FFC- Lei de Gauss

Fundamentos de Fisica Clasica – Prof. Ricardo
Lei de Gauss
A Lei de Gauss utiliza o conceito de linhas de força para calcular o
campo elétrico onde existe um alto grau de simetria. Por exemplo:
carga elétrica pontual, fio “infinito” carregado, superfície carregada,
etc. O calculo do campo baseia-se na contagem das linhas de campo
(fluxo) que saem ou entram numa superfície fechada que envolve uma
carga.
C. F. Gauss (1777-1855)
Fluxo Eletrico e Lei de Gauss
O fluxo elétrico φ esta relacionado com o número de linhas de força que passam por uma
superfície. Assim, é de se esperar que, quanto maior a superfície e quanto maior o campo (e
conseqüentemente as linhas de campo), maior o fluxo.
Na figura abaixo podemos ver as linhas de campo elétrico passando por uma superfície de área
A. O vetor n é um vetor unitário normal à superfície, ou seja, é sempre perpendicular a
superfície. O fluxo elétrico (por estar relacionado com campo elétrico) é dado pela seguinte
equação:
φ = E ⋅ nˆ A = E A cos(θ ) .
(1)
θ é o angulo entre o vetor normal à superfície e o campo elétrico. Qual o valor do ângulo para
que o fluxo seja máximo ao passar por uma superfície?
n
θ
E
A
Vetor normal à superfície.
Para a situação onde a superfície não é plana e o vetor
campo elétrico não é constante, podemos escolher uma
pequena área da superfície de tal forma que o campo
elétrico é constante e a área é plana. O fluxo total que
passa por esta superfície é o somatório de todos os fluxos
que passam por todos os elementos de área.
φ = lim
∆Ai →0
∑ E ⋅ nˆ ∆A = ∫ E ⋅ nˆ dA
n
E
∆A
(2)
i
1
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Note que se o campo estiver entrando numa superfície, o cosseno do ângulo entre a normal e o
campo elétrico será negativo.
A Lei de Gauss é enunciada da seguinte forma:
Em geral, para um sistema de cargas, o fluxo líquido através da superfície S é igual a 4πk
vezes a carga liquida dentro da superfície.
Matematicamente podemos escrever a Lei de Gauss da seguinte maneira:
φ = ∫ E ⋅ nˆ dA = 4π k q ,
(3)
q é a carga total dentro da superfície fechada.
Exemplo 1: Qual o campo elétrico de uma carga pontual?
A simetria das linhas de campo de uma
carga pontual, radial, requer uma superfície
esférica de raio r para calcular o campo a
uma distancia r da carga. O vetor normal a
qualquer elemento de área é também radial,
logo, paralelo a E.
E
q
φ = ∫ E ⋅ nˆ dA = ∫ E r dA = E r ∫ dA = E r 4π r 2 .
Sup.
Gaussiana
Mas o fluxo é igual a 4πk q (Lei de Gauss).
Levando na equação anterior, obtemos:
Er =
kq
r2
Exemplo 2: Calcular o campo elétrico de um fio “infinito” carregado positivo e uniformemente
com uma densidade linear de carga λ (quantidade de carga por unidade de complimento).
Para esse problema, o cilindro é a melhor superfície, pois o campo elétrico é sempre
perpendicular ao fio e assim, o produto interno do campo com a normal a superfície é sempre
igual a EA. Porém, nas
bases do cilindro, o
E
campo é perpendicular a
normal
e
consequentemente, não
r
há fluxo passando pelas
bases.
L
2
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φ = ∫ E r dA = E r 2π r L .
Mas a carga dentro do cilindro de comprimento L é igual a λ L. Utilizando a Lei de Gauss e
levando na equação anterior, obtemos:
E r 2π r L = 4π k λ L ⇒ E r =
2k λ
.
r
Exemplo:
Superfície plana infinita não-condutora carregada com densidade σ (quantidade de carga por
unidade de comprimento). Quando falamos a palavra “infinita” não quer dizer que o plano tem
dimensões infinitas, tudo depende com o que você está comparando. Isto tem a ver com efeitos
de borda. Ou seja, uma superfície plana de 1x1m2 carregada é infinita se desejarmos calcular o
campo elétrico devido a esta superfície a 1 mm do plano, por exemplo.
Distante das margens da superfície, podemos dizer
que o campo elétrico é uniforme ‘e perpendicular a
superfície. Logo, a melhor superfície gaussiana para
esse problema é um cilindro de base com area A.
Porém, diferente do exemplo anterior, o campo
elétrico passa pelas bases e não mais pela lateral.
Aqui, mais uma vez, o produto escalar entre o
campo e a normal é E A.
E
r
Assim, pela Lei de Gauss, temos que o fluxo total
saindo pelo cilindro é:
φ = 2 E A = 4π k q = 4π kσ A ⇒ E = 2π k σ
Materiais Condutores.
A facilidade de um material conduzir eletricidade esta relacionada com um parâmetro físico
denominado de condutividade elétrica. Os materiais com maior condutividade são, normalmente,
os metais. Já os isolantes elétricos, aqueles opostos aos condutores, não conduz carga elétrica
com facilidade, são eles, plásticos, borrachas, madeira, etc. Existe também uma classe
intermediaria, denominada de semicondutores, bastante utilizados na indústria eletrônica.
