FFC - Corrente Eletrica

Fundamentos de Física Clássica – Prof. Ricardo
Corrente Elétrica
1 – Movimento de uma Carga Pontual dentro de um Campo Elétrico
Uma carga elétrica dentro de um campo elétrico está sujeita a uma força igual a qE. Se nenhuma
outra força atua sobre essa carga (considerar positiva inicialmente) então essa carga será
acelerada na direção do campo elétrico. De acordo com a 2ª Lei de Newton, esta força será igual
à massa da carga vezes a aceleração da carga, ou seja:
F = q E = ma ⇒ a =
qE
.
m
(1)
A partir daqui voltamos ao que aprendemos em Cinemática quando estudamos o movimento de
uma partícula sob a ação de uma força externa. Quando a força que atuava na partícula era a
força da gravidade, dependendo das condições iniciais, a partícula normalmente tinha uma
trajetória parabólica. Sendo assim, uma partícula carregada dentro de um campo elétrico, segue a
mesma teoria da cinemática para ser descrita dentro de um campo elétrico.
Veja este link: http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester2/index.html
Exemplo 1
Suponha que um elétron é projetado em um campo uniforme de 500 N/C com velocidade inicial
e paralelo a esse campo. Qual a distância que este elétron percorre antes de parar?
A aceleração é no sentido contrário ao
campo, pois a carga é negativa, e é dada por
(q/m)E.
A expressão envolvendo a velocidade,
aceleração e espaço de um corpo em
movimento é:
x
v=2x106m/s
v=0 m/s
v = v + 2 a ( x − x0 )
2
2
0
onde x0 = 0, no exato momento que a
partícula entra no campo com velocidade
inicial de 2x106 m/s.
Levando a expressão da aceleração na equação acima, obtemos:
0 = (2 x106 ) 2 − 2
1, 6 x10 −19 x 500
( x − 0) ⇒ x = 2, 28 x10−2 m.
−31
9,11x10
Ou 2,28 cm.
1
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2 - Corrente e Movimento de Carga
Corrente elétrica é o fluxo líquido de carga elétrica (elétron, próton, íon) que passa por uma
seção transversal de área A, por segundo. Esta corrente pode estar no ar (relâmpago), vácuo
(acelerador de partículas) e, mais usual, num condutor elétrico (fio em nossa casa).
Matematicamente podemos definir corrente elétrica da seguinte maneira;
I=
∆Q
.
∆t
(3)
Aqui, ∆Q é a quantidade de cargas que passam por uma seção transversal num intervalo de
tempo ∆t. A unidade de corrente elétrica é o Coulomb por segundo, ou seja, C/s, também
conhecida como Ampere (A).
q
vd
A
Se o intervalo de tempo for infinitesimal, então a definição de corrente fica da seguinte forma:
I = dQ
dt
.
(4)
A equação (4) é interessante, pois, caso a quantidade de carga seja dependente do tempo, a
corrente é obtida a partir da integração desta equação.
Por convenção, o sentido da corrente depende da carga
em movimento. Para cargas positivas, a corrente está
no mesmo sentido de movimentação destas. Se a
corrente elétrica for feita por elétron, a corrente é
contrária à movimentação dos elétrons. A figura ao
lado mostra a corrente e a carga correspondente. Neste
caso a corrente total é a soma algébrica das duas correntes.
Ie
Ip
e
-
p
+
Uma corrente de 1A é equivalente a uma quantidade de carga muito grande passando por uma
seção por segundo. Considerando que a carga do elétron é de 1,6x10-19C, teremos um total de
6,25x1018 elétrons passando por segundo. Esta corrente é, e.g., o que uma lâmpada de 220W
precisa para acender completamente sob um potencial de 220V.
Obs. A corrente elétrica produzida por um relâmpago pode chegar a 30000 A. No link
http://pt.wikipedia.org/wiki/Rel%C3%A2mpago podemos encontrar um texto simples sobre
relâmpagos com muitas curiosidades sobre este fenômeno. Mais detalhes podem ser adquiridos,
também, em http://en.wikipedia.org/wiki/Lightning#Discharge.
