A derivada no ensino médio: Função quadrática e - TCC On-line

A derivada no ensino médio: Função quadrática e sua derivada.
Francisco Carlos Grabaski
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Os autores abaixo assinados transferem os direitos de publicação, impressa e online, do artigo "A derivada no ensino médio" à revista Tuiuti: Ciência e Cultura, caso
ele venha a ser publicado.
Também declaram que tal artigo é original, não está submetido à apreciação de
outro jornal e/ou revista e não foi publicado previamente.
Os autores abaixo assinados assumem a responsabilidade pela veracidade das
informações contidas no referido artigo.
Curitiba, 3 de outubro de 2009.
Francisco Grabarski ________________________________________
Jean Duarte Farias _________________________________________
Josoe Correa Faria ________________________________________
Resumo
O objetivo é justificar a introdução do conceito de derivada da função
quadrática, logo no primeiro ano do ensino médio. Uma visão geométrica sobre as
soluções algébricas das equações do segundo grau bem como o estudo do gráfico
do trinômio de grau dois, mostrar o quanto a derivada é uma poderosa ferramenta
na análise do comportamento da função quadrática tal como na cinemática, na
disciplina de física.
Palavra chave: trinômio do segundo grau, função quadrática, velocidade,
aceleração, derivada.
Abstract
The objective is to justify the introduction of the concept of derivative of the
quadratic function, then in the first year of average education. A geometric vision on
the algebraic solutions of the equations of as the degree as well as the study of the
graph of the trinômio of degree two, to show how much the derivative a powerful tool
is in analyzes of the behavior of the quadratic function as in the kinematics, in
disciplines of physics.
Key words: degree as trinômio, quadratic function, speed, acceleration,
derived.
Introdução
O presente artigo está embasado no livro de Geraldo Ávila, Introdução às
Funções e à derivada. Normalmente inicia-se o tratamento das funções quadráticas
ao final da 8ª série ou nono ano do ensino fundamental, após um trabalho extenso
com as equações do 2º grau, cujo foco principal é a obtenção de suas raízes. O
ponto culminante é a fórmula de báskara. E aqui se pode perceber a importância da
álgebra no contexto resolução de problemas matemáticos, mas não podemos
cometer o engano dissociar a álgebra da geometria. Por exemplo, a questão de
achar dois números conhecendo-se sua soma S e seu produto P, em termos
geométricos, o que se pede é determinar os lados de um retângulo conhecendo-se
o semi-perímetro S e a área P.
Assim, paralelamente, a idéia de derivada pode ser introduzida de maneira
intuitiva com apelo à visualização geométrica sem os rigores da teoria dos limites.
Com a derivada da função quadrática em mãos pode-se colher excelentes frutos no
estudo do trinômio do 2º grau. Os conceitos de função crescentes e decrescentes
aplicados à derivada permitem determinar a convexidade da curva, bem como os
pontos de mínimo e máximo da função. Outra razão muito importante é o ensino da
cinemática na disciplina de física como os conceitos de velocidade e aceleração
instantânea e as equações horárias dos movimentos uniforme e uniformemente
variados, ficam mais fáceis de estudar com tal conceito.
Segundo Geraldo Ávila, podem ser apresentadas pelo menos duas
justificativas importantes para que se ensine a derivada logo no 1º Ano do Ensino
Médio: a primeira delas é que nesse inicio do Ensino médio é que se introduz e se
estuda mais detidamente o conceito de função, sendo que, a derivada lança muito
mais luz nesse estudo particularmente, na variação das funções, como seu
crescimento ou decrescimento. Outra razão muito importante para a introdução da
derivada é o ensino da Física, sobretuto da cinemática. (Ávila, 1994)
Desta forma destaca-se uma importante vinculação da matemática com a
física, aliás, a matemática é uma das principais ferramentas de todas as áreas das
ciências, ou seja, está presente no mundo concreto. Nos tópicos abaixo, vamos
destacar alguns conceitos comuns no ensino de Matemática do Ensino Médio e
constante da bibliografia citada.
Função afim e seu gráfico
Aqui admite-se que o leitor tenha conhecimento razoável dos números reais
e suas propriedades, pois as funções que iremos descrever estarão definidas em
reais ou num intervalo dos reais.
As funções afins correspondem a relações entre a variável dependente e
independente expressa por polinômios do 1º grau, daí define-se: Uma relação de
reais em reais, que a todo número x pertencente aos reais associa um único número
real
, com
e pertencentes aos reais e
, é denominada função
afim ou função polinomial do 1º grau.
(1)
Representação gráfica da função afim
“O gráfico de uma função afim é sempre uma reta.” (Smole,2005)
Para comprovar que este fato é verdadeiro, vamos considerar dois pontos
quaisquer
,
do
gráfico
da
função
, e mostrar que todos os outros pontos do gráfico estão na reta
que passa por
.
Tomemos um ponto
qualquer do gráfico de ;
y
P2
ax2+b
P
ax+b
β
B
P1
ax1+b
α
X1
X
X
X2
Figura 1: Representação gráfica da função afim
Observe as medidas dos lados (catetos) dos triângulos
seguinte igualdade válida para eles:
e a
(2)
Portanto, esses dois triângulos têm dois lados proporcionais e um ângulo
reto, daí eles serem semelhantes. Como conseqüência disso, seus ângulos
correspondentes são iguais. Sendo que as retas
são paralelas, logo
,
isso só é possível se os pontos
estiverem numa mesma reta, transversal às
retas paralelas. Isso prova a afirmação que o gráfico de uma função afim é sempre
uma reta.
Equação da reta por dois de seus pontos
De acordo com Geraldo Ávila, dados dois pontos,
e
, com
, como na figura anterior, é fácil ver que a reta por eles
determinada é o gráfico de uma equação do tipo
,. Vejamos
que sim, substituindo as coordenadas desses pontos
em
obtemos duas equações;
e
, subtraindo, membro a
membro a primeira da segunda temos
donde podemos tirar o
valor de:
(3)
passando de P0 a P1 como de P1 a P0 , o
É claro que podemos obter
resultado é o mesmo, já que;
Uma vez obtido o declive
fica fácil encontrar o valor de b, através de uma
das equações. Agora que conhecemos os coeficientes a e b em
,
passamos a conhecer a equação da reta que passa por dois pontos conhecidos. E
deste raciocínio decorre a equação da reta na forma
, onde a é
o coeficiente angular e
é um ponto conhecido da reta.
reta (
É extremamente importante destacar que m  tg , sendo α o ângulo que a
) faz com o eixo das abscissas.
y
y1
α
y0
α
X0
X1
x
Figura 2: Equação da reta por dois de seus pontos
Observações importantes:

