1 Principio da inclusão-exclusão Começaremos com um resultado é evidente: Lemma 1 . Sejam A1 e A2 conjuntos …nitios disjuntos (ou seja: A1 \ A2 = ;) em um universo U. Assim: # (A1 [ A2 ) = # (A1 ) + # (A2 ) Lemma 2 . Sejam A1 e A2 conjuntos …nitios em um universo U. Assim: # (A1 A2 ) = #(A1 ) #(A1 \ A2 ) Isso decorre do fato de A1 = (A1 \ A2 ) [ (A1 A2 ) e do lema acima. . Theorem 3 . Sejam A1 e A2 conjuntos …nitios em um universo U. Assim: # (A1 [ A2 ) = # (A1 ) + # (A2 ) # (A1 \ A2 ) Proof. . De fato, temos que A1 [ A2 = A1 [ (A2 A1 ). Como A1 e A2 disjuntos (i.e.: A1 \ (A2 A1 ) = ;), temos que A1 são = # (A1 [ A2 ) = # (A1 [ (A2 A1 )) = #(A1 ) + #(A2 A1 ) = #(A1 ) + #(A2 ) #(A1 \ A2 ) O teorema acima é chamado de principio da inclusão-exclusão para dois conjuntos. Example 4 . Num setor de uma consutoria de informática estão 30 programadores: 12 desses programam em Java, 7 em C++ e 3 em ambas as linguagens. Quantos desses programadores não trabalham nem com Java e nem com C++? 1 Solution 5 . Considere os seguintes conjuntos: A : Conjunto dos programadores em Java B : Conjunto dos programadores em C++ Seja T o número total de programadores desse setor. O número N de programadores que não trabalham nem com uma liguagem nem com a outra será dado por: N = T #(A [ B) Sabemos que #(A) = 12, #(B) = 7 e #(A \ B) = 3, assim: #(A [ B) = #(A) + #(B) #(A \ B) = 12 + 7 3 = 16 Logo: N = 30 16 = 14 Exercise 6 . 1. Numa empresa com 40 funcionários, sabe-se que 25 tem um salário mensal menor que R$ 3:500; 00 e que 20 tem um salário superior à R$ 1:600; 00:Quantos funcionários desta empresa: (a) Recebem entre R$ 1:600; 00 e R$ 3:500; 00? (b) Quantos recebem menos de R$ 1:600; 00? (c) Quantos recebem mais de R$ 3:500; 00? 2. Uma pesquisa foi realizada com 2:000 pessoas sobre duas marcas de sabão em pó A e B. A pesquisa revelou que 1350 pessoas utilizam a marca A, 980 a marca B e 720 ambas as marcas. Determine o número de pessoas que: (a) utilizam ao menos uma destas marcas; (b) utilizam apenas uma destas marcas; (c) não utilizam nenhuma das duas marcas. O principio da inclusão exclusão acima pode ser estendido para três conjuntos: Corollary 7 . Sejam A1 , A2 e A3 conjuntos …nitios em um universo U. Assim: n(A1 [A2 [A3 ) = n(A1 )+n(A2 )+n(A3 ) n(A1 \A2 ) n(A1 \A3 ) n(A2 \A3 )+n(A1 \A2 \A3 ) 2 Example 8 . Suponhamos que no mesmo setor do exemplo anterior há 7 programadores em PHP. Desses 2 programam em C++ e outros 2 em Java e 1 nas três linguarens. Quantos desse programadores trabalham com Java, C++ ou PHP? Solution 9 . Desejamos: # (A [ B [ C) onde A : conjunto dos programadores em Java B : o conjunto dos programadores em C++ C : o conjunto dos programadores em Cobol. Sabemos que # (A) = 12, # (B) = 7; # (C) = 7, # (A \ B) = 3, # (A \ C) = 2, # (B \ C) = 2 # (A \ B \ C) = 1, Desse modo: n(A [ B [ C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A \ B) = 12 + 7 + 7 3 2 2 + 1 = 20 n(A \ C) n(B \ C) + n(A \ B \ C) Generalizando os resultados acima, temos o principio da inclusão-exclusão para n conjuntos: