1 Principio da inclusão exclusão

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Principio da inclusão-exclusão
Começaremos com um resultado é evidente:
Lemma 1 .
Sejam A1 e A2 conjuntos …nitios disjuntos (ou seja: A1 \ A2 = ;) em um
universo U. Assim:
# (A1 [ A2 ) = # (A1 ) + # (A2 )
Lemma 2 .
Sejam A1 e A2 conjuntos …nitios em um universo U. Assim:
# (A1
A2 ) = #(A1 )
#(A1 \ A2 )
Isso decorre do fato de A1 = (A1 \ A2 ) [ (A1
A2 ) e do lema acima.
.
Theorem 3 .
Sejam A1 e A2 conjuntos …nitios em um universo U. Assim:
# (A1 [ A2 ) = # (A1 ) + # (A2 )
# (A1 \ A2 )
Proof. .
De fato, temos que A1 [ A2 = A1 [ (A2 A1 ). Como A1 e A2
disjuntos (i.e.: A1 \ (A2 A1 ) = ;), temos que
A1 são
= # (A1 [ A2 )
= # (A1 [ (A2 A1 ))
= #(A1 ) + #(A2 A1 )
= #(A1 ) + #(A2 ) #(A1 \ A2 )
O teorema acima é chamado de principio da inclusão-exclusão para
dois conjuntos.
Example 4 .
Num setor de uma consutoria de informática estão 30 programadores: 12
desses programam em Java, 7 em C++ e 3 em ambas as linguagens. Quantos
desses programadores não trabalham nem com Java e nem com C++?
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Solution 5 .
Considere os seguintes conjuntos:
A : Conjunto dos programadores em Java
B : Conjunto dos programadores em C++
Seja T o número total de programadores desse setor. O número N de programadores que não trabalham nem com uma liguagem nem com a outra será
dado por:
N = T #(A [ B)
Sabemos que #(A) = 12, #(B) = 7 e #(A \ B) = 3, assim:
#(A [ B) = #(A) + #(B)
#(A \ B) = 12 + 7
3 = 16
Logo:
N = 30
16 = 14
Exercise 6 .
1. Numa empresa com 40 funcionários, sabe-se que 25 tem um salário mensal
menor que R$ 3:500; 00 e que 20 tem um salário superior à R$ 1:600; 00:Quantos
funcionários desta empresa:
(a) Recebem entre R$ 1:600; 00 e R$ 3:500; 00?
(b) Quantos recebem menos de R$ 1:600; 00?
(c) Quantos recebem mais de R$ 3:500; 00?
2. Uma pesquisa foi realizada com 2:000 pessoas sobre duas marcas de sabão
em pó A e B. A pesquisa revelou que 1350 pessoas utilizam a marca A,
980 a marca B e 720 ambas as marcas. Determine o número de pessoas
que:
(a) utilizam ao menos uma destas marcas;
(b) utilizam apenas uma destas marcas;
(c) não utilizam nenhuma das duas marcas.
O principio da inclusão exclusão acima pode ser estendido para três conjuntos:
Corollary 7 .
Sejam A1 , A2 e A3 conjuntos …nitios em um universo U. Assim:
n(A1 [A2 [A3 ) = n(A1 )+n(A2 )+n(A3 ) n(A1 \A2 ) n(A1 \A3 ) n(A2 \A3 )+n(A1 \A2 \A3 )
2
Example 8 .
Suponhamos que no mesmo setor do exemplo anterior há 7 programadores
em PHP. Desses 2 programam em C++ e outros 2 em Java e 1 nas três
linguarens. Quantos desse programadores trabalham com Java, C++ ou PHP?
Solution 9 .
Desejamos:
# (A [ B [ C)
onde
A : conjunto dos programadores em Java
B : o conjunto dos programadores em C++
C : o conjunto dos programadores em Cobol.
Sabemos que
# (A) = 12,
# (B) = 7;
# (C) = 7,
# (A \ B) = 3,
# (A \ C) = 2,
# (B \ C) = 2
# (A \ B \ C) = 1,
Desse modo:
n(A [ B [ C)
= n(A) + n(B) + n(C) n(A \ B)
= 12 + 7 + 7 3 2 2 + 1 = 20
n(A \ C)
n(B \ C) + n(A \ B \ C)
Generalizando os resultados acima, temos o principio da inclusão-exclusão
para n conjuntos:
Proposition 10 .