O ponto onde o gráfico corta o eixo das abscissas corresponde ao valor
de x tal que
. Nesse caso, x é chamado de zero ou raiz da função.

Na função
,
é chamado de coeficiente angular ou
declividade, porque determina a inclinação da reta e b é denominado coeficiente
linear do gráfico de f, é onde o gráfico corta o eixo das ordenadas, pois para
.
Função quadrática
Conforme Elon Lages lima, uma função f, de reais em reais, que a todo x
associa um único número
, com
reais e
, é
denominada função quadrática ou função polinomial do 2º grau.
(4)
Gráfico cartesiano da função quadrática
“O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola.”
(Lima,1997)
A parábola é uma curva do plano cujos pontos satisfazem uma condição
bem definida, toda parábola é construída a partir de uma reta r e de ponto F não
pertencente à r. Os pontos da parábola são os pontos do plano que estão à mesma
distancia de r e de F.
s
P
F
x
V
Q
r
Figura 3: Gráfico cartesiano da função quadrática.
Onde: r é a reta diretriz; F é o foco da parábola; s é a reta que passa pelo foco e
pelo vértice é chamado eixo de simetria da parábola e m(F,P)=m(P,Q)
Pontos importantes do gráfico de uma função quadrática
Raízes da função: achar as raízes ou zeros da função quadrática se elas
existirem é descobrir os pontos em que a parábola
, a≠0
intersecta o eixo das abscissas, como são pontos de intersecção com o eixo das
abscissas, pertencem ao gráfico da função e ao eixo, tendo portanto coordenada
y=0. Assim, devemos fazer f(x)=0, ou seja
y
c
raiz
raiz
x
V
Figura 4: Pontos importantes do gráfico de uma função quadrática.
Sabemos que a equação
fórmula
onde
pode ser resolvida utilizando-se a
chamado de discriminante.
Conforme o valor do discriminante, três situações são possíveis:

