Lista1: Cinemática Unidimensional

Questões em Sala de Aula
Módulo 3 – Parte A
Questões Conceituais
QC.1) Suponha que somente duas forças externas atuem sobre um corpo rígido estacionário, e que elas
são iguais em módulo e de direções opostas. Sob que condição o corpo começa a girar?
Resp.: Se as linhas de ação das forças não se coincidem, então o torque resultante é não nulo.
QC.2) Uma régua gira no sentido anti-horário no plano XY. (a) Qual é a direção de  para a régua? (b)
Qual é a direção de  se o módulo da velocidade angular diminui com o tempo?
Resp.: (a) direção +k; (b) –k.
QC.3) (a) Qual é a velocidade angular do ponteiro menor de um relógio? (b) Qual é o módulo do vetor
aceleração angular do ponteiro menor?
Resp.: (a) 1,74x10-3rad/s; (b) zero
QC.4) O corpo tem que estar girando para ter momento de inércia?
Resp.: Não. Igualmente o corpo não precisa estar movendo para ter massa.
QC.5) É possível mudar a energia cinética translacional de um corpo sem alterar sua energia cinética
rotacional?
Resp. Sim. Deixar cair o corpo, o corpo ganha a energia cinética de translação e perde a energia potencial
gravitacional.
QC.6) Se você vê um corpo girando, há necessariamente um torque resultante atuando sobre ele?
Resp. Não, somente se o momento angular do corpo variar.
QC.7) Três corpos de densidade uniforme – uma esfera sólida, um cilindro sólido e um cilindro oco ou
anel – são colocados no topo de uma rampa, Figura (QC.7). Todos
são liberados do repouso na mesma elevação e rolam sem deslizar.
Qual corpo chega à base primeiro? Qual chega por último?
Observação: O resultado é independente das massas e raios dos
corpos. O aluno deve verificar isso analiticamente.
Resp. A esfera atinge a base primeiro e o cilindro oco por último.
Se os corpos têm a mesma massa e o mesmo raio, então o torque
devido a força da gravidade é o mesmo para os corpos, R M g
sen. O corpo de menor momento de inércia, a esfera sólida, terá
a maior aceleração angular,  R M g sen/I , e chega primeiro na base da rampa.
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QC.8) Experimente! Uma pessoa equilibra uma régua em uma posição horizontal em seus dedos
indicadores estendidos. Lentamente, ela junta os indicadores. A régua permanece equilibrado, e os dois
dedos sempre se juntam no meio da régua, independente de suas posições originais. Explique por que isso
acontece.
QC.9) Uma bola de basquete rola pelo chão de uma sala de aula sem deslizar, com seu centro de massa
movendo-se a uma velocidade. Um bloco de gelo da mesma massa é posto a deslizar pelo chão com a
mesma velocidade ao longo de uma linha paralela, Qual corpo tem mais (i) energia cinética e (ii) momento?
(a) A bola de basquete. (b) O gelo. (c) Duas quantidades são iguais.
(iii) Dois corpos se movem rampa acima. Qual deles subirá mais a rampa? (a) A bola de basquete. (b) O
gelo. (c) Ambos se moverão a mesma distância rampa acima.
Resp: (i) (ii) A bola. (iii) A bola.
QC.10) Você coloca seu livro-texto para deslizar pelo chão de um ginásio com certa velocidade inicial. O
livro para de se mover rapidamente por causa da força de atrito exercida pelo chão sobre ele. A seguir, você
começa a rolar uma bola de basquete com a mesma velocidade inicial. Ela continua a rolar de um lado do
ginásio para outro. (a) Por que a bola de basquete rola tanto? (b) O atrito afeta o movimento da bola de
basquete significativamente.
Resp. Há pouca resistência ao movimento que possa reduzir a energia cinética da bola. Mesmo que tenha
o atrito estático entre a bola e o chão ( se não houver, então não ocorreria rotação e a bola deslizaria), não
há movimento relativo das duas superfícies- pela definição de rolamento puro – e assim nenhuma força de
atrito cinético age para reduzir a energia cinética. A resistência do ar e do atrito associadas com a
deformação da bola eventualmente para a bola.
