Temos aqui uma equação do 2º Grau para ser resolvida: X² + 6x + 5

Temos aqui uma equação do 2º Grau para ser resolvida:
X² + 6x + 5
Vamos representar x² por um quadrado
Representaremos x por um retângulo cuja medida é a décima
parte do quadrado original.
Representaremos as unidade por um quadradinho que será a
centésima parte do quadrado original.
Bem, agora vamos separar o material da nossa equação:
X²
6x
5
Com esse material teremos agora que formar uma figura regular:
x
1
X
5
É como um quebra cabeça, encontrada a figura regular,
podemos notar que um lado do retângulo é formado por (x + 5) e
outro lado é formado por (x + 1).
Aí nós temos os fatores da equação.
(x + 5 ) . ( x + 1)= x² + 6x + 5
Agora é só considerarmos que cada um dos fatores seja igual a
zero ( relembrando uma propriedade dos números reais), que
teremos:
x+5=0
x + 5 –5 = 0 – 5
x = -5
x+1=0
x+1–1=0–1
x = -1
As raízes dessa equação são { -5, -1}
Vamos considerar uma Segunda equação:
X² - 5x + 6
Observe, que aqui temos figuras coloridas e figuras brancas, as
coloridas representam números positivos e as brancas, números
negativos.
Vamos agora montar nossa figura regular
Como nós temos x² - 5x, devemos
tirar os 5x da figura x², acontece
que tirando da largura e do comprimento da figura a parte negativa passa da parte positiva, mas
nós temos ainda as unidades, e é
colocando-as no lugar que conseguiremos a figura regular.
Ficará assim:
X–3
X–2
Como existe uma lei básica com os números relativos em que
cada unidade negativa cancela uma unidade positiva, nós
continuamos com uma figura regular cujos lados tem como
medida (x – 3) e ( x – 2 ).
Resolvendo , ficamos com:
X–3=0
X–3+3=0+3
X = +3
x–2=0
x–2+2=0+2
x=+2
As raízes dessa equação serão { + 3, + 2 }
Observe o trinômio:
X² + 3x + 2
Vamos separar as peças?
Observaram?
Agora vamos montar uma figura regular:
x
2
Vejam:
Um lado da figura ficou com x +2 e o
outro x + 1, isto significa que a área da
figura, que é o trinômio,
x x² + 3x + 2 = lado . lado ou
x² + 3x + 2 = (x+2) . (x+1)
e relembrando a propriedade dos
números reais que diz:
.se um produto de dois números é igual a
zero, então um deles deve ser nulo e,
reciprocamente, se um de dois números é
1 nulo, então o produto deles é igual a zero.
Se a x b = 0 então a = 0 ou b = 0, e se
a=0 ou b = 0 então a x b = 0
Agora ficou fácil...
X+2= 0
x+1=0
X + 2 –2 = 0 – 2
x + 1 –1 = 0 - 1
X = -2
x = -1
Logo as soluções da equação são –2 e -1
Passemos agora, as atividades, que devem ser realizadas,
preferencialmente em pequenos grupos.
Oi pessoal! Meu nome é Mathe, sabe
como é que é....
Meu dono é matemático...
Quero que vocês se divirtam com esses
trinômios, e lembrem-se que essas
expressões nada mais são do que
equações... E com esse jogo, tudo fica
muito fácil...
Expressões
Fatores
Raízes da equação
ax² + bx + c = 0
1) x² + 6x + 8
2) x² + 7x + 12
3) x² + 8x + 16
4)x² + x
5) 3x² + 5x + 2
6) 2x² + 7x + 6
Olá professor!
Já descobriram o meu nome?
Sissi Simetria , ou simplesmente Sissi, como
preferirem...
Minha função é dar a você algumas dicas de
atividades interessantes...
Na tabela acima é interessante lembrar aos
alunos que estaremos revendo a fatoração de polinômios
quadráticos, depois revisaremos o conceito de área, para então
encontrarmos os lados da nossa figura regular utilizando as
peças recortadas em papel cartão, esses lados ( dimensões) da
figura, o aluno colocará na coluna “fatores”. Resolvida a
equação, ele deverá anotar as soluções em “Raízes da equação
ax² + bx + c”.
Depois de bem discutida estas questões, é hora de conversar
com os alunos e propor as seguintes questões:
• Se os retângulos formados na tabela acima( 1,2,3 e 4) são
da forma (x+p).(x+q), isto é, x² + bx + c = (x + p).(x +q),
pense um pouco:
• Que relação existe entre p e q e o número c?
• Que relação existe entre p e q e o número b?
• Que relação existe entre as raízes da equação x² + bx+c=0
e os números b e c?
Nesse ponto é fácil para o aluno perceber que b é a soma das
raízes da equação e que c é o produto dessas raízes.
Proponha então, as seguintes expressões:
Expressões
Fatores
Raízes da equação
ax² + bx + c= 0
1) x² - 2x + 1
2) x² - 5x + 6
3) x² - 6x + 8
4) 2x² - 7x + 6
Analise os resultados com seus alunos e proponha as
questões:
• Que relação existe entre p e q e o número c?
• Que relação existe entre a, p e q e o número b?
• Que relação existe entre as raízes da equação e os
números a, b e c?
As atividades com este material permitem separar as
equações completas das incompletas, propiciam a
descoberta da relação entre os coeficientes e as raízes de
uma equação e mostram as limitações da resolução
geométrica ou através dos coeficientes da equação.
A partir das descobertas dos alunos e das dificuldades
encontradas no uso do material, quando aparecem as
equações mais elaboradas, é possível justificar a procura
de uma forma algébrica de resolução das equações de
uma forma geral que não dependa dos valores de a, b e c.
Nesse momento é possível introduzir a Fórmula de
Bhaskara e a sistematização das relações entre raízes e
coeficientes da equação. O importante é o aluno perceber
que possui várias estratégias de resolução das equações
de segundo grau dependendo se ela é incompleta, se é
fácil descobrir as raízes a partir dos coeficientes e ainda a
fórmula que resolve qualquer equação.
Este trabalho foi adaptado baseado em:
Resolução de equações do segundo grau: do concreto à
fórmula de Bhaskara
Kátia Cristina Stocco Smole
Maria Ignes de Souza Vieira Diniz
(Mathema)