1) − iσ(1) ) + vσ(h−1) − uσ(1)
e,
|fσ[h,k] |mn = |(fσ[h,k] )|S | = |wσ(h) · · · wσ(k) |mn =
= n(jσ(k) − iσ(h) ) + vσ(k) − uσ(h) .
Como
wσ(1) · · · wσ(h−1) 6= 0 6= wσ(h) · · · wσ(k) ,
jσ(h−1) − iσ(1)
disto segue que
= 0;
vσ(h−1) − uσ(1) = 0;
jσ(k) − iσ(h)
= 0;
vσ(k) − uσ(h)
= 0.
ou seja,
|fσ[1,h−1] |mn = |fσ[h,k] |mn = 0.
Claramente,
serão identidades
Como
temos
Se
I
[1,h−1]
∂(|fσ
[h,k]
|) = δ(|fσ
G-graduadas
contém o polinômio
[h,k] [1,h−1] [k+1,d]
fσ
fσ
f 0 ≡ fσ
l > 1,
de
A
|) = 0,
A(0,1) = 0.
pois
x1 x2 − x2 x1
(mod I)
e
de outra maneira, estes monômios
[h,k]
fσ
com
|x1 | = |x2 | = (0, 0) ∈ G,
começa com
então
x1 .
utilizando o mesmo raciocínio do caso anterior, chegamos que
|fσ[1,l−1] |mn = −|fσ[h,h−1] |mn = |fσ[h,k] |mn
e,
∂(fσ[1,l−1] ) = ∂(fσ[l,h−1] ) = ∂(fσ[h,k] ).
Como
[h,k] [l,h−1] [1,l−1] [k+1,d]
fσ
fσ
fσ
N ⊆ I , existe c0 ∈ {1, −1} tal que f 0 ≡ c0 fσ
e este monômio começa com
x1 ,
também.
66
(mod I)
Como
c0 x1 f 00 (x2 , · · · xd ) ≡ f 0 (mod I), temos c0 w1 f 00 (w2 , · · · , wd ) = f 0 |S = cf |S =
cw1 w2 · · · wd 6= 0.
Disso segue que
c00 x2 · · · xd (mod I),
c0 f 00 (w1 · · · wd ) = cw2 · · · wd 6= 0
onde
c00 = c(c0 )−1 .
Portanto,
e, por indução
f 00 (x2 , · · · , xd ) ≡
f 0 ≡ cx1 x2 · · · xd (mod I),
e temos
o resultado.
Então
N
satisfaz as condições da Proposição 3.2.1, de onde segue, imediata-
mente, o próximo teorema.
Teorema 3.2.4. TG (Mα (E) ⊗ Mγ (E)) é gerado por N ∪ (M ∩ TG (A)), conjunto
formado pelos polinômios
x1 x2 − x2 x1
onde |x1 | = |x2 | = (0, 0)
x1 x2 x3 − x3 x2 x1
onde |x1 | = |x3 | = −|x2 | = (t, 0), t ∈ Zm
x1 x2 x3 + x3 x2 x1
onde |x1 | = |x3 | = −|x2 | = (t, 1), t ∈ Zm .
juntamente com todos os monômios multilineares que são identidades graduadas de
Mα (E) ⊗ Mγ (E).
Um raciocínio análogo fornece descrição de identidades
Mp,q (E), m = p + q ,
Zm × Z2 -graduadas
de
com respeito a uma graduação tal como na Denição 3.1.3.
De fato, como comentado na observação 3.1.5, podemos descrever equivalentemente
as identidades polinimiais graduadas de uma álgebra
Mα (E)
argumentos usados para obter o Teorema 3.2.4, tomando
e, então dos mesmos
n = 1 e γ(1) = 0, obtemos
o seguinte teorema.
Teorema 3.2.5. Seja G = Zp+q × Z2 . Se Mp,q (E) está dotada da G-graduação,
então TG (Mp,q (E)) é gerada por N ∪ (M ∩ TG (Mp,q (E))).
67
µ ∈ S(p+q)
De fato, para qualquer
e
ν ∈ S(r+s)
o produto tensorial
Mp,q (E) ⊗
Mr,s (E) é Z(p+q)(r+s) -PI-equivalente a Mpr+qs,ps+qr (E) com relaçãoo a uma Z(p+q)(r+s) ×
Z2 -graduação.
Mais precisamente, sejam
α, γ
aplicações