QC.11) Uma pedra de moagem aumenta sua velocidade angular de 4,00 rad/s para 12,0 rad/s em 4,00 s.
Por qual ângulo gira durante este intervalo de tempo se a aceleração é constante? (a) 8,00 rad. (b) 12,0 rad.
(c) 16,0rad. (d) 32,0 rad, (e) 64,0 rad.
QC.12) Você desliga sua furadeira elétrica e vê que o intervalo de tempo para a broca parar de girar
completamente, por causa de atrito na furadeira, é t1. Você substitui a broca por uma maior, que resulta no
dobro do momento de inércia de todo o mecanismo de rotação da furadeira. Quando esta brica amior é
girada a mesma velocidade angular da primeira e a furadeira é desligada, o torque de atrito permanece o
mesmo da situação anterior. Qual é o intervalo de tempo necessário par esta broca atingir o repouso?
(a) 4 t1, (b) 2 t1, (c) t1, (d) 0,5 t1, (e) 0,25 t1, (f) impossível determinar.
QC.13) Uma bola rola para baixo na rampa A, sem escorregar, a partir do repouso. Ao mesmo tempo, uma
caixa sai do repouso e desliza pela rampa B, idêntica à A, mas não tem atrito. Qual delas chega primeiro na
base? (a) A bola. (b) A caixa. (c) Ambas chegam ao mesmo tempo. (d) É impossível determinar.
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QC.14) Imagine uma patinadora de massa m e um poste espetado em um lago congelado. (i) Qual seria
seu momento angular em relação ao poste no instante em que ela está a uma distância d do poste e se
estivesse patinando em direção a ele à velocidade escalar v? (a) zero; (b) mvd; (c) impossível determinar.
(ii) Qual seria seu momento angular em relação ao poste no instante em que ela está a uma distância d do
poste e se estivesse patinando à velocidade escalar v ao longo de uma trajetória reta a uma distância a
perpendicular ao poste? (a) zero; (b) mvd; (c) mva ; (d) impossível determinar.
QC.15) Uma bola é lançada de tal maneira que ela não gira em torno de seu próprio eixo. Esta afirmação
implica que o momento angular é zero em torno de um eixo arbitrário?
Resp.: Não. O momento angular é diferente de zero em torno de qualquer eixo que não esteja ao longo da
linha de movimento da bola.
QC.16) Duas esferas, uma sólida e outra oca, têm a mesma massa e o mesmo raio. Elas estão girando com a
mesma velocidade angular. Qual delas tem o momento angular maior? (a) a sólida; (b) a oca; (c) ambas têm
o mesmo momento angular; (d) impossível determinar.
QC.17) Considere um sistema isolado movendo-se pelo espaço vazio. O sistema consiste em corpos que
interagem um com o outro e podem mudar de posição um em relação ao outro. Quais das seguintes
quantidades podem mudar com o tempo? (a) O momento angular do sistema. (b) O momento linear do
sistema. (c) Tanto o momento angular quanto o momento linear do sistema. (d) Nem o momento angular,
nem o momento linear do sistema.
QC.17) Responda sim ou não. (a) É possível calcular o torque que age sobre um corpo rígido sem
especificar um eixo de rotação? (b) O torque é independente da localização do eixo de rotação?
Resp.: Não em ambos os casos. Um eixo de rotação deve ser definido para calcular o torque que age sobre
um corpo rígido. O braço de momento ou braço de alavanca da força é definido a partir do eixo de
rotação.
QC.18) Se o torque que age sobre uma partícula em torno de um eixo que passa por uma certa origem for
zero, o que você pode dizer sobre seu momento angular em torno deste eixo?
Resp.: Seu momento angular em torno deste eixo é constante no tempo. Não se pode concluir nada sobre a
magnitude do momento angular.