O efeito que uma corrente elétrica tem sobre o homem quando flui de uma mão para outra, está
mostrado na tabela abaixo.
2
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Corrente elétrica
1 – 10 mA
10 – 100 mA
100 – 200 mA
200 – 1000 mA
1 a 10 A
Efeitos fisiológicos
Princípio da sensação de choque
Ponto em que um estímulo é suficiente para produzir um
efeito doloroso; paralisia muscular, dor severa dificuldade
respiratória; parada cardíaca
Fibrilação ventricular normalmente fatal se não houver
intervenção
Parada cardíaca, recuperação possível desde que o choque
seja terminado antes da morte
Queimaduras graves e não fatais, a menos que os órgãos
vitais tenham sido atingidos
Fonte: http://www.ufpa.br/ccen/fisica/aplicada/choques.htm
3 – Densidade de Corrente (Facultativo)
vd ∆t
Vamos fazer uso da primeira figura, porém,
com pouco mais de detalhes. Suponha que
este condutor tenha um numero n de cargas
livres por volume para conduzir a corrente
elétrica, assim, num intervalo de tempo ∆t A
estas cargas percorrerão um espaço dado por
vd ∆t (veja figura ao lado)
q
vd
Assim, a carga total que passa por uma seção transversal de área A num intervalo de tempo ∆t é:
∆Q = q nV = qn A vd ∆t ⇒ I =
∆Q
= q n Avd .
∆t
(5)
V é o volume dado A. vd ∆t.
Da equação (5), podemos definir a densidade de corrente como sendo:
J=
I
= q nvd .
A
(6)
Como velocidade é uma grandeza vetorial, então a densidade de corrente também o é: J = q nvd .
Semelhante ao que fizemos para definir fluxo de um fluido, podemos fazer o mesmo para a
corrente, ou seja,
I = ∫ J ⋅ nˆ dA .
(7)
Se J for constante, então: I = J . A.cos(θ ). O ângulo θ
é o ângulo entre o vetor unitário perpendicular a área
e o vetor densidade de corrente.
n
J
∆A
3
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Da equação (7), podemos dizer que, se a densidade de corrente for paralela ao vetor unitário que
é perpendicular ao plano de área A, então a corrente que passa é máxima.
Se temos mais de um tipo de carga conduzindo corrente, então a equação genérica para
densidade de corrente, é dada pela equação (8):
J = ∑ ni qi (vd )i .
(8)
i
Para um fio de raio igual a 0,0814 cm, conduzindo uma corrente de 1A, a velocidade dos
portadores de cargas, no caso elétrons (assumindo que cada átomo contribui com um elétron
livre) é de 3,6x10-3 cm/s. A densidade do cobre é de 8,92g/cm3. Determine o valor da densidade
de elétrons livres supondo que cada átomo contribui com um elétron livre.
4 - Resistência Elétrica e Lei de Ohm
Para a situação onde as cargas estão em movimento, situação não eletrostática, temos que as
cargas se deslocam dentro de um condutor para condução de corrente. Para que uma carga se
mova, é necessário um campo elétrico, e se a
L
carga é negativa, esta se move na sentindo
contrário ao campo elétrico. Se, num condutor
q
elétrico, tem a presença se uma corrente
vd
elétrica, então existe uma diferença de potencial
entre dois pontos, a e b que estão afastados por A
uma distancia L (veja figura ao lado), então, o
Vb
Va
campo elétrico, neste caso, é dado por:
∆V = Va − Vb = E.L ,
mas, experimentalmente, podemos dizer que
∆V = I .R .
(9)
Ou seja, a corrente é proporcional a diferença de potencial e a constante de proporcionalidade é
denominada de resistência elétrica R, cuja unidade no SI é o Ohm (ou V/A). A Eq. (9) é a Lei de
Ohm.
Veja estes links: http://www.walter-fendt.de/ph14e/ohmslaw.htm,
http://phet.colorado.edu/sims/ohms-law/ohms-law_en.html,
http://phet.colorado.edu/en/simulation/battery-resistor-circuit .
