11. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num

VESTIBULAR 2016
PROFESSOR: WALTER TADEU
MATEMÁTICA I
REVISÃO DE ARITMÉTICA – DIVISIBILIDADE – AULA 1
QUESTÕES - GABARITO
1. (PUC) Ano bissexto é aquele cujo cardinal é múltiplo de 4, mas não é múltiplo de 100, incluindo,
entretanto, os múltiplos de 400. Assim sendo, calcule:
i) Quantos serão os anos bissextos de 2010 até o ano 3000?
a) 300
b) 240
c) 280
d) 320
Solução. Encontrando os respectivos conjuntos temos:
- Número múltiplos de 4 de 2010 a 3000: (3000 – 2012) ÷ 4 + 1 = 248;
- Número de múltiplos de 100 de 2010 a 3000: (3000 – 2100) ÷ 100 + 1 = 10;
- Número de múltiplos de 400 de 2010 a 3000: (2800 – 2400) ÷ 400 + 1 = 2;
Total de anos bissextos: 248 – 10 + 2 = 240.
ii) Se 1º de janeiro de 2010 ocorreu numa sexta-feira, que dia da semana será 1º de janeiro de 3001?
a) segunda-feira
b) sexta-feira
c) quinta-feira
d) terça-feira
Solução. Cada ano normal o dia da semana adianta-se em 1 dia. Em cada ano bissexto dia da semana
adianta-se em 2 dias. Temos:
- De 2010 a 3001 há: (3001 – 2010) = 991 anos de 365 dias. Logo, 991 adiantamentos de 1 dia.
- De 2010 a 3001 há: 240 anos de 366 dias. Logo, 240 adiantamentos extras.
- De 2010 a 3001 há: (991 + 240) = 1231 adiantamentos. Dividindo por 7, temos: 1231 ÷ 7 = 175 , resto 6.
- Logo teremos 6 adiantamentos:
Sexta-feira
0
Sábado
1
Domingo
2
Segunda-feira
3
Terça-feira
4
Quarta-feira
5
Quinta-feira
6
2. (PUC) Dados dois números inteiros a e b (b > 0), existem inteiros q e r tais que a = b.q + r e 0 ≤ r < |b|. Se
a = 733 e b = 33, então r é igual a:
a) 7
b) 14
c) 22
d) 27
e) 33
Solução. Dividindo, temos: 733 = 33 x 22 + 7
3. (ENEM) Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x
30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x
40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é:
a) 9
b) 11
c) 13
d) 15
e) 17
Solução. Em cada caixa cabem 8 pacotes. Logo, 100 pacote utilizarão no mínimo 100 ÷ 8 = 12,3 ~ 13
caixas.
4. (PUC) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48 m, 60 m e 80 m.
Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a
largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos
retalhos ele deverá obter?
a) 47
b) 33
c) 50
d) 48
Solução. As peças devem ser divididas da maior forma possível. O MDC (48, 60, 80) = 8.
Logo, as peças serão divididas em pedaços de 8 m.
O total de peças será: (48 ÷ 4) + (60 ÷ 4) + (80 ÷ 4) = 12 + 15 + 20 = 47 peças.
1
5. (CMRJ) O professor Thiago foi visitar o professor Flávio em sua residência. Flávio é professor de
Matemática e deu seu endereço através do seguinte enigma.
“Eu moro na Rua Bissetriz, na casa de menor número que, quando dividido por 2, 3, 4, 5 ou 6 deixa
resto 1. E, quando dividido por 11, deixa resto 0.” Podemos afirmar que o número da casa é:
a) múltiplo de 13
b) quadrado perfeito
c) maior que 160 d) menor que 120
e) múltiplo de 17
Solução. O MMC (2, 3, 4, 5, 6) = 60. Logo o número 61 deixa resto 1 na divisão pelos números
indicados. Essa condição vai se repetir de 60 em 60. Procurando o próximo número que também é
múltiplo de 11 (resto 0), temos: 61 + 60 = 121. Múltiplo de 11 e quadrado perfeito: 112 = 121.
6. (UERJ) Admita dois números inteiros positivos, representados por a e b. Os restos das divisões de a e b
por 8 são, respectivamente, 7 e 5. Determine o resto da divisão do produto a.b por 8.
a) 4
b) 3
Solução. Utilizando o algoritmo de Euclides, temos:
c) 5
d) 2
a  8.q  7
 a.b  8.8q.q'  8.5q   8.7q'  35  8.8q.q'5.q'7.q'  32  3 

.
b  8.q'5
 a.b  8.8q.q'5.q'7.q'  8.(4)  3  8.8q.q'5.q'7.q'4  3  8.q' '3
7. (FUVEST) O algarismo das unidades do resultado de 32008 é:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
Solução. Observando as potências de 3, temos:
30  1  unidade
 1
3  3
 2
Ciclo de 4 : 3 2008  3 2008  3 4502 0  30  1 .
3  9
33  27