, neste caso, a equação tem duas raízes reais e diferentes, a
parábola intersecta o eixo das abscissas em dois pontos distintos.

, neste caso, a equação tem uma raiz real e a parábola toca o eixo
das abscissas num único ponto

, aqui a equação não tem raiz real, e a parábola não intersecta o
eixo das abscissas.
O Vértice da parábola
O vértice (V) da parábola correspondente ao gráfico de uma função
quadrática é outro ponto muito importante por três motivos:
1º. Conhecida a abscissa xv do vértice, encontramos a reta que constitui o
eixo de simetria do gráfico da função. Essa reta passa por xv e é paralela ao eixo das
ordenadas.
2º. V é o ponto em que f assume o seu menor valor ou o seu maior valor,
dependendo da concavidade da parábola.
3º. A função f muda de comportamento ao passar por V, isto é, nos
intervalos
]-∞,xv] e [xv,+∞) f é crescente em um deles e decrescente no outro,
dependendo da concavidade da parábola.
Pode-se provar que:
; e yv= -
xv=
daí temos V=(
).
Concavidade da parábola
A concavidade do gráfico de uma função quadrática
depende do sinal do coeficiente a.
,
Mostra-se que:


Se a>0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Se a<0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Valor máximo ou mínimo da função quadrática.
Sabemos que os gráficos de funções quadráticas apresentam uma
particularidade importante, todos possuem um vértice cuja ordenada é sempre um
valor máximo ou um valor mínimo, que são valores extremos da função.
Podemos afirmar que, numa função quadrática
domínio nos reais e coeficientes reais, ocorre o seguinte:
, de
Se a>0, então:

A parábola tem a concavidade voltada para cima

O valor mínimo é dado por

V é denominado ponto de mínimo da parábola.

IM(f) = [-
+∞[ ou IM(f)= {y
.
R tal que y≥ -
y
x
V
Figura 5: coeficiente α>0
}
Se a< 0, então:

A parábola tem a concavidade voltada para baixo.

e V é denominado ponto de
O valor máximo é dado por
máximo da parábola.

