Paulo Vargas Moniz Modern Physics –TP6

 Paulo Vargas Moniz
Modern Physics –TP6-Lecture10
A teoria quântica tomou então os contornos de uma Mecânica (Quântica)
Ondulatória. Para entender e esclarecer este comportamento requere-se
um formalismo matemático análogo à teoria de Maxwell:
 Qual é a relação entre (o campo de) uma “onda-particula” e
observaveis fisicos como energia, posição, etc?
 Como é que “ondas-particulas” interagem entre si e com o que as
rodeia)?
É neste contexto que se descre a Equação de Schrodinguer.
Nota: ir-se-á estudar o caso uni-dimensional
Seja a equação das ondas clássica
 2U
1  2U
. Esta tem como soluções

x 2 V 2 t 2
funções U(x,t)= A ei(kx-wt) onde V=w/k é a velocidade de fase.
Para estas ondas planas (monocromáticas), empregando a relação de
Planck e a por de Broglie, temos que E = Vp => V=c como a escolha
possivel.
Mas para particulas com massa, temos antes que E = p2/2m + V(x,t), onde
V(x,t) é a energia potencial.
Tentemos então o seguinte. Se de uma equação para ondas obtemos uma
relação entre energia e momento linear para radiação (luz), então de uma
relação entre energia e momento linear para particulas com massa, será
que se obtem uma equação para a “ondas” (de particulas)?
Tomemos (x,t)= A ei(kx-wt) e que i


   E e i
 k  p .
t
x
Ie, temos uma relação do tipo
Operador Diferencial Onda = Constante Onda
pelo que escrevemos a Equação de Schrodinguer:
p2
2 2

 V ( x, t )  E  
 V ( x, t )  i
2
2m
2m x
t
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Esta é a equação (dependente do tempo) a 1-dimensão (espacial) de
Schrodinguer. A solucão (x,t) é designada de função de onda.
Se o potencial V for independente do tempo, ie, V=V(x), então tomando
(x,t) = (x) (t) escrevemos a equação de Schrodinguer independente
do tempo:
H  E  
 2  2
 V ( x)  E
2m x 2
Mas qual é o conteudo fisico da função de onda (x,t) = (x) (t)? Ie,
como podemos relacionar (x,t) com observaveis como a posição,
energia, etc? Há que formalizar uma Interpretação da Função de Onda.
 No contecto do electromagnetismo, a densidade de energia é
proporcional ao quadrado do campo electrico (se magnetico nulo), ie,
2
  E  E  E onde E* é o complexo conjugado.
 Se a massa é uma forma de energia e (x,t) corresponde a um
“campo” de uma particula com massa m então (x,t)* (x,t) poderia
ser entendido como uma densidade associada com a particula.
 Ie, (x,t)* (x,t) = | (x,t) |2 = P(x) seria uma densidade de
probabilidade para encontrar uma particula de massa m numa posição
x no intervalo dx.
Mais em concreto:

Ondas de luz podem ser decompostas em diferentes ondas monocromáticas, ie,
=iaii , com |ai|2 como intensidade dessa onda (indexada pela variavel i).

A uma diferente distribuição espectral para diferentes cdo correspondem
diferentes intensidades de acordo com cada |ai|2 e qual é maior ou menor.

Onde |ai|2 for maior significará que mais corpusculos/particulas (ie, fotões)
estão nesse intervalo de ondas monocromáticas. A intensidade dará indicação
de quantos aí contribuem e dai a sua probabilidade.
Esta é a interpretação Ortodoxa (ou de Copenhaga) da Fisica Quântica.
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Várias implicações ocorrem.

1. A função de onda deve ser normalizada:   dx  1

2. A função de onda deve satisfazer as condições de fronteira (x) 0
quando x   .
3. A função de onda (x) e d(x)/ dx devem ser continuas em x
Relativamente a observaveis F(x), NÃO se pode estabelecer precisão mas
antes probabilidade, ie, um valor médio entre todos os possiveis

F ( x)    ( x) F ( x) ( x)dx

No contexto do Principio da Decomposição Espectral:
 Seja  a função de onda de um sistema. As previsões e estimativas
para um observavel A são estabelecidas de
1. Determinar as funções de onda próprias associadas a A, a, que
correspondem aos valores próprios a, ie, Aa=aa
2. Representar a função de onda  como combinação linear de a, ie
=acaa (Base de vectores num espaço de Hilbert)
3. A probabilidade de A estar em a (numa medição) é |ca|2, tal que
1=a|ca|2
4. O valor médio para a A é dado por <A> = a|ca|2a
 Nota: Apenas com uma medição se determinará qual o estado ou
comportamento do sistema ou particula. Até que uma observação se
efectue, o sistema descrito por  está em TODOS os possiveis
estados. Ie, um fotão ou electrão atravessa AMBAS as fendas na
experiencia de sobreposição de interferência.
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