m = p+q
e
n = r + s,
como anteriormente e o produto tensorial
consideremos as
Mα (E) ⊗ Mγ (E).
Isso é
suciente para mostrar que esta álgebra é PI-equivalente (preservando a graduação)
a uma subálgebra
Mη (E) ⊆ Mmn (E)
cuja bra tem
pr + qs
elementos. O primeiro
passo é o seguinte
Observação 3.2.6.
único par
(i, u) ∈ [m] × [n],
Mγ (E) ⊆ Mn (E).
dena
Sejam
[m] × [n].
tal que
Para qualquer
η(t) := α(i) + γ(u)
e somente se,
m, n ∈ N.
Então para qualquer
t = n(i − 1) + u.
t ∈ [mn],
se
Agora, seja
existe um
Mα (E) ⊆ Mm (E) e
t = n(i − 1) + u com (i, u) ∈ [m] × [n],
e considere a subálgebra
α(i) = γ(u)
t ∈ [mn],
Mη (E).
e isso acontece exatamente para
Note que
pr + qs
η(t) = 0
pares
se,
(i, u) ∈
Então temos o resultado seguinte.
Teorema 3.2.7. Mα (E) ⊗ Mγ (E) e Mη (E) são PI-equivalentes como álgebras graduadas. Em particular, elas são PI-equivalentes.
Demonstração: Visto o que já foi mencioando, é suciente mostrar que
Mγ (E)
e
Mη (E)
Agora, seja
w1 , · · · , wd
e
Mα (E) ⊗
satisfazem os mesmos monômios multilineares.
f = x1 · · · xd ∈ M .
Se
f ∈
/ TG (Mα (E) ⊗ Mγ (E)),
na base multiplicativa canônica de
|xi | = |wi |, ∀i = 1, · · · , d.
Digamos
então existem
Mα (E) ⊗ Mγ (E) tal que w1 · · · wd 6= 0
wl = al eil jl ⊗ bl eul vl
e dena
hl := n(il − 1) + ul , kl := n(jl ) − 1 + vl zl := ekl kl ∈ Mmn (K).
Como
assim
jl = il+1 , vl = ul+1 ,
z1 · · · zd = eh1 kd 6= 0.
cl ∈ Eη(hl )+η(kl )
e
para
l = 1, · · · , d − 1,
então temos
Além disso, podemos encontrar
c1 · · · cd 6= 0.
Assim,
f∈
/ TG (Mη (E)).
68
kl = hl+1
c1 , · · · , cd ∈ E
e,
tal que
Por outro lado, se
Mη (E)
tal que
f = x1 · · · xd ∈
/ TG (Mη (E)),
|zl | = |xl |
e
z1 · · · zd 6= 0.
então existem
Escrevemos
zl = cl ehl kl
z1 · · · zd
na base de
onde
hl = n(il − 1) + ul , kl = n(jl − 1) + vl , 1 ≤ il , jl ≤ m, 1 ≤ ul , vl ≤ n.
wl = al eil jl ⊗ bl eul vl ∈ Mα (E) ⊗ Mγ (E)
Consideremos
Eγ(ul )+γ(vl )
são vetores na álgebra de Grassmann
|wl | = |xl |
Então,
e
w1 · · · wd 6= 0,
Em outras palavras, temos
1.2.10, segue que
Mα (E)
e
disso
E
onde
al ∈ Eα(il )+α(jl ) , bl ∈
a1 · · · ad b1 · · · bd 6= 0.
tais que
f∈
/ TG (Mα (E) ⊗ Mγ (E)).
TG (Mη (E)) = TG (Mα (E) ⊗ Mγ (E)).
Mα (E) ⊗ Mγ (E))
Pelo Lema
satisfazem as mesmas identidades
polinomiais.
Como consequência imediata temos o seguinte resultado.
Corolário 3.2.8. Mp,q (E) ⊗ Mr,s (E) e Mpr+qs,ps+qr (E) são PI-equivalentes.
3.3
Identidades Monomiais Multilineares para a Àlgebra
Mp,q (E)
Nesta seção, vamos dar atenção às álgebras
3.2.5, o
Mp,q (E),
TZm ×Z2 -ideal é gerado pelo conjunto N