IM(f) = [-∞, y
[ ou IM(f)= {y
R tal que y ≤ -
}
V
x
Figura 6: Coeficiente a< 0
Reta tangente a uma curva
De acordo com Oswaldo Dolce na geometria plana temos por definição que
uma reta tangente a uma circunferência é a reta que intersecta a circunferência num
único ponto.
A reta tangente a uma circunferência tem um ponto comum com a
circunferência e os demais pontos da reta são externos à circunferência. O ponto Q
comum é o ponto de tangencia.
Reta tangente
Figura 7: Reta tangente a uma circunferência.
Geometricamente é simples traçar a reta tangente a uma circunferência,
pois:
a) Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é
tangente à circunferência.
b) Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de
tangencia.
No entanto está definição de reta tangente só é eficiente para
circunferências, mas não para outras curvas. Precisamos de uma definição que seja
válida para uma curva qualquer, não apenas para circunferências. Para resolver o
problema, supomos que a curva seja o gráfico de uma função f. Sejam a e f(a) as
coordenadas do ponto P, onde desejamos traçar a tangente ao ponto. Consideremos
outro ponto Q do gráfico de f, cuja abscissa representamos por (a + h), então a
ordenada de Q é f(a + h). O declive de reta secante PQ é dada pelo quociente.
(5)
Chamado de razão incremental, essa designação se justifica, já que h é
realmente um incremento que damos à abscissa de P. Para obtermos a abscissa de
Q, ε= f(a+h) - f(a) é o incremento sofrido pela função em conseqüência do
incremento h da variável independente.
y
P
Q3
Q2
Q1
Q
x
Figura 8: Reta tangente a uma curva.
Vamos imaginar que, o ponto P permanece fixo, o ponto Q se aproxima de P,
passando por sucessivas posições Q1, Q2, Q3,..., Qn. Logo a secante PQ assumirá as
posições PQ1, PQ2, PQ3, ..., PQn. O que se esperava é que a razão incremental, que é o
declive da reta secante, se aproxime de um determinado valor m, à medida que o
ponto Q se aproxime do ponto P. Isso acontecendo, definimos a reta tangente à
curva no ponto P como sendo aquela que passa por P e cujo declive ou coeficiente
angular é m. Esse número m também chamado o declive da curva no ponto P.
O modo de aproximar-se Q de P consiste em fazer o número h cada vez
mais próximo de zero na razão incremental. Dizemos que estamos fazendo h tender
a zero e escrevemos “h 0”, ou seja, h tende a zero. Observe que h pode assumir
valores positivos e negativos, se admitirmos h assumindo valores exclusivamente
positivos, então o ponto Q estará se aproximando de P pela direita, como na figura
acima. Mas também podemos ter h com valores negativos, neste caso o ponto Q
estará se aproximando de P pela esquerda.
y
P
Q2
Q
Q1
x
Figura 9: Aproximação de um ponto Q a um ponto P.
Quando fazemos h 0, a razão incremental se aproxima de um valor finito m,
dizemos que m, dizemos que m é o limite da razão incremental com h tendendo a
zero e escrevemos.
(6)
É importante notar que h é sempre diferente de zero no quociente acima,
pois se h=0, teríamos e a expressão não teria sentido.
O conceito de derivada
Enfatizando a idéia de Geraldo Ávila usaremos o apelo geométrico da
derivada, sendo o declive m de uma curva y = f(x), visto anteriormente, num valor
x=a depende desse valor, isto é m em função de a. Essa função é chamada a
derivada da função f e é indicada com o símbolo f’. Escrevemos então:
Equação 7:
(7)
No entanto, percebemos que não há nada de especial no símbolo x=a que
estamos usando. Trata-se de um valor geométrico de x, razão pela qual pode muito
bem ser substituído por qualquer outro símbolo, em particular, pelo próprio x. Assim
sendo, temos
(8)
E quando escrevemos y=f(x), é costume usar a notação de derivada com o
símbolo
pela
Na situação traçarmos a reta tangente num ponto genérico da curva dada
função
f(x)
=
x².
Notemos
que
se
então
, daí
=
h, e o
limite dessa expressão com h0 é 2x.
Logo a reta tangente neste ponto genérico terá coeficiente angular igual a 2x
Exemplo: traçar a reta tangente dado uma função,
e um ponto P(2,4).
Teremos uma reta tangente à curva passando pelo ponto P dado e
coeficiente angular igual a 4, pois a igual a 2x.
Portanto a equação da reta fica:
y- 4 = 4 (x - 2), logo y= x-1
Também necessitamos obter a derivada do trinômio do 2º grau completo, o
que será possível usando a derivada de
,
e das propriedades abaixo
relacionadas que podem ser facilmente mostradas.
“A derivada de uma função é dos mais poderosos instrumentos da
matemática. Na verdade, é indispensável para investigações não-elementares tanto
nas ciências naturais como humanas.”(SWOKOWSKI, 1983)
Propriedades.

A derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas.

