geometria plana

GEOMETRIA PLANA
1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O
raio do círculo mede
B
C
O
A
(a) 5 cm
(b) 6 cm
(c) 8 cm
(d) 9 cm
(e) 10 cm
2) (UFRGS) Na figura abaixo, C é o centro do círculo, A é um ponto do círculo e ABCD é
um retângulo com lados medindo 3 e 4.
D
A
B
C
Entre as alternativas, a que apresenta a melhor aproximação para a área da região
sombreada é
(a) 7,5.
(b) 7,6.
(c) 7,7.
(d) 7,8.
(e) 7,9.
3) O círculo da figura tem raio 6 e  mede 100°. A área do setor assinalado é
(a) 6
(b) 10
(c) 6
(d) 10
(e) 60

1
4) Os quadriláteros da figura são semelhantes. O lado x mede
9
x
(a) 25/4
(b) 24/5
(c) 7/2
(d) 4
(e) 3
5
8
23
5) (UFRGS) A opção que representa todas as possibilidades do número de pontos de
interseção de um círculo com um retângulo é
(a) 0, 1, 2, 4 ou 8
(b) 0, 2, 4, 6 ou 8
(c) 0, 1, 3, 5 ou 7
(d) 0, 2, 3, 5 ou 7
(e) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8
6) (UFRGS) Na figura abaixo, AC=5, BC=6 e DE=3.
C
E
A
D
B
A área do triângulo ADE é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
15/8
15/4
15/2
10
15
7) (UFRGS) A medida do lado de um triângulo equilátero é 6. A área da coroa determinada
pelos círculos inscrito e circunscrito ao triângulo é
(a) 3
(b) 3
(c) 9
(d) 10
(e) 12
2
8) (UFRGS) A figura mostra duas circunferências concêntricas. A corda AB da maior
mede 8 e é tangente à menor. A área da coroa determinada é
(a) 64
A
(b) 32
(c) 16
(d) 8
B
(e) 4
9) (UFRGS) Na figura abaixo, OP=2, AB=8, O é o centro dos círculos e AB é tangente ao
círculo menor.
O
B
P
A
A área do disco maior é
(a) 20 
(b) 10 
(c) 20 
(d) 64 
(e) 68 
10) Na figura, o triângulo equilátero com centro O tem lado 9. O segmento AB paralelo à
base mede
(a) 4
(b) 53
(c) 6
(d) 63
(e) 8
O
A
B
3
11) (FUVEST) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas
diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é
(a) /2 + 2
(b)  + 2
(c)  + 3
(d)  + 4
(e) 2 + 1
12) (PUC) Uma ponte sobre um rio tem comprimento de 20 m e abre-se a partir de seu
centro para dar passagem a algumas embarcações, provocando um vão AB, conforme a
figura abaixo. No momento em que os ângulos  =  = 45º, o vão AB mede
A
B


20 m
(a) 20 - 52 m
(b) 10 - 52 m
(c) 20 - 102 m
(d) 20 - 202 m
(e) 10 m
13) (UFRGS) Na figura abaixo, as semirretas AB e AC tangenciam o círculo de centro D,
respectivamente, nos pontos B e C.
C
A
D
B
Se o ângulo BAC mede 70º, o ângulo BDC mede
(a) 110
(b) 115
(c) 125
(d) 135
(e) 140
4
14) (UFRGS) Um quadrilátero convexo está inscrito em uma circunferência de diâmetro 2.
Dois lados não adjacentes do quadrilátero medem 2 e 1, e uma de suas diagonais contém o
centro da circunferência. As medidas dos outros lados são
(a) 1 e 2
(b) 1 e 3
(c) 0,5 e 2
(d) 0,5 e 3
(e) 2 e 3
15) (FUVEST) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus do
ângulo  é
A
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
32
34
36
38
40