graduados. A álgebra
Mp,q (E),
ares, por exemplo, se
Claramente,
por
I0
p + q = m.
Pelo Teorema
e mais alguns monômios multilineares
Mn (K) não tem identidades monomiais.
são válidos para identidades graduadas para
geral de álgebras
com
Mm (E)
e
Resultados similares
Mp,q (E) ⊗ E .
No caso mais
sempre existem monômios que são identidades multiline-
|x| = (0, 1)
então é sempre verdade que
x ∈ TZm ×Z2 (Mp,q (E)).
x é uma identidade graduadade A se, e somente se, A|x| = 0.
Denotando
o conjunto formado por todas as identidades monomiais da álgebra
69
A e por I0
o
T -ideal
graduado gerado por esse conjunto, chamamos
identidades monomiais
triviais da álgebra A quaisquer monômios graduados pertencentes a I0 .
Uma pergunta natural é saber quando todas as identidades monomiais de
são triviais. Para responder esta questão, vamos trabalhar com álgebras
Mp,q (E)
Mα (E) ou-
tra vez.
Primeiro, vamos listar três classes de álgebras cujas identidades monomiais são
E
todas triviais. Observamos que como
é a álgebra de Grassmann de um espaço
vetorial de dimensão innita, então as álgebras
e
Zm ×Z2 -graduadas Mα (E) ⊆ Mm (E)
(Mm (K), ı × α), com |eij | := (j − i, α(j) − α(i)), satisfazem exatamente as mesmas
monomiais Zm × Z2 -graduadas.
identidades
satisfeito por
(ik , jk )
portanto
x1 . . . xd
é um monômio
Mα (E), para v1 , . . . , vd ∈ ε, sendo o Z2 -grau de vi coerente com o de xi ,
e de modo que cada
para
De fato, se
ei
aparece em, no máximo, um
condizente com o grau de
x 1 . . . xd
xk
vj ;
para todo
então
k.
v1 ei1 ,j1 . . . vd eid ,jd = 0
Então
ei1 ,j1 . . . eid ,jd = 0
e
Mm (E).
deve ser identidade de
Proposição 3.3.1. Para qualquer m ≥ 1, a álgebra Mm,0 (E) =: Mω (E) ⊆ Mm (E)
tem apenas identidades monomiais triviais.
Proposição 3.3.2. Seja m ≡ 0 (mod 2) e seja π : [m] → Z2 tal que π(j) = j̄ ,
para todo j ∈ [m]. Então Mπ (E) ⊆ Mm (E) possui apenas identidades monomiais
triviais.
Demonstração: O que segue prova as duas armações anteriores. De fato, seja
α ∈ {ω, π}
e considere
A = (Mm (K), ı × α).
Seja
a := e12 + e23 + · · · + em1
Então,
a ∈ A(1̄,δ)
Assim, se
x 1 . . . xd
|xi | = (t¯i , ti δ).
e
A(1̄,δ+1) = 0.
e
Além disso,
δ := α(2) ∈ Z2 .
at ∈ A(t̄,tδ)
e
A(t̄,tδ+1) = 0, ∀t ∈ N.
é um monômio que não é identidade trivial, para cada fator
Se substituirmos cada
xi
por
ati ,
obtemos um elemento não-nulo e
portanto tal monômio não é uma identidade da álgebra.
70
xi ,
Proposição 3.3.3. Seja m um inteiro positivo divisível por 4 e sejam ρ1 , ρ2 : [m] →
Z2 denidas por

