Números naturais

Números naturais
Conjunto dos números naturais: IN={0,1,2,3,...,n,n+1,...}
Conjunto dos números pares: P={ 0,2,4,6...,2n,...}
Conjunto dos números ímpares: I={1,3,5,...,2n+1,2n+3,...}
Propriedades da adição e subtração
Sendo a, b e c variáveis naturais
Propriedades
Adição
Subtração
Comutativa
a+b= b+a
Não é válida
Elemento Neutro a+0=0+a
a-0=a
Associativa
(a+b)+c=a+(b+c) Não é válida
Propriedades da
multiplicação
Sendo a,b,c e d variáveis naturais
Propriedades
Unicidade
a=b e c=d, então axc =
bxd
Elemento neutro
a=1, então 1xa=a
Anulamento
axb=0, então a=0 ou b=0
Cancelamento
Se c≠0 e a x c=b x c,
então a=b
Comutativa
a x b=b x a
Associativa
(axb)x c=ax(bxc)
Distributiva
(a+b)x c = a x c+ b x c
(a-b)x c = a x c – b x c
Propriedades da Divisão
Sendo a, b e c variáveis naturais
Propriedades
Unicidade
a=b e c=d, então a:c
=b:d
Elemento Neutro
Anulamento
Distributiva
A:1=a
0:b=0, sendo b≠0
(a+b) : c= a:c + b:c
(a-b):c = a:c – b :c
Divisão com resto nos
números naturais
• D=d x q + r
onde D= dividendo
d= divisor
q= quociente
r= resto
Resto maior possível: r.máx.=d-1
Propriedades da potenciação
1ª- 1ⁿ = 1 e 0ⁿ=0 (nesta última para n≠ 0)
2ª - a
3ª- (a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ
4ª- (a:b)ⁿ= aⁿ : bⁿ
5ª- (aⁿ)
Nota: no caso por exemplo: 2
Divisão com resto nos
números naturais
D = d x q + r, onde D = dividendo
d= divisor
q= quociente
r= resto
sendo: r < d
Resto maior possível: r máx: d-1
Radiciação em números
naturais
A potenciação dá origem a duas operações inversas: a
radiciação e a logaritmação.
A radiciação é a operação pela qual dada a potência a e o
expoente n, determina-se a base b.
Ex: 27= 3
Dados os números naturais a, b e n, com n ≠ 0, denominase raiz de índice n de a, e representa-se por
ao número
b, tal que bⁿ =a.
Sendo: a= radicando; b= raiz e n= índice da raiz
Múltiplos e Divisores
Um número natural a será divisível por um número natural
b, quando existir um número natural c, tal que b x c = a.
Diz-se, também, que a é múltiplo de b.
Ex. o conjunto de todos os divisores donúmero 12,
indicando por D12: D12={1,2,3,4,6,12}
São chamados divisores triviais de 12 os números 1 e 12 e
são chamados divisores próprios de 12 os números 2,3,4 e
6.
Números primos e Números
Compostos
Chamam-se números primos os números naturais maiores
que as unidades que só admitem como divisores os
triviais, ou seja, que sejam divisíveis por 1 ou por ele
mesmo.
A sucessão
dos
números
primos
é
infinita:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37.
Chamam-se números compostos os números naturais
maiores que a unidade, que não são primos.
A sucessão dos números compostos é infinita.
Divisibilidade
Critérios de divisibilidade
• Um número é divisível por 2, quando o seu último
algarismo da direita for 0,2,4,6 ou 8.
ex: 3264
• Um número é divisível por 4 quando os dois últimos
algarismos da direita formarem um número divisível por
4, ou quando os dois últimos algarismos da direita forem
zeros.
ex: 7348 → 48 é divisível por 4
82100 → dois últimos algarismos são zeros
Divisibilidade
• Um número é divisível por 5, quando seu último
algarismo da direita for 0 ou 5.
ex: 8130 ; 3245
• Um número é divisível por 6, quando for divisível,
simultaneamente, por 2 e 3.
ex: 7242 → é divisível por 2 porque termina em 2 e é
divisível por 3 porque a soma dos valores absolutos dos
algarismos é divisível por 3.
Divisibilidade
• Um número é divisível por 8, quando os três últimos
algarismos da direita formarem um número divisível por
8, ou quando os três últimos algarismos da direita forem
zeros.
ex: 32672 → 672 é divisível por 8
571000 → três últimos algarismos são zeros
• Um número é divisível por 9, quando a soma dos valores
absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
ex: 5184 → 5 +1+8+4 = 18 , é divisível por 9
Divisibilidade
• Um número é divisível por 10, quando termina em 0.
ex: 8320
• Um número é divisível por 11, quando a soma dos
algarismos de ordem ímpar, menos a soma dos
algarismos de ordem par, for divisível por 11.
Ex: 985897 → ordem ímpar: 7+8+8= 23
ordem par: 9+5+9=23
Ou seja, 23 – 23= 0