3 4  81  repetiu

8. (AFA) Quantas vezes que o fator primo 7 aparece no produto P = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x 96 x 97 x 98?
a) 16
b) 14
c) 21
d) 28
e) 49
Solução. O fator 7 aparece nos produtos onde os números são múltiplos de 7. Temos:
i) 7 x 14 x 21 x 28 x ... x 98 = (7 x 1) x (7 x 2) x (7 x 3) x ...( 7 x 14) = 714 x (1 x 2 x 3 x ...x 14);
ii) 714 x (7 x 14) = 714 x (7 x 1) x (7 x 2) = 716 x (1 x 2).
Logo, há 16 fatores primos igual a 7.
9. (CESGRANRIO) Se o MMC entre os números A = 2m x 15 e B = 4 x 3n é 360, então:
a) m = n
b) m.n é múltiplo de 4
c) m + n é ímpar
d) m.n é múltiplo de 15
e) m = 2n
Solução. Escrevendo as decomposições, temos:
A  2m  3  5

m  3
2
n
 MMC ( A, B)  2 3  3 2  5  
 m  n  5  ímpar
B  2  3
.
n  2
360  2 3  3 2  5

10. 10. (UNESP) Três cidades A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses
em B e de 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro de 1982. Coincidiram novamente
em:
a) outubro de 1982
b) setembro de 1983
c) setembro de 1992
d) algum mês de 1994
Solução. Calculando O MMC entre os números, temos: MMC(5, 8, 12) = 120.
Como 120 meses correspondem a (120 ÷ 12) =10 anos, as festas coincidirão novamente juntas em
setembro de 1992.
2
11. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10
segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos
aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem
a fechar juntos outra vez é de:
a) 150
b) 160
c) 190
d) 200
Solução. De acordo com as informações o primeiro fecha de 50 em 50 segundos. O segundo sinal
fecha de 40 em 40 segundos. Logo, uma vez fechados juntos em um momento, fecharam novamente
após o MMC(50, 40) = 200 segundos.
12. (UERJ) Na tabela, estão indicadas três possibilidades de arrumar n cadernos em pacotes.
Se n é menor do que 1200, a soma dos algarismos do maior valor de n é:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Solução. Organizando as informações, temos:
n  12 x  11
n  12 x  (12  1)
n  1  12x  1



n  20 y  19  n  20 y  (20  1)  n  1  20 y  1 .
n  18 z  17
n  18 z  (18  1)
n  1  18z  1