 0 se j ≡ 0 ou 1 (mod 4)
ρ1 (j) :=
 1 se j ≡ 2 ou 3 (mod 4)

 0
e ρ2 (j) :=
 1
se j ≡ 1 ou 2 (mod 4)
se j ≡ 0 ou 3 (mod 4)
Todo monômio satisfeito por Mρ1 (E), Mρ2 (E) ⊆ Mm (E) é uma identidade monomial trivial.
Demonstração: Seja
A = (Mm (K), ı×ρ1 ) e suponha que A satisfaça alguma iden-
tidade monomial não trivial. Seja
d
f = x1 · · · xd =: x1 f 0 xd
de comprimento mínimo
dentre todos os monômios não-trivias satisfeitos pela álgebra.
d≥2
(h̄i , ηi ) := |xi |.
e dena
A m de simplicar a notação, vamos escrever simplesmente
a ≡ b (mod 4)
e
(a, δ) ≡ (b, δ)
para denotar
j ≡ i+k (mod m) e ρ1 (i)+ρ1 (j) = δ .
que se
se
k≡2
k≡0
então
então
ah1 (ahd ),
A(k̄,0) = 0
A(k̄,1) = 0
Portanto, nem
por
e
k
A(k̄,1)
e
A(k̄,0)
h1 , nem hd
é ímpar,
A(k̄,δ) 6= 0
(ā, δ) = (b̄, δ).
Tomando
Se
a≡b
para denotar
eij ∈ B ∩ A(k̄,δ)
contém a matriz invertível
ak .
Analogamente,
ak .
podem ser pares, pois, nesse caso, substituindo
x2 . . . xd (x1 . . . xd−1 )
x2 . . . xd (x1 . . . xd−1 )
para qualquer
componente graduada pertence
ei,j
k
quando
δ
pertence a
δ ∈ Z2 .
j−i
x1 (xd )
se anula por qualquer
I0
e
x1 . . . xd ∈ I0 .
A tabela seguinte ilustra a que
é ímpar.
i
j
k ≡ 1 (mod 4) 0
par
ímpar
k ≡ 1 (mod 4) 1
ímpar
par
k ≡ 3 (mod 4) 0
ímpar
par
k ≡ 3 (mod 4) 1
par
ímpar
71
então
a = e1,2 +e2,3 +· · · em−1,m +em,1 note
contém a matriz invertível
o monômio só se anula se
substituição standard. Logo
Se
Necessariamente
Em particular, se
k
é ímpar, as matrizes
ponentes homogêneas, a primeira de grau
a2
disso, o elemento homogêneo
interno graduado
satisfaz
as
m/2
φ
A.
de
B
gerando
x1 f 0
δ.
S
0 6= (x1 f 0 )|S = eij ,
tal que
Como
Agora, veja que se
caso contrário
|xd | ≡ (1, 0)
f
ou
A(k̄,δ)
φ(eij ) = eπφ (i),πφ (j)
onde
|eij | = |x1 f 0 |.
ou
f 0 xd
Portanto, se
k
e1,k+1
é ímpar, então
ou
(3, 1),
então
Finalmente, dena
j
S0
tal que
f |S 0 = eiu 6= 0,
d > 2, f 0 |S = ej1 j
em,k
ou
(3, 0)
ou
|f 0 | = (h̄, η)
f
então
ou
j
Claramente, para algum
componente homogênea de grau
(h̄, η).
existe um automorsmo graduado
uma substituição standard
S 00 (xt ) := S ∗ (xt ) = erq .
S 00
θ
Sendo
A
de
dada por
não pode ser identidade.
h ≡ 1, 3.
Por outro lado,
r ∈ [m], f 0 |S ∗ = epr
h ≡ 1, 3 então,
f |S 00 = eθ(i) q
e
epr
S∗
tal
pertence a
como dissemos acima,
θ(ejq j ) = epr .
S 00 (xl ) := θ(eil jl )
Claramente, obtemos
é par e
(0, 0).
onde
tal que
(3, 0)
e isso nos dá uma
não pode ser uma identidade, existe uma substituição standard
0 6= (f 0 xt )|S ∗ = epq .
depen-
S(xl ) := eil jl .
|xd | ≡ (1, 1)
eju ∈ A(h¯t ,ηt )
então
|x1 f 0 | ≡ (2, 1)
e
é ímpar e
|x1 f 0 | ≡ (1, 1)
Em todos os casos, existe
Portanto, o que resta vericar é
Neste caso,
πφ
onde a permutação
são todas conjugadas a
é trivial. Similarmente, se
(3, 1).
Além
não pode ser identidade, existe uma substituição standard
|x1 f 0 | ≡ (1, 0)
substituição standard
que
(k̄, ρ1 (k + 1)) e a segunda (k̄, ρ1 (k)).
(πφ )−1 := (1 3 5 · · · m − 1)(2 4 6 · · · m) ∈ Sm .
matrizes de
pertencem a diferentes com-
induz, através de conjugação, um automorsmo
Claramente,
dendo de
como
e1,k+1 , em,k
para
Agora, considere
l = 2, · · · , t − 1
e, portanto,
f
e
não é uma
identidade monomial, uma contradição.
Finalmente, note que as álgebras
álgebras.
De fato, xando
aeσ(i)σ(j) ∈ Mρ1 (E)
Mρ1 (E) e Mρ2 (E) são isomorfas como Zm × Z2 -
σ := (12 · · · m) ∈ Sm ,
a aplicação
aeij ∈ Mρ2 (E) →
é um isomorsmo graduado.
Realmente, as álgebras das Proposições 3.3.1 - 3.3.3 são as únicas álgebras cujas
identidades monomiais são todas triviais.
72
Teorema 3.3.4. Seja m ≥ 1 e suponha que Mα (E) ⊆ Mm (E) não possui identidades monomiais não-triviais. Então,
(1) Mα (E) = Mm,0 (E) ou
(2) Mα (E) = Mπ e m ≡ 0 (mod 2) ou
(3) Mα (E) ∈ {Mρ1 (R), Mρ2 (E)} e m ≡ 0 (mod 4)
Demonstração:
Dena
A := Mα (E)
e suponha que
monomiais não-triviais. Podemos assumir
e
α+1
então
α 6= ω
que
denem a mesma subálgebra de
A = Mm (E0 ) = Mm,0 (E),
(Mm (E), ι).
Se
não tenha identidade
De fato, as aplicações
α = ω,
Há dois casos a analisar:
Agora, note que para qualquer
(1, 1),
Daí, suponha
que é, necessariamente, não-nulo, já
A(1,0) 6= 0
i, j ∈ [m]
α
a aplicação nula,
e a armação segue trivialmente.
e considere o subespaço de grau
α 6= ω .
α(1) = 0 ∈ Z2 .
A
ou
A(1,0) = 0.
temos
eii Aejj ⊆ A(j−i,α(i)+α(j)) .
Em
particular,
A1 := A(1,0) ⊕ A(1,1) = e1,1 Ae2,2 ⊕ · · · ⊕ em−1,m−1 Aem,m ⊕ em,m Ae1,1 .
Se
A(1,0) = 0
então
α(i + 1) = α(i) + 1
Por isso, se
m
daí todas as parcelas estão em
1 ≤ i ≤ m e α(1) = α(m) + 1.