Elementos químicos, tais como, o Germânio e o Silício são considerados excelentes
semicondutores. Contamos também, mas com pouca aplicabilidade no momento, com os
materiais supercondutores.
A corrente elétrica, normalmente formada por elétrons livres migrando devido à aplicação de um
potencial elétrico, esta associada à facilidade com que os elétrons se movem. Íons também
podem conduzir eletricidade, como por exemplo, o relâmpago, uma solução iônica, etc. Todo
condutor tem uma resistência elétrica, logo não são condutores perfeitos.
A tabela de resistividade (inverso de condutividade) ao lado mostra alguns materiais com seus
respectivos valores. É importante lembrar que a resistividade depende da temperatura.
Normalmente, em metais, quanto maior a temperatura, maior a resistência elétrica. Isso é devido
ao fato dos elétrons apresentarem maior agitação térmica e isso dificulta a migração dos elétrons
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quando submetidos a uma diferença de potencial (ddp). O vidro, muito utilizado como isolante
térmico, é cerca de 1133 vezes mais
resistivo do que a prata (maior condutor Tabela de Resistividade (a 20 graus centígrados)
natural Material
Ohm.metro
Material
Ohm.metro
http://hyperphysics.phy-8
2.8x10
Silicone
640
astr.gsu.edu/hbase/tables/elecon.html#c1 Alumínio
0,45
Ferro
10 x10-8
). Um bom condutor elétrico tem cerca Germânio
1,7 x10-8
Prata
1,6 x10-8
de 1023 elétrons livres em 1 cm3 Cobre
enquanto que o semicondutor conta com Vidro
1010 - 1014
Tungstênio 5,5 x10-8
10
12
apenas 10 – 10 elétrons.
Um condutor, quando imerso num campo elétrico, tem seus elétrons
livres no seu interior migrando devido à forca elétrica sobre estes.
Esta migração para na superfície se o campo aplicado não for
suficiente para provocar a escapada deste do condutor (emissão de
campo). Estas cargas acumuladas criam um campo elétrico que
neutraliza o campo elétrico original no interior do condutor. Devido
a isto, não existe campo elétrico estático num interior de um
condutor. Mais na frente, veremos que isto só é valido para campo
elétrico estático. Não devemos esquecer que o condutor,
inicialmente é neutro e ele, assim como o isolante, pode ser
carregado.
E
Exemplo 3: Campo elétrico na superfície de um condutor carregado. Como vimos acima, um
condutor não tem carga liquida no seu interior, assim, não há qualquer campo também. Logo,
supondo que o condutor tem uma carga superficial σ, e utilizando um cilindro como superfície
gaussiana, podemos dizer que o campo elétrico na superfície é
dado por:
φ = ∫ E ⋅ nˆ dA = EA = 4π k σ A ⇔ E = 4π kσ .
Veja que este valor é o dobro do que obtemos anteriormente para
uma superfície fina, carregada e não condutora.
A figura ao lado mostra bem esta situação. As linhas de campo
são perpendiculares à superfície. A superfície gaussiana pode ser
um cilindro em que apenas o fluxo existe para fora deste.
Aula interessante: http://www.ic.sunysb.edu/Class/phy141md/doku.php?id=phy142:lectures:37
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Exemplo 4: Casca esférica condutora
espessa com uma carga pontual no seu
interior. Quando uma carga é colocada no
interior de uma casca esférica condutora,
o campo entra no interior da casca e faz
com que aconteça uma distribuição de
cargas através da movimentação dos
elétrons para a superfície. O resultado é o
aparecimento de um campo contrário ao
da carga positiva. No final, o somatório
destes campos resulta num campo
elétrico nulo no interior da casca. Pela
Lei de Gauss, se colocarmos um cilindro
com uma face no interior da casca e a
outra fora, então só haverá fluxo de
campos elétricos devido à carga
superficial. Assim temos:
φ = ∫ E ⋅ nˆ dA = E. A = 4π k q = 4π σ A
ou E = 4π σ
O parâmetro σ é a densidade superficial de carga.
Exemplo 5: Cilindro de comprimento infinito, maciço com carga uniformemente distribuída.
L
R
r
cilindro carregado
Sup. gaussiana
A superfície gaussiana é um cilindro de comprimento L e raio ≥ R (1° caso). Neste caso, temos:
∫ E. ⋅ nˆ dA = 4π kq ⇔
E.2π rL = 4π kρπR 2 L ⇒ E =
2π kρR 2
.
r
Podemos considerar que existe uma quantidade de carga no cilindro por comprimento, ou seja:
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λ=
q
. *
L
Porém, podemos escrever que
q = ρ .π .R 2 .L **
Levando ** em *, obtemos:
ρ .π .R 2 .L = λ.L ⇔ ρ =
λ
π .R 2
.
A expressão de E calculada fica então:
E=
2.k .λ
.
r
Note que, neste caso, o campo fora do cilindro não depende do raio do cilindro.
2° caso, r<R
Temos que calcular a quantidade de carga dentro da superfície gaussiana.
ρ=
q
q′
=
2
π .R .L π .r 2 .L
⇒ q′ = q
r2
.
R2
Levando este resultado na Lei da Gauss, e fazendo os devidos cálculos, obtemos:
E = 2.π .k .ρ .r =
2.k .λ
r.
R2
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