Pela nossa experiência, sabemos que os fios
elétricos em nossas casas são dimensionados
de acordo com o que ele vai alimentar
(alimentar aqui significa fornecer energia
suficiente para um dispositivo operar
normalmente). Um chuveiro elétrico ou um
condicionador de ar, sempre necessita de um
fio de maior calibre. Então, é de se esperar que
a resistência elétrica dependa do diâmetro do
V
Não-ôhmico
Ôhmico
I
4
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fio, além de seu comprimento e material. Você já viu condutor elétrico feito de ferro? Por que?
A Lei de Ohm em função das características físicas do fio é:
R=
ρL
A
,
(10)
onde ρ é a resistividade do fio cuja unidade é Ohm.metro (Ω.m) e o seu inverso é a
condutividade (σ). Estes parâmetros dependem da temperatura em que se encontram, pois quanto
maior a agitação dos átomos que formam o condutor, maior a dificuldade que os portadores de
carga terão para passar de uma região para outra. Em termos de condutividade, temos:
R=
L
.
σA
(11)
Nos materiais ôhmicos, a resistência não depende da corrente, por outro lado, nos materiais nãoôhmicos, a resistência depende da corrente. Veja esta simulação:
http://phet.colorado.edu/sims/resistance-in-a-wire/resistance-in-a-wire_en.html .
Tabela da Condutividade Elétrica (1/Ω.m) de alguns materiais.
Supercondutividade
Supercondutividade é o fenômeno
qual a resistência de um material é
quando ele se encontra abaixo de
temperatura crítica. Estes materiais
denominados de supercondutores.
pelo
nula
uma
são
http://www.utreach.phy.cam.ac.uk/physics_at_
work/2004/exhibit/irc.php
Resistivity of YBa2Cu3O7 (Tc = 93K = -180°C)
5
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5 - Energia nos Circuitos Elétricos – Efeito Joule
Quando um condutor está sob um campo elétrico, os elétrons no seu interior começam a ser
acelerados, porém, devido às inúmeras colisões que estes sofrem com outros elétrons ou com a
rede cristalina, a energia é transformada em calor.
Considere um condutor de seção transversal A1 e que uma quantidade de carga ∆Q passa por esta
seção num intervalo de tempo de ∆t. O potencial elétrico neste ponto é
U1 = ∆Q V1.
(12)
Se a carga (pense em carga positiva) se move para outro ponto de potencial igual a V2, então a
diferença de potencial entre 1 e 2 é dada pela seguinte equação:
∆U = ∆Q(V2 – V1) = - ∆Q V.
(13)
Aqui, fizemos V = V1 – V2
Dividindo ambos os membros da Eq. (10) por ∆t, obtemos:
∆U
∆Q
= −V
= −VI
∆t
∆t
⇒ P = VI .
(14)
O sinal negativo foi suprimido porque a potência calculada, neste caso, representa a potência
perdida. A unidade de potência é o Watt (W). O aquecimento resultante de uma corrente elétrica
é conhecido como Efeito Joule. Vemos que a potencia é diretamente proporcional a corrente e a
tensão. Qual a diferença, em termos práticos, em aumentarmos a tensão em detrimento da
corrente para acionar uma, e.g., furadeira?
Podemos escrever também que a potência é dada por:
V2
P = ( IR ).I = R I =
.
I
2
(15)
Veja estas simulações: http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-ac
6 – FEM e Baterias
FEM ou forca eletromotriz é um dispositivo que fornece energia elétrica a um circuito. Uma
bateria ideal fornece energia independente da corrente que circula nele e não tem qualquer
resistência interna (http://phet.colorado.edu/en/simulation/battery-resistor-circuit)
R
A potência fornecida por uma fem é:
d
P=εΙ
c
(16)
I
Uma bateria real, por outro lado, possui uma
resistência interna e isto faz diminur o potencial sobre
uma resistência R do circuito.
b
a
r
ε
6
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Va – Vb = ε − Ι r .
(17)
Mas, a queda de tensão em R é:
I.R = Va – Vb = ε − Ι r.
Veja que fizemos Va = Vd e Vb = Vc. Isso é possível já que entre a e d consideramos que não
existe queda de potencial já que é um condutor ideal.
Assim, para I, temos:
I=
ε
R+r
.
(18)
Pela Eq. (18), observamos que a corrente, num circuito real, é menor do que o ideal.