 0 se i é ímpar
α(i) =
.
 1 se i é par
para todo
é ímpar, então
contradição. Portanto,
Agora, suponha
A1 = A(1,1) ,
A(1,0) = 0
α 6= ω, π
α(m) + α(1) = 0
se, e somente se,
m
e
A(1,1) .
Portanto,
Equivalentemente,
A(1,0) 6= 0,
for par e
o que é uma
α = π.
e considere (ciclicamente)a sequência de
Z2 -graus
de
somas diretas
α(1) + α(2), α(2) + α(3), · · · , α(m − 1) + α(m), α(m) + α(1).
Isso não é constante, pois
α 6= ω, π .
Seja
t o comprimento máximo das subsequên-
cias feitas de zeros consecutivos, é claro, de forma cíclica. Por exemplo, se
73
α = 00110,
então a sequência cíclica é
|xi | = (1, 0)
01010
e
t = 2.
Então o monômio
x1 x2 · · · xt xt+1
é certamente uma identidade monomial multilinear.
Sem perda de generalidade, podemos supor que a sequência cíclica é
Agora é fácil mostrar que
deve ser do tipo
δ1 = δ2 = · · · = δt = 0.
0| ·{z
· · 0} 1 |0 ·{z
· · 0} 1 · · · 0| ·{z
· · 0} 1
t
t
é uma identidade monomial.
e então,
t
Outra vez, se
deve ser
1010 · · · 01
ou
0101 · · · 01.
em
Z4t × Z2 -graduação.
0| ·{z
· · 0} δ1 δ2 · · · 1.
| {z }
x1 x2 ,
com
|x1 | = |x2 | = (1, 1)
é uma identidade mono-
A(2,0) = 0
e a sequência cíclica
α = ρ1 = |{z}
0110 0110
|{z} · · · 0110
|{z} ou
Mα (E) = Mρ1 (E) ou Mρ2 (E). Observe que,
Daí segue
α = ρ2 = |{z}
0011 0011
|{z} · · · 0011
|{z}. Assim,
para qualquer t ∈ N, as subálgebras Mρ1 (E)
preservando
A(t+1,0) = 0.
t
t
Portanto, a sequência cíclica
A(2,0) 6= 0
mial não trivial, portanto devemos supor que
Se
com
e
Mρ2 (E)
de
M4t (E)
são isomorfas
Portanto, elas dão origem à graduações isomorfas
M2t,2t (E).
74
Capítulo 4
Identidades Polinomiais de Álgebras
em Característica Positiva
Neste capítulo é mostrado que o Teorema do Produto Tensorial falha no caso de
corpos de característica positiva utilizando-se estimativas para a
GK -dimensão
de
algumas álgebras relativamente livres. No Teorema 4.2.5 é mostrado que as álgebras
E⊗E
e
M1,1 (E) ⊗ E
4.1
M1,1 (E)
e
M2 (E)
não são PI-equivalentes e no Teorema 4.2.9 é mostrado que
não são PI-equivalentes.
Conceitos Introdutórios
Ao longo de todo esse capítulo denotaremos por
isto é, considerando
Γ
a álgebra supercomutativa livre,
Z = X ∪ Y , Γ é o quociente da álgebra KhZiZ2
o conjunto das variáveis pares e
polinômios da forma
Observamos que
Y
das variáveis ímpares) pelo
(sendo
T -ideal
X
sendo
gerado pelos
z1 z2 + (−1)∂(z1 )∂(z2 ) z2 z1 ; z1 , z2 ∈ Z .
Γ
herda a
Z2 -graduação
de
KhZiZ2 .
Denotaremos por
Γ0
a
álgebra supercomutativa livre sem unidade.
Denotaremos por
Um (Mn (E))
e
Um (Ma,b (E))
75
as álgebras relativamente livre de
posto
m
nas variedades determinadas, respectivamente, por
Mn (E)
Ma,b (E).
e por
Aqui esboçamos essa construção. Suponha
(r)
X = {xij |i, j = 1, · · · , n; r = 1, 2, · · ·}
(r)
Y = {yij |i, j = 1, 2, · · · , n; r = 1, 2, · · ·}
Γ
os geradores de
Um (Ma,b (E))
a álgebra supercomutativa livre. Podemos realizar
como subálgebras de
Mn (Γ)
n×n
e
do modo seguinte:
1. Denote por
Br
a matriz
2. Denote por
Cr
a matriz cuja entrada
i, j ≤ a +
Um (Mn (E))
onde a entrada