QC.19) Se o aquecimento global continuar durante os próximos cem anos, é provável que parte do gelo
polar derreta e a água seja distribuída mais perto do equador. (a) Como isso mudaria o momento de inércia
da Terra? (b) A duração do dia (uma revolução) aumentaria ou diminuiria?
Resp. A maior parte da massa d’água do gelo derretido se acumulará perto do equador, assim o momento
de inércia aumenta. Pela conservação do momento angular, a velocidade angular decresce e
consequentemente o período aumenta.
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QC.20) É possível mudar a energia cinética translacional de um corpo sem alterar sua energia rotacional?
Resp. Sim. Se você deixa cair ou lançar um corpo girando, a energia cinética de translação varia
conforme muda a energia potencial gravitacional e permanecendo a sua rotação inalterada.
QC.20) Se você vê um corpo girando, há necessariamente um torque resultante atuando sobre ele?
Resp. Não. Se não há variação no seu momento angular.
QC.21) Por que uma vara longa ajuda um equilibrista a se equilibrar na corda bamba?
Resp. A vara comprida tem um grande momento de inércia em torno de um eixo ao longo da corda. Um
torque produzirá, então, apenas uma pequena aceleração angular no sistema equilibrista-vara, para
aumentar o tempo necessário a fim de se manter no balanço. Para manter o centro de massa acima da
corda, o equilibrista deve deslocar a vara para a esquerda ou para a direita, em vez de ter que curvar o
seu corpo. A vara se encurva para baixo nas extremidades para abaixar o centro de gravidade do sistema.
Uma vara leve não ajuda muito, pois, com uma massa pequena, o deslocamento deve ser grande demais
para ser praticável.
QC.22) Uma mergulhadora de competição deixa o trampolim e cai em direção à água com seu corpo reto e
girando lentamente. Ela puxa os braços e as pernas para uma posição bem encolhida. O que acontece com
sua energia cinética rotacional? (a) Aumenta. (b) Diminui. (c) Permanece a mesma. (d) É impossível
determinar.
QC.23) Estrelas originam-se como grandes corpos de gás girando lentamente. Por causa da gravidade, esses
aglomerados de gás diminuem lentamente de tamanho. O que acontece com a velocidade angular de uma
estrela quando ela encolhe?
Resp. A velocidade angular deve aumentar. Desde que a força da gravidade não exerce um torque sobre o
sistema, seu momento angular permanece constante assim que o aglomerado de gás encolhe.
QC.24) Se um sistema de partículas está em movimento, é possível que o momento angular total seja nulo
em torno de um eixo que passa por uma certa origem?
Resp. Sim. Se as partículas estão movendo em uma linha reta, então o momento angular das partículas
em relação a qualquer ponto na trajetória é nulo.
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QC.25) Se o torque que age sobre uma partícula em torno de um eixo que passa por uma certa origem for
zero, o que você pode dizer sobre seu momento angular em torno deste eixo?
Resp. Seu momento angular em torno deste eixo é constante no tempo. Não se pode concluir nada sobre a
magnitude do momento angular.
QC.26) Uma bola é lançada de tal maneira que ela não gira em torno de seu próprio eixo. Esta afirmação
implica que o momento angular é zero em torno de um eixo arbitrário?
Resp. Não. O momento angular em torno de qualquer eixo que não se localiza na linha de movimento
da bola é diferente de zero.
Problemas
P. 1) Encontre o torque resultante sobre o corpo composto em
relação ao eixo que passa por O, considerando a = 10,0 cm e b = 25,0
cm. Explique o sentido de giro do corpo.
Resp. -3,55 N m; horário.
P. 2) Na figura, o corpo pendurado tem massa de 0,420kg; o bloco
deslizante sobre a mesa horizontal tem massa de 0,850kg; e a roldana
é um cilindro oco com massa de 0,350kg, raio interno de 0,020m e externo de 0,030m. Considere que as
massas dos rios da roldana seja desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície da
mesa é 0,250. A roldana gira sem atrito sobre seu eixo. Uma
corda leve não estica nem escorrega na roldana. O bloco tem
velocidade de 0,820 m/s na direção da roldana quando passa por
um ponto de referência na mesa. (a) Use métodos de energia
para prever sua velocidade após ter se movido para um segundo
ponto 0,700 m distante. (b) Encontre a velocidade angular da
roldana no mesmo momento.
