Potencial Elétrico

IBM1018 – Física Básica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 7
Potencial Elétrico
Quando estudamos campo elétrico nas aulas passadas, vimos que ele
pode ser definido em termos da força elétrica que uma carga q
exerce sobre uma carga de prova q0. Essa força é, pela lei de
Coulomb,
=
1 ,
4 e dividindo-se pela carga de prova q0 temos o campo elétrico :
=
1 .
4 Note que a força elétrica é um conceito associado à carga que sente
a força (q0) e à carga (ou cargas) que produz (ou produzem) a força,
q (ou q1, q2, etc). Já o campo elétrico é um conceito associado
apenas à carga (ou cargas) que produz (ou produzem) o campo. O
campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas num dado
ponto do espaço existe nesse ponto mesmo que não seja colocada
nenhuma carga de prova nele.
Da mesma forma, o conceito de energia potencial elétrica
introduzido na aula passada está associado à carga de prova q0 e às
cargas que fazem forças sobre ela. A equação (10) da aula passada é:
1
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=
.
4
(1)
Assim como no caso do campo elétrico, podemos definir uma nova
grandeza a partir de U que não dependa da carga de prova q0 (basta
dividir por q0). Esta nova grandeza é chamada de potencial elétrico
V:
1
=
.
4
(2)
Podemos dizer então que uma distribuição de cargas gera num dado
ponto do espaço P um potencial elétrico cujo valor é igual ao da
energia potencial elétrica associada a essa distribuição de cargas e a
uma carga de prova q0 colocada em P dividido por q0:
=
ou
= .
(3)
Pela equação acima, vemos que a unidade do potencial elétrico é
J/C. Esta unidade é chamada de volt (símbolo V) em homenagem ao
físico italiano Alessandro Volta (1745-1827), inventor da primeira
pilha elétrica.
O potencial elétrico também pode ser definido em termos do
trabalho para levar uma carga q0 de um ponto a a um ponto b (veja a
figura abaixo).
2
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Como U = q0V, ∆U = q0∆V. Logo,
→"
= − Δ
e
→"
= −(" − ) = − " ≡ " .
(4)
Define-se:
Va = potencial no ponto a e Vb = potencial no ponto b;
Vab = Va − Vb = potencial de a em relação a b.
Pode-se usar (4) para definir Vab como o trabalho feito pela força
elétrica quando uma carga unitária (q0 = 1) se desloca de a para b.
Potencial de uma carga puntiforme
Quando há apenas uma carga puntiforme q no espaço, o potencial
elétrico gerado por ela em um ponto a uma distância r do seu centro
(veja abaixo) é, pela equação (2):
3
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(
) =
1 .
4 (5)
Portanto, se q > 0, V > 0 em todos os pontos do espaço e, se q < 0, V
< 0 em todos os pontos do espaço. Independentemente do sinal da
carga q, quando r → ∞, V → 0.
Potencial de um conjunto de cargas
Pelo princípio da superposição, o potencial elétrico gerado por um
conjunto de cargas puntiformes em um dado ponto P do espaço
(veja a figura abaixo) é dado pela soma dos potenciais gerados por
cada carga individualmente:
(
1
=
.
4
(6)
4
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Se, ao invés de um conjunto de N cargas puntiformes, tivermos uma
distribuição contínua de cargas (veja abaixo) o potencial elétrico
será dado por:
=
*
1
)
.
4 (7)
Relação entre V e E
Pela definição de trabalho,
→"
"
"
= ) ∙ *ℓ
.
= ) ∙ *ℓ
Portanto, de (4) temos:
"
"
→"
.
= − " =
= ) ∙ *ℓ
(8)
5
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A equação (8) estabelece uma maneira de relacionar V e : O
potencial de a em relação a b é igual à integral de linha do campo
elétrico de a para b. Como a força elétrica é conservativa, essa
integral independe da trajetória.
De (8) temos que:
"
> 0 ⟹ − " > 0 ⟹ > " . (V diminui de a para b)
Quando / ∙ *ℓ
"
< 0 ⟹ − " < 0 ⟹ < " .