Logo, (n+1) é múltiplo de 12, 20 e 18. O menor desses múltiplos é o MMC(12, 20, 18) = 180. O maior
múltiplo, menor que 1200 é 1080 (180 x 6). Temos que (n + 1) = 1080 => n = 1079.
A soma dos algarismos é: 1 + 0 + 7 + 9 = 17.
13. (IFSC) Em uma loja existem três relógios cucos desregulados. O primeiro toca o cuco a cada 12 minutos
o segundo a cada 22 minutos e o terceiro a cada 39 minutos Se os três cucos tocaram juntos às quinze horas
da tarde, é CORRETO afirmar que eles tocarão juntos novamente:
a) Às 19 horas e 32 minutos do mesmo dia.
b) Somente às 4 horas e 28 minutos do dia seguinte.
c) Às 16 horas e 32 minutos do mesmo dia.
d) Somente às 2 horas e 44 minutos do dia seguinte.
e) Somente às 19h e 36 minutos do dia seguinte.
Solução. O MMC(12, 22 e 39) = 1716. Como 1 hora = 60 minutos, temos: 1716 = 28 x 60 + 36 minutos.
Isto equivale a (1 dia + 4 horas) + 36 minutos. Logo, 15h (dia seguinte) + 4h + 36 minutos.
Então tocarão juntos novamente às 19h36min do dia seguinte.
14. (UFCE) Em um corredor, existem 100 armários, numerados de 1 a 100. Inicialmente, todos estão
fechados. A pessoa de número 1 passa e inverte a posição de todos os armários múltiplos de 1, isto é, abre
os armários múltiplos de 1. Em seguida, a pessoa de número 2 passa e inverte a posição de todos os
armários múltiplos de 2 (os armários que estão abertos ela fecha e os que estão fechados ela abre). Esse
processo se repete até a pessoa de número 100. A quantidade de armários que ficarão abertos, no final
desse processo, será:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 10
Solução. Para que um armário fique com a porta aberta deverá ser alterado um número ímpar de
vezes. Observe que inicialmente estão todas fechadas,
- Uma alteração: F para A; (Porta aberta);
- Duas alterações: F para A para F;
- Três alterações: F para A para F para A; (Porta aberta)
- Quatro alterações: F para A para F para A para F;
- Cinco alterações: F para A para F para A para F para A; (Porta aberta); etc.
O número de divisores de um quadrado perfeito é sempre ímpar, ao passo que o número de divisores
de um número, não quadrado perfeito, é sempre par. Portanto, os quartos que ficarão abertos terão
quadrados perfeitos como números. São eles: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Portanto, 10 quartos ficarão com as portas abertas.
15. (CN) O número de divisores positivos de 102015 que são múltiplos de 102000 é:
a) 152
b) 196
Solução. Observe que:
c) 216
d) 256
e) 276
10 2015  10 2000.1015  10 2000.2  5 .
15
O número de divisores positivos de 102015 que são múltiplos de 102000 é (15  1)  (15  1)  256.
.
3
16. (UECE) Ao dividirmos o produto de três números inteiros ímpares positivos e consecutivos por 15,
obtemos o quociente 143 e o resto zero. O menor destes três números é:
a) 9
b) 11
c) 15
d) 17
Solução. Repare que 143 = 11 x 13. Temos que (N x 11 x 13) ÷ 15 possui resto zero. Logo, N = 15. O
menor dos números então será 11.
17. (CN) Um número natural N quando dividido por 3, 5, 7 ou 11, deixa resto igual a 1. Calcule o resto da
divisão de N por 1155, e assinale a opção correta.
a) 17
b) 11
c) 7
d) 5
e) 1
Solução. O MMC (3 , 5, 7, 11) = 1155. Logo, N = 1155 + 1 = 1156.
Logo, o resto de 1156 por 1155 será 1.
18. (ENEM) O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome a um número muito
grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde,
o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia em 10 elevado a um gugol.
Quantos algarismos têm um gugolplex?
a) 100
b) 101
c) 10100
d) 10100 + 1
e) 101 000 + 1
100
Solução. Temos que 1 gugol = 10100. A representação de 1 gugoplex é
seguido de 10100 zeros. Logo, possui (10100 + 1) algarismos.
1010
que tem o algarismo 1
19. (UFRGS) O algarismo das unidades da soma 4454  5545 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
n
Solução. O número 44 , n inteiro positivo, tem algarismo das unidades igual a 6 quando n é par, e
igual a 4 quando n é ímpar. Logo, (4454) tem algarismo das unidades igual a 6.
Por outro lado, o algarismo das unidades do número (55m) é igual a 5 para todo m inteiro positivo.
Desse modo, o algarismo das unidades do número (4454 + 5545) é: (6 + 5 – 10) = 1.
20. (UESPI) Qual o expoente da maior potência de 3 que divide 27030?
a) 70
b) 80
c) 90
Solução. Como
d) 100
e) 110
270 30  33  10  390  10 30 segue que o resultado pedido é 90.
30
21. (IFCE) O número de divisores do produto dos fatores é  20  x  200  é:
a) 112
b) 135
c) 160
d) 350
Solução. Escrevendo o produto com fatores primos, obtemos:
8
3
e) 390.
208  2003  2 2  58  23  52 3  216  58  29  56   2 25  514 .
Assim, o número de divisores do produto 2
25
 514 é (25  1)  (14  1)  26  15  390 .
22. Uma lavanderia costuma entender os lençóis no varal utilizando os pregadores da seguinte forma:
Se ela dispões de 10 varais que comportam 9 lençóis cada,
quantos pregadores ela deverá utilizar para estender 84
lençóis?
a) 253
b) 262
c) 274
d) 256
e) 280
Solução. Encontrando o padrão, temos:
- 1 lençol: 4 pregadores; - 2 lençóis: 7 pregadores; - 3 lençóis: 10 pregadores;...etc
Logo, 9 lençóis terá: 4 + (9 – 1).3 = 4 + 24 = 28 pregadores.
Temos 9 varais com 9 lençóis e 1 varal com 3 lençóis: 1 varal com 3 lençóis: 10 prendedores.
No total temos: (9 . 28) + 10 = 262.
23. (ENEM) Tenho 24 jogos de computador. Quantas são as possibilidades existentes (número máximo) para
se dividir esses jogos em grupos com quantidades iguais de jogos?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 12
Solução. O número 24 possui 8 divisores (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24). Temos, portanto 8 possibilidades
para essa divisão.
4
24. (CEFET) Clarinha arruma 2016 figurinhas quadradas iguais, colocando-as lado a lado, formando
retângulos sem superposições ou buracos. O número de retângulos de dimensões diferentes formados
usando todas as figurinhas é:
a) 14
b) 18
c) 21
d) 24
e) 35.
Solução. Os retângulos formados por Clarinha possuem a mesma área, por utilizarem todas as
figurinhas. Cada figurinha (quadrada) tem 1 u.a. (unidade de área). Utilizando todas as figurinhas,
sabemos que o retângulo formado tem 2016 u.a.
É necessário saber quantas são as multiplicações entre dois fatores (respectivamente, a base e a
altura do retângulo formado) que resultam em 2016.
A decomposição em fatores primos de 2016 é 25 x 32 x 7. O número de divisores de 2016 é calculado
pelo produto (5+1). (2+1). (1+1) = 36 divisores.
Obtemos 2016 pelo produto entre o divisor imediatamente menor e o divisor imediatamente maior:
(1 x 2016, 2 x 1008, ...) de 18 maneiras diferentes.
Logo, são 18 retângulos de dimensões diferentes formados com todas as figurinhas.
5