(i, j)
é
(i, j)
(r)
xij
é
, se
(r)
(r)
xij + yij
;
1 ≤ i, j ≤ n.
1 ≤ i, j ≤ a
ou
a+1 ≤
(r)
b, e yij caso contrário.
Teorema 4.1.1. Denote por KhB1 , · · · , Bm i e por KhC1 , · · · , Cm i as álgebras geradas pelas matrizes correspondentes. Então
Um (Mn (E)) ∼
= K hB1 , · · · , Bm i
Um (Ma,b (E)) ∼
= KhC1 , · · · , Cm i
Analogamente para as respectivas álgebras relativamente livres de posto innito
Um (Mn (E)) ∼
= K hB1 , B2 , · · ·i
Um (Ma,b (E)) ∼
= K hC1 , C2 , · · ·i
A demonstração desse teorema é muito similar à demonstração de que a álgebra
de matrizes genéricas é relativamente livre na variedade determinada por
Mn (K).
No que segue, sempre assumiremos que o posto das respectivas álgebras relativamente livres é maior ou igual a 2.
(m−1)n2 +1.
(m − 1)n2 + 1
n × n,
GK -dimensão
isto é,
GKdim(Um (Mn (K))) =
Berele, nos Teoremas 7 e 18 de [8] provou que
GKdim(Um (Mn (E))) =
da álgebras gerada por
e
m
Em [17], Procesi calculou a
matrizes genéricas
GKdimUm (Ma,b (E)) = (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
A GK-dimensão de uma PI-álgebras é fechada com relação à sua altura. Agora,
além da altura, que denimos na seção 2.4, vamos denir também a
76
altura essencial
hess (A)
de
A,
de uma PI-álgebra
então
hess (A)
A
U
e
V,
U
V
e
é o menor inteiro positivo
e
V
q
tal que
A
é
a
uma subálgebra de uma álgebra nitamente gerada
U
subconjuntos nitos
v1 ua11 v2 ua22 · · · vq uq q+1 , ui ∈ U, vi ∈ V, ai ≥ 0.
subconjuntos nitos de
respeito a
nitamente gerada. Sejam
com respeito a
gerada pelos produtos
Seja
A
S.
S,
altura essencial generalizada hgess (A)
A
é denida como a altura essencial de
S
U
e suponha
com respeito a
A
de
U
e
e
V
com
V.
O
seguinte teorema foi provado em [13].
Teorema 4.1.2. Se A é uma PI-álgebra nitamente gerada, U e V subconjuntos nitos de A e, S uma álgebra contendo A, então GKdim(A) ≤ hess (A) e
GKdim(A) ≤ hgess (A).
Aa,b
Considere as álgebras
(i, j)
tal que ou
(i, j)
onde
Ma,b (E)
1 ≤ i, j ≤ a
introduzidas em [4] e [5]. Seja
ou
1 ≤ i ≤ a, a + 1 ≤ j ≤ a + b
consiste de matrizes em
(i, j) ∈ ∆β .
matrizes
a + 1 ≤ i, j ≤ a + b = n
Denimos
(aij )
tais que
Aa,b
Mn (E)
ou
se
cuja entrada
(i, j) ∈ ∆0
o conjunto de todos
e, seja
∆1
o conjunto de
1 ≤ j ≤ a, a + 1 ≤ i ≤ a + b.
como a subálgebra de
aij ∈ E
∆0
e
(i, j)
Ma+b (E)
aij ∈ E 0
se
pertence a
Eβ ,
Então,
quando
consistindo de todas as
(i, j) ∈ ∆1 (E 0
é a álgebra
de Grassmann sem unidade).
4.2
GK-dimensão de Álgebras Relativamente Livres
4.2.1
Seja
As álgebras
B = K ⊕ M1,1 (E).
E⊗E
e
M1,1 (E)
Foi provado em [4], que as álgebras
B
e
E⊗E
satisfazem
as mesmas identidades.
Lema 4.2.1. Um (B) = Um (E ⊗ E) e GKdimUm (B) = GKdimUm (E ⊗ E).
Lema 4.2.2. GKdimUm (B) ≥ m.
77
Continuamos com a construção de uma álgebra genérica para
gebra supercomutativa livre sobre geradores pares
1, 2, · · · , m.
seja
x1 , · · · , xm
(i)
e ímpares
Seja
(i)
Γ
a ál-
(i)
y12 , y21 , i =
K
elementos transcendentais independentes sobre
e
L = K(x1 , · · · , xm ) o respectivo corpo de funções racionais. Dena as