B
E
C
D
16) (UFRGS) Dois círculos, tangentes externamente, têm seus centros em vértices opostos
de um quadrado com 8 unidades de perímetro, e o maior desses círculos corta dois lados do
quadrado nos pontos médios desses lados. O valor do raio do círculo menor é
(a) 2
(b) 22
(c) 22 - 5
(d) 25 - 2
(e) 2(5 - 2)
5
17) (UFGRS) Observe a figura abaixo.
Nesta figura, cada um dos quatros círculos tem raio igual a
do quadrado e a um de seus lados.
A área do quadrado é
2 – 1 e é tangente às diagonais
(a) √2 + 1.
(b) 2√2.
(c) 4.
(d) 3√2 – 1.
(e) 6.
18) A Companhia telefônica coloca cabos cilíndricos em dutos cilíndricos. A figura indica a
relação entre as secções transversais de 4 cabos e do menor duto que pode contê-los.
Supondo que o diâmetro de cada cabo seja de 1 cm, o valor mais próximo para o diâmetro
do duto mínimo é de
(a) 2,0 cm
(b) 2,5 cm
(c) 3,0 cm
(d) 3,5 cm
(e) 4,0 cm
6
19) (UFRGS) Na figura sombreada abaixo, é feito um corte vertical conforme indicado pela
linha pontilhada, obtendo-se, assim, duas partes.
Justapondo-se as partes obtidas, é possível construir as figuras da opção
a)
b)
c)
d)
e)
7
20) (UFRGS) Seis octógonos regulares de lado 2 são justapostos em um retângulo, como
representado na figura abaixo.
A soma das áreas das regiões sombreadas na figura é
(a) 16
(b) 16 2
(c) 20
(d) 20 2
(e) 24
21) (UFRGS) Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de
todas as suas diagonais é
(a) 6
(b) 12
(c) 18
(d) 24
(e) 30
22) (UFRGS) Na figura, os três círculos têm o mesmo raio r, as retas são paralelas, os
círculos são tangentes entre si e cada um deles é tangente a uma das duas retas.
Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para a distância entre a retas é
(a) 3r
(b) 3,25r
(c) 3,5r
(d) 3,75r
(e) 4r
8
23) (UFRGS) Na figura abaixo, A, B e C são vértices de um hexágono regular justapostos,
cada um com área 8.
Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C é
(a) 8
(b) 12
(c) 16
(d) 20
(e) 24
24) (UFRGS) Três arcos de círculo são construídos de maneira que seus centros estão nos
vértices de um triângulo equilátero de lado 10 cm e intersecionam o triângulo nos pontos
médios dos lados, como indicado na figura abaixo.
A soma das medidas dos comprimentos dos arcos é
(a)  cm
(b) 5 cm
(c) 10/3 cm
(d) 5 cm
(e) 10 cm
9
25) (UFRGS) No retângulo ABCD da figura abaixo, E é ponto médio de AD, e a medida de
FB é igual a um terço da medida de AB.
Sabendo que a área do quadrilátero AFCE á 7, então a área do retângulo ABCD é
(a) 8
(b) 9
(c) 10
(d) 11
(e) 12
10
Resolução
1) Se a diagonal AC mede 6, a outra diagonal OB também mede 6. Logo, o raio do círculo
é 6.
B
C
6
O
A
2)
D
A
3
r
B 4
C
No triângulo ABC, por Pitágoras, r=5.
A área desejada é a de um quarto de círculo descontada a área do retângulo ABCD.
A
 r2
4
 43 
  52
4
 12 
25
25  3,14
 12 
 12  7,6
4
4
3) A área do setor é diretamente proporcional ao seu ângulo.
Ângulo total: 360°
Área total: r2=62=36
360 100

36
x
6
Ângulo de 100°
Área x
36 10

36
x
1


10
x
100°
x=10
4)
x
9
x
8

9 23  8
5
8
23
11
x
72 24

15
5
5)
Zero ponto
1 ponto
2 pontos
3 pontos
4 pontos
5 pontos
6 pontos
6)
7 pontos
C
5
6
E
3
)
A
D
Temos:
7)
B
A1  3 
 
A2  6 
2
8 pontos
Os triângulos ADE e ABC são semelhantes,
pois têm ângulos  e reto em comum.
Seja A1 a área do triângulo ADE.
A área A2 do ABC vale (56)/2=15.
Os catetos DE=3 e BC=6 são correspondentes,
pois são opostos à .
A1  1 
 
15  2 
2
A1 
15
4
C
h
A 3
No triângulo ABC, temos: 62=32+h2
h  27  33  3 3
27=h2
6
B
36=9+h2
h
a  3
3
O raio do círculo inscrito é o apótema a=3 e o do círculo
circunscrito é 2a=23.
A área da coroa é A=(23)2-(3)2=12-3=9.
12
8)
A área da coroa é A= R2-r2=(R2-r2).
R 4
No triângulo retângulo da figura, R2 = r2 + 42.
R2 - r2 = 16.
r
4
Logo, A = (R2-r2) = 16 = 16
9)
R2=22+42
O
R
4
A
2
P 4
R2=4+16
R2=20
A=R2=20
B
10)
E
Os triângulos ABD e CDE são semelhantes.
2a
A
B
Logo,
a
C
9
O
AB=6
D
P A
11)
AB 2a

9
3a
Q
A região cuja área é solicitada é formada por um
triângulo e um quarto de círculo.
2
2
b h 2 2

 2.
2
2
 r 2 4

 .
Área do quarto de círculo:
4
4
Área do triângulo:
Área da região:  + 2.
13
12)
A
x
B
No Triângulo CDB, 102=y2+y2
45°
10
10
y
45°
y
C
x
y
y2=50
y=50 = 52.
x + 2y = 20
D
100=2y2
x + 252 = 20
x + 102 = 20
x = 20  102
20
13)
C
A
)70
D
B
No quadrilátero ABDC, os ângulos em C e em B medem 90.
Se a soma dos quatro ângulos internos mede 360 e C+D=180, então A+D=180.
Se A=70, então D=110.
14)
Os triângulos ABC e ADC são retângulos, pois são
inscritos em um círculo e têm um lado passando
pelo centro.
x
2
As suas hipotenusas medem 2.
1
1
y
15)
A
Por Pitágoras no ABC:
22 = (2)2 + x 2
2 = x2
x=2
Por Pitágoras no ADC:
22 = y2 + 12 4 = y2 + 1
y2 = 3
y=3
Há 5 ângulos  no círculo. Logo, =360°/5=72°.