Sejam A1 ; A2 :::; Am m conjuntos …nitos em um universo U, então:
n(A1 [ A2 [ ::: [ Am )
X
X
=
n (Aa1 )
1 a1 m
+( 1)r+1
1 a1 ;a2
X
m;a1 6=a2
1 a1 ;a2 ;:::;ar m;ai 6=aj
n Aa1 \ Aa2 +
X
1 a1 ;a2 ;a3 m;ai 6=aj
n Aa1 \ Aa2 \ Aa3
n Aa1 \ Aa2 ::: \ Aar + ::: + ( 1)m+1 n(A1 \ A2 \ ::: \ Am )
Example 11 .
Uma pesquisa foi realizada para estimar o número de usuários dos sistemas
operacionais Windows e Linux. Das 2000 pessoas entrevistadas, 1550 utilizavam
um desses sistemas operacionais, 534 a…rmaram utilizar o Linux e 1256 o Windows. Pegunta-se:
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:::
a.
Quantos desses entrevistados utilizam os dois sistemas operacionais:
b.
Quantos são os usuários exclusivos de Linux? e de Windows?
c.
Quantos não utilizam nenhum desses sistemas?
Solution 12 a. Seja L o conjunto das pessoas entrevistadas que utilizam o
Linux e W o Windows, assim desejamos n(L \ W ). Como vimos anteriormente:
n(L [ W ) = n(L) + n(W ) n(L \ W )
Assim:
1550
=
()
n(L \ W )
=
534 + 1256
n(L \ W )
240
b.
O total de pessoas entrevistadas que utilizam o Linux é de 534. O total de
pessoas que utilizam apenas o Linux será de n(L) n(L \ W ) = 534
240 = 294. Já o total de pessoas que utilizam apenas o Windows será de
n(W ) n(L \ W ) = 1256 240 = 1016.
c.
O total de pessoas que não utilizam nenhum dos sistemas será o total de
pessoas entrevistadas menos o número de pessoas que utilizam um dos
sistemas, assim:
2000
n(A [ B) = 2000
1550 = 450
Exercise 13 .
1. Um clube de poliglotas tem 400 membros, no qual todos falam, ‡uentemente pelo menos uma lingua além do português. Desse clube, sabe-se que
40 associados falam inglês e francês, 20% dos membros que falam alemão
falam também francês, o número dos que falam essa duas linguas é um
terço dos que falam alemão e ingles, e ainda, 22 membros falam apenas
alemão e 1% dos associados do clube falam as trës linguas. Sabendo-se que
apenas 10 associados náo falam nenhuma destas trës linguas, determine o
número de membros que:
(a) Falam alemão;
(b) Falam exatamente duas dessas linguas;
(c) Falam inglês ou francês;
(d) Falam inglês ou francês mas não alemão.
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2. Uma pesquisa a respeito da preferencia de …lmes foi realizada num grupo
de 1200 pessoas. Todos os entrevistados a…rmaram que preferem ao menos
uma das seguintes categorias: ação (A), comédia (C), drama (D) ou suspense (S). Foram coletados os seguintes dados:
#A = #S
#C = #D
#D = 2#A
# (A \ C) = # (A \ D) = # (A \ S) = # (C \ D) = # (C \ S) = # (D \ S)
# (A \ C \ D) = # (A \ C \ S) = # (A \ D \ S) = # (C \ D \ S)
Sabendo-se que a metade dos entrevistados que preferem …lmes de ação
a…rmaram que também gostam de …lmes de comédia, que os que preferem
…lmes de comédia, drama e ação é igual à um quarto dos que gostam
de suspense e que 4% entrevistados gostam das quatro categorias citadas,
determine o número de entrevistados que preferem …lmes:
(a) de suspense;
(b) de comédia;
(c) de drama e suspense;
(d) de ação, comédia e drama;
(e) apenas de ação;
(f ) de comédia e drama mas não de ação;
(g) de drama ou suspense mas não de comédia.
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