(i)
(i)
x
y
xi 0
 e Yi =  11 12  , onde i = 1, 2, · · · , m.
Xi = 
(i)
(i)
y21 x22
0 xi
matrizes
Zi = Xi + Yi , i = 1, · · · , m.
Observe
UL
Seja
que
Sejam
(i)
x11 , x22
B.
UL
a
L-álgebra
gerada pelas matrizes
é uma subálgebra de
sem unidade.
Então,
K -álgebra
U.
por
UL
M2 (Γ0L )
onde
Γ0L
é a
L-álgebra
pode ser considerada como
supercomutativa livre
K -álgebra,
denotamos esta
Lema 4.2.3. A álgebra U é isomorfa a álgebra universal Um (B).
Demonstração: A prova repete resultados análogos sobre as matrizes genéricas.
Lema 4.2.4. GKdimUm (E ⊗ E) = m.
Demonstração: As álgebras
tanto provaremos que
[18], implica que
E0
E⊗E
e
B
satisfazem as mesmas identidades, por-
GKdimUm (B) ≤ m.
GKdimUm (Mn (E 0 )) = 0
satisfaz a identidade
xp = 0
Um resultado de Regev, Teorema 2.1
sempre que
charK = p > 2.
Veja que
e que subálgebras nitamente geradas de
E0
são
nilpotentes.
Temos a inclusão
deramos
Um (M2 (E 0 ))
Um (B) = U ⊆ V = Um (M2 (E 0 ))[X1 , X2 , · · · , Xm ].
como a álgebra gerada pelas matrizes
Então, o espaço vetorial
g ∈ Um (M2 (E 0 )).
V
Yi
Aqui consi-
de antes.
é gerado por elementos do tipo
am
X1a1 · · · Xm
g
onde
Agora, de acordo com Teorema 2.1(b) de [18], podemos escolher
um conjuto nito de polinômios para o mencionado
78
g,
digamos
g1 , · · · , gt .
Então,
tomando
P = {X1 , · · · , Xm }
e
superior para a altura essencial
hess (V ) ≤ m.
m.
Q = {1, g1 , · · · , gt }
hess (V )
Mas isso implica que
obtemos facilmente um limite
com respeito aos conjuntos
hgess (Um (B)) ≤ m.
Agora, de acordo com o Teorema 4.1.2,
Portanto
e
Q,
isto é,
hgess (Um (E⊗E)) ≤
GKdimUm (E ⊗ E) ≤ m
e, pelos Lemas
GKdimUm (E ⊗ E) = m.
4.2.1 e 4.2.2, obtemos
Lembramos que de acordo com o Teorema 18 de [8], temos
(m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
P
Para
a=b=1
GKdimUm (Ma,b (E)) =
segue que
GKdimUm (M1,1 (E)) = 2m.
Portanto, apresentamos outra prova de um dos principais resultados em [7].
Teorema 4.2.5. Seja K um corpo innito, charK = p > 2. As álgebras E ⊗ E e
M1,1 (E) não são PI-equivalentes.
4.2.2
As álgebras
Primeiro lembramos que
das matrizes
Aa,b
e
M2 (E)
posto como uma subálgebra de
Ma+b (E)
consistindo
(aij ),
aij ∈ E
Assim,
M1,1 (E) ⊗ E
Ma,b (E) ⊂ Aa,b .
se
(i, j) ∈ ∆0
e
aij ∈ E 0
(i, j) ∈ ∆1 .
se
Como consequência imediata do Teorema 18 de [8], obtemos
o seguinte lema.
Lema 4.2.6. GKdimUm (Aa,b ) ≥ (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
De acordo com [5], as álgebras
dades, assim
A1,1
e
M1,1 (E) ⊗ E
Um (A1,1 ) = Um (M1,1 (E) ⊗ E)
GK -dimensão,
satisfazem as mesmas identi-
e as últimas duas álgebras têm a mesma
de acordo com o Lema anterior, esta é, no mínimo
seguinte lema garante.
79
2m.
Portanto, o
Lema 4.2.7. GKdimUm (M1,1 (E)⊗E) = GKdimUm (A1,1 ) ≥ 2m desde que charK =
p>2
Observamos que o Lema 4.2.7 é obviamente verdadeiro em característica zero,
E
visto que as álgebras
e
E0
são PI-equivalentes. Como no caso das álgebras