A potência dissipada em um circuito real é dada por:
P=I R=
2
ε2
R.
( R + r )2
(19)
Ao derivar a equação acima com relação à R e igualando o resultado a zero, obtemos R = r. Isto
significa que a dissipação máxima sobre um circuito acontece quando a resistência de carga é
igual à resistência interna da bateria.
Potência (UA)
Potência Dissipada
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Resistência (Ohm)
Potência dissipada por um resistor em função da sua resistência R. No caso da figura acima,
podemos concluir que a resistência da bateria é de 5 Ohms.
7 – Combinações de Resistores
Num circuito elétrico podem existir muitas resistências
associadas em série ou em paralelo. Estas resistências, no
circuito apenas resistivo, podem ser substituídas por uma
equivalente. As cores do resistor da figura ao lado é utilizada
para
caracterizar
o
valor
da
resistência
(http://www.areaseg.com/sinais/resistores.html) .
Resistência em série – a corrente é a mesma em
qualquer resistência, mas a queda de potencial nos
I
a
c
b
R1
R2
7
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resistores é igual à soma da queda em cada um deles.
Va − Vc = V = (Va − Vb ) + (Vb − Vc ) = I R1 + I R2 = I ( R1 + R2 )
Podemos substituir a soma das resistências
como sendo igual a uma resistência equivalente,
ou seja,
Req = R1 + R2
A resistência equivalente de várias resistências em série é dada por:
N
Req = R1 + R2 + ....R N = ∑ Ri .
(20)
1
Resistência em paralelo – a ddp é a mesma em qualquer resistência mas a corrente total é a
soma de cada corrente individualmente.
I = I 1 + I 2 + ...
V
V
V
1
1
1
=
+
+ ... ⇒
=
+
+ ...
Req R1 R2
Req R1 R2
(21)
A resistência equivalente também pode ser dada por:
n
1
1
=∑ .
Req
1 Ri
Link interessante sobre circuitos em série e em paralelo:
http://www.edy.pro.br/fisica/eletricidade/multimidia/din_lampadas.html
8 – Regras de Kirchhoff
Normalmente os resistores estão dispostos em associações que são denominadas de série e
paralelas. Esta associação de resistores possui o que chamamos de resistor equivalente. A
corrente que passa em cada parte do circuito pode ser calculada via as Regras de Kirchhoff.
Várias simulações de circuitos de corrente elétrica podem ser encontradas em
http://www.phys.hawaii.edu/~teb/optics/index.html.
1) Quando se percorre uma malha fechada de um circuito, as variações de potencial têm
uma soma algébrica que é igual a zero.
2) A corrente líquida num nó do circuito é igual a zero, ou seja, a corrente que entra é igual
à corrente que sai.
I2
A primeira regra se refere à conservação de energia e
a segunda a conservação da carga. A figura ao lado
mostra a divisão da corrente em duas.
I1
I3
I1 = I2 + I3 .
8
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Aplicação da Regra 1: o circuito ao lado mostra resistores e
baterias dispostas num circuito simples, sem nó. Os elétrons no
circuito ganham energia quando passam do potencial menor (da bateria) para o maior (+). Ao passar pelos resistores, os
elétrons perdem energia.
Partindo da bateria 1, temos:
R2
R1
I
R3
ε1
ε2
+ε1 – IR1 – IR2 – IR3 – ε2 – IR4 – ε3 = 0
ε3
Da equação acima podemos obter a corrente.
R4
A escolha do sentido da corrente é arbitrária. Neste caso, se a corrente calculada for negativa,
isto significa que a direção verdadeira da corrente é oposta à escolhida inicialmente.
A potência dissipada em cada resistor é:
P = VI = RI2.
A taxa de energia (potência) fornecida por cada bateria ao circuito é dada por:
P = ε I.
Caso a corrente esteja no sentido contrário à fem da bateria (bateria sendo carregada) então a
bateria, neste caso, está “consumindo” energia da(s) bateria(s) que está(ão) fornecendo energia
ao circuito.