 é um ângulo inscrito e  é um ângulo central, ambos
E com o mesmo arco.
Logo, =2.
B

Se =72°, então =36°.
C
4 = 2 + x2
D
14
16)
O
5
5
2
A
R
B
1
Por Pitágoras no triângulo OAB, o raio do círculo maior vale 5.
5 + R = 22, que é a diagonal do quadrado maior. Assim, R = 22 - 5
17)
ℓ = r + x + r = 2r + x
No triângulo assinalado, (2r)2+(2r)2=x2
x
r
r
2r
4r2 + 4r2 = x2
8r2 = x2
x  8r 2  2 2r
2r
ℓ = 2r + 2√2r = 2r(1 + √2)
ℓ
Como r=√2-1, temos: ℓ = 2(√2-1)(1+√2) = 2(√2 + 2 -1 -√2) = 2. Área = ℓ2 = 4.
18)
Por Pitágoras no triângulo:
0.5
x
1
x2 = 12 + 12
x2 = 2
x  2  1,41
O diâmetro é
d = 0,5+x+0,5 = 1 + x ≈1 + 1,41 = 2,41.
0.5
1
A alternativa que contém o valor mais próximo é
(b) 2,5
15
19)
Recortando a figura conforme foi feito a seguir, obtemos 2 trapézios que poderão
ser deslocados de forma a se obter a figura do enunciado.
Recortando a figura como foi feito a seguir, obtemos 2 trapézios que poderão ser
deslocados de forma a se obter a figura do enunciado.
Logo, as figuras possíveis são as da alternativa (b).
20)
Os dois quadrados centrais tem lado 2, sendo, portanto, a área de cada um igual a 4.
Cada meio quadrado tem área 2.
A área sombreada é composta de 12 meios quadrados.
Logo, a área sombreada vale 12×2 = 24.
16
21) Há 3 diagonais D maiores. Um hexágono regular de lado 1 é composto de 6 triângulos
equiláteros, cada um de lado 1. Logo, cada diagonal D maior tem comprimento 2.
1
1
Há 6 diagonais d menores.
d
Por Pitágoras no triângulo ABC, temos:
C
22 = d2 + 12
d = 3
Queremos a soma dos quadrados das
diagonais:
2
d
D2 + D2 + D2 +
d2 + d2 + d2+ d2 + d2 + d2 = 3D2 + 6d2 =
3×22 + 6×(3)2 =
3×4 + 6×3 = 12 + 18 = 30.
A
B
1
17
22) Por Pitágoras no triângulo da figura, temos: (2R)2 = R2 + x2
R
R
x
R
d
R
R
4R2 = R2 + x2
x2 = 3R2
x = R3
d = R + x + R = R + R3 + R = R( 2 + 3)  R(2 + 1,73) = 3,73R  3,75R
23) Se cada hexágono tem área 8, então cada semi-hexágono tem área 4.
4
4
4
Desta forma, a área do triângulo é 4 + 4 + 4 = 12.
18
24)
10
5
60
60
60
Os três setores de 60 justapostos formam um semicírculo de raio 5.
A soma dos comprimentos dos três arcos é o comprimento do arco do semicírculo.
C = 2R
C/2 = R = ×5 = 5.
A soma das medidas dos comprimentos dos arcos é
25) Se FB é um terço de AB, então AF é o dobro de FB.
h
b
y
y
b
2x
x
Os triângulos DCE e ECA têm a mesma base b e mesma altura h. Logo têm a mesma área
y.
Os triângulos AFC e FBC têm a mesma altura 2b, mas a base do primeiro é o dobro da base
do segundo. Logo a área do primeiro (2x) é o dobro da área do segundo (x).
Sabendo que a área do quadrilátero AFCE á 7, então 2x + y = 7.
A área do triângulo ACD é igual a área do triângulo ABC. Logo, 2y = 3x.
2x + y = 7  y = 7 – 2x
2y = 3x
 2(7 – 2x) = 3x
14 – 4x = 3x
y = 7 – 2×2 = 3
Área do retângulo ABCD: 2y + 3x = 2×3 + 3×2 = 12
19
14 = 7x
x=2
RESPOSTAS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
B
B
D
B
E
B
C
C
C
C
B
C
A
E
C
C
C
B
B
E
E
D
B
D
E
20