e
A,
construimos um modelo genérico para


Como
ã b
c d˜

=

β1 =
ã b
c d˜

α1
0
0
α2
charK = p 6= 2,

onde

+
a b
c d
Seja
ã b


c d˜

 , α1 , α2 ∈ K, 
 ∈ A1,1 ,
a b
c d
então

 ∈ M2 (E 0 )
podemos representar nossas matrizes como


 = β1 
(α1 +α2 )
, β2
2

A1,1 .
E ⊗E

=
1 0
0 1


 + β2 
1
0
0 −1


 + β1 
a b
c d


(α1 −α2 )
2
Agora denimos

1 0
Xi = ri 
onde
0 1


 , Yi = ti 
1
0 −1
(i)
ri e ti são variáveis comutativas e xjk
U
como a
K -álgebra gerada
U
é isomorfa a álgebra genérica
0


 , Wi = 
(i)
x11
(i)
x12

(i)
(i)

x21 x22
são geradores livre de
pelas matrizes
Γ0 .
Agora denimos
Zi = Xi + Wi , i = 1, 2, · · · , m.
A álgebra
Um (A1,1 ).
Proposição 4.2.8. GKdimUm (M1,1 (E) ⊗ E) = 2m.
Demonstração: De acordo com a última armação que antecede à proposição,
é suciente mostrar que
(1)
Wi
+
GKdimU ≤ 2m.
Dividimos as matrizes
(2)
Wi , onde

(1)
Wi
=
(i)
x11
0
0
(i)
x22


 , Wi(2) = 
80
0
(i)
x21
(i)
x12
0


Wi
como
Wi =
Xi
É óbvio que
muta com
(2)
Wj
. Portanto,
Escrevemos
mento de
U
Yi
são centrais,
comuta com
Yi Wj = Wj0 Yi ,
Xm+1 , · · · , X2m
para
onde
V
e,
Yi
comuta com
(1)
Wj0 = Wj
Y1 , · · · , Ym ,
(2)
− Wj
.
respectivamente. Então, todo ele-
gi ∈ Um (M2 (E 0 )).
V.
Como na prova da proposição 4.2.4,
segundo [18], podemos escolher um conjunto nito de polinômios
e
e antico-
é gerado de elementos acima então obviamente ele é fechado com respeito
a multiplicação e assim é uma álgebra
tal que
(1)
Wj
pode ser escrito como uma combinação linear de elementos da forma
a2m
g2m+1 ,
g1 X1a1 g2 X2a2 · · · g2m X2m
Se
Yj
gi ∈ Q, ∀i
e, para todo elemento de
Q = {g1 , · · · , gt }.
U.
Agora, sejam
Q = {ḡ1 , ḡ2 , · · · ḡt }
P = {X1 , · · · , X2m }
Calculando a altura essencial com respeito a
P
e
Q
obtemos
facilmente que
GKdimUm (M1,1 (E) ⊗ E) = GKdimU ≤ hgess (U ) = hess (V ) ≤ 2m.
Mas no Lema 4.2.6 obtemos
GKdimUm (M1,1 (E) ⊗ E) ≥ 2m.
Portanto, a prova
da proposição está completa.
A partir desses resultados, segue a prova de um dos principais resultados em [5].
Teorema 4.2.9. Seja charK = p > 2. As álgebras M1,1 (E) ⊗ E e M2 (E)não são
PI-equivalentes.
Demonstração:
Segundo [8],
GKdimUm (M2 (E)) = 4m − 3.
Por outro lado,
GKdimUm (M1,1 (E) ⊗ E) = 2m 6= 4m − 3.
Observamos que em [5], na verdade, foi mostrado a inclusão própria de
em
T (M1,1 (E) ⊗ E).
81
T (M2 (E))
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