A corrente, nos nossos estudos, sempre está no sentido do movimento da carga positiva. Neste
caso, os elétrons estão sempre no sentido contrário da corrente. Isto é fácil de memorizar porque
os elétrons sempre seguem para o potencial maior, no caso, o pólo positivo da bateria.
Não esquecer que a potencia gasta pelo circuito (resistências) é igual à potência fornecida pelas
baterias.
Circuito com várias malhas
No circuito de várias malhas, há sempre um ponto que a corrente se divide ou se soma. Por
exemplo:
No circuito da figura ao lado, a corrente que passa pela bateria 1
divide-se em duas quando chega em “b”. Em “e”, as correntes
I1 e I2 se somam para formar I novamente. Em termos matemáticos ε1
podemos escrever que (segunda regra de Kirchhoff):
(22)
c
I
I2
I1
f
I = I1 + I2 .
b
a
R2
R1
e
d
As malhas do circuito acima são três: abefa, abcdefa e bcdeb. Aplicando a primeira regra de
Kirchoff, temos:
9
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Malha abefa
ε1 – R.I1 = 0.
(23)
ε1 – R.I2 – ε2 = 0.
(24)
+ I1 R1 – I2 R2 = 0.
(25)
Malha abcdefa
Malha bcdeb
No total, temos 3 variáveis (correntes) e 4 equações. Isto significa que este sistema é facilmente
resolvido para obter as correntes em cada parte do circuito.
9 – Circuitos RC (http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-ac)
Circuito RC é aquele que contém um resistor e um capacitor. Diferente do circuito puramente
resistivo, a corrente no circuito RC varia porque o capacitor leva um tempo para carregar (ou
descarregar). Neste circuito, quando o capacitor está completamente carregado, a corrente se
torna zero e, quando o capacitor está completamente descarregado, a corrente é máxima.
9.1) Capacitor inicialmente carregado.
Considere um circuito RC formado apenas por uma chave, incialmente aberta, um capacitor
carregado e um resistor. Como a chave está aberta (resistência infinita) nenhuma corrente circula
no circuito.
S
A tensão no capacitor é V0 = Q0 /C.
Quando a chave é fechada, os terminais do resistor ficam
sob o mesmo potencial do capacitor e imediatamente uma
C
corrente I0 = V0 /R = Q0 / RC começa a circular no circuito.
+
_
R
A corrente elétrica que circula no circuito quando a chave
é ligada se deve a carga presente no capacitor que, à medida que o tempo passa, vai diminuindo.
Esta corrente é dada pela seguinte equação:
I =−
dQ
.
dt
(23)
Aplicando Kirchhoff na malha quando a chave é fechada, obtemos, após um determinado tempo,
a seguinte equação:
Q
Q
dQ
− IR = 0 ⇒
+R
= 0.
C
C
dt
Rearranjando a equação acima, ficamos com a seguinte expressão:
dQ
dt
=−
.
Q
RC
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Cuja solução é adquirida após integrarmos ambos os membros, ou seja,
ln Q = −
t
+ A.
RC
Aplicando exponencial em ambos os membros, obtemos:
(
Q(t ) = B exp − t
RC
).
B é uma constante que é determinada a partir das condições iniciais do problema. No nosso caso,
em t = 0, a carga vale Q0.
(
Q(0) = B exp − 0
RC
)= Q
⇒ B = Q0 .
0
Assim, a equação que descreve o comportamento da carga no circuito RC é:
(
Q(t ) = Q0 exp − t
RC
).
(24)
A Eq. (24) descreve o descarregamento do capacitor em função do tempo. A diminuição da carga
no capacitor está relacionada diretamente com a constante de tempo ( τ ) do circuito. Esta
constante é o valor que o capacitor leva para sua carga (ou corrente) cair a Q0 exp (– 1) (ou I0
exp(– 1)) , ou seja, t = RC. A figura abaixo mostra o comportamento da corrente num circuito
RC sob as condições descritas anteriormente.
Podemos interpretar a constante de tempo
como sendo o tempo que o capacitor se
descarrega completamente caso a taxa de
decaimento fosse igual à taxa inicial (linha
vermelha). O cálculo da corrente no circuito
é obtido ao derivar a Eq. (24) com relação à
t. O resultado é:
I (t ) = −
(
(
dQ
d
=−
Q0 exp − t
RC
dt
dt
(
⇒ − Q0 exp − t
I
I
)) =
) x  − RC1  = VR exp ( − t RC )
0
RC
( τ ).