A derivada de qualquer constante k é zero

A derivada de mx, com m constante, é m

A derivada de k.f(x), onde k é constante é k.f’(x).
Podemos então concluir que a derivada de y=ax+b é y’=m. Isto está de
acordo com o fato de que o gráfico dessa função f é uma reta, portanto a reta
tangente a esse gráfico em qualquer de seus pontos é a reta y=mx+k . Utilizando
essas propriedades obtemos a derivada de
que é
e este resultado será de fundamental importância no estudo da
função quadrática na disciplina de matemática quanto em física no estudo da
cinemática.
A derivada na cinemática.
Em cinemática vamos apresentar a derivada como taxa de variação do
espaço em relação ao tempo, através do conceito de velocidade instantânea.
Todas as quantidades que encontramos na vida cotidiana variam com o
tempo. Isto é especialmente verdadeiro nas investigações científicas.
(SWOKOWSKI, 1983)
Velocidade média: Da consideração de uma partícula se movendo numa
trajetória qualquer, durante certo intervalo de tempo, surge o conceito de velocidade
média. Antes, porém, notamos que o espaço S percorrido pela partícula é dado em
função do tempo t, e escrevemos S = S(t).
Observando uma partícula em movimento durante um intervalo de tempo
, isto é, entre um instante t e outro subseqüente (
, verificamos que o espaço
S sofrerá um acréscimo
, ou seja
é o espaço percorrido
durante o acréscimo
dado ao tempo t.
A velocidade média Vm , é definida como sendo igual ao quociente do
espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo, isto é:
(9)
Vm
Movimento uniforme
Dizemos que o movimento é uniforme quando a velocidade media tem o
mesmo valor V, qualquer que seja o intervalo de tempo considerado. Nesse caso,
sendo S0 espaço inicial, ou o valor de S(t) para t=0, temos:
(10)
Esta equação é chamada equação horária do movimento, seu gráfico é uma
reta com declive V, cortando o eixo dos S no ponto de ordenada S0 . A figura abaixo
ilustra uma situação em que s0 e V são números reais positivos.
S
S=S0+Vt
S0
t
Figura 10: Movimento Uniforme
Observe que esse gráfico mostra como S varia segundo t, e não deve ser
confundido com o gráfico da trajetória que pode ser retilíneo ou não. Com a equação
horária o movimento pode ser retilíneo ou curvilíneo.
Velocidade instantânea
Em cinemática vamos apresentar a derivada como taxa de variação do
espaço em relação ao tempo, através do conceito de velocidade instantânea.
Velocidade média: Da consideração de uma partícula se movendo numa
trajetória qualquer, durante certo intervalo de tempo, surge o conceito de velocidade
média. Antes, porém, notamos que o espaço S percorrido pela partícula é dado em
função do tempo t, e escrevemos
.
Observando uma partícula em movimento durante um intervalo de tempo
, isto é, entre um instante t e outro subseqüente (
, verificamos que o espaço
S sofrerá um acréscimo
, ou seja
é o espaço percorrido
durante o acréscimo
dado ao tempo t.
A velocidade média Vm , é definida como sendo igual ao quociente do
espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo, isto é:
Vm
Exemplo:
Um policial pára o carro de uma pessoa que andava em alta velocidade e
exclama:
- Estava andando a 120 km/h, quando o limite nesta rua é de 60 km/h!
Então a pessoa responde:
- Mas seu guarda, como é que eu podia estar andando a 120 km por hora,
quando eu só estou dirigindo faz 20 minutos !?
“Vamos supor que ao invés do guarda dizer - Então explica isso ao Detran
porque vai receber uma multa! - o guarda resolve dar uma lição de Física para a
pessoa.
- O que eu quero dizer é que, se seguisse em frente nessa velocidade,
depois de uma hora teria percorrido 120 km!”
- Mas seu guarda, se eu seguisse em frente, eu iria bater nesse prédio aí da
frente!
- Bem, isso é verdade, mas se tivesse continuado assim por 1 minuto, teria