Quando / ∙ *ℓ
(V cresce de a para b)
Para entender melhor esta relação entre V e , consideremos o caso
de uma carga puntiforme.
a) Carga puntiforme positiva:
"
A integral / ∙ *ℓ
= *
̂ ):
*ℓ
entre a e b é (note que = (
)
̂ e
6
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"
"
"
1
*
= ) (
)*
̂ ∙ ̂ = ) (
)*
=
) ∙ *ℓ
) 4
=
"
1
1 1
5 − 6.
4 "
Como ra < rb, 1/ra > 1/rb e a integral é positiva. Isto quer dizer que
− " > 0 ou > " .
O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme positiva
diminui quando nos afastamos da carga.
Em outras palavras:
O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme positiva
diminui quando nos movemos no mesmo sentido do campo elétrico.
b) Carga puntiforme negativa:
"
entre a e b é
Neste caso, a integral / ∙ *ℓ
;
789: <=
− ? < 0
<>
(mostre como exercício). Portanto:
7
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− " < 0 ou < " .
O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme negativa
aumenta quando nos afastamos da carga.
Em outras palavras:
O potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme negativa
diminui quando nos movemos no mesmo sentido do campo elétrico.
Note que as conclusões obtidas para o que acontece com o potencial
elétrico quando nos movimentamos no sentido do campo elétrico
são as mesmas nos dois casos. Esta é uma regra geral que relaciona
o potencial elétrico ao campo elétrico:
O potencial elétrico V diminui quando o movimento se dá no
.
mesmo sentido do campo elétrico @
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O potencial elétrico é uma grandeza tão importante em eletricidade
que é costume medir outras grandezas em termos da unidade de V
(volt).
Por exemplo, costuma-se dar o valor do campo elétrico em
volts/metro (V/m) ao invés de em newtons/coulomb (N/C):
1 V/m = 1 N/C.
Como outro exemplo, costuma-se medir energia em termos da
variação da energia potencial elétrica que um elétron sofre quando
se move por uma diferença de potencial de um volt.
Imagine uma situação como a ilustrada abaixo em que um elétron se
move entre dois pontos a e b com uma diferença de potencial entre
eles igual a 1 volt:
O trabalho da força elétrica sobre o elétron é:
⟶"
= −Δ.
De (4), temos também que:
⟶"
= ( − " ).
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Combinando essas duas expressões:
−Δ = ( − " ).
Fazendo q0 = −e = −1,602 × 10−19 C e (Va − Vb) = 1 V:
∆U = (1,602 × 10−19 C)(1 V) = 1,602 × 10−19 J.
Esta quantidade é definida como elétron-volt (eV):
1 eV ≡ 1,602 × 10−19 J.
O
elétron-volt
é
uma
unidade
de
energia
(9)
muito
usada,
principalmente em física de partículas elementares.
Cálculo do potencial elétrico
Em geral, há duas maneiras de se calcular o potencial elétrico:
• Quando se conhece a distribuição de cargas, usa-se a equação
(6) ou a (7) para calcular V;
• Quando se conhece o campo elétrico, usa-se a equação (8) para
calcular V. Neste caso, note que a equação dá Va − Vb e
costuma-se escolher o ponto b como um ponto onde o
potencial vale zero. Essa escolha é arbitrária e depende do
problema.
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Para ilustrar o segundo método, vamos calcular o potencial em um
ponto a a uma distância r de uma carga puntiforme q (veja abaixo):
De (8) temos:
"
"
"
→"
= ) (
)*
.
= − " =
= ) ∙ *ℓ
Neste caso, o potencial vale zero no infinito, portanto podemos fazer
b = ∞. Logo, Vb = 0 e então:
B
− " = = ) (
)*
.
<
O cálculo da integral nos dá:
B
*
1
1
1
) (
)*
=
) =
,
C− − 5− 6E =
4
4
∞
4
<
<
B
e então:
= (
) =
1 .
4 Este é o mesmo resultado que já tínhamos obtido anteriormente
(equação 5), só que agora utilizamos o método da integral do campo
elétrico.
Estude os exemplos 23.4 e 23.7 do livro-texto.
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