⇒ I (t ) = I 0 exp −t
(25)
Lembre-se que:
d u
du
e ) = eu
(
dx
dx
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Exemplo 1
Suponha um circuito RC onde a resistência é de 1000 Ohms e o capacitor, de 1mF, inicialmente
carregado sob um potencial de 10V. Calcule:
a)
b)
c)
d)
A carga inicial do capacitor;
A corrente inicial no resistor;
A constante de tempo e
A carga no capacitor apos 0,5 s.
Solução:
a) Q0 = V0 C = 10 × 1 × 10 −3 = 0,01C ;
b) I 0 = V0 / R = 10 / 1 × 10 +3 = 0,01A ;
c) τ = RC = 1000 × 0,001 = 1s ;
(
d) Q(t ) = Q0 exp − t
)
RC
 0,5 
⇒ Q(0,5) = 0,01 × exp −
 = 0,016C .
 1 
9.2) Capacitor inicialmente descarregado.
A figura ao lado mostra um circuito RC, porém com uma fem em
série com o capacitor e com o resistor. O capacitor, antes da
chave S ser fechada, encontra-se descarregado e nenhuma
corrente circula. A chave, ao ser conectada (fechar o circuito) não
“vê” o capacitor, ficando apenas o circuito formado pelo resistor
e bateria; neste caso, podemos dizer que a corrente inicial é:
I0 = ε / R.
À medida que o capacitor vai recebendo carga, a corrente no circuito vai diminuindo. Quando o
capacitor estiver totalmente carregado, a corrente deixa de existir no circuito RC.
Pela lei das malhas, podemos escrever que:
ε − IR −
Q
dQ Q
= 0 ⇔ ε = R⋅
+ .
C
dt C
(26)
A resolução da Eq. 26 é feita da seguinte maneira:
ε .C − Q = RC
dQ
dt
⇔
dt
dQ
=
.
RC ε .C − Q
(27)
Integrando ambos os membros da Eq. 27, obtemos:
12
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t
t
 t

+ A = − ln (ε .C − Q ) ⇒ −
− A = (ε .C − Q) ⇒ exp −
− A  = ε .C − Q ⇒
RC
RC
 RC

 −t 
Q(t ) = ε .C − B. exp

 RC 
(28)
“A” e “B” são constantes que serão determinados (na prática só precisa determinar B) a partir da
condição inicial do problema, ou seja, em t = 0 a carga no capacitor é zero (normalmente).
Levando esta condição na Eq. 28, obtemos:
Q (0) = ε .C − B = 0 ⇒ B = ε .C .
A Eq. 28 fica da seguinte maneira:


 −t  
 −t  
Q (t ) = ε .C  1 − exp 
  = ε .C  1 − exp    .
 RC  
 τ 


(29)
Veja que na Eq. 29 apareceu a constante do circuito já calculada anteriormente. Neste caso, τ
significa o tempo que o circuito leva para que a carga no capacitor atinja 67% da carga máxima
do capacitor.
A corrente em função do tempo pode ser adquirida a partir da Eq. 29, ou seja,
I (t ) =
dQ
−1
 t
 t
= −ε .C.
exp −  ⇒ I (t ) = I 0 exp −
dt
RC
 τ
 τ

.

(30)
Exemplo 2
Supondo que o capacitor está inicialmente descarregado, então não existe corrente sobre o
resistor de 50 Ohms, e assim, a corrente só passa na bateria e na resistência de 100 Ω. A corrente
inicial é igual a
I0 =
50V
= 0,5 A .
100Ω
Depois de muito tempo em que a chave já foi ligada, supondo,
assim, que o capacitor já está completamente carregado, a
corrente deixa de passar pelo capacitor, fluindo apenas pelos
resistores e bateria. Neste caso, a corrente final é:
I=
ε
50 + 100
=
50
= 0,3 A .
150
50V
100Ω
I1
I2
0,1 F
I3
50Ω
13