percorrido 2 Km; se continuasse por 1 segundo, teria percorrido 33,3 m; e se fosse
em frente por 0,1 s, teria percorrido 3,33 m. Desse jeito poderia perfeitamente ter
infringido a lei durante 0,1 segundos!
- Mas seu guarda - disse a pessoa - o limite de velocidade é de 60 Km/h, e
não de 1,66 metros em 0,1 segundos!
Então o guarda se sai com essa:
- Dá no mesmo. O que importa aqui é a velocidade instantânea!
Movimento uniformemente variado
O conceito de aceleração é introduzido de maneira análoga ao de
velocidade, ela mede a variação da velocidade em relação ao tempo (enquanto a
velocidade mede a variação do espaço em relação ao tempo). Assim definimos
aceleração como:
(11)
Enquanto que a aceleração instantânea a(t), é assim definida:
(12)
Observemos que a aceleração pode ser negativa. Nesse caso,podemos
concluir da própria definição de derivada, a velocidade é uma função decrescente do
tempo, ou seja, decresce com crescer do tempo. Dizemos que um movimento é
uniformemente variado quando sua aceleração for constante e diferente de zero.
Vamos considerar um movimento uniformemente variado com aceleração a. sejam
, sua velocidade num instante t e
a velocidade inicial. Como a é
constante, podemos escrever
, que é a equação da velocidade. Tomando V0 e
a positivos, temos:
V
V=V0+V t
V0
t
Figura 11: Movimento uniformemente variado.
A equação horária do movimento
De acordo com José Roberto Bonjorno, supondo que uma partícula
percorrendo com movimento uniformemente variado a trajetória da figura abaixo:
S
S
S0
a
o
a
t0
t
t
Figura 12: Movimento de uma partícula.
Onde:
S0 = a posição inicial da partícula
V0 = a velocidade inicial
S = a posição da partícula em t.
V = a velocidade da partícula em t.
a = aceleração.
Já sabemos que
e o gráfico é uma reta.
V
V
V0
ΔS
t
Figura 13: equação horária do movimento.t
0
A área do trapézio hachurado fornece o espaço percorrido
de tempo = t – t0 ; portanto:
=(
V + V0
).t , mas
2
e
no intervalo
(13)
Substituindo vem:
S – S0 =
S – S0 =
V0 + at + V0
•t
2
2V0 + at
•t
2
at 2
S – S0 = V0 t +
2
at 2
S = S 0 + V0 t +
2
Como S é um trinômio do 2º grau em t, seu gráfico é uma parábola.
Derivando S obtemos
, isto é , a derivada da função horária do
movimento nos fornece o valor da velocidade da partícula no instante t.
Para fixar as idéias, considere o seguinte exemplo: suponha que você veja
um radar a 100 m de distância quando dirigia seu carro a 100 km/h. Para não ser
multado, você precisa passar pelo radar a menos de 50 km/h. Então, imediatamente
você pisa nos freios (medida em metros) e encontra o radar 5,74 segundos depois
(na posição zero), como pode ser visto na figura abaixo:
Figura 14: Deslocamento X tempo.
- Qual a velocidade do carro no instante t= 5,74 s?
Para calcular a velocidade neste instante, vamos diminuir o intervalo de
tempo até que ele seja tão pequeno, que o intervalo se reduz há esse instante.
Vamos começar com o intervalo entre 0 s e 5,74 s, a velocidade média neste
intervalo é:
então fui multado?
Incorreto pois esta é a velocidade média e não no instante em que passou
no radar. Vamos agora diminuir para o intervalo de tempo entre os instantes 4,74 s e
5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:
Vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,73 s e 5,74 s, a
velocidade média neste intervalo é:
Vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,749 s e 5,74 s, a
velocidade média neste intervalo é:
Só para ser chato, vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,7399 s
e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:
Você está vendo? Quando estamos no limite em que o intervalo é zero,
temos a velocidade instantânea no exato momento em que o seu carro passa pelo
radar. Podemos expressar matematicamente esta última frase da seguinte forma:
Esse limite (lim) define a derivada da posição com relação ao tempo, ou
