multiplicação é -valor -fatores

Número complexo
z = ( a, b ) ↔
z = a + jb
a, b são números reais
j1 = unidade imaginária =
−1
a = parte real do número complexo z
b = parte imaginária do número complexo z
C = conjunto dos números complexos
1- A letra j substitui a designação convencional da unidade imaginária, i, nos cursos onde há possibilidade de confusão
com a designação da intensidade de corrente eléctrica
ÁLGEBRA
N. complexos - 1
Igualdade
a + jb = c + jd
se e só se
a=c e b=d
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N. complexos - 2
Adição
( a + jb ) + ( c +
jd ) = ( a + c ) + j ( b + d )
A adição de complexos:
- existe e é única
- é comutativa
- é associativa
- tem elemento neutro
- cada número complexo tem oposto aditivo
(0 = 0 + j0)
( −a − jb )
(C,+) é grupo comutativo
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N. complexos - 3
Multiplicação
( a + jb ).( c +
jd ) = ( ac − bd ) + j ( ad + bc )
A multiplicação de complexos:
- existe e é única
- é comutativa
- é associativa
- tem elemento neutro
(1 = 1 + j 0 )
- todos os elementos são regulares, com excepção do elemento
zero (elemento neutro da adição)
(C, .) é semigrupo comutativo
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N. complexos - 4
Outras operações
Subtracção
( a + jb ) − ( c +
jd ) = ( a + jb) + (−c − jb)
Divisão


a + jb
1
−1
= ( a + jb ) .
=
+
+
a
jb
c
jd
.
(
)
(
)

+
c + jd
c
jd
(
)


Conjugação
( a + jb ) = ( a + jb ) = a − jb
*
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N. complexos - 5
Corpo dos números complexos
• (C, +) é grupo comutativo
• (C, .) é semigrupo comutativo
• a multiplicação é distributiva em relação à adição
• C tem elemento unidade (1 = 1 + j0)
• todos os elementos são regulares, excepto o elemento zero
(0 = 0 + j0)
Então:
O conjunto C dos números complexos tem estrutura
de corpo
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N. complexos - 6
Interpretação geométrica
módulo de z = a + jb
y
z = a 2 + b2
z1 z 2 = z1 z 2
(a, b)
a + jb
j
z
-1
1
z1
z1
=
z2
z2
z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
x
z1 − z 2 ≤ z1 + z 2
Diagrama de Argand
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N. complexos - 7
Interpretação geométrica (adição de complexos)
y
z1+z2
z2
j
z1
-1
ÁLGEBRA
1
x
N. complexos - 8
Interpretação geométrica (conjugação)
z = a + jb
y
z = z * = a − jb
z = z
(a, b)
a + jb
j
Re z =
1
-1
x
z+z
2
Im z =
zz = z
(a, -b)
a - jb
z−z
2j
2
z1
z z
z z
= 1 2 = 1 22
z2 z2 z2
z2
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N. complexos - 9
Forma polar ou trigonométrica
z = a + jb
y
= r cosθ + jrsenθ
a = r cosθ
z = a + jb
= r ( cosθ + jsenθ )
r
b = r senθ
j
r = z = a2 + b2
θ
b

a
θ = tg −1 
-1
1
x
r = modulo de z
θ = argumento de z
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N. complexos - 10
Interpretação geométrica (multiplicação)
z1z2
y
θ1 + θ2
z2
θ2
j
z1
θ1
1
-1
x
z1z2 = r1r2[cos(θ1+θ2) + j sen (θ1+θ2)]
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N. complexos - 11
Forma exponencial
Fórmula de Euler
e jθ = cosθ + jsenθ
z = a + jb
= r cosθ + jrsenθ = r ( cosθ + jsenθ )
= re jθ
r = z = a 2 + b2
b
 
θ = tg −1  
a
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N. complexos - 12