Resp.: (a) 1,59 m/s; (b) 53,1 rad/s
P. 3) O carretel mostrado na figura tem raio R e momento de
inércia I. Uma ponta do bloco de massa m é ligada a uma mola de constante elástica k, e a outra é presa a
corda enrola ao redor do carretel. O eixo dele e rampa não tem atrito.
O carretel é enrolado em sentido anti-horário de modo que a mola se
estica por uma distância d de sua posição encolhida, e ele é, então,
solto do repouso. Encontre a velocidade angular do carretel quando a
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mola está novamente na posição encolhida.
Resp.:  [(2m g d sen +k d2 )/(I +m R2)] 1/2
P.4) Uma haste rígida leve, de comprimento d = 1,00m , une duas bolinhas, com massas m1=4,00kg e m2 =
3,00kg, em suas extremidades. O conjunto gira no plano XY em torno de
um pino que passa pelo centro da haste. Determine o momento angular do
sistema em torno da origem quando a velocidade escalar de cada bolinha é
5,00 m/s.
Resp.: 17,5 k (kg m2/s).
P.5) Uma partícula de 1,50kg move-se no plano XY com uma velocidade v = (4,20 i -3,60 j )m/s.
Determine o momento angular da partícula em relação à origem quando seu vetor posição é r = (1,50 i
+2,20 j )m.
Resp.: -22,0 k (kg m2/s)
P.6) Um bloco de massa m = 4,00 kg é preso a um cabo leve que é enrolado em torno de um disco fino. O
disco tem raio R = 8,00 cm e massa M = 2,00 kg. O cabo não escorrega na
polia. (a) Calcule o módulo do torque resultante sobre o sistema em torno do
eixo do disco. (b) Quando o bloco tem uma velocidade escalar v, determine o
módulo do momento angular total em torno do eixo do disco. (c) Utilize o
resultado da parte (b) e  = dL/dt , calcule a aceleração do bloco.
Resp.: (a) 3,14 (N m); (b) 0,400 v (kg m); (c) 7,85( m/s2)
P.7) Um projétil de massa m move-se para a direita com velocidade
escalar vi. O projétil bate e fica preso na extremidade de uma haste fixa de
massa M, comprimento d, articulada em torno de eixo perpendicular à
página passando por O no centro da haste. A haste está sobre uma
superfície plana e lisa. (a) Qual é o modelo de análise apropriado para
descrever o projétil e a haste? Explique se as quantidades do sistema, o
momento linear, o momento angular e a energia cinética, se conservam na
colisão. (b) Qual é o momento angular do sistema antes da colisão em
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relação ao eixo que passa por O. (c) Qual é o momento de inércia do sistema em torno do eixo que passa
por O depois que o projétil fica preso na haste. (d) Se a velocidade angular do sistema após a colisão é  ,
qual é seu momento angular após a colisão? (e) Encontre a velocidade angular após a colisão. (f) Quais
são as energias cinéticas do sistema antes e após a colisão? (g) Considere que não exista o eixo passando
por O no centro da haste, ou seja, ela é livre para se mover sobre a superfície plana e lisa. Igualmente, o
projétil bate e fica preso na extremidade da haste. (g1) Responda o item (a). (g2) Descrever o movimento do
sistema após a colisão.
Resp.: (a) sistema isolado(momento angular), (b) m vid/2; (c) (M/12 +m/4)d2; (d) ) (M/12 +m/4)d2; (e)
6m vi/[(M+3m)d]; (f) 0,5 m vi2, 3mvi2/[2(M + 3m)]; (g) sistema isolado ( momento linear e momento
angular); o sistema gira em torno de um eixo imaginário passando por CM. O CM está em (M+2m)L/
[2(M+m)].
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