Proposition 10 . Sejam A1 ; A2 :::; Am m conjuntos …nitos em um universo U, então: n(A1 [ A2 [ ::: [ Am ) X X = n (Aa1 ) 1 a1 m +( 1)r+1 1 a1 ;a2 X m;a1 6=a2 1 a1 ;a2 ;:::;ar m;ai 6=aj n Aa1 \ Aa2 + X 1 a1 ;a2 ;a3 m;ai 6=aj n Aa1 \ Aa2 \ Aa3 n Aa1 \ Aa2 ::: \ Aar + ::: + ( 1)m+1 n(A1 \ A2 \ ::: \ Am ) Example 11 . Uma pesquisa foi realizada para estimar o número de usuários dos sistemas operacionais Windows e Linux. Das 2000 pessoas entrevistadas, 1550 utilizavam um desses sistemas operacionais, 534 a…rmaram utilizar o Linux e 1256 o Windows. Pegunta-se: 3 ::: a. Quantos desses entrevistados utilizam os dois sistemas operacionais: b. Quantos são os usuários exclusivos de Linux? e de Windows? c. Quantos não utilizam nenhum desses sistemas? Solution 12 a. Seja L o conjunto das pessoas entrevistadas que utilizam o Linux e W o Windows, assim desejamos n(L \ W ). Como vimos anteriormente: n(L [ W ) = n(L) + n(W ) n(L \ W ) Assim: 1550 = () n(L \ W ) = 534 + 1256 n(L \ W ) 240 b. O total de pessoas entrevistadas que utilizam o Linux é de 534. O total de pessoas que utilizam apenas o Linux será de n(L) n(L \ W ) = 534 240 = 294. Já o total de pessoas que utilizam apenas o Windows será de n(W ) n(L \ W ) = 1256 240 = 1016. c. O total de pessoas que não utilizam nenhum dos sistemas será o total de pessoas entrevistadas menos o número de pessoas que utilizam um dos sistemas, assim: 2000 n(A [ B) = 2000 1550 = 450 Exercise 13 . 1. Um clube de poliglotas tem 400 membros, no qual todos falam, ‡uentemente pelo menos uma lingua além do português. Desse clube, sabe-se que 40 associados falam inglês e francês, 20% dos membros que falam alemão falam também francês, o número dos que falam essa duas linguas é um terço dos que falam alemão e ingles, e ainda, 22 membros falam apenas alemão e 1% dos associados do clube falam as trës linguas. Sabendo-se que apenas 10 associados náo falam nenhuma destas trës linguas, determine o número de membros que: (a) Falam alemão; (b) Falam exatamente duas dessas linguas; (c) Falam inglês ou francês; (d) Falam inglês ou francês mas não alemão. 4 2. Uma pesquisa a respeito da preferencia de …lmes foi realizada num grupo de 1200 pessoas. Todos os entrevistados a…rmaram que preferem ao menos uma das seguintes categorias: ação (A), comédia (C), drama (D) ou suspense (S). Foram coletados os seguintes dados: #A = #S #C = #D #D = 2#A # (A \ C) = # (A \ D) = # (A \ S) = # (C \ D) = # (C \ S) = # (D \ S) # (A \ C \ D) = # (A \ C \ S) = # (A \ D \ S) = # (C \ D \ S) Sabendo-se que a metade dos entrevistados que preferem …lmes de ação a…rmaram que também gostam de …lmes de comédia, que os que preferem …lmes de comédia, drama e ação é igual à um quarto dos que gostam de suspense e que 4% entrevistados gostam das quatro categorias citadas, determine o número de entrevistados que preferem …lmes: (a) de suspense; (b) de comédia; (c) de drama e suspense; (d) de ação, comédia e drama; (e) apenas de ação; (f ) de comédia e drama mas não de ação; (g) de drama ou suspense mas não de comédia. 5