seja, a velocidade instantânea num dado instante é a derivada com relação ao
tempo da função que descreve a posição da partícula neste dado instante.
De acordo com Louis Leithold, a derivada tem inúmeras aplicações na
disciplina de física, vejamos:
Uma bola é lançamento verticalmente para cima, desde o,com uma
velocidade inicial de m/s. Se o sentido positivo da distância desde o ponto de partida
é para cima, a equação de movimento é
.
Se t é o número de segundos transcorridos desde que a bola foi lançada e S
é o número de metros na distância da bola desde o ponto de partida em t segundos,
encontre:
a)
A velocidade instantânea da bola ao final de 1 segundo.
b)
A velocidade instantânea da bola ao final de 3 segundo.
c)
Quantos segundos, leva a bola para alcançar seu ponto mais alto.
d)
A altura máxima atingida pela bola.
e)
segundos.
A velocidade escalar da bola ao final de 1 segundo e ao final de 3
f)
Quantos segundos, leva a bola para atingir o solo
g)
A velocidade instantânea da bola quando alcança o solo.
No final de 1 segundo a bola está caindo ou subindo?
t
s
v=s'
0
0,5
1
2
3
3,5
4
0
8,75
15
20
15
8,75
0
20
15
10
0
-10
-15
-20
Figura 15: Lançamento vertical.
Solução: V(t1) = o número de metros por segundo na velocidade instantânea
da bola em t1 segundos.
S= f(t) onde
f(t)
V= S’
Usando a derivada S’ = -10t + 20
Logo:
a)
V(1) = -10. 1 +20 = 10m/s
b)
V(3) = -10. 3 +20 = -10m/s
c)
V= -10t +20 (ponto Maximo a velocidade é igual a zero);
0=-10t+ 20
t= 2
( altura máxima t=2)
d)
S = -5. 22 +20.2
S = 20m
e)
segundos:
O número de metros por segundo na Velocidade escalar da bola em t
│V (1) │= 10 e │V (3) │= 10
f)
A bola alcançará o solo em S=0, colocando S=0 em S=-5t2+20t temos t=0
ou t=4. Portanto t=4, pois t=0 é instante de partida
g)
V(4)= -10.4 + 20 = -20m/s
Conclusão
Pelos motivos apresentados verifica-se que é possível ensinar a derivada do
trinômio do 2º grau logo no início do ensino médio, sem o desenvolvimento da teoria
dos limites, O discente dotado deste conhecimento terá em mãos uma poderosa
ferramenta que o auxiliará no estudo das funções, em particular nos aspectos
crescimento e decrescimento, pontos de máximo e de mínimo da função quadrática.
O aprendizado da cinemática se tornará mais atraente e produtivo com a
aplicação da derivada aos conceitos de velocidade e aceleração, onde será
encarado como taxa de variação. Sabemos que não existe uma linha divisória entre
a Matemática e a Física, portanto, o professor de matemática deve trabalhar
conceitos físicos em suas aulas, também o professor de física se depara com
conceitos puramente matemáticos em sua disciplina, a exemplo dos vetores.Esta
interação interdisciplinar é importantíssima para o aprendizado e o desenvolvimento
de modelos matemáticos, fazendo com que aluno associe a teoria com a prática e
se entusiasme com o estudo da matemática
A intenção deste artigo é enfatizar a idéia de interatividade disciplinar do
professor Geraldo Ávila, e mostrar como esta proposta podem ser desenvolvidas
pelos docentes de matemática do ensino médio.
Referencias bibliográficas
[ÁVILA, GERALDO]; Introdução às funções e à derivada- São Paulo; Atual,
1994
[LIMA, ELON LAGES; CARVALHO, PAULO CESAR PINTO; WAGNER,
EDUARDO; MORGADO, AUGUSTO CÉSAR;] A matemática do ensino médio,
volume 1- Rio de Janeiro; Sociedade Brasileira de Matemática, 1997.
[LEITHOLD,
Paulo,Harbra,1986
LOUIS],
O
Cálculo
com
geometria
analítica-
São
[SMOLE, KÁTIA STOCCO ; DINIZ, MARIA IGNEZ], Matemática ensino
médio, São Paulo; Saraiva; 2005
[BONJORNO, JOSÉ ROBERTO; CLINTON MÁRCICO RAMOS], FÍSICA 1São Paulo; FTD, 1997
[SWOKOWSKI, EARL W; CÁLCULO Com Geometria Analítica]- São
Paulo, Mcgraw-hill do Brasil,1983.
[DOLCE, OSVALDO; POMPEO, JOSÉ NICOLAU, Fundamentos de
matemática
elementar ( geometria plana)]- São Paulo, ATUAL,1998